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Calculo

2. Calculo diferencial de funciones de variasvariables

Mayo, 2009

Definicion

IR2 = {(x1,x2)/x1 ∈ IR,x2 ∈ IR}

Sean dos puntos a y b, de coordenadas respectivas (a1,a2) y (b1,b2).

DefinicionSe denomina distancia euclıdea entre los puntos a y b al numero real nonegativo:

d2(a,b) =√

(a1−b1)2 +(a2−b2)2.

DefinicionSe denomina norma euclıdea de un vector x ∈ IR2 a la cantidad:

‖x‖2 =√

x21 + x2

2 .

En un espacio de dimension superior escribimos:

d(a,b) =

√n

∑i=1

(ai−bi)2 ‖x‖=√

x21 + x2

2 + . . .+ x2n .

DefinicionSe denomina bola abierta de centro a y radio r > 0 al conjunto de puntos xdel plano cuya distancia al centro es estrictamente inferior al radio:

B(a,r) = {x ∈ IR2 /d(a,x) < r} .

DefinicionDecimos que un conjunto A⊂ IR2 es abierto si en cada uno de sus puntos apodemos trazar alguna bola abierta B(a,r) totalmente contenida en A.

DefinicionUn conjunto A⊂ IR2 es cerrado si su complementario CA es abierto.

DefinicionUn conjunto A es acotado si existen r ∈ IR+ y a ∈ IRn tales que A⊂ B(a,r).

DefinicionUn conjunto A⊂ IR2 es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

DefinicionLlamamos funcion escalar a una funcion con imagen en IR:

f : IRn −→ IRx −→ f (x) = f (x1, . . . ,xn)

y funcion vectorial a una funcion con imagen en IRm (m > 1):

F : IRn −→ IRm

x −→ F(x) =

f1(x1, . . . ,xn)f2(x1, . . . ,xn)

. . .fm(x1, . . . ,xn)

DefinicionEl dominio, o campo de existencia, de una funcion vectorial F es:

D(F) = D(f1)∩m. . .∩D(fm) .

DefinicionSe denomina conjunto de nivel c al conjunto: {x ∈D(f )/ f (x) = c}.

Nota

(a) El conjunto de nivel esta siempre sobre el dominio de la funcion.

(b) La proximidad de las curvas de nivel en una zona indica una fuertevariacion de la funcion en esa zona.

(c) La lınea de maxima pendiente es ortogonal, en cada punto, a las curvasde nivel.

(d) Para funciones escalares de dos variables, los conjuntos de nivel sedenominan curvas de nivel; para funciones escalares de tres variables,hablamos de superficies de nivel.

f (x,y) = 1− x2−0,4y2−0,5x+0,3xy2

Sea un conjunto abierto A⊂ IR2, a ∈ A, y una funcion escalar f : A−→ IR.

DefinicionSe dice que b ∈ IR es el lımite de f cuando x tiende al punto a si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ B(a,δ ), x 6= a

se tiene |f (x)−b|< ε

y se representa por lımx→a

f (x) = b.

PropiedadSean f ,g : A−→ IR; se tiene:I si el lımite existe, es unico; por lo tanto, si los lımites de una funcion en

un punto calculados segun distintos subconjuntos no son iguales,entonces no existe el lımite; en la practica, consideraremos rectas yparabolas como conjuntos sencillos para comprobar la (no) existenciade lımite

I lımx→a

cf (x) = c lımx→a

f (x)

I lımx→a

(f ±g)(x) = lımx→a

f (x)± lımx→a

g(x)

I lımx→a

(f g)(x) =[

lımx→a

f (x)] [

lımx→a

g(x)]

I si lımx→a

f (x) 6= 0 y f (x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces

lımx→a

(gf

)(x) =

lımx→a

g(x)

lımx→a

f (x)

f (x,y) =x

x+ y

Sea A⊂ IRn.

DefinicionUna funcion f : A−→ IR es continua en a ∈ A si y solo si:

lımx→a

f (x) = f (a) .

DefinicionUna funcion F : A−→ IRm es continua en a ∈ A si y solo si cada una de suscomponentes fi (i = 1, . . . ,m) es continua en a.

PropiedadSean f ,g : A−→ IRm continuas en a ∈ A, y sea c ∈ IR.

