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1 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
CÁTEDRA : ANALISIS MATEMATICO II
CATEDRÁTICO : LIC.ORTEGA VARGAS, Jorge Luis
INTEGRANTES : TORIBIO FERNANDEZ, Queny Rudy
ROMERO TAIPE, Richar Elvis SEDANO RODRIGUEZ, marcos
CICLO : II
HVCA – 2015
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL
INTEGRALES POR PARTES
TEMA
2 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Con cariño y afecto a nuestros padres
Y hermanos, por su apoyo moral e
Incondicional, para que día a día
Logremos nuestras metas y propósitos.
INDICE
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
3 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
PRESENTACION……………………………………………………………………………4
INTRODUCCION……………………………………………………………………………5
MARCO TEORICO………………………………………………………………………….6
MARCO CONCEPTUAL…………………………………………………………………..10
EJERCICIOS DE NIVEL BASICO……………………………………………………..12
EJERCICIOS DE NIVEL INTERMEDIO………………………………………………21
EJERCICIOS DE NIVEL AVANZADO………………………………………………….36
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………46
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
4 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
PRESENTACION
En los momentos difíciles que atraviesa la sociedad peruana, a consecuencia de la
estructuración del sistema a nivel de nuestro país y aun nivel mundial, presentamos a
continuación el trabajo sobre integración por partes, con la finalidad de contribuir en los
jóvenes estudiantes de nuestra región, al conocimiento sobre el tema designado.
En el presente trabajo enfocamos los contenidos en forma específica sobre los “integrales por
partes “que en esta oportunidad nos tocó realizar.
Queremos agradecer a todos mis compañeros que hicieron posible para hacer realidad el
trabajo que nos designó el profesor del curso y por otro lado esperamos que este trabajo
coadyuve a elevar el nivel cultural de todo los estudiantes , para quienes va dedicado todo
nuestro esfuerzo.
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
5 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
INTRODUCCION
El presente trabajo de “integrales por partes “está dedicado a los estudiantes universitarios
que inicias sus estudios en la Universidad Nacional de Huancavelica en especial para los
estudiantes de ciencias e ingeniería.
En este trabajo trataremos de solucionar las integrales por partes por diferentes métodos de
acuerdo a algunos autores que nosotros optamos para realizar este trabajo.
Presentamos los diferentes métodos de integración por partes con la finalidad de facilitar
él estudió a los alumnos .El objetivo de este trabajo es exponer algunos métodos , su
importancia y aplicaciones .
Calcularemos integrales por partes, para ello aplicaremos diferentes temas como por
ejemplo, las derivadas de funciones, funciones reales, recta tangente, límites y continuidad
de una función etc. La parte teórica y práctica se desarrolla de una manera muy metódica.
Por ultimo deseamos agradecer y expresar nuestro apreció a las personas que hicieron sus
valiosas comentarios y sugerencias para la realidad este trabajo.
MARCO TEORICO
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
6 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
INTEGRACION POR PARTES:
Lázaro, M. (2008). “Calculo integral y sus aplicaciones”. Segunda edición Editorial
Moshera.)
Según moisés lázaro indica que la integración por partes se aplica cuando en el integrando se
encuentra el producto de dos funciones que pueden ser:
Polinomios por arcos, polinomios por logaritmos, polinomios por senos, polinomios por
cosenos, polinomios por exponencial, senos por exponencial, cosenos por exponencial, secu3
,csc3.
Debemos tener en cuenta lo siguiente.
La función (dv) debe ser aquella que se puede
integrar inmediatamente.
Tener cuidado que un solo ejercicio a veces, se tiene
que integrar por partes más de una vez, o puede resultar una integrar circular.(pg. 49)
∫udv=uv−∫ vdu
Dónde generalizando.
u(x) y v(x) son funciones reales.
Espinoza E. (2010).”Análisis matemático II “.Quinta edición Editorial eduq Perú.),
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7 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x.
Para diferenciar un producto de dos funciones.
d (uv )=udv+vdu , Lo que es equivalente.
U (dv)=d (uv) – vdu , integrando ambos miembros se tiene. (pg.101)
∫udv=uv−∫ vdu
La fórmula para la integración por partes.
Piskunov N. (1977). “Calculo diferencial e integral tomo I “ Tercera edición, Editorial
Mir Moscú)
Si u y v son dos funciones derivables de x, entonces como sabemos la diferencial del
producto uv es.
d (uv )=udv+udu
Integrando:
∫ d (uv )=∫udv+∫ vdu
uv=∫udv+∫ vdu
∫udv=uv−∫ vdu
Esta es la fórmula de integración por partes la expresión que pueden ser representadas en
forma de un producto de dos factores, u y dv, de tal manera que la búsqueda de la función v, a
partir de su diferencial dv, y el cálculo de la integración ∫udv, constituyan en conjunto un
problema más simple que el cálculo directo de la integral ∫udv .(Pg.385)
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
8 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Mitacc M. (2009). “Tópicos de cálculo volumen 2 “Tercera edición, Editorial Thales,
S.R.L.)
Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo I. Por la regla de la
diferencial del producto, se tiene.
∫ d (uv )=∫udv+∫ vdv
uv=∫udv+∫ vdv
∫udv=uv−∫ vdu
Esta fórmula es conocida como fórmula de integración por partes.
OBSERVACION:
La idea básica de la integración por partes consiste en calcular la integración original
mediante el cálculo de otra integral la cual se espera que sea más simple de resolver que la
integral original dada.
Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv normalmente se elige
como la función (u) aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y dv
será el factor restante del elementó de integración.
Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv , no es necesario
considerar la constante de integración , pues si en lugar de v se considera v +c , c constante
entonces .(pg. . 20)
∫udv=u (v+c )−∫ ( v+c ) du
∫udv=uv−∫ vdu
Esto significa que la constante c, considerada no figura en el resultado final.
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9 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Marilla.D. “Cálculo de funciones, limites, derivadas e integral “ Sexta edición, revista)
Sea f(x) o g(x) funciones derivables no intervalo. Tenemos:
[ f ( x ) . g (x)]‘= f(x).g‘(x) +g(x).f ‘(x)
O
F(x).g‘ ( x )=[ f ( x ) . g (x) ]‘- g(x).f ‘(x)
Integrando ambos lados obtenemos:
∫ f ( x ) . g‘ ( x ) . d ( x )=∫ [ f ( x ) . g(x )]‘d(x) -∫ g ( x ) . f ‘ ( x )d (x )
O
∫ f ( x ) . g‘ ( x )d ( x )= f (x ) . g ( x )−∫ g ( x ) . f ‘ ( x )d(x )
Observamos que expresando (I) decimos que escribir la constante de integral que puede ser
representado con una constante “C” que introducimos al final.
U= f(x) → du = f ‘ ( x )dx e v = g(x) →dv = g‘ ( x )dx
Sustituyendo en (I). (Pg252).
∫udv=uv−∫ vdu
Esta es la fórmula de la integración por partes
MARCO CONCEPTUAL
LA DERIVADA: Es la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en
verde
RECTA TANGENTE:
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10 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
RECTA NORMAL: Se llama normal a una recta perpendicular a otra, en especial a
una tangente por su punto de tangencia.
INTEGRALES: Es la anti derivada de una función son operadores inversas
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11 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
INTEGRACION POR PARTES: Es cuando la función que se desea integrar es igual al
producto de dos funciones
EJERCICIOS DENIVEL BASICO
1. ∫ (x2+3 x−1)e2 xdx
Solución:
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12 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Escogemos
{u=(x2+3 x−1)→du=(2x+3)dx
dv=e2x→v=12e2x }
Luego obtenemos
∫(x2+3 x−1)e2 xdx=uv−∫ vdu
∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12
(x2+3 x−1 )e2x−∫ 12e2x (2 x+3 )dx
∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12
(x2+3 x−1 )e2x−∫e2x (x+32 )dx
Ahora integramos para llegar a más simple posible.
∫ e2 x(x+ 32 )dx…………………………………………… ..(a)
[ u=x+ 32→du=dx
dv=e2x dx→v=12e2 x]
Por lo tanto.
∫ e2 x(x+ 32 )dx=1
2e2x (x+ 3
2 )−∫ 12e2x dx
∫ e2 x(x+ 32 )dx=1
2e2x (x+ 3
2 )−12∫e2x dx
∫ e2 x(x+ 32 )dx=1
2e2x (x+ 3
2 )−14e2x+c
Finalmente queda:
∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12
(x2+3 x−1 )e2x−[12e2x (x+ 3
2 )−14e2x+c ]
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13 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12
(x2+3 x−1 )e2x−1e2 x . (2 x+3 )4
− e2 x
4+c
2. ∫ x2 lnxdx=uv−∫ vdu
Solución:
[u=lnx→du=dxx
dv=x2→v= x3
3 ]∫ x2 lnxdx=lnx . x
3
3−∫ x3
3. dxx
∫ x2 lnxdx=lnx . x3
3−1
3∫ x2dx
∫ x2 lnxdx=lnx . x3
3−1
3⌊ x
3
3⌋+c
∫ x2 lnxdx=lnx . x3
3− x3
9+c
∫ x2 lnxdx= x3
9(3lnx−1 )+c
3. ∫ x sec2 xdx
Solución:
⌊ u=x→du=dxdv=sec2 xdx→v=tanx
⌋ Ahora aplicamos integrales por partes.
∫ x sec2 xdx=uv−∫ vdu
∫ x sec2 xdx=x . tanx−∫ tanx .dx
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14 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ x sec2 xdx=x . tanx−ln|secx|+c
4. ∫ arcsen (2 x ) dx
Solución:
Primero hacemos cambio de variable
y=arcsen (2x )→dy= 2x√1−4 x2
seny=2 x→ seny2
=x ahoraderivamos.
dx=12cosydy
Ahora graficamos en la figura.
1 2x
√1−4 x2
∫ y . 12cosydy
Ahora recién integramos por partes
[ u= y→du=dydv=cosydv→v=seny ]
12∫ y .cosy dy=uv−∫ vdu
12∫ y .cosy dy= yseny−∫ seny .dy
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Y
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12∫ y .cosy dy=1
2 |− y . seny−∫ senydy|
12∫ y .cosy dy=1
2|y . seny+cosy+c|
12∫ y .cosy dy=1
2|arcsen (2x ) .2x+√1−4 x2+c|
∫ y . cosy dy=|x . arcsen (2x ) .+ √1−4 x2
2+c|
5. ∫ lnxx3 dx
Solución:
⌈u=lnx…→du=dx
x
dv=x−3dx→v= x−2
−2
⌉
Ahora aplicamos la integral por partes
∫ lnxx3 dx=uv−∫v .du
∫ lnxx3 dx=−1
2lnx . x−2−∫−1
2x−2 . dx
x
∫ lnxx3 dx=¿−1
2lnx . x−2+1
2∫ x−3dx
∫ lnxx3 dx=−1
2lnx . x−2− 1
4x−2+c
∫ lnxx3 dx= lnx
2 x2−1
4 x2 +c
∫ lnxx3 dx= lnx
2 x2−1
2¿¿
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16 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ lnxx3 dx=( 1
2 x2 )( lnx− 12 )+c
∫ lnxx3 dx=( 1
2 x2 )(2 lnx−12 )+c
∫ lnxx3 dx=−1+2 lnx
4 x2 +c
6. ∫cos ( lnx )dx
Integremos por partes poniendo:
(u=cos (lnx )dx→du=−sen . lnx . 1xdx
dv=dx→v=x )
∫cos (lnx )dx=uv−∫ v .du
∫cos ( lnx )dx=cos ( lnx ) . x−∫−x . 1xsen . lnx . dx
∫cos ( lnx ) dx=xcos (lnx )+∫ sen (lnx ) dx ahorasiguimos integrando
∫ sen ( lnx ) dx ahora siguimos integrando…………………….(1)
[u=sen (lnx )→du=cos (lnx ) 1xdx
dv=dx→v=x ]∫ sen ( lnx )dx=uv−∫ vdu
∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−∫ x . 1x.cos (lnx )dx
∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−∫ cos ( lnx )dx
Finalmente llegamos al mismo integral entonces reemplazamos.
