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DIRECCIÓN GENERAL DE CULTURA
Y EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN
SUPERIOR
INSTITUTO SUPERIOR DE
FORMACION
DOCENTE Nº 127
“CIUDAD DEL ACUERDO”
PROFESORADO EN MATEMÁTICA
3ER
AÑO
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
TRABAJO DE SÍNTESIS
PROFESOR:
JUAN IGNACIO GAMITO
ALUMNO:
MARIELA IVANA LÓPEZ
CICLO LECTIVO: 2012
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
Mariela Ivana López
2
ÍNDICE
Consignas……………………………………………………………………………..…3
Desarrollo
Linea del tiempo…………………………………………………………………………5
Entrevista a Leonardo de Pisa………………………………………………….………22
Historieta……………………………………………………………………….………..27
Análisis filmográfico…………………………………………………………….………29
El club de la hipotenusa…………………………………………………………….…...34
Bibliografía……………………………………………………………………………….37
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
Mariela Ivana López
3
CONSIGNAS:
1. Confeccionar en formato digital una línea de tiempo que describa la evolución
del conocimiento matemático y la aparición de los notables que tuvieron en sus manos la
creación de alguna nueva rama o aporte de la Ciencia Matemática.
2. Desarrollar la siguiente situación hipotética:
Suponiendo que existiese la posibilidad de entrevistar al siguiente Matemático:
Leonardo Fibonacci
3. Confeccione una historieta como la que se presentó en la unidad temática que
trata sobre la matemática de los egipcios: Tema Problemas clásicos de la Antigüedad en la
academia de Atenas. El tratamiento del tema queda a criterio del alumno.
4. Análisis filmográfico. Sobre los documentados desarrollados por la BBC sobre
la HISTORIA DE LA MATEMÁTICA facilitados por la cátedra se pide realizar un
informe de síntesis que tienda a responder los siguientes interrogantes:
Grupo I
Historia de las matemáticas 1. El lenguaje del universo
1) ¿Por qué se afirma que comprender la matemática es ver la diferencia entre
vivir o morir?
2) ¿Qué relación tuvo el río Nilo con la Matemática?
3) ¿Cómo se describe el papiro de Rhind?
4) ¿Qué relación tiene el juego de la Mancala con la Matemática Egipcia?
5) ¿Por qué se dice que los Griegos nos dieron el poder de la “prueba”?
Historia de las matemáticas 2. La sabiduría de oriente
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
Mariela Ivana López
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1) ¿Por qué se afirma que cuando comenzó la decadencia griega el proceso
matemático experimentó un retroceso mientras que en oriente la matemática alcanzaría una
nueva sima?
2) ¿Cómo se muestra la resolución de ecuaciones en china? ¿Este método ya
existía en occidente o es redescubierto?
3) ¿Qué relación tuvieron los Indios con la teoría de Trigonometría?
Historia de las matemáticas 3. Los límites del espacio.
1) El pueblo francés llamado Descartes ¿recibe ese nombre desde la antigüedad?
2) ¿A cuál de los dos matemáticos se le atribuye ser pionero en el diseño
cálculo?
3) ¿Cómo se relaciona a los Bernoullí con Euler?
Historia de las matemáticas 4. Hacia el infinito y más allá.
1) ¿En qué consistió el congreso matemático que se desarrolló en agosto de 1900?
2) ¿Cómo gana Poincaré el Premio de 2500 coronas al demostrar que el sistema
solar seguirá girando en el sentido de las agujas del reloj o si podría cambiar de dirección?
3) ¿Qué relación tiene el acertijo de los siete puentes de colinver (hoy
Kaliningrado) con Euler?
4) ¿Cómo se presenta a Nicolás Bourbaki?
6. Respecto del libro “El club de la hipotenusa”:
a) Tomar tres anécdotas que sirvan como introducción al tratamiento de tres
contenidos en la escuela secundaria.
b) Redactar el modo en que se presentará al curso y como se pasará de esta
anécdota al proceso de formalización de los contenidos seleccionados.
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
Mariela Ivana López
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2)
ENTREVISTA A LEONARDO DE PISA
Octubre de 1243 en la ciudad de Pisa, Italia
Teniendo el honor de estar en la casa del reconocido y admirado matemático
Leonardo de Pisa, se da inicio a la entrevista.
