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Christhian SanabriaDepartamento de Ingeniería Eléctrica

Facultad IngenieríaUniversidad Nacional Autónoma de Honduras

CIRCUITOS ELECTRICOS II

– Fundamentos Ingeniería Eléctrica

1

Contenido

IntroducciónRepresentación fasorialRelaciones de tensión y corriente

trifásicaCargas trifásicas Potencia trifásica Factor de potencia

2

Introducción

Antes de conducir a un análisis detallado de los modelos de los diferentes componentes que constituyen un circuito eléctrico de corriente alterna, es importante revisar algunos conceptos fundamentales para el análisis de redes eléctricas en CA.

3

Representación fasorial

Relación de tensiones y corrientes en el dominio del tiempo para un circuito serie R-L o R-C con fuente de corriente alterna (CA) con fuente de excitación tipo sinusoidal

4

Representación fasorial

exponencial

cos sin rectangular

polar

JEe

E jE

E

La representación fasorial permite representar cualquier función sinusoidal como un fasor o vector en un sistema de coordenadas complejo. Se puede usar las siguientes formas

En la mayoría de cálculos de redes eléctricas CA, es más conveniente trabajar en el dominio de la frecuencia, donde cualquier velocidad angular asociada con el fasor es ignorada, lo cuales se puede decir que el sistema de coordenadas complejo rota a velocidad angular

constante . 5

Fuente ideal de tensión

Fuente ideal de corriente

Circuitos Eléctricos Básicos

sv

+

-

i

+

-

si

Carga

Carga

si

i

i

v

sv

v

6

Ejemplo – Potencia para lampara incandescente Encontrar R si la lampara toma 60W a 12 V

Encontrar la corriente, I ¿Cuál es P si vs es el doble y R permanece

igual?

12sv V

+

-

i

Carga

125

2.4v

i AR

2vP v i

R

60P W2 212

2.460

vR

P

7

Resistencia equivalente para resistores en serie y paralelo Resistores en serie– la tensión se divide, la corriente es la

misma

v

+

-

1R

2R

NR

i

1 2EQ NR R R R

+

-

v

i

NodoTensiones

8

Resistencia equivalente para resistores en serie y paraleloResistores en paralelo– la corriente se divide, la

tensión es la misma

1 2

11 1 1

...EQ

N

R

R R R

Simplificación para 2 resistores

1 2

1 2EQ

R RR

R R

+

-

i

i

1R 2R NRv

Corrientes de rama

v

9

Divisores de tensión y corriente

i1R

2R

+

-

v

+

-outv

1 2EQ

v vi

R R R

2outv i R

2

1 2out

Rv v

R R

i

1R 2Rv

+

-2i1i 2

2

vi

R

1 2

1 2EQ

R Rv i R i

R R

12

1 2

Ri i

R R

Divisor de tensión

Divisor de corriente

10

Ángulos de fase Los ángulos son medidos con respecto a

una referencia, depende dónde se define t=0

Cuando se comparan señales, se define t=0 una vez y se mide toda otra señal con respecto a la referencia

La elección de la referencia es arbitrario– cambio de la fase relativa es lo que importa

La fase relativa cambia entre las señales independiente en donde se define t=0

11

Ejemplo: angulo de fase de referencia

Punto de onda abajo como refencia

1 sin4

v V t

2 sin 0v V t

1 sin 0v V t

2 sin4

v V t

1 2 4

1 2 4

• O punto de onda arriba como referencia, como se ve no importa!

12

Propiedades importantes: RMS

RMS = the square root of the mean of the squares of the values

RMS para una forma de onda períodica

RMS para una senoide (derive esto para tarea)

21( )

o

o

t T

RMSt

V v tT

sea ( ) cos( )pv t V t 2p

RMS

VV

T periodo

13

Propiedades importantes:Valores de potencia instantanea

Potencia instantanea en una carga

p(t)= ( ) ( )v t i t( )v t

+

-

( )i t

( )= cos( )

( )= cos( )

p V

p I

v t V t

i t I t

( )= ( ) ( )p t v t i t

( )= cos cos 22p p

V I V I

V Ip t t

“convención de signo elemento pasivo” – corriente y potencia en la carga

1cos cos cos cos

2

Identidad trigonométrica

14

Propiedades importantes: Potencia promedio

Potencia promedio se encuentra de

Encontrar la potencia promedio en una carga (derive esto para tarea)

