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TEMA 2
MODULACIONES DIGITALES
LINEALES: PASO BANDA
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 1 / 36
Tema 2: Indice
2.1 Modulaciones lineales (PAM) paso bajo
I 2.1.1. Espectro de PAM banda baseI 2.1.2. Transmision con ruido gaussianoI 2.1.3. Canal discreto equivalente
2.2. Criterio de Nyquist
2.3. Transmision PAM sobre canales lineales
2.4. Diagrama de ojo
2.5. Modulacion lineales (PAM) paso banda
I 2.5.1. Espectro de PAM paso bandaI 2.5.2. Receptores PAM paso bandaI 2.5.3. Caracterısticas del ruido en el receptorI 2.5.4. Canal discreto equivalente
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 2 / 36
PAM paso banda - Modulacion AM
Hasta ahora hemos estudiado PAM paso bajo. Muy util paraentender los conceptos pero poco practico:
I Atenuacion en baja frecuencia de algunos medios detransmision. Ejemplo, cable telefonico
F No transmite senales proximas a la contınua debido a bobinashıbridas.
I Canales compartidos. Ejemplo, canales radio:F Se divide el rango de frecuencias disponibles en bandas que se
asignan con distintos propositos.F Es ilegal transmitir fuera de la banda.F El ancho de banda siempre es mucho menor que la frecuencia
central.
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PAM paso banda - Modulacion AM
Recordatorio: PAM en banda base
s(t) =∑
n
A[n] · g(t − nTs)
Ahora se debe modular s(t) en amplitudI PAM de doble banda lateral (PAM-DSB)I PAM de banda lateral unica (PAM-SSB)
F Banda lateral inferior.F Banda lateral superior.
I Banda lateral vestigial (PAM-VSB).F Banda lateral inferior.F Banda lateral superior.
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Inconvenientes de la modulacion AM
PAM de doble banda lateral (PAM-DSB)I Eficiencia espectral (se reduce a la mitad)
PAM de banda lateral unica (PAM-SSB)I Filtros analogicos de banda lateral ideales
Banda lateral vestigial (PAM-VSB).I Filtros analogicos de banda lateral vestigial
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Modulacion mediante dos portadoras encuadratura
Objetivo: Mantener la eficiencia espectral de banda base.
Dos secuencias de sımbolos (no necesariamente independientes), A0[n]y A1[n]
Dos senales en banda base obtenidas al modular dichas senales cong(t).
sI(t) =∑
n
A0[n] · g(t − nTs), sQ(t) =∑
n
A1[n] · g(t − nTs)
sI(t): componente en fase, sQ(t): componente en cuadratura
Senal PAM paso banda
x(t) =√
2 · sI(t) · cos(ωc t)−√
2 · sQ(t) · sen(ωc t)
=√
2 ·∑
n
A0[n] · g(t − nTs) · cos(ωc t)−√
2 ·∑
n
A1[n] · g(t − nTs) · sen(ωc t)
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Notacion compleja para PAM paso banda
Se define una secuencia compleja de sımbolos
A[n] = A0[n] + jA1[n]I A0[n] = Re{A[n]}, A1[n] = Im{A[n]}
Se define la senal compleja en banda base, s(t):
s(t) = sI(t) + jsQ(t) =∑
n
A[n] · g(t − nTs)
La senal PAM en paso banda se puede
x(t) =√
2 · Re{
s(t) · ejωc t}=√
2 · Re
{∑n
A[n] · g(t − nTs) · ejωc t
}
I La senal transmitida x(t) es real.I x(t) igual a la transparencia anterior pero con otra notacion.
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Modulador PAM paso banda
-B[`]
CODIFICADOR
-Re{A[n]}
g(t)
-Im{A[n]}
g(t)
-� ����@@?√
2 cos(ωc t)
sI(t)
-� ����@@6√
2 sen(ωc t)
sQ(t)
� �� -x(t)
6
?+
−
-B[`]
CODIFICADOR -A[n]
g(t) -� ����@@6√2ejωc t
s(t)-
x(t)
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Relacion con espacio de senales 2D
Senal en espacio de senales 2D
x(t) =∑
n
A0[n] · φ0(t − nTs) + A1[n] · φ1(t − nTs)
I φ0(t) y φ1(t) son senales ortogonales
Solo es valido si la frecuencia de la portadora es multiplo de la tasa desımbolo. Recordar que ωc >> Rs
ωc =2πNTs
= 2πNRs
En este caso
φ0(t) = g(t) · cos(ωc t), φ1(t) = −g(t) · sen(ωc t)
φ0(t − nTs) = g(t − nTs) · cos(ωc(t − nTs)) = g(t − nTs) · cos(ωc t)
φ1(t − nTs) = −g(t − nTs) · sen(ωc(t − nTs)) = −g(t − nTs) · sen(ωc t)
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Modulador en espacio 2D
-B[`]
CODIFICADOR
-Re{A[n]}
φ0(t)
-Im{A[n]}
φ1(t)
���� -x(t)
6
?+
−
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Constelaciones QAM
QAM es una extension a 2D de las modulaciones PAM.