Antes que nada, muchas gracias por recibirme y permitirme realizarle unas
preguntas.
No es necesario, siempre es grato dedicarle mi tiempo a quien lo solicite y más
aún satisfactorio para recorrer el camino que me llevó a ser quien soy.
Tengo entendido que no sólo se hace llamar Leonardo ¿Esto es cierto?
Si. No me molesta en lo absoluto que me digan Leonardo, pero también
acostumbro a que me llamen Bigollo.
¿Cuándo y dónde nació?
Nací en Pisa, Italia en 1170
¿A través de quién tuvo su primer acercamiento a la matemática?
Mi padre me enseñó Aritmética y me incentivó a estudiar matemáticas. Él era un
mercader que tenía negocios en la aduana de Bugía y preocupándose de mi bienestar futuro,
quiso que permaneciese allí y recibiese educación.
¿Hubo otros referentes que influyeron en su formación?
Si, conocí personas en Bugía cuyo idioma materno era el árabe, y tuve un maestro
musulmán con el cual aprendí su sistema de numeración y sus ventajas.
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
Mariela Ivana López
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¿A qué se refiere con las ventajas?
A la practicidad que se tiene trabajar con los números arábigos, me resulta mucho
más interesante este sistema que el romano. Las técnicas que usan los árabes son superiores
a las que usan la mayoría de los países de Europa. Aprendí a realizar operaciones de suma,
resta, multiplicación y división usando los números indo – arábigos. Con los números a los
que están acostumbrados aquí no hay forma de escribir las operaciones paso a paso. Como
ya sabes, se escribe sólo el resultado final ya que los cálculos se hacen con el ábaco.
¿Y cómo asimiló este sistema la sociedad?
Es un poco complicado de explicar. Siento que la sociedad prefiere lo ya conocido
y no se da cuenta de la comodidad y facilidad que implica el sistema arábigo. Creo que los
asusta la inclusión del cero, no están acostumbrados. Pero voy a seguir insistiendo para
introducirlo en Europa. Y aunque parezca complicado tiene sus beneficios.
¿Hubo alguien particular en quién haya decidido apoyarse como base de sus
trabajos?
Si tengo que pensar en una persona específica, diría que no. Si te puedo decir que
he viajado por todo el mediterráneo en donde he podido relacionarme con otros
matemáticos y he estudiado a fondo los Elementos de Euclides. Yo creo que he ido
tomando un poco de diferentes fuentes, pero a partir de allí construí el conocimiento que
hoy tengo adquirido.
Aprovecho que hizo mención a Euclides tengo entendido que escribió un
comentario acerca de uno de sus libros. ¿De qué trataba?
El libro X de Euclides contenía un tratamiento numérico desde un punto de vista
geométrico de los números irracionales, tomé como modelo su estilo pero le incorporé unos
comentarios personales. Y también en Geometriae que terminé de escribir en 1220 me basé
en teoremas de él.
¿Qué contenía Geometriae?
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
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Tiene una amplia cantidad de problemas de geometría organizados en ocho
capítulos. Contiene teoremas geométricos con pruebas precisas.
¿Es cierto que todo el conocimiento adquirido lo ha ido dando a conocer?
No tengo ningún inconveniente de expresar y dar a conocer el fruto de cada
trabajo, al contrario quiero que llegue al punto que todos puedan implementar este método
matemático. La verdad que tuve buenas oportunidades para recopilar las matemáticas
grecorromanas, árabes e hindúes, conocimientos que luego publiqué en mis libros.
Ya que ha hecho referencia nuevamente de sus libros ¿Me podría hablar
sobre el reconocido Liber abaci?
Claro que si. Cuando volví a Pisa trabajé durante veinticinco años en mis propias
composiciones matemáticas. Este libro está dividido en quince secciones. Es un amplio
tratado del sistema de numeración indo-arábigo, en el que presento los signos hindúes y el
cero. Las dos primeras secciones muestran la importancia de este sistema de numeración
aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses,
cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. También incluye la caracterización de
la notación posicional, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad.
La tercera sección trata sobre problemas.