(a) (cf ) es continua en a

(b) (f +g) es continua en a

(c) si m = 1, (fg) es continua en a

(d) si m = 1 y f (x) 6= 0 en un entorno de a, (1/f ) es continua en a

(e) si h : IRm −→ IRp es continua en f (a), entonces (h◦ f ) es continua en a.

f (x,y) =xy

x2 + y2

f (x,y) =x+ y

x2 + y2

f (x,y) =sin(2x2 +3y2)

x2 + y2

f (x,y) =sinxy

x2 + y2

f (x,y) =sin(x2 + y2)

x2 + y2

f (x,y) =x2 + y2√

x2 + y2 +1−1

Sea un conjunto abierto A⊂ IR2 y una aplicacion f : A−→ IR.

DefinicionSe llama derivada parcial de f con respecto a x1 en el punto a ∈ A alsiguiente lımite, si existe:

lımx1→a1

f (x1,a2)− f (a1,a2)x1−a1

en cuyo caso lo denotaremos por:

D1f (a) o∂ f∂x1

(a) o f ,x1 (a) o fx1(a) o f ,1 (a) .

De manera similar, la derivada parcial con respecto a x2 en a sera, si existe,el lımite:

lımx2→a2

f (a1,x2)− f (a1,a2)x2−a2

.

DefinicionSean a ∈ A⊂ IRn y f : A−→ IR. Sea v ∈ IRn un vector unitario (‖v‖= 1).Se denomina derivada direccional de f en a segun el vector v al siguientelımite, si existe:

Dvf (a) = lımh→0

f (a+hv)− f (a)h

.

NotaLa derivada parcial es un caso particular de derivada direccional:

∂ f∂xi

(a) = lımh→0

f (a+hei)− f (a)h

= Dei f (a) .

Para n = 2, la derivada direccional segun v es la pendiente de la curvainterseccion de la superficie z = f (x1,x2) con el plano vertical que pasa porel punto a y contiene al vector v. �

f (x,y) = x2− y2, a =(−1

4,

12

)

f (x,y) = x2− y2, a =(−1

4,

12

)

f (x,y) = x2− y2, a =(−1

4,

12

), v = (1,2)

Sea f : A⊂ IRn −→ IR, a ∈ A.

DefinicionSe llama vector gradiente de f en a al vector:

∇f (a) =

D1f (a)D2f (a)

. . .Dnf (a)

DefinicionSea f : A⊂ IR2 −→ IR, a ∈ A. Se dice que f es diferenciable en a = (a1,a2)si admite derivadas parciales en a y, ademas,

lımx→a

f (x)− f (a)− ∂ f∂x1

(a)(x1−a1)−∂ f∂x2

(a)(x2−a2)√(x1−a1)

2 +(x2−a2)2

= 0 .

PropiedadSi f : IR2 −→ IR es diferenciable en el punto a ∈ IR2, su representaciongrafica (superficie) admite plano tangente en el punto a, que tiene porecuacion:

z− f (a) =∂ f∂x

(x−a1)+∂ f∂y

(y−a2) .

PropiedadSi f es diferenciable en a, y v ∈ IR2, entonces Dvf (a) = ∇f (a) · v.

PropiedadSi f es diferenciable en a, el vector gradiente ∇f (a) indica la direccion demaximo crecimiento, a partir del punto (a, f (a)) de la funcion f . Es siempreortonormal a las curvas de nivel.

f (x,y) = x2− y2

f (x,y) = x2− y2

Sea un conjunto abierto A⊂ IR2, un punto a ∈ A y una funcion f : A−→ IRm.

DefinicionSe denomina matriz jacobiana de f en a a la matriz:

Jf (a) =

D1f1(a) D2f1(a)D1f2(a) D2f2(a)

. . . . . .D1fm(a) D2fm(a)

.

En el caso general de una funcion f : IRn −→ IRm, tendremos:

Jf (a) =

D1f1(a) D2f1(a) . . . Dnf1(a)D1f2(a) D2f2(a) . . . Dnf2(a)

. . . . . . . . . . . .D1fm(a) D2fm(a) . . . Dnfm(a)

.

Propiedad (Regla de la cadena)Sean F : A−→ IRm y G : IRm −→ IRp tales que admiten derivadas parcialesen a ∈ A y en f (a) ∈ IRm, respectivamente.

La matriz jacobiana asociada a la aplicacion compuesta (G◦F) en el puntoa es:

J(G◦F)(a) = JG(F(a))JF(a) .