∫cos (lnx )dx=cos (lnx ) . x+∫ en .lnx . dx
∫cos ( lnx )dx=cos ( lnx ) . x+( sen ( lnx ) . x−∫cos (lnx )dx)
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17 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
2∫ cos (lnx )dx=cos (lnx ) . x+sen (lnx ) . x
∫cos ( lnx )dx= x2¿
7.∫ sen (lnx )dx
Solución:
[u=sen ( lnx )→du=cos (lnx ) dxx
dv=dx→v=x ]∫ sen ( lnx )dx=uv−∫ vdu
∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−∫ x . 1x
cos (lnx )dx
∫ sen ( lnx )dx=x . sen ( lnx )−∫ cos ( lnx )dx… ..ahora integramos a :
∫cos (lnx )dx… ..ahora integramos a :……………………(1)
[u=cos ( lnx )→du=−sen ( lnx ) 1xdx
dv=dx→v=x ]∫cos ( lnx )dx=u . v−∫ vdu
∫cos (lnx )dx=cos (lnx ) . x−∫−x . 1xsen (lnx )dx
∫cos ( lnx ) dx=cos ( lnx ) . x+∫ sen ( lnx )dx
Finalmente queda así:
∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−(cos ( lnx ) . x+∫ sen (lnx )dx )
∫ sen (lnx )dx=sen ( lnx ) . x− x . cos ( lnx )−∫ sen ( lnx )dx+c
2∫ sen (lnx )dx=¿x . sen (lnx )−x . cos (lnx )+c¿
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18 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ sen ( lnx )dx= x2
¿
8.∫(arcsen2¿x ). dx ejercicio propuesto N10¿
Solución: primero haciendo cambio de variable.
( y=arcsenx→ x=seny→dx=cosy .dy )
∫(arcsen2¿x ). dx=∫ y2 . cosy .dy ¿
∫ y2 . cosy .dy=u . v−∫ v .du
[ u= y2→du=2 y .dydv=cosydy→v=seny ]∫ y2 . cosy . dy= y2 . seny−2∫ seny. ydy
Integramos el siguiente para simplificar:
∫ seny . ydy
[ u= y→du=dydv=senydy→v=−cosy ]∫ seny . ydy=− y .cosy−∫−cosy .dy
∫ seny . ydy=− y .cosy+∫ cosy .dy
Finalmente queda:
∫ y2 . cosy . dy= y2 . seny−2∫ seny. ydy
∫ y2 . cosy .dy= y2 . seny−2 [− y . cosy+∫cosydy ]
∫ y2 . cosy .dy= y2 . seny+2 y . cosy−2 seny+k
Reemplazamos integral principal
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ y2 . cosy .dy=x .¿
∫ ln (lnx)x
dx=lnx ¿
19 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
9. ∫ ln (lnx)x
dx ejercicio propuesto N11
Solución:
Haciendo cambio de variable
¿Ahora reemplazamos.
∫ ln (lnx )x
dx=∫ ln ( p )dp Ahora recién aplicamos la integral por partes.
∫ ln (p )dp………………………[u=ln (p )→du=dpp
dv=dp→v=p ]∫ ln (p )dp=u . v−∫ vdu
∫ ln (p )dp=ln ( p ) . p−∫ p . dpp
∫ ln (p )dp=p . ln (p )−∫dp
∫ ln (p )dp=p . ln (p )−p+k
Finalmente reemplazamos:
10. ∫ x .arctx . dx
Solución:
[u=arctanx . dx→du= dx1+x2
dv=xdx→v= x2
2 ]∫ x .arctx . dx=uv−∫ v . du
∫ x .arctx . dx=arctanx . x2
2−∫ x2
2. dx1+x2
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ x .arctx .dx=arctanx .( x2+12
¿)−12x+k ¿
20 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ x .arctx . dx=arctanx . x2
2−1
2∫ . x2 dx1+x2 ahora dividimos
x2
1+x2 =1− 11+ x2
∫ x .arctx . dx=arctanx . x2
2−1
2∫ .(1− 11+x2 )dx
∫ x .arctx . dx=arctanx . x2
2−1
2∫ . dx+ 12∫
dx1+x2
∫ x .arctx . dx=arctanx . x2
2−1
2x+ 1
2arctanx+k
Factor izando queda así:
INTEGRALES NIVEL INTERMEDIO
1. ∫ (eax¿. cosbx )dx ejemplo29 resuelto de la pagina21¿
Solución:
[ u=eax→du=a .eax dx
dv=cosbx .dx→v= senbxb ]
∫(eax¿. cosbx )dx=u . v−∫ v .du¿
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
21 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫(eax¿. cosbx)dx=eax . senbxb
−∫ sen (bx)a . eaxdxb
¿
∫(eax¿. cosbx)dx=eax . senbxb
−ab∫ eax senbx .¿
ab∫ eax senbx .……………………….integramos devuelta…… (1 )
[ u=eax→du=a . eaxdx
dv=senbxdx→ v− cosbxb ]
∫ eax senbx .=u . v−∫ v .du
∫ eax senbx .=−eax . cosbxb
−∫−cosbxb
.a . eaxdx
∫ eax senbx .=−eax . cosbxb
+ ab∫(¿eax . cosbx)dx¿
Ahora reemplazamos en el integral original.
