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Francisco José Rodríguez Urbano
Curso de VeranoDiseño y construcción de un micro-robot
Cinemática de robots móviles
Contenido
IntroducciónTipos de ruedasSistemas de locomociónModelos cinemáticos de robots con ruedas
Tipos de Robots
Tipos de robots
Con RuedasCon patasAereosSubmarinosHumanoides
Robots móviles con ruedas
Robots con ruedas
Combinación de componentes físicos (hardware) y computacionales (software)
Conjunto de subsistemas:• Locomoción: Cómo se mueve el robot en su entorno• Percepción: Cómo mide el robot propiedades de sí mismo y de
su entorno• Control: Cómo se realiza la actuación sobre el sistema físico• Razonamiento: Cómo convierte medidas del mundo exterior en
acciones a realizar• Comunicación: Cómo se comunica el robot con otros robots o
con un operador externo
Locomoción
Locomoción — Proceso para conseguir que un robot se mueva• Para que se produzca movimiento es necesario aplicar
fuerzas sobre el robotDinámica – Estudio del movimiento a través del modelado de las fuerzas• Trata de las relaciones entre las fuerzas y los movimientos.Cinemática – Estudio matemático del movimiento sin tener en cuenta las fuerzas• Trata con las relaciones geométricas que definen el sistema• Trata con las relaciones entre los parámetros de control y el
comportamiento del sistema
Control Cinemático
Objetivos:• Descripción del comportamiento mecánico
del robot para diseñarlo y controlarlo• Diferentes a los robots manipuladores
El robot no conoce su posición de forma directaLa posición se obtiene integrando en el tiempoLa posición sólo se conoce de forma estimada
• Para estudiar el movimento del robot, es necesario comenzar estudiando las restricciones impuestas por las ruedas
Notación
cos sin 0( ) sin cos 0
0 0 1R
θ θθ θ θ
= −
b
xyξθ
=
( )m bRξ θ ξ=Sistema móvil {Xm, Ym}Sistema base {Xb, Yb}
Ruedas
Rodadura
Deslizamientolateral
Rueda directriz
Eje de Rotación orientable
Rueda ideal
Suposiciones
1. El robot se compone de partes rígidas2. No hay deslizamiento en la direcciónperpendicular a la rodadura3. No thay deslizamiento translacionalentre la rueda y el suelo (rodadura pura)4. Como máximo hay un eje de dirección por rueda5. Los ejes de la dirección son perpendiculares al suelo
Parámetros de las ruedas
A bajas velocidades, el modelo de rodadura es razonableParámetros de una rueda:• r = radio de la rueda• v = velocidad lineal de la rueda• w = velocidad angular de la rueda• t = velocidad de la dirección
Tipos de ruedas
Rueda fija Rueda orientable centrada
Rueda orientable descentrada(Castor wheel) Rueda sueca :omnidireccional
Rueda fija
x
y
Velocidad del punto P
El vector normal en la dirección del eje x es ax
Restricciones: El punto P no puede moverse en la dirección perpendicular al plano de la rueda
Rueda orientable centrada
Velocidad del punto P
El vector normal en la dirección del eje x es axEl vector normal en la dirección del eje y es ay
Restricciones: El punto P no puede moverse en la dirección perpendicular al plano de la rueda
x
y
Rueda orientable descentrada
Velocidad del punto P
El vector normal en la dirección del eje x es axEl vector normal en la dirección del eje y es ay
Es omnidireccional
x
y
Rueda sueca
Velocidad del punto P
El vector normal en la dirección del eje x es axEl vector normal en la dirección del rodillo es as
Es omnidireccional
x
y
Ejemplos de robots con ruedas
Birueda
Carterpillar
Omnidireccional
Locomoción
Centro instantáneo de rotación (ICR):Punto de cruce de los ejes de todas las ruedas
Maniobrabilidad
La maniobrabilidad de un robot es la combinación de:• Movilidad debida a las restricciones de
deslizamiento• Movilidad adicional debida a la dirección de