r rr r
A1
A0
r r r rr r r rr r r rr r r rA1
A0
r r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r rA1
A0
Constelaciones 4-QAM (QPSK), 16-QAM y 64-QAMPara tener constelaciones cuadradas, el numero de simbolostiene que ser de la forma M = 4k
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Codificacion Gray QAM
t t t t
t t t t
t t t t
t t t t
00 01 11 10
01
00
10
1100
00
00
00
01
01
01
01
11
11
11
11
10
10
10
1001 01 01 01
00 00 00 00
10 10 10 10
11 11 11 11
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Constelaciones QAM en cruz
r rr rr rr
r Im{A[n]}
Re{A[n]}
r r r rr r r rr r r rr r r rr r r rr r r r
rrrrrrrr
Im{A[n]}
Re{A[n]}
q q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
Im{A[n]}
Re{A[n]}
Constelaciones 8-QAM, 32-QAM y 128-QAM
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Otras constelaciones
ssss
ss ss
Im{A[n]}
Re{A[n]}
s s s s s ss s s s s ss s s s s s
s s s s s
s s s s s
s s
s sIm{A[n]}
Re{A[n]}
Constelaciones 1-7-AM-PM y 32-hexagonal
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Caso especial PSK: Modulacion por cambio defase
Sımbolos en PSKA[n] =
√Es · ejϕ[n]
I Modulo constanteI Informacion en la fase
Forma de onda de una PSK
x(t) =√
2EsRe
{∑n
g(t − nT ) · ej(ωc t+ϕ[n])
}=√
2Es∑
n
g(t − nT ) cos(ωc t + ϕ[n])
I Saltos de fase
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Constelaciones PSK
rrIm{A[n]}
Re{A[n]}
rrrr
Im{A[n]}
Re{A[n]}
r rrrrr
rr
Im{A[n]}
Re{A[n]}
Constelaciones 2-PSK (BPSK), 4-PSK (QPSK), 8-PSK
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Codificacion Gray PSK
u uuuuu
uu 000
001
010
011
100
101
110
111
A1
A0
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Modulacion QPSK
0 1 2 3 4 5 6-1
0
1 . ........................................................................................................... .
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. ...........................................................................................................
t/T
s I(t)
0 1 2 3 4 5 6-1
0
1 . ........................................................................................................... .
................
................
................
................
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................
...........
. ...................................................................................................................................................................................................................... .
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. ...................................................................................................................................................................................................................... .
................
................
................
................
................
................
...........
. ...........................................................................................................t/T
s Q(t)
0 1 2 3 4 5 6-2
0
2 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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t/T
x(t)
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 18 / 36
2.5.1. Espectro de una PAM paso banda
Para garantizar la cicloestacionariedad de la senal x(t):
E {A[n + k ] · A[n]} = 0, para todo n, k , k 6= 0 (simbolos blancos)
I Modulacion QAMF Los sımbolos A0[n] y A1[n] son mutuamente independientes.F Las funciones de autocorrelacion de A0[n] y de A1[n] son iguales
(una delta).I Modulacion PSK
F Las muestras de ϕ[n] son mutuamente independientes.
Densidad espectral de potencia
Sx(jω) =12[Ss(jω − jωc) + S∗s (−jω − jωc)]
Ss(jω) =1Ts· SA
(ejωTs
)· |G(jω)|2
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Espectro de una PAM paso banda (II)
Para secuencias blancas: SA(ejω)= Es
Ss(jω) =Es
Ts· |G(jω)|2
Es el pulso conformador el que da forma al espectro
Sx(jω) =12
[|G(jω − jωc)|2 + |G(jω + jωc)|2
]
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Potencia transmitida
La potencia media transmitida es
P =1
2π
∫ ∞−∞
Sx(jω)dω
Si la secuencia A[n] es blanca
SA
(ejω)= Es
I Potencia para una secuencia blanca
P =EsTs· 1
2π
∫ ∞−∞|G(jω)|2 dω =
Es
Ts· E{g(t)}
F Si el filtro esta normalizado
P =Es
Ts= EsRs
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2.5.2. Receptores PAM paso banda
-� ����@@6√
2e−jωc t
y(t)- f (t) ��
?t = nT
-q[n]
DECISOR -A[n]
-y(t)
-� ����@@6√
2 cos(ωc t)
-� ����@@6
−√
2 sen(ωc t)
- f (t)
- f (t)
��
��
?
