breve análisis de algunos métodos de interpolación para
Post on 18-Jul-2022
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Breve analisis de algunos metodos de interpolacionpara series de tiempo de imagenes satelitales
Inder Tecuapetla Gomez1
1CONACyT-CONABIO
Taller TATSSI: Primera Parte,Julio 18, 2019, CONABIO
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 1 / 31
Par de NDVIs
Datos tomados de Colditz et al. (2008)
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 2 / 31
Datos originales
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 3 / 31
Datos originales
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 3 / 31
Interpolacion Previous
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 4 / 31
Interpolacion Previous
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 4 / 31
Interpolacion Next
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 5 / 31
Interpolacion Next
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 5 / 31
Interpolacion Mean
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 6 / 31
Interpolacion Mean
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 6 / 31
Interpolacion Linear
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 7 / 31
Interpolacion Linear
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 7 / 31
Polinomios de Lagrange
Se puede probar que dadas las observaciones (x1, y1), . . . , (xn, yn) elpolinomio
pn(x) =n∑
j=1
cj(x) yj ,
dondecj(x) =
x − x1
xj − x1· · ·
x − xj−1
xj − xj−1
x − xj+1
xj − xj+1· · · x − xn
xj − xn
describe una grafica que pasara por los valores y1, y2, . . . , yn.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 8 / 31
Interpolacion Polinomial
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 9 / 31
Interpolacion Polinomial
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 9 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 10 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 10 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 11 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 11 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 12 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 12 / 31
Interpolacion Polinomial continuacion
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 12 / 31
Interpolacion Polinomial (missing values)
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 13 / 31
Interpolacion Polinomial (missing values)
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 13 / 31
> yMask[1] 0.291400 0.564800 NA 0.701600 0.735800 0.762600
0.789300 0.655600 0.371600 NA 0.336100 0.2698000.237700 0.265500 0.306900 0.317250 NA 0.641475
[19] 0.746100 0.609200 0.323300 0.301450 0.279600
> LagrangePoly(x = 1:23, y = yMask)$interpol[1] 0.2914000 0.5648000 14.1775204 0.7016000 0.7358000
0.7626000 0.7893000 0.6556000 0.3716000 0.32461470.3361000 0.2698000 0.2377000 0.2655000 0.3069000
[16] 0.3172500 0.3711811 0.6414750 0.7461000 0.60920000.3233000 0.3014500 0.2796000
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 14 / 31
Interpolacion Polinomial Baricentrica
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 15 / 31
Interpolacion Polinomial Baricentrica
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 15 / 31
Representacion polinomial alternativa
Consideremos la pareja (xi , yi ) y supongamos que existe un polinomio pn(·) de grado n talque pn(xi ) = yi . Entonces
yi = pn(xi ) = βn xni + βn−1 xn−1
i + · · ·+ β1 xi + β0
Utilizando el mismo argumento para cada una de las parejas (x1, y1), . . . , (xn, yn) podemosescribir
1 x1 x21 · · · xn
11 x2 x2
2 · · · xn2
...1 xn x2
n · · · xnn
β0β1...βn
=
y1y2...
yn
,
o matricialmenteXβ = y
Para encontrar los coeficientes β, tenemos
β = (X> X)−1 y
Por cuestiones de estabilidad, podemos usar
βλ = (X> X + λ In)−1 y ,
donde el valor de λ es pequeno.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 16 / 31
Representacion polinomial alternativa
Consideremos la pareja (xi , yi ) y supongamos que existe un polinomio pn(·) de grado n talque pn(xi ) = yi . Entonces
yi = pn(xi ) = βn xni + βn−1 xn−1
i + · · ·+ β1 xi + β0
Utilizando el mismo argumento para cada una de las parejas (x1, y1), . . . , (xn, yn) podemosescribir
1 x1 x21 · · · xn
11 x2 x2
2 · · · xn2
...1 xn x2
n · · · xnn
β0β1...βn
=
y1y2...
yn
,
o matricialmenteXβ = y
Para encontrar los coeficientes β, tenemos
β = (X> X)−1 y
Por cuestiones de estabilidad, podemos usar
βλ = (X> X + λ In)−1 y ,
donde el valor de λ es pequeno.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 16 / 31
Representacion polinomial alternativa
Consideremos la pareja (xi , yi ) y supongamos que existe un polinomio pn(·) de grado n talque pn(xi ) = yi . Entonces
yi = pn(xi ) = βn xni + βn−1 xn−1
i + · · ·+ β1 xi + β0
Utilizando el mismo argumento para cada una de las parejas (x1, y1), . . . , (xn, yn) podemosescribir
1 x1 x21 · · · xn
11 x2 x2
2 · · · xn2
...1 xn x2
n · · · xnn
β0β1...βn
=
y1y2...
