circunferencia y circulo 2

GeometríaGeometría20102010

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Clase Nº 12 Clase Nº 12 Circunferencia y Círculo IICircunferencia y Círculo II

PPTCANMTGEA04012V1

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Resolver ejercicios que involucren teoremas de ángulos en la circunferencia.

• Aplicar proporcionalidad de trazos y segmentos en la circunferencia.

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1.Teoremas fundamentales - Ángulos

Contenidos

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

1.2 Igualdad de ángulos inscritos

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

1.5 Teorema del ángulo exterior

1.6 Teorema del ángulo interior

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2.3 Teorema de las tangentes

2.4 Teorema de las cuerdas

2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

2. Teoremas fundamentales - Trazos

2.1 Teorema de las secantes

2.2 Teorema de la tangente y la secante

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1. Teoremas fundamentales (ángulos)

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo:Si el arco AB = 40º, entonces α = 40º

O: centro de la circunferencia

40°

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Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo:Si el arco AB = 50º, entonces α = 25º

50°

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Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.

2α

Además, se cumple que:

α = γ + δ

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Ejemplo:

En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.

70°

O: centro de la circunferencia

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1.2 Igualdad de ángulos inscritosSi dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.

α = β = γ

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1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferenciaTodo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.

180°

O: centro de la circunferencia

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1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferenciaEn todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

α + β = 180°

γ + δ = 180°

Ejemplo:

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1.5 Teorema del ángulo exteriorSi α es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

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1.6 Teorema del ángulo interiorSi α es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

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2. Teoremas fundamentales (trazos)

2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:

PA ∙ PD = PB ∙ PC

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Ejemplo:

12

20

6

x

12 ∙ PD = 20 ∙ 6

12 ∙ PD = 120

PD= 10

PA ∙ PD = PB ∙ PC

En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.

PA y PB secantes.

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2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:

(PA)2 = PC ∙ PD

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2.3 Teorema de las tangentes

PA = PC

Sean PA y PC dos tangentes, entonces:

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2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

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2.5 Cuadrilátero circunscrito

a + c = b + d

5 + c = 7 + 8

c = 10

Ejemplo:

Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:

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Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 260 a la 267.

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Equipo Editorial: Patricia ValdésOlga OrchardPablo Espinosa