calculo de la recta tangente

CALCULO DE LA RECTA TANGENTE

Para el calculo de las rectas tangentes tienes varios procedimientos dependiendo de la información que te den para dicho calculo.

𝑦 = 𝑓(𝑥!) + 𝑓′(𝑥!) ∙ (𝑥 − 𝑥!)

Donde 𝑥! → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.𝑚 = 𝑓"(𝑥#) → 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

• La función y el punto donde es tangente • La función y la pendiente de la recta tangente (suelen decir que es paralela a otra recta, es decir, te dan la pendiente

ya que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente) • La función y un punto exterior de la recta tangente.

Creo que con un ejemplo de cada tipo entenderás mejor el procedimiento:

1. Halla la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 0.

Primero debes de calcular la derivada de la función con la que estés trabajando:

𝑦" = −𝑠𝑒𝑛𝑥

Ahora voy a calcular 𝑓(0) = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 ; 𝑓"(0) = −𝑠𝑒𝑛0 = 0 . Finalmente, solo tienes que sustituir esta información en la ecuacion que representa la recta tangente:

𝑦 = 𝑓(𝑥!) + 𝑓"(𝑥!) ∙ (𝑥 − 𝑥!) → 𝑦 = 1 + 0(𝑥 − 0) → 𝑦 = 1

2. Halla la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) = 𝑥$ + 2𝑥 + 1 sabiendo que es paralela a la recta de ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 3

Tal y como te dan la información, ya sabes cual es la pendiente de la recta tangente que quieres calcular ya que es paralela a la que te dan, por tanto;

𝑚 = 𝑓"(𝑥!) = 2

Ahora tienes que calcular la derivada de la función con la que estas trabajando e igualarla a la pendiente, en este caso 2:

𝑓"(𝑥) = 2𝑥 + 2

2𝑥 + 2 = 2 → 𝑥 = 0, 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎𝑦𝑎𝑠𝑎𝑏𝑒𝑠𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑥! = 0

Solo te queda calcular 𝑓(0), 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜𝑑𝑎𝑙𝑎𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑦𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑙𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

𝑓(0) = 0$ + 2(0) + 1 = 1

𝑦 = 𝑓(𝑥!) + 𝑓"(𝑥!) ∙ (𝑥 − 𝑥!) → 𝑦 = 1 + 2(𝑥 − 0) → 𝑦 = 2𝑥 + 1

3. Halla la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) = 𝑥$ sabiendo un punto exterior de la recta tangente que es: (−1,0)

La idea para resolver este ejercicio es, primero, saber expresar un punto general de la función con la que estas trabajando, en este caso: (𝑥, 𝑦) → (𝑥, 𝑥$), este punto pertenece tanto a la recta tangente como a la función ya que al ser un punto cualquiera de la parábola, vas a asumir que también es de la recta tangente.

Por tanto, ahora el siguiente paso es calcular la pendiente de la recta tangente:

𝑚 =𝑥 − 𝑥%𝑦 − 𝑦%

=𝑥 + 1𝑥$ − 0

=𝑥 + 1𝑥$

→ 𝑦𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑙𝑎𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑒𝑛𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑥

Tu también sabes que la pendiente es la derivada de la función, por tanto, 𝑓"(𝑥) = 2𝑥

Ahora;

𝑥 + 1𝑥$

= 2𝑥 → 𝑥 + 1 = 2𝑥& → −2𝑥& + 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = 1

Ahora mismo ya sabes cual es el punto de tangencia, es decir, 𝑥! = 1, estas trabajando con un caso como el numero 1.

𝑦 = 𝑓(𝑥!) + 𝑓"(𝑥!) ∙ (𝑥 − 𝑥!) → 𝑦 = 𝑓(1) + 𝑓′(1)(𝑥 − 1)