cem4042 cap 1-2 - análisis vectorial sadiku-2014
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CEM 4042: Campos
Electromagnéticos
Instructor: Ing. Héctor C. Vergara V.
Profesor de Facultad de Ingeniería Mecánica
Centro Regional de Azuero
Universidad Tecnológica de Panamá
Móvil: (507) 6677-5920, email: hector.vergara@utp.ac.pa
Libro de Texto:
M.N.O. Sadiku, Elementos de Electromagnetismo 5th ed. Oxford University Press, 2011.
Lectura Auxiliar:
H.M. Shey, Div Grad Curl and all that: an informal text on vector calculus, 4th ed. Norton Press, 2005.
Todas las figuras son tomadas del libro de texto principal a menos que se diga lo contrario
Cap. 1, 2:Revisión Esencial de Matemática
Ecuaciones de Maxwell dependientes del Tiempo
• Fue James Clark Maxwell que coloco todo junto y redujo la teoría del campoelectromagnético en 4 simples ecuaciones. Fue solo a través del descubrimientode las ondas electromagnéticas fueron descubiertos y la teoría de la luz se hadesarrollado. Las ecuaciones de Maxwell se le atribuye el descubrimientocompletamente del campo electromagnético (ya sea estática o dinámica) seescribe como:
Forma Diferencial Forma Integral
Ley de Gauss
La inexistencia del monopolo magnético
Ley de Faraday
Ley circuital de Ampere
Cap. 1:Análisis Vectorial
Escalares y Vectores
Vector Unitario
Adición y sustracción de Vectores
Multiplicación de vectores
Componentes de un vector
Vectores y Escalares• Escalar: Cantidad definida solamente por su magnitud.
Tensor de Grado 0• Velocidad: 4 m/s
• Carga Eléctrica: 3 Coulomb
• Capacitancia: 5 Faradios.
• Vector: Cantidad definida por magnitud, dirección en el espacio y sentido. Tensor de Grado 1
• Fuerza: 𝐹 = 3 𝑥 + 5 𝑦 + 4 𝑧 𝑁
• Campo: Es una función que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una región.
• Campo Eléctrico (Campo Vectorial): 𝐸 =𝑘𝑞
𝑟2 𝑟 𝑁/𝐶
• Voltaje (Campo Escalar): 𝑉 =𝑘𝑞
𝑟𝑉
Vectores Unitario• Un vector A posee tanto magnitud
y dirección.
• La magnitud de A es un escalar, elcual se escribe 𝑨 .
• Un vector unitario 𝑎𝐴a lo largo deA es un vector cuya magnitudequivale a la unidad (es decir, 1) ycuya dirección sigue la dirección
de A, esto es 𝑎𝐴 =𝑨
𝑨
Adición y sustracción de Vectores• Dos vectores, 𝑨 y 𝑩 pueden sumarse para dar otro vector 𝑪
• Se podrán utilizar las siguientes leyes básicas del algebra aplicados a vectores:
Conmutativa
Asociativa
Distributiva
Adición Multiplicación
Vectores de Posición y de Distancia• Los vectores pueden se usados para definir distancia entre dos puntos en
un sistema de coordenadas o entre una línea y un plano con un sistema decoordenadas.
• Si tiene dos puntos 𝑃 y 𝑄, se puede encontrar la distancia entre estos es el vector, 𝑟
Multiplicación de vectores: Producto Punto• Dos vectores 𝐴 y 𝐵, pueden ser multiplicados para generar un tercer vector 𝐶.
• Producto Escalar
• Producto Vectorial
• Triple Producto Escalar
• Triple Producto Vectorial
• Se podrán utilizar las siguientes leyes básicas del algebra aplicados a el productopunto (Producto escalar)
Nota: Cuando los vectores son ortogonales (perpendiculares) el producto punto se multiplicanpor un valor de coseno igual a cero.
Cuando los vectores son paralelos el producto punto se multiplica por un valor de coseno de 1
Conmutativa
Asociativa
Multiplicación de vectores: Producto Cruz• Se podrán utilizar las siguientes leyes básicas del algebra aplicados a el producto
cruz (Producto vectorial)
Nota: Cuando los vectores son ortogonales el producto cruz se multiplican por un valor deseno igual a 1
Anti-Conmutativa
No Asociativa
Distributiva
Triple producto Escalar
Triple producto Vectorial
Componentes de un Vector• Se tienen dos vectores 𝐴 y 𝐵, se puede encontrar directamente la componente
escalar de 𝐴 sobre 𝐵:
Este producto escalar se conoce como la proyección (o componente) 𝐴 a lo largo de la dirección 𝑎𝐵
• La componente del vector 𝐴 a lo largo de 𝐵 es simplemente una componenteescalar multiplicada por el vector unitario a lo largo de 𝐵
• Se puede encontrar el angulo entre 𝐴 y 𝐵 usando el producto punto y elproducto cruz
Cap. 2:Sistemas de coordenadas y su
transformación
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas circulares
Coordenadas Esféricas
Superficies de coordenadas constantes
Coordenadas Cartesianas• El sistema de coordenadas cartesianas están representadas por 𝑥, 𝑦, 𝑧 que son
tres vectores ortogonales en líneas rectas que se intersectan en un simple punto(el origen)
• El vector 𝐴 en este sistemas de coordenadas puede ser escrito
Coordenadas Cilíndricas• El sistema de coordenadas cilíndricas están
representadas por 𝜌, ∅, 𝑧 que son tres vectoresortogonales.
• El vector 𝐴 en este sistemas de coordenadas puedeser escrito
• Donde las siguientes ecuaciones pueden ser usadaspara convertir entre sistemas de coordenadascartesianas y cilíndricas.
Matriz de transformación: Cartesianas y Cilíndricas.
Coordenadas Esféricas• El sistema de coordenadas cilíndricas están
representadas por 𝑟, 𝜃, ∅ que son tres vectoresortogonales que emanan o giran en torno al origen
• El vector 𝐴 en este sistemas de coordenadaspuede ser escrito
• Donde las siguientes ecuaciones pueden serusadas para convertir entre sistemas decoordenadas cartesianas y esféricas
0 ≤ 𝑟 < ∞0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋0 ≤ ∅ < 2𝜋
Matriz de transformación: Cartesianas y Esféricas.
Ejemplos de Sistemas de coordenadas
1. Exprese el vector 𝐴 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝑧 𝑧 en coordenadas esférica
2. Un campo vectorial en variables de coordenadas “mixtas” está
dada por 𝐺 =𝑥 𝑐𝑜𝑠∅
𝜌 𝑥 +
2𝑦𝑧
𝜌2 𝑦 + 1 −
𝑥2
𝜌2 𝑧, Exprese G
únicamente en coordenadas esféricas
3. Exprese los vectores siguientes en el sistema cartesiano y evalúelo en el P(3, π/4,-5):
𝐴 = 𝜌2𝑧2𝑐𝑜𝑠2∅ 𝑠𝑒𝑛∅ + 𝜌𝑧 𝑠𝑒𝑛2∅ 𝝆
+ 𝜌𝑧𝑠𝑒𝑛 ∅ cos ∅ − 𝜌2𝑧2 cos ∅ 𝑠𝑒𝑛2∅ ∅+ 𝜌2𝑠𝑒𝑛 ∅ cos ∅ 𝒛
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