-Re{q[n]}
-Im{q[n]}
DECISOR -A[n]
t = nT
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 22 / 36
Demodulador alternativo equivalente
Senal a la entrada del muestreador
q(t) =(
y(t) · e−jωc t)∗(√
2 · f (t))
Expresion de la convolucion
q(t) =√
2∫ ∞−∞
f (τ) · y(t − τ) · ejωcτ · e−jωc t dτ
Reordenando terminos
q(t) = e−jωc t ·∫ ∞−∞
√2 · f (τ) · ejωcτ · y(t − τ) dτ
q(t) = e−jωc t ·(
y(t) ∗(√
2 · f (t) · ejωc t))
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 23 / 36
Demodulador PAM paso banda equivalente
-y(t)
f (t)ejωc t -� ����@@6√
2e−jωc t
��
?t = nT
-q[n]
DECISOR -A[n]
-y(t)
- Re{
f (t)ejωc t}
- Im{
f (t)ejωc t}-� ����@@6√
2 sen(ωc t)
-� ����@@?-� ����@@6
-� ����@@?−√
2 sen(ωc t)
√2 cos(ωc t)
-� ��6
-� ��?
-Im{q(t)}
-Re{q(t)}
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 24 / 36
2.5.3. Caracterısticas de ruido en el receptor
-n(t) √
2f (t)ejωc t -������@@6
e−jωc t
��
?t = nT
`(t) z(t)-
z[n]
Filtro receptor:
fc(t) =√
2 · f (t) · ejωc t , Fc(jω) =√
2 · F (jω − jωc)
Espectro S`(jω):
S`(jω) = 2 · Sn(jω) · |F (jω − jωc)|2
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Ruido discreto z[n] en el receptor
Si se cumple que:1 f (t) es real2 f (t) ∗ f ∗(−t) cumple el criterio de Nyquist. P(jω) = |F (jω)|2
1Ts
∞∑k=−∞
P(
jω − j2πkTs
)= 1
3 n(t) es AWGN
Entonces:I Rz [k ] = δ[k ], i.e, z[n1] es independiente de z[n2] si n1 6= n2.I Re{z[n]} es independiente de Im{z[n]}
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 26 / 36
Varianza y distribucion de z[n]
La varianza del ruido complejo discreto es
σ2z =
12π
∫ π
−πSz
(ejω)
dω
Si el ruido n(t) es blanco, con Sn(jω) = N0/2 W/Hz, y si f (t) satisface elcriterio de Nyquist
σ2z = N0
Si el ruido es circularmente simetrico
I La parte real (I) e imaginaria (Q) son independientes y convarianza σ2
I = σ2Q = N0/2
I La funcion densidad de probabilidad de este ruido es
fZ (z) =1πN0
e−|z|2N0
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 27 / 36
2.5.4. Canal discreto equivalente PB→ BB
Canal equivalente en banda base, heq(t)
heq(t) = e−jωc t · h(t)↔ Heq(jω) = H(jω + jωc)
Senal a la salida del filtro adaptado como en banda base:
q(t) =∑
n
A[n] · p(t − nTs) + z(t)
I p(t) = g(t) ∗ heq(t) ∗ f (t)
Canal discreto equivalente: p[n] = p(t)∣∣t=nTs
= p(nTs)
P(
ejω)=
1Ts
∑k
P(
jω
Ts− j
2πkTs
)=
1Ts
∑k
G(
jω
Ts− j
2πkTs
)· Heq
(jω
Ts− j
2πkTs
)· F(
jω
Ts− j
2πkTs
)
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 28 / 36
Canal complejo equivalente en BB
-A[n]g(t)
T
- f (t)- h6√2ejωc t
s(t).
..................
................. -x(t)
h(t) - h6n(t)
- h6√
2e−jωc t
y(t).
..................
................. -r(t)
?
t = nT
q(t) -q[n].
..................................
SS(jω)
−ωc +ωc−W2 +W
2
SX (jω) (notacion compleja)
−ωc +ωc−W2 +W
2
|H(jω)|
−ωc +ωc
W
SR(jω) SS(jω)× |Heq(jω)|2
−ωc +ωc−W2 +W
2
|F (jω)|2
−ωc +ωc−W2 +W
2Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 29 / 36
Canal complejo equivalente en BB (II)
-A[n]
g(t)
T
- f (t)- i6√
2ejωc t
s(t).