∫(eax¿. cosbx)dx=eax . senbxb
−ab¿¿
∫(eax¿. cosbx )dx=eax . senbxb
+ ab. eax . cosbx
b−a2
b2∫(¿eax . cosbx )dx factorizamos .¿¿
∫(eax¿. cosbx )dx+ a2
b2∫(¿eax . cosbx )dx=eax .sen(bx)
b+ ab. eax . cosbx
b¿¿
(1+ a2
b2 ) .∫(eax¿ .cosbx )dx=eax . sen(bx )b
+ a .cosbx . eax
b2 ¿
(1+ a2
b2 ) .∫(eax¿ .cosbx)dx=b2¿¿¿
( b2+a2
b2 ).∫(eax¿. cosbx )dx=b2 ¿¿¿
∫(eax¿. cosbx )dx=b2¿¿¿¿
∫(eax¿. cosbx )dx=b2¿¿¿
∫(eax¿. cosbx )dx=b ¿¿¿
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
22 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
2. ∫ secx5dx ejemplo30 resuelto de la pagina22
Solución:
Primero hacemos un artificio.
∫ secx5dx=∫ sec3 x . sec2 x .dx
∫ sec3 x . sec2 x .dx=u . v−∫ v .duahorareciendesarrollamos por parte s .
[u=sec3 xdx→du=3 sec2 x . secx .tanxdxdv=sec2 x . dx→ v=tanx ]
∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .tanx−∫ tanx .3 sec3 x . tanx .dx
∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .t anx−3∫ tan 2 x . sec3 x .dx
aqui aplicamosla propiedad de sec2 x−tanx2=1
∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .tanx−3∫(sec2x−1¿) . sec3 x .dx ¿
∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .tanx−3∫ sec5 x .dx+3∫ sec3 x .dx
4∫ sec3 x . sec2 x . dx=sec3 x . tanx+3∫ sec3 x .dx……………………………………… ..α
∫ sec3 x .dxdesarrollamos igual por partes…………………………………. (1 )
∫ sec3 x .dx=∫ secx. secx2dx
∫ secx . secx2dx
Solución:
[u=secx .→du=secx . tanx .dxdv=secx 2dx→dv=tanx ]
∫ secx . secx2dx=uv−∫ v .du
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫(eax¿. cosbx )dx= . eax (bsenbx+acosbx )(b2+a2)
+k ¿
23 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ tanx. secx .tanx .dx
∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ tan2 x . secx .dx
aplicamos la propiedad desec2 x−tan2 x=1
∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ (sec2 x−1). secx .dx
∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ ¿¿¿
2∫ (sec3 xdx¿)=. secx. tanx+∫ secx . dx¿
2∫ (sec3 xdx¿)=. secx. tanx+ ln|secx+tanx|+k ¿
∫(sec3 xdx¿)=12secx . tanx+ 1
2ln|secx+tanx|+k=m ¿
finalmentereemplazamos enel integral principal
4∫ sec3 x . sec2 x .dx=se c3 x . tanx+3∫ sec3x .dx………………………………………..α
4∫ sec3 x . sec2 x . dx=sec3 x . tanx+3m
4∫ sec3 x . sec2 x . dx=sec3 x . tanx+3[ 12secx . tanx+ 1
2ln|secx+tanx|+k ]
4∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x . tanx+[ 32secx .tanx+ 3
2ln|secx+ tanx|+k ]
4∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x . tanx+¿
3. I=∫ ex (1+x . lnx )x
dx ejemplo33 resuelto de la pagina24
Solución:
Separando la integral en la suma de dos integrales, se tiene.
∫ ex
xdx+∫ ex . xlnx
xdx…………….∫e x . lnx=I
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ sec3 x . sec2 x .dx=14sec3x . tanx+3
8¿
24 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
para laintegral I hacemos .[ u=lnx→du=dxx
dv=exdx→v=ex ]∫ ex . lnx=u . v−∫ v . du
∫ ex . lnx=lnx . ex−∫ ex . dxx
I=∫ ex
xdx+∫ex .lnx=¿¿
I=∫ ex
xdx+lnx . ex−∫ex . dx
x
4. ∫ x .arctan2 xdxejemplo 31resuelto de la pagina23
Solución:
[u=arctan2 x→du=2arctanx . dx1+x2
dv=x . dx→v= x2
2 ]∫ x .arctan2 xdx=u . v−∫ v du
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−∫ x2
2.2arctanx . dx
1+x2
∫ x .arctan2 xdx=arctan2x . x2
2−∫ x2 arctanx
1+x2 dx
∫ x2 arctanx1+x2 dx=∫arctanx . dx+∫ artctanx .dx
1+x2 descomponesen sus factores
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
I=lnx . ex+k
25 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−∫ arctanx .dx+∫ artctanx .dx
1+x2
ahora desarrollamoslaintegral aparte∫arctanx .dx+¿…………………… ..a ¿
[u=arctanx→du= dx1+x2
dv=dx→v=x ]esto reemplazamos en laintegral final .Reemplazamos ahora
∫ arctanx .dx=uv−∫ v . du
∫ arctanx .dx=x . arctanx−∫ . x . dx1+x2
∫ x . dx1+x2 ahoradesarrollamos haciendo cambiadevariable………… ..(a .1)
[u=1+x2derivando quedaasi:
du=2 x .dx→dx= du2 x ]
∫ x .dx1+x2=∫ . xdx
ureemplazando los valoresquedara asi:
∫ .x du
2xu
=∫ 1du2u
=12∫
duu
=12
ln (u )+k
∫ x .dx1+x2=
12
ln (1+x2 )+k :………………………a .1
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−∫ arctanx .dx+∫ arctanx . dx
1+x2 reemplazamos .
