cal2 practica 3 2011-0 solucionado

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT ´ OLICA DEL PER ´ U ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Solucionario de la Tercera Pr´actica de C´alculo 2 2011 - 0 1. Sea f (x) = arctan ( 1 x ) . a) Halle un polinomio de Taylor de segundo orden de la funci´ on f alrededor de x = 1. (2.5 ptos.) Soluci´ on f (x) = arctan ( 1 x ) . f (1) (x)= -1 1+ x 2 . f (2) (x)= 2x ( 1+ x 2 ) 2 . f (1) = π 4 , f (1) (1) = -1 2 , f (2) (1) = 1 2 . Polinomio de Taylor: p(x)= π 4 - 1 2 (x - 1) + 1 4 (x - 1) 2 . b) Use el polinomio hallado en (a) para aproximar el valor de arctan(2). ¿Cu´ al es el error en la aproximaci´ on? (1.0 ptos.) Soluci´ on arctan(2) π 4 - 1 2 ( -1 2 ) + 1 4 ( -1 2 ) 2 . arctan(2) π 4 + 5 16 Error en la aproximaci´ on: f (3) (x)= 2 - 6x 2 ( 1+ x 2 ) 3 . E = 2 - 6c 2 ( 1+ c 2 ) 3 1 3! -1 2 3 , c entre 1 2 y 1. E 2+6c 2 (c 2 + 1) 3 = 1 48 . 7 2 . 4 5 3 < 0,04 c) Use el polinomo hallado en (a) para aproximar Z 2 1 f (x) dx. (1.5 ptos.) Soluci´ on Z 2 1 arctan ( 1 x ) dx Z 2 1 π 4 - 1 2 (x - 1) + 1 4 (x - 1) 2 dx. Z 2 1 arctan ( 1 x ) dx h π 4 x - 1 4 (x - 1) 2 + 1 12 (x - 1) 3 i 2 1 . Z 2 1 arctan ( 1 x ) dx π 4 - 1 6 .

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  • PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

    ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

    Solucionario de la Tercera Practica de Calculo 2

    2011 - 0

    1. Sea f(x) = arctan(1x

    ).

    a) Halle un polinomio de Taylor de segundo orden de la funcion f alrededor de x = 1.

    (2.5 ptos.)

    Solucion

    f(x) = arctan(1x

    ).

    f (1)(x) =1

    1 + x2.

    f (2)(x) =2x(

    1 + x2)2 .

    f(1) = pi4 , f(1)(1) = 12 , f

    (2)(1) = 12 .

    Polinomio de Taylor:

    p(x) =pi

    4 1

    2(x 1) + 1

    4(x 1)2.

    b) Use el polinomio hallado en (a) para aproximar el valor de arctan(2). Cual es el

    error en la aproximacion? (1.0 ptos.)

    Solucion

    arctan(2) pi4 1

    2

    (12

    )+

    1

    4

    (12

    )2.

    arctan(2) pi4

    +5

    16Error en la aproximacion:

    f (3)(x) =2 6x2(1 + x2

    )3 .E =

    2 6c2(1 + c2

    )3 13!(12 )3, c entre 12 y 1.E 2 + 6c

    2

    (c2 + 1)3=

    1

    48.7

    2.(4

    5

    )3< 0,04

    c) Use el polinomo hallado en (a) para aproximar

    21f(x) dx. (1.5 ptos.)

    Solucion 21

    arctan(1x

    )dx

    21

    (pi4 1

    2(x 1) + 1

    4(x 1)2

    )dx. 2

    1arctan

    (1x

    )dx

    [pi4x 1

    4(x 1)2 + 1

    12(x 1)3

    ]21. 2

    1arctan

    (1x

    )dx pi

    4 1

    6.

  • 2. Usando la definicion, calcule el valor de las siguientes integrales impropias.

    a)

    51

    15 + 4x x2 dx. (2.5 ptos.)

    Solucion1

    5 + 4x x2 dx =

    132 (x 2)2 dx = arc sen

    (x 23

    )+ C. 5

    11

    5 + 4x x2 dx = 21

    15 + 4x x2 dx+

    52

    15 + 4x x2 dx. 2

    11

    5 + 4x x2 dx = lmt1[

    arc sen(x 2

    3

    )]2t

    =pi

    2. 5

    2

    15 + 4x x2 dx = lmt5

    [arc sen

    (x 23

    )]t2

    =pi

    2. 5

    11

    5 + 4x x2 dx =pi

    2+pi

    2= pi.

    b)

    +0

    1

    ex + exdx. (2.5 ptos.)

    Solucion1

    ex + exdx = arctan(ex) + C +

    0

    1

    ex + exdx = lm

    t+

    t0

    1

    ex + exdx +

    0

    1

    ex + exdx = lm

    t+

    [arctan(ex)

    ]t0

    =pi

    4.

    3. Analice la convergencia de la integral:

    +1

    cos2 x

    x+ ex2dx. (3.0 ptos.)

    Solucion

    cos2 x

    x+ ex2 1x+ ex2