yn
,
o matricialmenteXβ = y
Para encontrar los coeficientes β, tenemos
β = (X> X)−1 y
Por cuestiones de estabilidad, podemos usar
βλ = (X> X + λ In)−1 y ,
donde el valor de λ es pequeno.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 16 / 31
Representacion polinomial alternativa
Consideremos la pareja (xi , yi ) y supongamos que existe un polinomio pn(·) de grado n talque pn(xi ) = yi . Entonces
yi = pn(xi ) = βn xni + βn−1 xn−1
i + · · ·+ β1 xi + β0
Utilizando el mismo argumento para cada una de las parejas (x1, y1), . . . , (xn, yn) podemosescribir
1 x1 x21 · · · xn
11 x2 x2
2 · · · xn2
...1 xn x2
n · · · xnn
β0β1...βn
=
y1y2...
yn
,
o matricialmenteXβ = y
Para encontrar los coeficientes β, tenemos
β = (X> X)−1 y
Por cuestiones de estabilidad, podemos usar
βλ = (X> X + λ In)−1 y ,
donde el valor de λ es pequeno.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 16 / 31
Dificultades numericas
> poly23rd <- getPolyInterpol(x = 1:23, y = data2, n = 23)Error in solve.default(t(vanderMondeMatrix) %*% vanderMondeMatrix + 0.1 * :system is computationally singular: reciprocal condition number = 1.40968e-64
> getPolyInterpol(x = 1:23, y = data2, n = 6)Error in solve.default(t(vanderMondeMatrix) %*% vanderMondeMatrix + 0.1 * :system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.68731e-18
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 17 / 31
Aproximacion con polinomio de quinto grado
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 18 / 31
SPLINE
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 19 / 31
Interpolacion vıa spline natural cubico
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 20 / 31
Interpolacion vıa spline natural cubico
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 20 / 31
Interpolacion vıa spline monotono cubico
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 21 / 31
Interpolacion vıa spline monotono cubico
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 21 / 31
Mean Squared Error
Estimador Wn, valor a estimar ϑ
Conociendo la distribucion de ϑ:
MSE[Wn] = Eϑ[(Wn − ϑ)2]
Propiedad
MSE[Wn] =
SESGO︷ ︸︸ ︷
Eϑ[Wn]− ϑ
2
+ VAR(Wn)
Si Wn y Vn son estimadores de ϑ, diremos que Wn es mejor que Vn (MSE mas pequeno) si
MSE[Wn] < MSE[Vn].
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 22 / 31
Par de NDVIs
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 23 / 31
Setup 1: 3 missing values
Rojo AzulPrevious 0.002654478 0.001716745
Next 0.00591413 0.003776053Mean 0.002179957 0.001125351Linear 0.002016557 0.0009935881
Lagrange 23362601 308781446Barycentric 23362495 308781442
Spline natural 0.001468945 0.0004662435Spline mononotono 0.001449537 0.0004731261
MSE de varios interpoladores aplicados a las trayectorias de NDVI mostradas previamente; seremueven 3 puntos en 5 escenarios distintos para simular missing values.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 24 / 31
Setup 2: 11 missing values
Rojo AzulPrevious 0.0305365 0.01633331
Next 0.0195339 0.008417934Mean 0.01255644 0.00637029Linear 0.01067903 0.005935692
Lagrange 420610.2 49444.3Barycentric 420610.2 49444.3
Spline natural 0.01097981 0.004674709Spline mononotono 0.01089073 0.004633711
MSE de varios interpoladores aplicados a las trayectorias de NDVI mostradas previamente; seremueven 11 puntos en 5 escenarios distintos para simular missing values.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 25 / 31
Gerber et al. (2018)
G A P F I L L
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 26 / 31
La Primavera
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 27 / 31
Recortes para aplicar gapfill
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 28 / 31
Aplicacion de gapfill
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 29 / 31
La Primavera, despues de gapfill
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 30 / 31
THAT’S ALL FOLKS!
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 31 / 31
Colditz, R. R., Conrad, C., Wehrmann, T., Schmidt, M., and Dech, S. (2008). TiSeG: A flexiblesoftware tool for time-series generation of MODIS data utilizing the quality assessment sciencedata set. IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., 46(10):3296–3308.
Gerber, F., de Jong, R., Schaepman, M. E., Schaepman-Strub, G., and Furrer, R. (2018).Predicting missing values in spatio-temporal remote sensing data. IEEE Transactions onGeoscience and Remote Sensing, 56(5):2841–2853.
Inder Tecuapetla Gomez (CONACyT-CONABIO) Julio 18, 2019 31 / 31
top related