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−[ x .arctanx−∫ . x . dx
1+x2 ]+∫ arctanx .dx1+x2
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−[ x .arctanx−1
2ln (1+x2 )]+∫ arctanx . dx
1+x2
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−[ x .arctanx−1
2ln (1+x2 )]+(1+x2)2
2+k
26 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−[ x .arctanx−1
2ln (1+x2 )]+∫u .du
∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2
2−[ x .arctanx−1
2ln (1+x2 )]+ u2
2+k
Finalmente queda reemplazando todo los valores.
5. ∫ x .arctan√x2−1dx ejemplo16 propuesto de la pagina27
Solución:
[u=arctan .(√x2−1 )→du= dxx . (√x2−1)
dv=x .dx→v= x2
2]
∫ x .arctan .√x2−1dx=u . v−∫ v .du
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2−∫ x2
2. dxx . (√ x2−1 )
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan . (√x2−1) . x2
2−1
2∫ x . dx(√ x2−1)
∫ x . dx(√x2−1)
haciendouncambiode variableresolvemos .
u=x2−1→ du2 x
=dx estoreemplazmo s enelintegral .
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan . (√x2−1) . x2
2− 1
2∫ x . dx(√ x2−1)
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1 ) . x2
2− 1
2∫x . du
2 x√u
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2−1
2 √ x2−1+k
27 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ x .arc tan .√x2−1dx=arctan . (√ x2−1 ) . x2
2−1
4∫. du√u
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2−1
4∫du .u−1 /2
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2−1
4. u−12
+1
−12 +1
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2 −14u
12
12
+k
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2 −11u
12
2 +k
∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2
2−1
2 √u+k
6. ∫ ln ( x+√1+x2 )dx ejemplo6 propuesto
Solución:
{u= ln ( x+√1+x2 )→du=( 1+ x√1+x2d
x+√1+x2 )dx = 1√1+x2
dx
dv=dx→v= x}
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=uv−∫ v .du
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫ x 1√1+x2
dx .
∫ x 1√1+x2
dx haciendocambio devariable resolvemos .
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
28 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
u=1+x2→ du2x
=dx ahorareemplazamos enel integral .
∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−∫ x 1√u
dx .
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫ x .dx√u
.
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫x . du
2 x√u
.
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫x . du
2 x√u
.
∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−12∫
du√u
.
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−12∫
du .u−1/2
1.
∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−12u
−12 +1
1−12
∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−¿ u1/2
1¿
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−¿√u+k ¿
7. ∫ ln (√ x+√1+x¿)dxej ercicio propuestonumero24¿
Solución:
[u=ln (√x+√1+ x )→du=
12√x
+ 12√1+x2
√x+√1+xdx du= 1
2√x2+xdx
dv=dx→v=x]
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−¿√1+x2+k ¿
29 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=u . v−∫ v .du¿
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )−12∫
x√ x2+x
d x¿
12∫
x√x2+ x
haciendounartificio queda 14(∫ 2x+1
√x2+xdx−∫ 1
√ x2+xdx )
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [∫ 2 x+1
√ x2+xdx−∫ 1
√x2+xdx ]¿
∫ 2x+1√ x2+x
dx desarrollandohaciendo cambiod variablequeda .u=x2+x du2 x+1
=dx
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [∫ 2 x+1
√udx−∫ 1
√x2+xdx ]¿
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [∫ 2 x+1 du
2x+1√u
−∫ 1√ x2+x
dx]¿∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 1
4 [∫ du√u
−∫ 1√x2+x
dx ]¿∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 1
4 [2√x2+ x−∫ 1√x2+ x
dx ]¿
∫ 1√ x2+x
dx haciendo artificioqueda .2∫1
2√x+ 1
2√x+1√ x+√x+1
Finalmente queda asi:
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [2√x2+ x−2∫
12√ x
+ 12√x+1
√x+√ x+1dx ]¿
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )−12 √x2+x+ 1
2ln (√x+1+√ x)+k ¿
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=(x+ 12 ) ln (√ x+1+√ x )−1
2 √ x2+x+k ¿
30 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
8. ∫ sen2( ln¿x)dx ejemplo propuesto N 25¿
Solución: aplicandoel angulo doble queda: 1−cos2θ2
=sen2θ
[u=sen2 ln ( x )=1−cos (2 lnx )2
→du= sen (2 lnx )x
dx
dv=dx→v=x ]∫ sen2( ln¿x)dx=u . v−∫ v . du¿
∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−∫ x . sen (2 lnx )x
dx¿
∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−∫sen (2lnx )dx………………………………… .1¿
k=∫ sen (2 lnx )dx ahorasiguimos integrando .
[u=sen (2 lnx )→du=2 cos (2 lnx )x
dx
dv=dx→v=x ]K= ∫ sen (2 lnx )dx=u . v−∫ v .du
k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−∫ x . 2 cos (2lnx )x
dx
k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2∫cos (2 lnx )dx
Reemplazando queda así:
2∫ cos (2 lnx )dxresolvi endoel integral queda .
