clase cumpen master

UNIDAD 2

ÁLGEBRA“RELACIONES BINARIAS”

Lic. Jesús Cumpen Ballena

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLOGICO PRIVADO

OBJETIVOS:

• Destacar la importancia de las relaciones

• Definir las Relaciones entre conjuntos y variables.

• Identificar el Dominio y Rango de una Relación.

DEFINICIÓN PREVIA: PRODUCTO

CARTESIANO

El producto cartesiano del conjunto A en el conjunto B

está definido por:

Ejemplo:

A = {3, 6, 9}

B = {2, 4}

AxB = {(3,2); (3,4); (6,2); (6,4); (9,2); (9,4)}

1era Componente

2da Componente

ByAxyxBA /,

DIAGRAMA DE FLECHAS • Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

• Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

DIAGRAMA CARTESIANO

• Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

DIAGRAMA MATRICIAL

• Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

DIAGRAMA DE ÁRBOL

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

Ejemplo 01: Hallar AxB y su diagramas Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }

Ejemplo 02: Hallar AxB y su diagramas

sea: A ={1; 2; 3} B ={a ;b

RECESO

RELACIÓN

R es una relación de A en B, si y sólo si R está incluido en AxB. ( R ⊂ AxB)

194/,1 yxNNyxR

1,15;2,11;3,7;4,31 R

Ejemplos:

25/, 22

2 yxZZyxR

3,4;3,4;3,4;3,4;4,3;4,3;4,3;4,3;0,5;0,5;5,0;5,02 R

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

Dominio:

El Dom(R) es el conjunto

formado por las primeras

componentes de la relación.

Rango:

El Ran(R) es el conjunto

formado por las segundas

componentes de la relación.

Ejemplo:

R = {(3,4); (7,3); (11,2); (15,1)}

Dom(R) = {3, 7, 11, 15} y Ran(R) = {1, 2, 3, 4}

EJERCICIOS

Hallar el dominio y rango en las siguientes relaciones, definidas en RxR (R2):

135- )4

)3

2

23 )2

732 )1

xy

xy

x

xy

yx

2

12 )6

1 )5 2

x

xy

yx

Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto

• Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación

• Propiedad reflexiva

• Propiedad simétrica

• Propiedad asimétrica

• Propiedad antisimétrica

• Propiedad transitiva

Propiedad reflexiva

• La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo

R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R

Propiedad simétrica• La propiedad simétrica dice que si un elemento está

relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero

R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también

pertenece a R

Propiedad asimétrica• Una relación es asimétrica si ningún par

ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

Propiedad antisimétrica• Una relación es

antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

Propiedad transitiva

• La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.

R es transitiva si

x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R

EJEMPLOS

REFLEXIVA :

Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:

R ={(a;b) AxA/a=b}={(1;1),(2;2),(3;3)}

SIMETRICA

Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:

R ={(a;b) AxA/ a+b=4}={(1;3),(2;2),(3;1)}

Donde se observa que:

1 está relacionado con 3 y 3 esta relacionado con 1.

2 está relacionado con 2 y 2 esta relacionado con 2.

TRANSITIVO

Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:

R ={(a;b) AxA/ a<b}={(1;2),(1;3),(2;3)} Donde se observa que : 1 R 2 y 2 R 3, entonces 1 R 3

EJERCICIOS

01. Hallar el valor de m y n para que la relación:

R = { (2 , a), (m , 3b), (n , 6), (a , b +1) }

sea una relación simétrica, e indicar (m + n)

02. Sea R, una relación en A = {1, 2, 3, 4}, tal que:

R1 = { (1,2), (3,4), (4,3), (2,1), (3,3) }

R2 = { (x,y)/x > y }

R3 = { (x,y)/x + y = 4}

R4 = { (x,y)/x múltiplo de y}

R5 = { (x,y)/y = 2x}

R6 = { (x,y)/x + y = par}

Indicar cuáles son reflexiva, simétrica y transitiva.

03. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y R una relación en A determinada

mediante la regla: R = { (x,y) / y = 3 }

Determinar R por extensión.

04. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y sea R una relación definida en A por

R = { (x,y) / x + y = 8. Hallar n(R)

SECRETARIADO EJECUTIVOCOMPUTACION E INFORMATICA

GRACIAS POR SU ATENCION