( )= cos cos 22p p

V I V I

V Ip t t

1( )

o

o

t T

t

P p t dtT

T periodo

P= cos2p p

V I

V I P= cosRMS RMS V IV I

15

Propiedades importantes:Potencia Real

P se llama Potencia Real

cos(θV-θI) se llama el Factor de Potencia(pf)

Antes se debe revisar el tema de fasores y volver luego a estas definiciones …

P= cosRMS RMS V IV I

P= Re{VI*}

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Repaso del análisis fasorial Fasores son usados en ingeniería eléctrica

(sistemas de potencia) para representar senoides de la misma frecuencia

Una simple deducción…

2 f ( ) cos( )pA t A t

1cos( )

2jx jxx e e

cos( )2

j t j tAA t e e

Identidad (Euler)

Ap denota el valor píco (máximo) de A(t)

17

Use la identidad de Euler

Escrito en notación fasorial como

cos sinjxe x j x Identidad

( ) cos( )

( ) Re

p

j t jp

A t A t

A t A e e

cos Re jxx e

or jRMS RMSA A e A A “Tilde denota un fasor”

or jA A e A A Otra, notación simplificada

Independientemente de la notación que use, ayuda a ser consistente

Note, una convención- la amplitud usada aqui es el valor RMS , no el valor de pico como es usado en otras clases!

Repaso del análisis fasorial

18

¿Por qué fasores? Simplifica los cálculos Se vuelven derivadas e integrales en ecuaciones

algebráicas

Hace más fácil resolver circuitos de C.A.

dA j A

dt

R( )

R i (t)= Rv tR

L( )

L (t)= Ldi tv L

dt

C( )

C (t)= Cdv ti C

dt

=V

RI

=Lj IV Vj L

I

I=Cj V 1VI j C

LjX j L

1cjX j

C 19

¿Por qué fasores?: circuitos RLC

R j L

1j C

R L

C

( ) cosv t V t V V

1( ) ( ) ( )

div t Ri t L i t dt

dt C

I( )i t

1V RI j LI I

j C

Para resolver la corriente ¿cuál circuito Usted prefiere?

+

-

+

-

20

Ejemplo de un circuito RLC

( ) 2 100cos 30v t t

3LX L

2 f

60Hzf

2 24 3 5Z 1 3

tan 36.94Z

100 3020 6.9

5 36.9V

IZ

( ) 2 20cos( 6.9 )i t t 21

Potencia Compleja

VV= RMSV

II= RMSI

Asterisco denota complejo conjugado

*

*

VI

VI cos sin

RMS RMS V I

RMS RMS V I RMS RMS V I

V I

V I jV I

SPotencia Aparente

PPotencia Real

QPotencia Reactiva

S = P+jQ

SQ

P

(θV-θI)

Tríangulo de Potencia

22

Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)

P = potencia real (W, kW, MW)Q = potencia reactiva (var, kvar, Mvar) S = potencia aparente (VA, kVA, MVA) Angulo del factor de potencia Factor de potencia (p.f.)

*

*

*

VI

VI

VI cos sin

RMS RMS V I

RMS RMS V I RMS RMS V I

S P jQ

V I

V I jV I

V I

cos( )pf 23

Recuerde ELI el ICE man

ELI ICE

Cargas inductivas

I atrasa V (o E)Cargas capacitivas

I adelanta V (o E)

S Q

P

(θV-θI)P

QS(θV-θI)

Q y θ positivo Q y θ negativo(generando Q)

“Convención de signo elemento pasivo” – corriente y potencia en la carga

Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)

24

Relación entre P, Q, y S puede ser deducido del triangulo de potencia

Ejemplo: Una carga toma100 kW con p.f. de 0.85 en adelanto. ¿Cuá es el factor de potencia, el ángulo, Q, y S?

cos

sin

P S

Q S

-1cos 0.85 31.8

100 kW117.6 kVA

0.85Q=117.6 kVA sin( 31.8 ) 62.0 kVAr

S

Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)

25

Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)

26

Conservación de la Energía

Leyes de corrientes y tensiones de Kirchhoff (LVK y LCK) Suma de caidas de tensión en un lazo debe ser

cero Suma de corrientes entrando a uno nodo debe

ser cero La conservación de la energía La suma de potencia real entrando en cada nodo

debe ser igual a cero (potencia nodal) La suma de potencia reactiva entrando en cada

nodo debe ser igual a cero (potencia nodal) 27

Representación fasorial

28

Las impedancias de red se pueden representar como fasores usando relaciones vectoriales

La necesidad para resolver ecuaciones diferenciales complejas para determinar las respuestas del circuito desaparece. Las restricciones que se aplican son:

las fuentes deben ser sinusoidales

la frecuencia debe permanecer constante

R, L, C deben se constantes (linealidad).