[u=cos (2lnx )→du=−2 sen (2 lnx )x
dx
dv=dx→v=x ]2∫ cos (2 lnx )=u .v−∫ v .du
2∫ cos (2 lnx )=2¿
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
31 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
2∫ cos (2 lnx )=2 [x .cos (2 lnx )+2∫ . sen (2 lnx )dx ] Ahora reemplazamos:
k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2∫cos (2 lnx )dx
k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2 [[ x .cos (2 lnx )+2∫ . sen (2lnx )dx ]]
∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2lnx )−2x .cos (2lnx )−4∫ . sen (2 lnx )dx
5∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2 x . cos (2 lnx )
∫ sen (2 lnx )dx=15
¿
Finalmente reemplazamos en el integral principal
∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−∫sen (2lnx ) dx ¿
9. ∫ (arc cosx−lnx )dx ejemplo propuesto N 28
Solución:
∫ arc cosx . dx−∫ lnx .dx
M=∫ arc cosxdxN=∫ lnx . dx
Primero para:
M=∫ arc cosxdx
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−15¿¿¿
32 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
[u=arc cosx→du= dx√1−x2
dv=dx→v=x ]M=∫ arc cosxdx=u . v−∫ v .du
M=∫ arc cosxdx=x . arc cosx .−∫ x . dx√1−x2
u=1−x2haciendo cambiode variable quedaasi: du−2 x
=dx
M=∫ arc cosxdx=x . arc cosx .−∫ x . dx√1−x2
M=∫ arc cosxdx=x .arc cosx .−∫ x . dx√u
M=∫ arc cosxdx=x .arc cosx .−∫x . du
−2 x√u
M=∫ arc cosxdx=x . arc c osx .+ 12∫
du√u
M=∫ arc cosxdx=x . arc cosx .+√1−x2+k
N=∫ lnx .dx
Solución:
[u=lnx→du= dxx
dv=dx→v=x ]N=∫ lnx .dx=u . v−∫ v .du
N=∫ lnx .dx=x . lnx−∫ x . dxx
N=∫ lnx .dx=x . lnx−∫dx
N=∫ lnx .dx=x . lnx−x+k
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
33 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Finalmente queda así:
10. ∫ x4−x .arctanx(1+ x2)2 dx
Solución:
I=∫ x4
¿¿ ¿
I=∫ (x4+2x2+1 )−2x2−1¿¿ ¿
I=∫¿¿¿
I=∫dx−∫ (2 x2+1 )( 1+x2 )2
dx−∫ x .arctanx1+x2¿2 ¿d x
a…=∫ (2x2+1 )(1+x2 )2
dx haciendo cambiode variable integramo s
∫ (2 x2+1 )(1+x2 )2
=−2∫ dx1+ x2 +∫ 1
(1+x2 )2
I=∫dx−2∫ dx1+x2 +∫
1dx(1+x2 )2
−∫ x .arctanx1+x2¿2 ¿d x
I=x−2arctanx+∫ 1dx(1+ x2 )2
−∫ x .arctanx1+x2¿2 ¿d x
∫ x .arctanx¿¿ ¿
¿ Ahora reemplazamos en el integral.
∫ x .arctanx¿¿ ¿
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
∫ (arc cosx−lnx )dx=x . arc cosx .+√1−x2−(x . lnx−x )+k
34 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ x .arctanx¿¿ ¿
∫ x .arctanx¿¿ ¿
I=x−2arctanx+∫ 1dx(1+ x2 )2
−[ −12 (1+❑2 )
arctanx+∫ dx(1+x2 ).1+x2 ]
I=x−2arctanx+∫ 1dx(1+ x2 )2
+12arctanx(1+x2 )
−12∫
dx(1+x2)2
I=x−2arctanx+ 12arctanx(1+ x2 )
+ 12∫
dx(1+x2)❑
∫ dx(1+x2 )2
…………………………bhaciendo unartificioquedab=∫ (1+x2−x2)(1+x2 )2
d x
∫ (1+x2 )(1+x2 )2
dx−∫ x2
1+x2 dx=arctanx−∫ x2
1+x2 d x
∫ x2
1+x2 dx desarrolandoqueda .