las ruedas orientablesRelación• Grado de movilidad • Grado de direccionabilidad• Maniobrabilidad del robot
mδsδ
M m sδ δ δ= +
Grado de movilidadGrado de movilidad
Grado de movilidad : 0
Grado de movilidad : 2 Grado de movilidad : 3
Grado de movilidad : 1
No se puede mover (No hay ICR)
Movimiento fijo en un arco (El ICR es un punto fijo)
Movimiento en un arco variable (El ICR se encuentra sobreuna línea)
Movimiento libre
( El ICR puedeencontrarse en cualquier posición)
Grado de direccionabilidadGrado de direccionabilidad
Número de ruedas orientables centradas que se pueden mover de forma independiente para dirigir el robot
Grado de direccionabilidad : 0
Grado de direccionabilidad : 2 Grado de direccionabilidad : 1
Ninguna ruedaorientablecentrada
Una ruedaorientablecentrada
Dos ruedas orientablescentradasdependientes
Dos ruedas orientablescentradasindependientes
Clasificación de robots con ruedas
Movilidad 3 2 1 2 1Direccionabilidad 0 0 1 1 2
Ejemplos de tipos robots(grado de movilidad, grado de direccionabilidad)
Modelo Cinemático
Restricciones no holónomas
Significado:El robot puede moverse en algunas direcciones
(avanzar y retroceder) , pero no en otras (lateralmente).El robot no puede moverse lateralmente de forma instantánea Aparcamiento paralelo
haciendo maniobra
Una restricción no holónoma es una restricciónen las posibles velocidades de un cuerpo
Tipos de locomoción
Tracción diferencial• Dos ruedas motrices (más una de apoyo para estabilidad)• Tipo más simple de tracción• Muy sensible a la velocidad relativa de las ruedas (pequeños errores
producen diferentes trayectorias, no cambios de velocidad)
Ruedas directrices (triciclo, bicicletas)• Rueda directriz + ruedas traseras• No puede girar ±90º• Radio de curvatura limitado
Tracción síncronaTracción omnidireccionalTipo coche (Ackerman)
Tracción diferencial
Parámetros del robotv : velocidad lineal del robotw : velocidad angular del robot(no es la de las ruedas)
(x,y) : Posición del robot: Orientación del robot
Entrada de control
ω
Tracción diferencial
Vr(t) – Velocidad lineal de la rueda derechaVl(t) – Velocidad lineal de la rueda izquierdar – radio nominal de cada ruedaR – radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del robot (distancia desde el ICC al punto medio entre las dos ruedas).
En cada instante de tiempo, las ruedasizquierda y derechadeben seguir unatrayectoria que se mueva alrededor del ICC a la misma velocidad angular ω
RVLR =+ )2
(ω LVLR =− )2
(ω
Modelo cinemático en el sistema base
[ ] 0cossincossin =−=
− θθθθ yx
yx
Restricción no holónoma
Modelo cinemático
Relación entre las entradas de control y las velocidades de las ruedas
90
Tracción diferencial
Modelo cinemático en coordenadas del robot
( ) / 2 / 2( )
( ) 0 0( )
( ) / /
xl
yr
V t r rt
V tt
t r L r L
ωω
θ
= −
( )r tω
( )l tω
Velocidad angular de la rueda derecha
Velocidad angular de la rueda izquierda
Control básico
Centro instantáneo de rotación
Movimiento rectilineoR = Infinito VR = VL
Movimiento rotacionalR = 0 VR = -VL
R : Radio de rotación
Control básico
Perfil de velocidad
: Radio de rotación: Longitud de la trayectoria: Ángulo de rotación
31
0
2
3 12
0
TricicloTres ruedas con odometría en las dos ruedas traserasDirección y tracción proporcionada por la rueda frontalVariables de control:• Ángulo de la dirección α(t)• Velocidad angular de la rueda directriz ws(t)
El centro instantáneode curvatura (ICC) debe estar en la line que pasa y esperpendicular a las ruedas traseras fijas
Triciclo
Si la rueda directriz se colocacon un ángulo α(t), el triciclo rota con una velocidadangular ω(t) alrededor del ICC situado a una distancia R según la linea que pasa y esperpendicular a las dos ruedas traseras.