Representación fasorial

29

Sistemas trifásicos

30

120º

120º

120º 120º 120º

Sistemas trifásicos

BALANCEADO O

EQUILIBRADO

DESBALANCE

Ea(t) + Eb(t) + Ec(t) = 0

31

Relaciones de tensión y corriente trifásica

32

Relaciones de tensión y corriente trifásica

Diagrama fasorial para diversas potencias y funciones del operador “a”

20 3

42 0 3

2

1 31 120 1 0.5 0.866

2 2

1 31 240 1 0.5 0.866

2 2

1 0

j

j

a e j j

a e j j

a a

33

Relaciones de tensión y corriente trifásica

Diagrama fasorial de los tensiones línea a línea en relación con las tensiones de línea a neutro en un circuito trifásico balanceado.

34

Relaciones de tensión y corriente trifásica

Diagrama fasorial de los corrientes de línea en relación con las corrientes de fase en una carga trifásica conectada en delta.

35

Cargas trifásicas

producto de las Z

suma de las Z yZ

* Existen diferentes modelos de cargas según estudios

Impedancia o admitancia constante

36

Potencia trifásicaTensiones y corrientes monofásicas

an bn cnV V V V

an bn cnI I I I

Potencias monofásicas*~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

.

cos

sin

p

p

S V I P jQ

P V I

Q V I

37

Potencia trifásicaPotencias trifásicas a partir de las monofásicas

Relaciones de tensiones y corrientes trifásicas

*~ ~ ~ ~

3

~ ~ ~

3

~ ~ ~

3

3. 3. .

3. cos

3. sin

p

p

S S V I

P V I

Q V I

~ ~~ ~ ~

3 3LL L

LN

V IV V I

38

Potencia trifásicaPotencias trifásicas

* *~ ~ ~ ~ ~

3

~ ~ ~ ~ ~

33 3

~ ~ ~

3

~ ~ ~

3

3. . 3. .

3.

3. cos

3. sin

LL L LN

LL L

LLL p

LLL p

S V I V I

S V I P Q

P V I

Q V I

39

Factor de potencia

Carga inductiva Cargas combinadas ( - Q2)

Triángulos de potencia

40

Factor de potencia

Corrección factor de potencia (F.P.)

41

Factor de potencia

Factor de potencia (F.P.)

Potencia activa (P)factor de potencia total

Potencia aparente (S)

* No necesariamente las formas de onda son sinusoidales

42

Potencia trifásica

Grandes sistemas de potencia son casi exclusivamente 3

Se puede transmitir más energía con la misma cantidad de conductores (más del doble que con un sistema monofásico)

El par (torque) producido por máquinas 3 es constante.

Máquinas trifásicas usan menos material para la misma potencia nominal.

Máquinas trifásicas arranca más fácil que las máquinas monofásicas. 43

Potencia trifásicas

Transformadores monofásicos son comunmente en sistemas de distribución residenciales. La mayoría de sistemas de distribución son trifásicos 4 hilos, con un conexión a tierra multipunto.

44

Potencia y Energía Energía: Integration de la potencia en el

tiempo; energía es lo que realmente quieren las personas.

Algunas unidades: Joule = 1 Watt-segundo(J) kWh = Kilowatt-hora (3.6 x 106 J) Btu = 1055 J; 1 Btu = 0.000293 KWh;1

MBtu=0.293 MWh; 1MWh=3.4MBtu Un galón (3.7 L) de gas natural tiene alrededor

de 0.125 MBtu (36.5 kWh); un galón de etanol como 0.084 Mbtu (2/3 que del gas).

1 hp = 746 watts = 0.746 kW 45

Bibliografía[1]John J. Grainger, William D. Stevenson Jr., Análisis de

Sistemas de Potencia, McGraw-Hill, México, 1996.[2]A. Gómez Expósito et.al., Análisis y Operación de

Sistemas de Energía Eléctrica, McGraw-Hill, España, 2002

[3]IEEE Std 399-1997, IEEE Recommended Practice for Industrial and Commercial Power Systems Analysis, published by IEEE, 1998.

[4] J.D. Glover, M: S. Sarma, T.J. Overbye, Power System Analysis and Design, CENGAGE Learning, 5th Ed., USA, Jan. 2011.

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