[ u=x→du=dx
dv= x1+x2=
12
2x.1+ x2 →v= −1
2(1+x2) ]∫ x2
1+x2 dx=−x . 12 (1+ x2 )
+ 12∫
dx(1+x2)
I=x−2arctanx+ 12arctanx(1+ x2 )
+ 12∫
dx(1+x2)❑
I=x−2arctanx+ 12arctanx(1+ x2 )
+12 [−x . 1
2 (1+x2)+
12∫
dx(1+x2) ]
I=x−2arctanx+ 12arctanx(1+ x2 )
− 1x4 (1+x2 )
+ 14∫
dx(1+x2)
Finalmente queda así:
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
I=x−74arctanx+ arctanx
2 ( 1+x2 )+ x
4 (1+x2 )+k
35 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
EJERCICIOS DENIVEL AVANZADO
01.−∫ X 4−Xarctanx(1+x2)2 dx……………………… (Ejerciciosn¿32)
Solución:
I =∫ x4
(1+x2)2dx -∫ xartanx(1+x2)2 dx
I=∫ (x¿¿ 4+2 x2+1)−2 x−1(1+x2)2 ¿dx -∫ xarctanx
(1+x¿¿2)2 dx¿
I=∫ (x¿¿2+1)2−2 x2−1(1+x¿¿2)2 ¿¿dx -∫ xarctanx
(1+x¿¿2)2 dx¿
I=∫ (x¿¿2+1)2
(1+x¿¿2)2 ¿¿dx - ∫ 2x2+1(1+x¿¿2)2 dx¿ - ∫ xarctanx
(1+x¿¿2)2 dx¿
I=∫ dx - ∫ 2 x2
(1+x¿¿2)2 ¿ + ∫ dx(1+x¿¿2)2 dx¿ - ∫ xarctanx
(1+x¿¿2)2 dx¿
I= X -∫ 2 x1+x2 dx + ∫ dx
(1+x¿¿2)2 dx¿ – ∫ xarctanx(1+x¿¿2)2 dx¿
Resolviendo por partes:
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
36 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ 2 x1+x2 dx Utilizando elcambio devariable
U = 1+x2 du = 2x
∫ duu = ln|u| = ln |1+x2|
∫ 1(1+x¿¿2)2 dx¿ = ∫ 1+x2−x2
(1+x¿¿2)2 dx¿ =∫ 1+x2
(1+x¿¿2)2 dx¿ - ∫ x2
(1+x¿¿2)2 ¿dx
∫ dx1+x2dx - ∫ x
1+x2 dx = arctan x - 12∫
x1+x2 dx
Integrando por cambio devariable :
U= 1+x2 du =2x
Entonces quedaría
arctanx−12
ln|1+ x2|
∫ xarctanx(1+x¿¿2)2 dx¿ integrando por partes
U=arctanx dx= 11+x2 dx
Dv= xdx
(1+x¿¿2)2dx v= −12(1+x2)
¿
−arc tanx2(1+x2)2 +
12∫
11+x2
11+ x2 dx
−arctanx2(1+x2)
+ 12arctanx−1
4 Ln|1+x2|
Remplazandoa laintegral inicial:
I=X−ln|1+x2|+arctanx−12l n|1+x2|+ arctanx
2(1+x2)−1
2arctanx+ 1
4ln|1+x2|
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
37 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I= x -54
ln|1+x2|+12arctanx+ arctanx
2 (1+x2 )+c
02.−∫ cos2 x . ex dx……………………….(Ejercicion¿34)
I=∫( 1+cos2 X2 )exdx
I=12∫ (1+cos2 X ) ex dx
I = 12 [∫ex dx+∫ ex cos2x dx ]
I= 12ex+ 1
2∫ ex cos2x dx
Hallandoesta integral por separado por par tes:
I 1=∫ ex cos2x dx u= cos2x du = -2 sen2x
dv=exdx v= ex
I 1=ex cos 2xdx+2∫ex sen2 xd x
Sea:
u = sen2x du=2cos2xdx
du=ex dx v=ex
I 1=ex cos2 x +2x2sen2x - 4∫ excos2xdx
I 1=ex cos 2x+2ex sen2 x−4 I 1
5 I1=excos 2x+2 ex sen2 x
I 1=ex
5[ cos2 x+2 sen2x ]+c
Remplazando en I
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
38 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I= 1e x
2+
12 [ ex
5(cos2 x+2 sen2x )]+c
I= 1e x
2+[ e x
10(cos2 x+2 sen2 x )]+c
03. - ∫ x2 secx2
( tanx−xsec¿¿2 x)2 dx ¿ ……………………….. (Ejercicios n# 37)
I =∫ e2 tanx sec2 xtanx (tanx−x sec2 x )2
dx Integrando por partes:
u = x
tanx du = tanx−x sec2 xtan2x
dx
dv =xtanx sec2 x
(tanx−x sec2 x )2 v=
12 (tanx−x sec2 x )
dx
I= X
2tanx (tanx−x sec2 x ) - 12∫
dxtan2 x
I= X
2tanx (tanx−x sec2 x ) - 12∫ cot2 xdx
I= X2tanx (tanx−x sec2 x )
−12∫ (csc 2 x−1 )dx
I=12 ( X
tanx (tanx−x sec2x )+cot2 x+x )+c
04.−∫ (e2 x−x2 ) ( x−1 )x2ex dx………………….(Ejercicio n¿45)
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
39 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I=∫ e2 x ( x−1 )x2ex
− x2 ( x−1 )x2 ex dx
I=∫ e2 x ( x−1 )x2ex
dx−∫ x2 ( x−1 )x2ex
dx
I=∫ xex−ex
x2 dx−∫ ( x−1 )ex dx
I=∫ xex
x2 dx−∫ ex
x2 dx−∫( x−1 )ex
dx
I=∫ ex
xdx−∫ ex
x2 dx−∫ ( x−1 )e x d x
Integrando por partes :
∫ ex
xdx u=1
x du=
−1x2
dv= ex v=ex
∫ ex
xdx = e
x
x+∫ ex
x2 dx + c
∫ ( x−1 )ex dx u=x−1 du=dx
dv=1ex
v= -1ex
∫ ( x−1 )ex dx =
−1 ( x−1 )ex +∫ dx
ex +c
Remplazando en I :
I= ex
x+∫ ex
x2 dx−∫ ex
x2 dx+x−1ex
−∫ dxex
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
40 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I= ex
x+ x−1
ex −∫ dxex
I= ex
x+ x−1
ex + 1e x
I= ex
x+ xex −
1ex +
1ex
05.-∫ ( xsenx+cosx ) (x2−cos2 x )x2 cos2 x
dx…………… (ejercicion¿44)
I=∫ ( xsenx+cosx ) (x2−cos2 x )x2 cos2 x
d x
Inte grando por partes:
u=xsenx+cosx du=xcosxdx
dv=e2−cos2 xx2 cos2 x
v=tanx+ 1x