Uno de esos problemas que más difusión ha tenido es el problema que intenta
describir el crecimiento de una población de conejos ¿Cómo fue el camino que lo llevó
al hallazgo de la solución?
Primero me parece importante recordar el enunciado del problema para luego
explicar el camino realizado para hallar la solución. El enunciado decía así: “cierto hombre
puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas
parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada
mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?”
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
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La secuencia resultante es 1,2,3,5,8,13,21,34,55 y así sucesivamente, es una
secuencia en la que cada número es la suma de los dos números precedentes. Al analizar los
primeros resultados, fui detectando cierta regularidad que posteriormente intentaría
expresar a través del lenguaje matemático.
¿Es cierto que ha tenido algunos rechazos de sus manuscritos en Europa por
sus ideologías?
No sé si es tan así. He sido recibido con entusiasmo en Europa gracias a mis
manuscritos. En todos lados uno se va a enfrentar frente a personas que se imponen al
cambio. No aceptan la implementación de un nuevo sistema. Pero no me siento rechazado,
al contrario he sido bien recibido como huésped del emperador Federico II, quien se ha
mostrado muy interesado por las matemáticas.
¿Podría ampliar su réplica en función a ello? ¿Cómo es que el emperador
llega a conocerlo?
Hace años que mantenía correspondencia con uno de sus eruditos y en una
oportunidad le planteó al emperador la posibilidad de invitarme a la corte. El accedió y en
1225, me presentaron varios desafíos, los cuales pude resolver sin inconvenientes.
Tengo entendido que algunos de los problemas los publicó en Flos, otro de
sus manuscritos ¿Me haría el honor de explicarme sintéticamente uno de ellos?
Si, de los problemas que me plantearon publiqué tres de ellos en Flos. En
“10x + 2x2 + x
3 = 20” no doy una respuesta exacta sino que como no es posible de
resolver doy una aproximación precisa para la raíz, es decir que lo que hice fue reducir la
solución.
Otra obra de usted por la cual he oído mucho hablar es el Liber quadratorum
¿Me podría brindar más detalles de que trata?
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Es un libro sobre la teoría de los números, que además examina los métodos para
encontrar lo triples pitagóricos. Aquí también hay incluido otro problema de la corte en el
cual me proponían encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco
diera como resultado en ambos casos números cuadrados.
¿Cada problema propuesto en sus obras siempre tiene solución o hay casos en
los que no las hay?
Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hago una
inducción incompleta, pero a la cual les agrego ejemplos prácticos.
¿Cuál de sus aportes considera el más importante en el desarrollo de la
matemática?
No se si pueda definir uno en particular. Cada sección que divide a mis libros se
refieren a diferentes problemáticas y cada una aporta conocimiento muy importante.
Si te puedo decir que el que más tiempo me ha llevado analizar es el problema que
hoy te mencioné de los conejos. Me llevo un arduo trabajo resolverlo.
Ya habiendo concluido la entrevista le agradezco y me despido. Mis sinceros
sentimientos de gratitud por el constructivo trabajo que me permitió conocer de
usted.
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3)
Historieta: La duplicación del cubo
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4)
Historia de las matemáticas 1. El lenguaje del universo
1) Nuestro mundo está hecho de pautas y secuencias. Están a nuestro alrededor,
el día se vuelve noche, los animales recorren el mundo en cada cambio de estación, los
paisajes están constantemente cambiando. Una de las razones de las matemáticas fue
debido a la necesidad de encontrar sentido a esos patrones naturales.
Los conceptos más básicos de las matemáticas, espacio y cantidad, están
predeterminados en nuestro cerebro. Incluso los animales tienen una percepción de la
distancia y el número. Pueden evaluar cuando una manada es superior en número y decidir
así si pelear o si es mejor huir. Pueden calcular si su peso está a una distancia alcanzable o
no.
Pero fue el hombre quien con los conceptos básicos empezó a construir algo nuevo
con esos fundamentos. En algún momento los humanos empezaron a identificar esas pautas
y hacer conexiones. Empezaron a contar y a ordenar el mundo que los rodeaba.
Por estas razones es que se afirma que comprender la matemática es ver la
diferencia entre vivir o morir.
