cal2 practica 3 2011-0 solucionado

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Solucionario de la Tercera Practica de Calculo 2

2011 - 0

1. Sea f(x) = arctan(1x

).

a) Halle un polinomio de Taylor de segundo orden de la funcion f alrededor de x = 1.

(2.5 ptos.)

Solucion

f(x) = arctan(1x

).

f (1)(x) =1

1 + x2.

f (2)(x) =2x(

1 + x2)2 .

f(1) = pi4 , f(1)(1) = 12 , f

(2)(1) = 12 .

Polinomio de Taylor:

p(x) =pi

4 1

2(x 1) + 1

4(x 1)2.

b) Use el polinomio hallado en (a) para aproximar el valor de arctan(2). Cual es el

error en la aproximacion? (1.0 ptos.)

Solucion

arctan(2) pi4 1

2

(12

)+

1

4

(12

)2.

arctan(2) pi4

+5

16Error en la aproximacion:

f (3)(x) =2 6x2(1 + x2

)3 .E =

2 6c2(1 + c2

)3 13!(12 )3, c entre 12 y 1.E 2 + 6c

2

(c2 + 1)3=

1

48.7

2.(4

5

)3< 0,04

c) Use el polinomo hallado en (a) para aproximar

21f(x) dx. (1.5 ptos.)

Solucion 21

arctan(1x

)dx

21

(pi4 1

2(x 1) + 1

4(x 1)2

)dx. 2

1arctan

(1x

)dx

[pi4x 1

4(x 1)2 + 1

12(x 1)3

]21. 2

1arctan

(1x

)dx pi

4 1

6.

2. Usando la definicion, calcule el valor de las siguientes integrales impropias.

a)

51

15 + 4x x2 dx. (2.5 ptos.)

Solucion1

5 + 4x x2 dx =

132 (x 2)2 dx = arc sen

(x 23

)+ C. 5

11

5 + 4x x2 dx = 21

15 + 4x x2 dx+

52

15 + 4x x2 dx. 2

11

5 + 4x x2 dx = lmt1[

arc sen(x 2

3

)]2t

=pi

2. 5

2

15 + 4x x2 dx = lmt5

[arc sen

(x 23

)]t2

=pi

2. 5

11

5 + 4x x2 dx =pi

2+pi

2= pi.

b)

+0

1

ex + exdx. (2.5 ptos.)

Solucion1

ex + exdx = arctan(ex) + C +

0

1

ex + exdx = lm

t+

t0

1

ex + exdx +

0

1

ex + exdx = lm

t+

[arctan(ex)

]t0

=pi

4.

3. Analice la convergencia de la integral:

+1

cos2 x

x+ ex2dx. (3.0 ptos.)

Solucion

cos2 x

x+ ex2 1x+ ex2