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−∫( t anx+ 1
x ) xcosx d x
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−[∫ ( xsenx+cosx ) ]d x
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−[∫ ( xsenx+∫cosx ) ]d x
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−∫ xsenxdx−∫ cosx d x
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−senx−∫ xsenxdx
Integrando por separados :
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
I= ex
x+ xex +c
41 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
∫ xsenxdx u=xdu=dx
dv=senx v=−cosx
∫ xsenxdx=−xcosx−∫−cosxdx
∫ xsenxdx=−xcosx+∫cosxdx
∫ xsenxdx=−xcosx+senx+c
Remplazando :
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−senx+xcosx−senx
I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−2 senx+xcosx+c
06.-∫ arctanxx2 dx…………… ..(Ejercicion¿18)
Integrando por partes :
u=arctanx du= 1x2+1
dv= 1x2 v = −1
x
I=−arctanxx
+∫( 1x2+1 ) 1
xd x
I=−arctanxx
+∫( 1x− xx2+1 )d x
I=−arctanxx
+∫ 1xdx−∫ x
x2+1d x
I=−arctanxx
+ ln ⌈ x ⌉−12∫
xx2+1
dx
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
¿−arctanxx
+ ln ⌈ x ⌉−12
ln ⌈ x2+1⌉+c
I=−√1−X2 ln( x+1x−1 )+2arcsenx+c
42 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
Utilizando cambiodevariable
07.−∫ x√1−x2
ln( x+1x−1 )dx………….(Ejercicion¿20)
Integrando por partes :
u=ln( x+1x−1 ) du= 2
1−x2 dx
dv= x√1−x2 v=√1−x2
I=−√1−X2 ln( x+1x−1 )+∫ 2
1−x2 √1−x2d x
I=−√1−X2 ln( x+1x−1 )+2∫ 1
√1−x2d x
08.−∫ (arccosx−lnx ) dx………………(Ejercicion¿28)
I=∫arcosxdx−∫ lnxdx
Integrando por separado:
I 1=∫ arccosxdx u=arcos du= −1
√1−x2dx
dv= dx v= x
I 1=∫ arccosxdx=xarcosx+∫ x√1−x2
d x
I 1=∫ arccosxdx=xar cosx−12
ln ⌈ 1−x2 ⌉+c
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
I=xarcosx−12
ln ⌈ 1−x2⌉+x−xln ⌈ x ⌉+c
43 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I 2=∫ lnxdx u=lnx du=dxx
dv=dx v=x
I 2=xlnx−∫ dxxx
I 2=xlnx−X+C
Remplazando en I
I=∫arcosxdx−∫ lnxdx
09.−∫ ln (√x+√1+x )dx………… (Ejercicion¿24 )
Integrando por partes :
u=ln ¿ du=
12√x
+ 12√1+x
√x+√1+xdx
du=1
2√ x+ x2dx
dv=dx v=x
I=∫ ln (√ x+√1+x )d x
I=xln (√x+√1+x )−∫ x dx2√x+x2
I=xln (√x+√1+x )−∫ x2√ x+x2
d x
I=xln (√x+√1+x )−14∫
2 x+1−12√x+x2
dx
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
44 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I=xln (√x+√1+x )−14 [∫ 2 x+1
√x+x2dx−∫ dx
√x+x2 ]
I=xln (√x+√1+x )−14 [2√x2+x−2∫
12√x
+ 12√x+1
√ x+√x+1 ]I=xln (√x+√1+x )−1
4 [2√x2+x−2∫ 2√x+1+√ x√x √x+1√ x+√x+1
dx ]I=xln (√x+√1+x )−1
4(2√x2+x )−∫
√x+1+2√x√ x√ x+1√ x+√x+1
dx
Integrando por cambio devariable :
∫√x+1+2√x√ x√ x+1√x+√x+1
dx u=(√x+√ x+1 )
du= 2√ x+1+2√ x4√ x √x+1
∫ duu
=lnu ln ⌈ √ x+√x+1⌉+c
Remplazando en I
I=xln (√x+√1+x )−12
(√ x2+x )−12
ln|√x+√x+1|+c
10.−∫ (esenxcos4 x )−1cos3 x
dx………… ..(Ejercicio n¿26)
I=∫esenxcosx dx− 1cos3x
d x
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
I=esenx−12 ( secxtanx+ ln|secx+tanx|)+c
45 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
I=∫esenxcosx dx−∫ 1cos3 x
d x
I=∫esenxcosx dx−∫ sec3 xdx
Integrando por separados:
I 1=∫ esenx cosx dx u=senx du=cosxdx
I 1=∫ eudu=eu+c=esenx+c
I 2=∫ sec3 x dx u=secx du=secxtanxdx
dv=sec2 x v=tan
I 2=secxtanx−∫ secx tan 2x d x
I 2=secxtanx−∫ secx ( sec2 x−1 )d x
I 2=secxtanx−∫ ( sec3 x−secx )d x
I 2=secxtanx−∫ sec3 xdx+∫secxdx
I 2=secxtanx−I 2+ln|secx+tanx|+c
2 I2=secxtanx+ln|secx+tanx|+c
I 2=12 (secxtanx+ ln|secx+tanx|)+c
Remplazando en I :
I=∫esenxcosx dx−∫ sec3 xd x
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
46 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L
BIBLIOGRAFIA
Moisés Lázaro Carrión, Segunda edición (2008), Editorial Moshera.
Eduardo Espinoza Ramos, Quinta edición, (2010), Editorial eduqperu.
N.Piskunov, Tercera edición, Editorial Mir Moscú (1977).
Máximo Mitacc Meza - Luis Toro Mota, Tercera edición. (2009), Editorial Thales,
S.R.L.
ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.
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