Regla de la cadena

Sean:

F : IRn −→ IRmx1x2. . .xn

−→

u1u2u3. . .um

G : IRm −→ IRp

u1u2u3. . .um

−→

y1y2. . .yp

Si H = G◦F, entonces y = H(x) y sus derivadas parciales son:

∂hi

∂xj=

m

∑k=1

∂hi

∂yk

∂yk

∂xj, (i = 1,2, . . . ,p; j = 1,2, . . . ,n)

DefinicionSea un conjunto abierto A⊂ IRn, un punto a ∈ A y una funcionF : A−→ IRm. Se dice que F es diferenciable en a si admite matrizjacobiana en a y, ademas,

lımx→a

‖F(x)−F(a)− JF(a)(x−a)‖‖x−a‖

= 0 .

TeoremaSi F es diferenciable en a ∈ A, entonces es continua en dicho punto.

TeoremaSi F admite derivadas parciales Dif (x) en el conjunto A, y todas ellas soncontinuas en el punto a ∈ A, la funcion F es diferenciable en dicho punto.

Derivadas parciales continuas en a

lımx→a

fxi(x) = fxi(a), i = 1, . . . ,n

Diferenciable en a

lımx→a

∥∥f (x)− f (a)− Jf (a)(x−a)∥∥

‖x−a‖= 0

Continua en a

lımx→a

f (x) = f (a)

Existen derivadas parciales en a

fxi(a) = lımxi→ai

f (a1, . . . ,xi, . . . ,an)− f (a)xi−ai

f (x,y) = |x|1/3 |y|1/3

Sean A⊂ IRn un conjunto abierto y un punto a ∈ A. Sea f : A−→ IR unafuncion que admite derivadas parciales en un entorno de a.

DefinicionSe denomina derivada parcial segunda de f respecto de xj y xi en el punto aal siguiente lımite, si existe:

lımxj→aj

∂ f∂xi

(a1, ...,aj−1,xj,aj+1, ...,an)− ∂ f∂xi

(a1, ...,aj−1,aj,aj+1, ...,an)

xj−aj

en cuyo caso se denota por:

∂ 2f∂xj∂xi

(a) o Dijf (a) o fxixj(a)

y, en el fondo, es:∂

∂xj

(∂ f∂xi

)(a) .

DefinicionSea f : A⊂ IR2→ IR, a ∈ A. Definimos la matriz hessiana, de f en a como lamatriz de sus derivadas parciales de segundo orden, ordenadas como sigue:

Hf (a) =(

D11f (a) D12f (a)D21f (a) D22f (a)

).

NotaAl determinante de la matriz hessiana se le llama hessiano de f en a.

Teorema (de Schwarz)Sea f : A−→ IR tal que existe fxixj en un entorno del punto a ∈ A. Si fxixj escontinua en a, entonces existe fxjxi(a) y

∂ 2f∂xj∂xi

(a) =∂ 2f

∂xi∂xj(a) .

El concepto de derivada parcial se extiende a ordenes superiores:

∂ 3f∂x∂y2 =

∂

∂x

(∂ 2f∂y2

)∂ 3f

∂x2∂y=

∂

∂x

(∂ 2f

∂x∂y

)De manera similar, puede aplicarse el teorema de Schwarz a las derivadas deorden superior.

DefinicionSe dice que la funcion f es de clase k en un conjunto A⊂ IRn si admitederivadas parciales de orden k en todo el conjunto A y todas ellas soncontinuas en A.

Sean un conjunto A⊂ IR2, una aplicacion f : A−→ IR y un puntoa = (a1,a2) = (x0,y0) ∈ A.

TeoremaSi f ∈ C 2(A), entonces:

f (x,y)= f (x0,y0)+∂ f∂x

(x0,y0)(x−x0)+∂ f∂y

(x0,y0)(y−y0)+R(x−x0,y−y0) ,

donde

lım(x,y)→(x0,y0)

|R(x− x0,y− y0)|‖(x− x0,y− y0)‖

= 0 .

TeoremaSi f ∈ C 3(A), entonces:

f (x,y) = f (x0,y0)+∂ f∂x

(x0,y0)(x− x0)+∂ f∂y

(x0,y0)(y− y0)+

+12

∂ 2f∂x2 (x0,y0)(x− x0)2

+∂ 2f

∂x∂y(x0,y0)(x− x0)(y− y0)

+12

∂ 2f∂y2 (x0,y0)(y− y0)2 +R(x− x0,y− y0) ,

donde

lım(x,y)→(x0,y0)

|R(x− x0,y− y0)|‖(x− x0,y− y0)‖2 = 0 .