2) El acontecimiento más importante para la agricultura egipcia era el
desbordamiento anual del Nilo que se utilizaba como indicador para comenzar el año
nuevo. Los egipcios registraron que eso sucedía con cierto tiempo, así que para establecer
un calendario era necesario contar cuántos días pasaban entre las fases lunares o cuántos
días pasaban entre dos desbordamientos del Nilo. Por lo cual vemos claramente la relación
que tuvo el río Nilo con la Matemática.
3) Los escribanos egipcios utilizaban hojas de papiro para escribir sus
descubrimientos matemáticos. Este delicado material, hecho de juncos, se pudre con el
tiempo.
El papiro de Rhind es el documento más importante que tenemos hoy en día, que
devela las matemáticas egipcias, nos ofrece una buena visión sobre a que tipo de problemas
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
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matemáticos debían enfrentarse los egipcios. Además nos muestra explícitamente cómo se
resolvía la multiplicación y la división.
Los textos muestran especulaciones pero no muestran como descubrieron los
métodos.
4) El papiro de Rhind establecía que un campo circular con un diámetro de nueve
unidades tenía un área igual al de un cuadrado con laterales que midiesen ocho. Esta
relación pudieron descubrirla en el juego de mancala, donde cada jugador empieza con la
misma cantidad de piedras y el objetivo del juego es moverse alrededor del tablero
capturando las piezas del oponente.
5) Los griegos fueron grandes apasionados de las matemáticas y también fueron
unos colonizadores muy inteligentes ya que adoptaban lo mejor de las civilizaciones que
invadían para mejorar su poder y su influencia, pero enseguida hacían sus propias
aportaciones.
Su mayor logro fue hacer un cambio de mentalidad, esto influiría en la humanidad
durante siglos.
De alguna forma decidieron que tenían que tener un sistema de deducción para sus
matemáticas en la cual comenzaban con ciertos axiomas, que asumían que eran ciertos, y
también asumían que cierto teorema eran verdadero pero sin haberlo puesto a prueba.
Después utilizaban métodos lógicos y seguían pasos cuidadosamente desde esos axiomas
para probar los teoremas y de esos teoremas se probaban más teoremas.
Con esto se dice que nos dieron el poder de la prueba, lo que también significa que
los grandes descubrimientos de los griegos son ciertos hoy en día como lo eran hace dos
mil años.
Historia de las matemáticas 2. La sabiduría de oriente
1) El oriente las matemáticas alcanzaría nuevas simas, mientras que en el
occidente gran parte de esta herencia matemática ha sido olvidada.
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Los grandes descubrimientos matemáticos que cambian el mundo en el que
vivimos no han recibido el crédito que merecen. La matemática oriente transformaría
occidente y crearía el mundo moderno.
2) Para resolver ecuaciones se debe disponer de una determinada información
sobre unos números desconocidos y a partir de esa información tienen que deducir cuales
son los números desconocidos. Para entender este método podemos poner de ejemplo unas
pesas y una balanza. Si se coloca dos ciruelas y un melocotón vemos que pesan diez
gramos. A partir de esta información puedo deducir lo que pesa una ciruela y un melocotón.
Los antiguos chinos aplicaron métodos similares a números desconocidos más
grandes y los utilizaron para resolver ecuaciones cada vez más complicadas. Ellos llegarían
ha resolver ecuaciones más complicadas de números muchos más grandes que Europa. Este
sistema de resolver no apareció en occidente hasta principio del siglo XX.
En 1809 mientras se analizaba una roca en el cinturón de asteroides, Johan Carl
Friedrich Gauss redescubrió este método que había sido reformulado en la antigua China
hacia siglos.
3) Los matemáticos indios fueron los responsables de los nuevos y fundamentales
descubrimientos en la teoría de la trigonometría. Aunque fue desarrollada por primera vez
por los antiguos griegos, fue de la mano de los matemáticos indios cuando floreció
verdaderamente esta cuestión.
Historia de las matemáticas 3. Los límites del espacio.
1) En Francia el pueblo llamado Descarte no siempre se llamó así, sino que hace
doscientos años lo rebautizaron con el nombre del filósofo y matemático.
