circunferencia de-euler

1. Resultados previos de utilidad

Lema 1. Sea ∆ABC un triangulo arbitrario, con Ma,Mb y Mc puntos mediosa los lados BC, AC y AB respectivamente y ortocentro G. Si tomamos los puntosmedios de GA, GB y GC y los denotamos como Ea, Eb y Ec respectivamenteentonces se cumple que :

∆EaEbEc∼= ∆MaMbMc

Demostracion. Observando el triangulo AGB vemos que Ea yEb son pun-

tos medios de este, entonces la longitud de la mediana es |EaEb| = |AB|2 .

Por otro lado MaMb es mediana de ∆ABC luego |MaMb| = |AB|2 , entonces

|EaEb| = |MaMb|.Analogamente para los segmentos EbEc y EaEc tenemos que |EbEc| = |MbMc|y |EaEc| = |MaMc|. Por lo tanto por criterio LLL :

∆EaEbEc∼= ∆MaMbMc

Lema 2. considere el mismo triangulo ∆ABC,entonces MbMaEbEa y MbEcEbMc

son rectangulos.

Demostracion. Del lema 1 |MbMa| = |EaEb|. Ahora observando ∆ACG ve-

mos que |MbEa| = |EcG|2 pues MbEa es mediana. Analogamente para ∆GEcB se

tiene que |MaEb| = |EcG|2 por lo tanto |MbEa| = |MaEb| finalmente MbMaEbEa

es un rectangulo.Analogamente MbEcEbMc es rectangulo y comparte una diagonal en comun conMbMaEbEa

1

2. Demostracion de la circunferencia de Euler

Teorema. Sea ∆ABC un triangulo cualquiera y ∆MaMbMc un trianguloformado por las medianas de ∆ABC, si definimos a G como el ortocentro de∆ABC y a Ea, Eb y Ec los puntos medios de GA, GB y GC y Ha Hb Hc lospies de las alturas que pasan por los vertices A B y C respectivamente entoncesse tiene que los puntos Ea, Eb, Ec, Ha, Hb, Hc, Ma, Mb y Mc son concıclicos.

Demostracion: MbEcEbMc MbMaEbEa comparten la diagonal MbEb y porlema 2 son rectangulos. Luego todas sus diagonales son iguales, de aquı tenemosseis puntos concıclicos. solo falta probar que Ha, Hb y Hc estan dentro de lacircunferencia. Para esto vemos que ∆HbEbMb rectangulo tiene como hipote-nusa al diametro MbEb luego e 6 MbHbEb es inscrito por lo tanto Hb esta enla circunferencia. Analogamente para Ha y Hc concluimos que Ea, Eb, Ec, Ha,Hb, Hc, Ma, Mb y Mc son concıclicos.

2