cinematic a

Francisco José Rodríguez Urbano

Curso de VeranoDiseño y construcción de un micro-robot

Cinemática de robots móviles

Contenido

IntroducciónTipos de ruedasSistemas de locomociónModelos cinemáticos de robots con ruedas

Tipos de Robots

Tipos de robots

Con RuedasCon patasAereosSubmarinosHumanoides

Robots móviles con ruedas

Robots con ruedas

Combinación de componentes físicos (hardware) y computacionales (software)

Conjunto de subsistemas:• Locomoción: Cómo se mueve el robot en su entorno• Percepción: Cómo mide el robot propiedades de sí mismo y de

su entorno• Control: Cómo se realiza la actuación sobre el sistema físico• Razonamiento: Cómo convierte medidas del mundo exterior en

acciones a realizar• Comunicación: Cómo se comunica el robot con otros robots o

con un operador externo

Locomoción

Locomoción — Proceso para conseguir que un robot se mueva• Para que se produzca movimiento es necesario aplicar

fuerzas sobre el robotDinámica – Estudio del movimiento a través del modelado de las fuerzas• Trata de las relaciones entre las fuerzas y los movimientos.Cinemática – Estudio matemático del movimiento sin tener en cuenta las fuerzas• Trata con las relaciones geométricas que definen el sistema• Trata con las relaciones entre los parámetros de control y el

comportamiento del sistema

Control Cinemático

Objetivos:• Descripción del comportamiento mecánico

del robot para diseñarlo y controlarlo• Diferentes a los robots manipuladores

El robot no conoce su posición de forma directaLa posición se obtiene integrando en el tiempoLa posición sólo se conoce de forma estimada

• Para estudiar el movimento del robot, es necesario comenzar estudiando las restricciones impuestas por las ruedas

Notación

cos sin 0( ) sin cos 0

0 0 1R

θ θθ θ θ

= −

b

xyξθ

=

( )m bRξ θ ξ=Sistema móvil {Xm, Ym}Sistema base {Xb, Yb}

Ruedas

Rodadura

Deslizamientolateral

Rueda directriz

Eje de Rotación orientable

Rueda ideal

Suposiciones

1. El robot se compone de partes rígidas2. No hay deslizamiento en la direcciónperpendicular a la rodadura3. No thay deslizamiento translacionalentre la rueda y el suelo (rodadura pura)4. Como máximo hay un eje de dirección por rueda5. Los ejes de la dirección son perpendiculares al suelo

Parámetros de las ruedas

A bajas velocidades, el modelo de rodadura es razonableParámetros de una rueda:• r = radio de la rueda• v = velocidad lineal de la rueda• w = velocidad angular de la rueda• t = velocidad de la dirección

Tipos de ruedas

Rueda fija Rueda orientable centrada

Rueda orientable descentrada(Castor wheel) Rueda sueca :omnidireccional

Rueda fija

x

y

Velocidad del punto P

El vector normal en la dirección del eje x es ax

Restricciones: El punto P no puede moverse en la dirección perpendicular al plano de la rueda

Rueda orientable centrada


El vector normal en la dirección del eje x es axEl vector normal en la dirección del eje y es ay

Restricciones: El punto P no puede moverse en la dirección perpendicular al plano de la rueda

x

y

Rueda orientable descentrada


El vector normal en la dirección del eje x es axEl vector normal en la dirección del eje y es ay

Es omnidireccional

x

y

Rueda sueca


El vector normal en la dirección del eje x es axEl vector normal en la dirección del rodillo es as

Es omnidireccional

x

y

Ejemplos de robots con ruedas

Birueda

Carterpillar

Omnidireccional

Locomoción

Centro instantáneo de rotación (ICR):Punto de cruce de los ejes de todas las ruedas

Maniobrabilidad

La maniobrabilidad de un robot es la combinación de:• Movilidad debida a las restricciones de

deslizamiento• Movilidad adicional debida a la dirección de

las ruedas orientablesRelación• Grado de movilidad • Grado de direccionabilidad• Maniobrabilidad del robot

mδsδ

M m sδ δ δ= +

Grado de movilidadGrado de movilidad

Grado de movilidad : 0

Grado de movilidad : 2 Grado de movilidad : 3

Grado de movilidad : 1

No se puede mover (No hay ICR)

Movimiento fijo en un arco (El ICR es un punto fijo)

Movimiento en un arco variable (El ICR se encuentra sobreuna línea)

Movimiento libre

( El ICR puedeencontrarse en cualquier posición)

Grado de direccionabilidadGrado de direccionabilidad

Número de ruedas orientables centradas que se pueden mover de forma independiente para dirigir el robot

Grado de direccionabilidad : 0

Grado de direccionabilidad : 2 Grado de direccionabilidad : 1

Ninguna ruedaorientablecentrada

Una ruedaorientablecentrada

Dos ruedas orientablescentradasdependientes

Dos ruedas orientablescentradasindependientes

Clasificación de robots con ruedas

Movilidad 3 2 1 2 1Direccionabilidad 0 0 1 1 2

Ejemplos de tipos robots(grado de movilidad, grado de direccionabilidad)

Modelo Cinemático

Restricciones no holónomas

Significado:El robot puede moverse en algunas direcciones

(avanzar y retroceder) , pero no en otras (lateralmente).El robot no puede moverse lateralmente de forma instantánea Aparcamiento paralelo

haciendo maniobra

Una restricción no holónoma es una restricciónen las posibles velocidades de un cuerpo

Tipos de locomoción

Tracción diferencial• Dos ruedas motrices (más una de apoyo para estabilidad)• Tipo más simple de tracción• Muy sensible a la velocidad relativa de las ruedas (pequeños errores

producen diferentes trayectorias, no cambios de velocidad)

Ruedas directrices (triciclo, bicicletas)• Rueda directriz + ruedas traseras• No puede girar ±90º• Radio de curvatura limitado

Tracción síncronaTracción omnidireccionalTipo coche (Ackerman)

Tracción diferencial

Parámetros del robotv : velocidad lineal del robotw : velocidad angular del robot(no es la de las ruedas)

(x,y) : Posición del robot: Orientación del robot

Entrada de control

ω


Vr(t) – Velocidad lineal de la rueda derechaVl(t) – Velocidad lineal de la rueda izquierdar – radio nominal de cada ruedaR – radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del robot (distancia desde el ICC al punto medio entre las dos ruedas).

