cociente incremental

Objetivos

Que el alumno sea capaz de:

Construir el concepto de derivada de una función

en un punto a partir de un enfoque físico.

Reconocer algunas aplicaciones que tiene la

derivada.

Adquirir niveles de expresión claros y formales.

Contenidos Velocidad media

Cociente incremental

Pendiente de una recta secante

Velocidad en un instante

Pendiente de la recta tangente

Derivada de una función

Contenidos Previos

Función lineal y función cuadrática. Representación gráfica y análisis de las mismas

Pendiente de una recta

Razones trigonométricas

Velocidad

MRU y MRUV

Limite, concepto

Manejo de la planilla de cálculo de Excel

Destinatarios

Alumnos de sexto año del nivel secundario de la

provincia de Buenos Aires

Cociente incremental

Situación problemática Dos automovilistas partieron de Buenos Aires y llegaron a Mar del Plata

al mismo tiempo. Los siguientes gráficos representan la distancia recorrida en cada instante por cada uno de los móviles:

Para pensar...

¿Por qué los dos gráficos son diferentes si tardaron lo mismo en llegar a Mar del Plata?

Varía la velocidad

Varía la distancia

Analicemos con detalle cada de las funciones…

Para el móvil que se desplaza con MRU, la velocidad del mismo coincide con la pendiente de la recta, la cual llamaremos velocidad media:

Velocidad media = Δy/Δx

A partir de ahora …A la velocidad media de un móvil la

denominaremos cociente incremental:

Δy/Δx = Cociente incremental

Este cociente nos indica el incrementode la variable Y con respecto a X.

En el caso del móvil que viaja con MRU:

El cociente incremental, ¿qué nos indica?

La variación del espacio con

respecto al tiempo

Cómo varía la velocidad con

respecto al tiempo

¿Cómo determinamos el cociente incremental dados dos puntos cualesquiera de una función?

Entre los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)) de una función cualquiera, el cociente incremental es:

Otro

Interpretación geométrica del cociente incremental:

La variación promedio o cociente incremental de una función:

¿Tiene alguna relación con el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas?

¿Cuál será esa relación?

Analicemos una función lineal cualquiera…

A partir de la función: Quedando así:

Tomamos dos puntos cualesquiera de la recta:

(x0, y0) y (x1, y1)

Construimos un triángulo rectángulo, de tal manera que los catetos del mismo coincidan con los incrementos y de los puntos elegidos y la hipotenusa coincida con la recta dibujada.

Teniendo presentes las razones trigonométricas:

Entonces…

El cociente incremental o pendiente es igual a:

Trabajemos con el gráfico que modeliza la situación del automovilista que se desplaza con MRU

Si queremos determinar la amplitud del ángulo sombreado, ¿cuál será?

Para ir cerrando …

A partir de una situación problemática definimos el cociente incremental como la velocidad media de un móvil.

Y por último vimos que la pendiente de la recta desde el punto de vista geométrico lo podemos vincular con la tangente del ángulo.

Pero todavía nos falta mucho por recorrer en esta aventura…