......................
..................... -
x(t)h(t) - i
6n(t)
- i6
√2e−jωc t
y(t).
......................
..................... -
r(t)
?
t = nT
q(t)-
q[n].
.........................................
|H(jω)|
−ωc +ωc
W
-A[n]
g(t)
T
-s(t)
heq(t) - i6
neq(t)
-r(t)
f (t)?
t = nT
q(t)-
q[n].
.........................................
|Heq(jω)| = |H(jω + jωc)|
−ωc +ωcW
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 30 / 36
Canal discreto equivalente PB→ BB
-A[n]
p[n] - j6
z[n]
-q[n]
El canal discreto equivalente es el mismo en BB que en PB.I Sımbolos A[n]I Canal discreto equivalente p[n]I Ruido discreto z[n]
Observacion: en BB todo es real y en PB es complejo.De nuevo, si no hay ISI (se cumple el criterio de Nyquist):
q[n] = A[n] + z[n]Y al ser independientes la parte Real y la Imaginaria:
qI [n] = AI [n] + zI [n] y qQ[n] = AQ[n] + zQ[n]
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 31 / 36
Diagrama de Dispersion
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Re{q([n])}
Im{q
([n])}
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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q qRe{q([n])}
Im{q
([n])}
p[n] = δ[n] p[n] = δ[n]− 0,25δ[n − 1]Cumple Nyquist: ¡No ISI! Cada sımbolo se mezcla con el anterior: ISI
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 32 / 36
Revision - Producto con una sinusoide
Multiplicar por una sinusoide de frecuencia ωc genera, espectralmente, dos replicas delespectro de la senal, desplazadas ±ωc
x(t) = m(t)× cos(ωc t) TF↔ X(jω) =12
M(jω − jωc) +12
M(jω + jωc)
Densidad espectral de potencia: SX (jω) =14
SM(jω − jωc) +14
SM(jω + jωc)
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.................................... ............
........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............... ....... .........
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...
............................................................ ................................ ..........................................................
ω
AM
6 6
−ωc +ωc ω
............................................................ ................................ .......................................................... ..........................
.................................. ................................ ..........................................................
−ωc +ωc ω
AM2
- h6
c(t) = cos(ωc t)
m(t).
..................
................. -x(t)
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 33 / 36
Analisis modulacion / demodulacion
Digrama de bloques de transmisor y receptor
-AI [n]
g(t)
-AQ [n]
g(t)
-� ����@@?√
2 cos(ωc t)
sI(t)
-� ����@@6
√2 sin(ωc t)
sQ(t) � ��-x(t)
6
?+
−-
y(t)-� ����@@?√
2 cos(ωc t)
-� ����@@6
−√
2 sin(ωc t)
- f (t)
- f (t)
��
��
?
-qI [n]
-qQ [n]
t = nT
Transmisor: modula dos senales en banda base con portadorasortogonalesReceptor: demodula cada componente y filtra con f (t)
I El filtro receptor f (t) tiene una caracterıstica banda base (paso bajo)I Configuracion tıpica: filtro en raız de coseno alzado
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Analisis modulacion / demodulacion (II)
La senal recibida sin distorsion (senal modulada) tiene la forma
y(t) = A cos(ωc t) + B sin(ωc t)
En el receptor, la senal se procesa dividiendola en dos componentes
yA(t) = [A cos(ωc t) + B sin(ωc t)]× cos(ωc t)
yB(t) = [A cos(ωc t) + B sin(ωc t)]× sin(ωc t)Identidades trigonometricas y eliminacion (filtrado) de terminos paso banda
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ω0 +ωc +2ωc−ωc−2ωc
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.................................... ..................................... ..............................................................
X cos(ωc t) cos(ωc t) =X2︸︷︷︸
Deseado
+X2
cos(2ωc t)︸ ︷︷ ︸Paso banda en 2ωc
X sin(ωc t) sin(ωc t) =X2︸︷︷︸
Deseado
−X2
cos(2ωc t)︸ ︷︷ ︸Paso banda en 2ωc
X sin(ωc t) cos(ωc t) =X2
sin(2ωc t)︸ ︷︷ ︸Paso banda en 2ωc
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Distintas fases o frecuencias
Portadoras con misma frecuencia y desfase de 20o
Portadoras con misma frecuencia y desfase de 45o
Portadoras con frecuencias distintas: desfase “variable”
Grado en Ingenierıa Telematica Sistemas de Telecomunicacion Modulaciones Lıneales 36 / 36
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