Triciclo
r:radio de la rueda directriz
Vs(t): Velocidad lineal de la rueda directriz
W(t): velocidad angular del sistema móvil respecto al fijo
d: distancia de la rueda delantera al eje trasero
La rueda frontal actúa como rueda directriz y motriz
Triciclo
Modelo cinemático en coordenadas del robot
No hay deslizamiento
Triciclo
Modelo cinemático en el sistema base
Tracción síncrona
En un robot de tracción síncrona cada rueda esmotriz y directrizConfiguraciones típicas• Tres ruedas orientables dispuestas en los vertices de
un triángulo equilatero• Plataforma cilíndrica colocada sobre el triángulo• Todas las ruedas giran y avanzan sincronizadas
El comportamiento es no holónomo
Tracción síncrona
Tracción síncrona
Todas las ruedas giran al unísonoLas tres ruedas apuntan en la misma dirección y giran a la misma velocidad• Esto se consigue mediante un conjunto complejo de correas que
conectan las ruedas• Usan dos motores independientes, uno hace rodar todas las
ruedas, y el otro las hace girar simultaneamenteEl vehículo controla la dirección en la que apuntan lasruedas, y la velocidad a la que ruedanDado que todas las ruedas permanecen paralelas, el robot rota siempre alrededor de su centro geométricoLos robot de tracción síncrona pueden controlar la orientación θ directamente
Tracción síncrona
Variables de control (independedientes)• v(t), ω(t)
El centro instantáneo de curvatura (ICC) está siempre en el infinito.Cambiando la orientaciónde las ruedas cambia la dirección del ICC
Tracción síncrona
Casos particulares:• v(t)=0, w(t)=w durante un
intervalo de tiempo ∆t, El robot rota sin moverse un ángulo w ∆t .
• v(t)=v, w(t)=0 durante un intervalo de tiempo ∆t , el robot se desplaza en la dirección a la que apunta una distancia v ∆t.
Tracción omnidireccional
Rueda sueca
Tipo coche (Ackerman)
Se usa en vehículos a motor. La rueda frontal interna rota un poco más que la externa(reduce el deslizamiento)Se usa de forma generalizadaen robot móviles autónomos en exteriores
R
Tipo coche (Ackerman)
whered = separación lateral de las ruedasl = separación longitudinal de las ruidasθi = Angulo relativo de dirección de la rueda interiorθo = Angulo relativo de dirección de la rueda exteriorR=distancia del ICC a la línea central del vehículo
R
Tipo coche (Ackerman)
Ecuaciones:
θθ
θsincoscot =
ld
ldR
ldR
oi
=
−−
+=
−2/2/
cotcot θθ
ld
oi =− θθ cotcot
R
Tipo coche (Ackerman)
Modelo equivalente:
Kinematic model for car-like robot
Entradas de control:
Tipo: Ruedas traseras motrices, delanteras direcctrices
1u
},{},{
},,,{
21
21
ττ
ϕθuuyx
: Velocidad de avance de las ruedas traseras
: Velocidad angular de las ruedas directrices2u
X
Y
θ
ϕ
yx,
Cinemática tipo coche (Ackerman)
1uR =⋅θ
2
1
1
1
tan
sincos
uluuyux
=
=
==
ϕ
ϕθ
θθ
0cossin =− θθ yx
Restricción no holónoma:: Velocidad de avance
: Velocidad de giro de la dirección1u
2ul”: distancia entre eje delantero y trasero
X
Y
θ
ϕ
yx,
l
ICC
Rϕ
1tanul
=ϕ
θ
Modelo con tracción trasera:
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