En cada instante de tiempo, las ruedasizquierda y derechadeben seguir unatrayectoria que se mueva alrededor del ICC a la misma velocidad angular ω

RVLR =+ )2

(ω LVLR =− )2

(ω

Modelo cinemático en el sistema base

[ ] 0cossincossin =−=

− θθθθ yx

yx

Restricción no holónoma

Modelo cinemático

Relación entre las entradas de control y las velocidades de las ruedas

90


Modelo cinemático en coordenadas del robot

( ) / 2 / 2( )

( ) 0 0( )

( ) / /

xl

yr

V t r rt

V tt

t r L r L

ωω

θ

= −

( )r tω

( )l tω

Velocidad angular de la rueda derecha

Velocidad angular de la rueda izquierda

Control básico

Centro instantáneo de rotación

Movimiento rectilineoR = Infinito VR = VL

Movimiento rotacionalR = 0 VR = -VL

R : Radio de rotación

Control básico

Perfil de velocidad

: Radio de rotación: Longitud de la trayectoria: Ángulo de rotación

31

0

2

3 12

0

TricicloTres ruedas con odometría en las dos ruedas traserasDirección y tracción proporcionada por la rueda frontalVariables de control:• Ángulo de la dirección α(t)• Velocidad angular de la rueda directriz ws(t)

El centro instantáneode curvatura (ICC) debe estar en la line que pasa y esperpendicular a las ruedas traseras fijas

Triciclo

Si la rueda directriz se colocacon un ángulo α(t), el triciclo rota con una velocidadangular ω(t) alrededor del ICC situado a una distancia R según la linea que pasa y esperpendicular a las dos ruedas traseras.

Triciclo

r:radio de la rueda directriz

Vs(t): Velocidad lineal de la rueda directriz

W(t): velocidad angular del sistema móvil respecto al fijo

d: distancia de la rueda delantera al eje trasero

La rueda frontal actúa como rueda directriz y motriz

Triciclo

Modelo cinemático en coordenadas del robot

No hay deslizamiento

Triciclo

Modelo cinemático en el sistema base

Tracción síncrona

En un robot de tracción síncrona cada rueda esmotriz y directrizConfiguraciones típicas• Tres ruedas orientables dispuestas en los vertices de

un triángulo equilatero• Plataforma cilíndrica colocada sobre el triángulo• Todas las ruedas giran y avanzan sincronizadas

El comportamiento es no holónomo

Tracción síncrona

Tracción síncrona

Todas las ruedas giran al unísonoLas tres ruedas apuntan en la misma dirección y giran a la misma velocidad• Esto se consigue mediante un conjunto complejo de correas que

conectan las ruedas• Usan dos motores independientes, uno hace rodar todas las

ruedas, y el otro las hace girar simultaneamenteEl vehículo controla la dirección en la que apuntan lasruedas, y la velocidad a la que ruedanDado que todas las ruedas permanecen paralelas, el robot rota siempre alrededor de su centro geométricoLos robot de tracción síncrona pueden controlar la orientación θ directamente

Tracción síncrona

Variables de control (independedientes)• v(t), ω(t)

El centro instantáneo de curvatura (ICC) está siempre en el infinito.Cambiando la orientaciónde las ruedas cambia la dirección del ICC

Tracción síncrona

Casos particulares:• v(t)=0, w(t)=w durante un

intervalo de tiempo ∆t, El robot rota sin moverse un ángulo w ∆t .

• v(t)=v, w(t)=0 durante un intervalo de tiempo ∆t , el robot se desplaza en la dirección a la que apunta una distancia v ∆t.

Tracción omnidireccional

Rueda sueca

Tipo coche (Ackerman)

Se usa en vehículos a motor. La rueda frontal interna rota un poco más que la externa(reduce el deslizamiento)Se usa de forma generalizadaen robot móviles autónomos en exteriores

R


whered = separación lateral de las ruedasl = separación longitudinal de las ruidasθi = Angulo relativo de dirección de la rueda interiorθo = Angulo relativo de dirección de la rueda exteriorR=distancia del ICC a la línea central del vehículo

R


Ecuaciones:

θθ

θsincoscot =

ld

ldR

ldR

oi

=

−−

+=

−2/2/

cotcot θθ

ld

oi =− θθ cotcot

R


Modelo equivalente:

Kinematic model for car-like robot

Entradas de control:

Tipo: Ruedas traseras motrices, delanteras direcctrices

1u

},{},{

},,,{

21

21

ττ

ϕθuuyx

: Velocidad de avance de las ruedas traseras

: Velocidad angular de las ruedas directrices2u

X

Y

θ

ϕ

yx,

Cinemática tipo coche (Ackerman)

1uR =⋅θ

2

1

1

1

tan

sincos

uluuyux

=

=

==

ϕ

ϕθ

θθ

0cossin =− θθ yx

Restricción no holónoma:: Velocidad de avance

: Velocidad de giro de la dirección1u

2ul”: distancia entre eje delantero y trasero

X

Y

θ

ϕ

yx,

l

ICC

Rϕ

1tanul

=ϕ

θ

Modelo con tracción trasera:

cinematic a

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