2) Leibniz trabajó sin conexión con Newton aunque conocía su trabajo. Al
contrario que Newton, Leibniz estuvo encantado de dar a conocer su trabajo para que los
matemáticos de toda Europa oyeran hablar por primera vez del cálculo gracias a él y no
gracias a Newton.
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
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Al cabo de años de resentimiento se pidió a la Royal Society de Londres que
decidiera entre los dos rivales. La Royal Society le adjudicó a Newton el mérito de
descubrir por primera vez el cálculo y a Leibniz el de publicarlo por primera vez. Pero en
su dictamen final acusaron a Leibniz de plagio.
3) Euler en 1708 era discípulo estrella de Johann Bernoulli. Si no te apellidabas
Bernoulli había muy pocas posibilidades de conseguir un trabajo de matemáticas en Basilia,
pero Daniel el hijo de Johann era muy amigo de Euler y logró conseguirle un trabajo en su
universidad.
Historia de las matemáticas 4. Hacia el infinito y más allá.
1) El congreso matemático que se desarrolló en agosto de 1900, realizado por
David Hilbert expuso lo que creyó que eran veintitrés problemas matemáticos por resolver
más importantes. Lo que él quería era establecer una lista de los asuntos pendientes de la
matemática del siglo XX. Estos problemas definirían las matemáticas de la era moderna.
Quienes intentaron resolver estos problemas tuvieron un éxito enorme, mientras
que otros sufrieron estrepitosos fracasos.
2) Si bien la ecuación que permitiría demostrar que el sistema solar seguiría
girando en el sentido de las agujas del reloj o si podría cambiar de dirección era muy
complicada de resolver, Poincaré hizo un importante progreso para resolverlo. Simplificó el
problema haciendo sucesivas aproximaciones de las órbitas que el creía que no afectarían
significativamente al resultado final. Aunque no pudo resolver el problema en su totalidad,
sus ideas fueron lo suficientemente sofisticadas para ganar el premio. Desarrolló un arsenal
de técnicas para resolverlo. De hecho el premio que ganó fue por dichas técnicas más que
por la resolución del problema en sí.
3) El acertijo de los siete puentes de colinver, hoy Kaliningrado, fue resuelto por
Leonard Euler en 1735 cuando demostró que no era posible. Es decir, que no podía haber
una ruta que no pasara al menos por uno de los puentes dos veces.
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
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Euler se dio cuenta que realmente no importaba la distancia que había entre los
puentes si no como estos puentes estaban conectados.
4) No existen fotografías de Nicolás Bourbaki, ya que nunca existió. De hecho
es el pseudónimo que se le dio a un grupo de matemáticos franceses liderados por André
Weil quien decidió escribir un informe coherente sobre las matemáticas del siglo XX. Los
objetivos del proyecto del grupo Bourbaki superaban cualquier deseo de gloria personal.
Historia de la Matemática Trabajo de Síntesis
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5) a)
1. “SILENCIO, SE MULTIPLICA
En los anales de los congresos de matemáticas figura F. N. Cole, quien en 1903
presentó una comunicación titulada «Sobre la factorización de grandes números».
No se sabía si el número 267
-l era primo o no lo era. Cole escribió en la pizarra el
valor de este número y a continuación anotó:
267
-l = 193707721 x 761838257287
dejando clarísimo que por ser producto de dos números no se trataba de un primo,
y los aplausos culminaron la intervención. Breve y contundente.”
2. “ESTADÍSTICA Y BELÉN
De acuerdo con la historia sagrada, José y María acudieron a Belén por estarse
realizando un censo de población. Es decir, la estadística estaba ya en pleno auge.
De hecho, ya los egipcios hacían gran acopio de datos. Todo surgió no como un
fervor numérico extraordinario, sino como un medio para controlar impuestos... y
poder cobrarlos. Vaya, lo de siempre.”
3. “NÚMEROS ROMANOS
Persiste hoy en día, como única herencia de la matemática romana, el uso de los
números romanos en relojes, para enumerar reyes (Juan Carlos I), enumerar papas
(Juan Pablo II), ordenar volúmenes de libros (Tomo III,...), plasmar siglos (siglo
XXI). Si se piensa un instante se aprecia que es una tradición peculiar y rara, pero
al estar muy arraigada, persiste y su actualización a numerales usuales resultaría
incluso burlesca (Juan Carlos 1,Juan Pablo 2...).