El desarrollo de segundo orden puede tambien escribirse como:

f (x) = f (a)+11!

n

∑i=1

∂ f∂xi

(a)(xi−ai)+

+12!

n

∑i=1

n

∑j=1

∂ 2f∂xixj

(a)(xi−ai)(xj−aj)+R(x−a)

o bien, en forma matricial, como:

f (x) = f (a)+ Jf (a)(x−a)+12(x−a)T Hf (a)(x−a)+R(x−a) ,

donde Jf (a) y Hf (a) son las matrices jacobiana y hessiana,respectivamente, evaluadas en x = a, que, en este caso, vienen dadas por:

Jf (a) =(

∂ f∂x1

(a)∂ f∂x2

(a))

Hf (a) =(

fx1x1(a) fx1x2(a)fx1x2(a) fx2x2(a)

)

f (x,y) = ex cosy

Sean un conjunto A⊂ IR2, una aplicacion f : A−→ IR y un puntoa = (a1,a2) = (x0,y0) ∈ A.

DefinicionSe dice que f presenta un maximo local o relativo (respectivamentemınimo local o relativo) en el punto a ∈ A si y solo si existe r > 0 tal que:

f (x)≤ f (a), ∀x ∈ B(a,r)∩A

(resp. f (x)≥ f (a), ∀x ∈ B(a,r)∩A) .

DefinicionSe dice que f alcanza un maximo absoluto (respectivamente mınimoabsoluto) en el punto a ∈ A si y solo si:

f (x)≤ f (a), ∀x ∈ A

(resp. f (x)≥ f (a), ∀x ∈ A) .

NotaLos maximos y mınimos se denominan conjuntamente extremos. Por otraparte, si las desigualdades de la definicion son estrictas, hablamos deextremo relativo estricto.

DefinicionDecimos que a es un punto crıtico o estacionario de la funcion f si:

∂ f∂x1

(a) =∂ f∂x2

(a) = 0 .

DefinicionLlamamos punto silla a todo punto estacionario que no es extremo relativo.

Teorema (Condicion necesaria de extremo relativo)Sea un conjunto abierto A⊂ IR2 y una aplicacion f : A−→ IR diferenciableen a. Si f alcanza un extremo relativo en a ∈ A, entonces, necesariamente,

Jf (a) = 0 .

Nota

(a) La condicion anterior es necesaria, pero no suficiente; por ejemplo, lafuncion f (x,y) = x2− y2 tiene derivadas parciales nulas en (0,0) pero,sin embargo, no presenta extremo relativo.

(b) Una funcion puede alcanzar un extremo en puntos donde no existan lasderivadas parciales; por ejemplo f (x,y) = |x|+ |y| alcanza un mınimoabsoluto en (0,0) ya que f (x,y) > f (0,0), ∀(x,y) 6= (0,0). Sin embargo,no existen las derivadas parciales en el origen.

f (x,y) = x2− y2

f (x,y) = |x|+ |y|

Sean a ∈ A⊂ IR2 y una funcion f ∈ C 2(A, IR).

Teorema (Condicion suficiente de extremo)Si a es un punto estacionario de f , entonces:

(a) si∣∣Hf (a)

∣∣> 0 y fxx(a) > 0, f presenta en a un mınimo relativo estricto

(b) si∣∣Hf (a)

∣∣> 0 y fxx(a) < 0, f presenta en a un maximo relativo estricto

(c) si∣∣Hf (a)

∣∣< 0, f presenta en a un punto silla

(d) si∣∣Hf (a)

∣∣= 0, no podemos asegurar nada, y debemos estudiar el signode f (x)− f (a) en un entorno del punto a.

f (x,y) = x2−2xy+2y2

f (x,y) = 3x4−4x2y+ y2

Teorema (de Weierstrass)Toda funcion continua definida en un conjunto cerrado y acotado de IR2

alcanza maximo y mınimo absolutos en el conjunto.

NotaLos puntos donde se alcanzan los extremos absolutos no son necesariamenteunicos. Para determinar los extremos absolutos de una funcion en unconjunto acotado, debemos buscar:I los puntos estacionarios de f en el interior del conjuntoI los puntos del interior del conjunto donde f no admite derivadas

parcialesI la frontera del conjunto.

Sean un conjunto abierto A⊂ IR2 y dos funciones f ,g : A−→ IR.Pretendemos determinar los extremos absolutos de f restringida al conjuntog(x) = 0.

TeoremaSean f y g diferenciables. Consideremos el punto a ∈ A y el conjunto

S ={

x ∈ IR2 /g(x) = 0}

.

Supongamos que ∇g(a) 6= 0. Si f |S presenta en a un extremo, entonces existeλ ∈ IR tal que:

∇f (a) = λ ∇g(a) .