clase cumpen master
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UNIDAD 2
ÁLGEBRA“RELACIONES BINARIAS”
Lic. Jesús Cumpen Ballena
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLOGICO PRIVADO
OBJETIVOS:
• Destacar la importancia de las relaciones
• Definir las Relaciones entre conjuntos y variables.
• Identificar el Dominio y Rango de una Relación.
DEFINICIÓN PREVIA: PRODUCTO
CARTESIANO
El producto cartesiano del conjunto A en el conjunto B
está definido por:
Ejemplo:
A = {3, 6, 9}
B = {2, 4}
AxB = {(3,2); (3,4); (6,2); (6,4); (9,2); (9,4)}
1era Componente
2da Componente
ByAxyxBA /,
DIAGRAMA DE FLECHAS • Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
• Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
DIAGRAMA CARTESIANO
• Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
DIAGRAMA MATRICIAL
• Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
DIAGRAMA DE ÁRBOL
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
Ejemplo 01: Hallar AxB y su diagramas Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
Ejemplo 02: Hallar AxB y su diagramas
sea: A ={1; 2; 3} B ={a ;b
RECESO
RELACIÓN
R es una relación de A en B, si y sólo si R está incluido en AxB. ( R ⊂ AxB)
194/,1 yxNNyxR
1,15;2,11;3,7;4,31 R
Ejemplos:
25/, 22
2 yxZZyxR
3,4;3,4;3,4;3,4;4,3;4,3;4,3;4,3;0,5;0,5;5,0;5,02 R
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dominio:
El Dom(R) es el conjunto
formado por las primeras
componentes de la relación.
Rango:
El Ran(R) es el conjunto
formado por las segundas
componentes de la relación.
Ejemplo:
R = {(3,4); (7,3); (11,2); (15,1)}
Dom(R) = {3, 7, 11, 15} y Ran(R) = {1, 2, 3, 4}
EJERCICIOS
Hallar el dominio y rango en las siguientes relaciones, definidas en RxR (R2):
135- )4
)3
2
23 )2
732 )1
xy
xy
x
xy
yx
2
12 )6
1 )5 2
x
xy
yx
Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto
• Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación
• Propiedad reflexiva
• Propiedad simétrica
• Propiedad asimétrica
• Propiedad antisimétrica
• Propiedad transitiva
Propiedad reflexiva
• La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
Propiedad simétrica• La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también
pertenece a R
Propiedad asimétrica• Una relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.
Propiedad antisimétrica• Una relación es
antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.
Propiedad transitiva
• La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.
R es transitiva si
x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R
EJEMPLOS
REFLEXIVA :
Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:
R ={(a;b) AxA/a=b}={(1;1),(2;2),(3;3)}
SIMETRICA
Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:
R ={(a;b) AxA/ a+b=4}={(1;3),(2;2),(3;1)}
Donde se observa que:
1 está relacionado con 3 y 3 esta relacionado con 1.
2 está relacionado con 2 y 2 esta relacionado con 2.
TRANSITIVO
Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:
R ={(a;b) AxA/ a<b}={(1;2),(1;3),(2;3)} Donde se observa que : 1 R 2 y 2 R 3, entonces 1 R 3
EJERCICIOS
01. Hallar el valor de m y n para que la relación:
R = { (2 , a), (m , 3b), (n , 6), (a , b +1) }
sea una relación simétrica, e indicar (m + n)
02. Sea R, una relación en A = {1, 2, 3, 4}, tal que:
R1 = { (1,2), (3,4), (4,3), (2,1), (3,3) }
R2 = { (x,y)/x > y }
R3 = { (x,y)/x + y = 4}
R4 = { (x,y)/x múltiplo de y}
R5 = { (x,y)/y = 2x}
R6 = { (x,y)/x + y = par}
Indicar cuáles son reflexiva, simétrica y transitiva.
03. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y R una relación en A determinada
mediante la regla: R = { (x,y) / y = 3 }
Determinar R por extensión.
04. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y sea R una relación definida en A por
R = { (x,y) / x + y = 8. Hallar n(R)
SECRETARIADO EJECUTIVOCOMPUTACION E INFORMATICA
GRACIAS POR SU ATENCION