Algo curioso es cómo V llegó a ser cinco en Roma. Los lumbreras romanos
estuvieron años haciendo palotes y repitiéndolos (el nueve fue IIIIIIIII) hasta que
para simplificar se les ocurrió que tachar un palote con raya inclinada equivalía a
diez... y así nació X... y para el cinco nació la mitad del diez, es decir, V.
¡Increíble!, con medio símbolo representar la mitad.”
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b)
1. Esta primera anécdota se seleccionó para trabajar el conocimiento previo de
números primos y consecuentemente introducir el contenido de factorización de números.
Uno debe plantearse ¿Cómo el alumno debe hacer para darse cuenta si un número
es primo o compuesto? ¿Qué contenidos debe tener bien claro para poder realizar
factorizaciones sin complicaciones?
Para dar comienzo al tema, primero se leerá la anécdota con la cual se intentará
analizar cómo es que, el matemático Cole, llega a descubrir que el número no era primo.
Se leerá:
“En los anales de los congresos de matemáticas figura F. N. Cole, quien en 1903
presentó una comunicación titulada «Sobre la factorización de grandes números». No se
sabía si el número 267
-l era primo o no lo era. Cole escribió en la pizarra el valor de este
número y a continuación anotó:
267
-l = 193707721 x 761838257287”
(No se lee el último párrafo)
Los alumnos pueden verificar sus calculadoras si son ciertas las igualdades.
267
-l = 147573952589676412927
193707721 x 761838257287= 147573952589676412927
Luego se les hará preguntas como las que se presentan a continuación:
¿Este número es primo o no? ¿Por qué?
¿Qué había que tener en cuenta para que un número sea primo?
Se tratará que vallan dando sus opiniones y se dejará bien claro cuando un número
era primo y cuando compuesto.
Ahora si se terminará de leer la anécdota:
“dejando clarísimo que por ser producto de dos números no se trataba de un primo,
y los aplausos culminaron la intervención. Breve y contundente.”
Se hará la aclaración de que este matemático lo que hizo es comprobar en pocos
minutos que los resultados de ambos cálculos coincidían. Pero descubrir esto le costó tres
años de domingos. Hoy en día gracias a la tecnología obtenemos los resultados en el acto.
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Ya habiendo dado el conocimiento previo y algunos problemas que ayuden a
recordar el tema anterior, se inicia el contenido de factorización de números.
2. Esta anécdota se puede plantear a los alumnos en dos momentos diferentes. Uno
podría plantearse sólo por el hecho de ubicar al alumno en la historia de matemática y
hacerles ver que la matemática estuvo siempre presente y no hace poco tiempo como la
mayoría de los alumnos creen, ignorando la realidad de todos los años de investigación y
descubrimientos de los diferentes matemáticos.
Otro momento sería dando probabilidad y estadística. Se le plantea al alumno lo
que es un censo, se le da una definición:
“Se denomina censo, al recuento de individuos que conforman una población,
definida como un conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las
observaciones. El censo de una población estadística consiste básicamente, en obtener
mediciones del número total de individuos mediante diversas técnicas de recuento”.
Y luego a modo de ejemplo se les cuenta la historia sagrada de José y María. Se
analiza con los alumnos como en esa época ya se realizaban censos, cuál era la necesidad
de que los hicieran y si le daban la misma utilidad en aquel entonces que en la actualidad.
3. Esta anécdota es para introducirlos en los números romanos. Los alumnos ya
tienen el conocimiento de estos números, aunque por lo general olvidan los símbolos que
representan cada valor. De manera que comenzar con esta anécdota puede ser productivo
para que recuerden algunos símbolos y para tener una noción de cómo surgieron y como
perdura su uso en la actualidad.
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BIBLIOGRAFÍA:
Carl B. Boyer. (1999) Historia de la matemática. Ciencia y Tecnología.
Primera edición “Manuales”.
Klimovsky, G. ; Boido, G. (2005). Las desventuras del conocimiento
matemático. Filosofía de la matemática: una introducción. Ed. A-Z. Argentina.
Apuntes de cátedra.
es.wikipedia.org
http://ar.kalipedia.com
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