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Axioma del Supremo
April 25, 2008
Axioma del Supremo
Cotas superiores
DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que
∀x ∈ A, x ≤ M.
ObservacionesM se llama cota superior de A.
Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)
también son cotas superiores de A.
Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.
A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M
A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M
Axioma del Supremo
Cotas superiores
DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que
∀x ∈ A, x ≤ M.
ObservacionesM se llama cota superior de A.
Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)
también son cotas superiores de A.
Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.
A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M
A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M
Axioma del Supremo
Cotas superiores
DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que
∀x ∈ A, x ≤ M.
ObservacionesM se llama cota superior de A.
Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)
también son cotas superiores de A.
Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.
A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M
A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M
Axioma del Supremo
Cotas superiores
DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que
∀x ∈ A, x ≤ M.
ObservacionesM se llama cota superior de A.
Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)
también son cotas superiores de A.
Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.
A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M
A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M
Axioma del Supremo
Cotas superiores
DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que
∀x ∈ A, x ≤ M.
ObservacionesM se llama cota superior de A.
Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)
también son cotas superiores de A.
Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.
A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M
A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M
Axioma del Supremo
Cotas superiores
DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que
∀x ∈ A, x ≤ M.
ObservacionesM se llama cota superior de A.
Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)
también son cotas superiores de A.
Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.
A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M
A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M
Axioma del Supremo
Cota inferior
DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que
∀x ∈ A, m ≤ x .
Observacionesm se llama cota inferior de A.
Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]
también son cotas inferiores de A.
ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.
Axioma del Supremo
Cota inferior
DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que
∀x ∈ A, m ≤ x .
Observacionesm se llama cota inferior de A.
Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]
también son cotas inferiores de A.
ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.
Axioma del Supremo
Cota inferior
DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que
∀x ∈ A, m ≤ x .
Observacionesm se llama cota inferior de A.
Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]
también son cotas inferiores de A.
ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.
Axioma del Supremo
Cota inferior
DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que
∀x ∈ A, m ≤ x .
Observacionesm se llama cota inferior de A.
Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]
también son cotas inferiores de A.
ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.
Axioma del Supremo
Máximo y Mínimo
Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.
Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.
Notación: u = max A = maxx∈A
x p = min A = minx∈A
x
TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.
Demostración: ver pizarra...
Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Máximo y Mínimo
Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.
Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.
Notación: u = max A = maxx∈A
x p = min A = minx∈A
x
TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Máximo y Mínimo
Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.
Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.
Notación: u = max A = maxx∈A
x p = min A = minx∈A
x
TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Máximo y Mínimo
Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.
Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.
Notación: u = max A = maxx∈A
x p = min A = minx∈A
x
TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.
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Axioma del Supremo
Máximo y Mínimo
Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.
Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.
Notación: u = max A = maxx∈A
x p = min A = minx∈A
x
TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Máximo y Mínimo
Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.
Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.
Notación: u = max A = maxx∈A
x p = min A = minx∈A
x
TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.
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Axioma del Supremo
Supremo e Infimo
Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de
A es mayor que s.
OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.
Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:
1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.
TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Supremo e Infimo
Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de
A es mayor que s.
OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.
Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:
1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.
TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Supremo e Infimo
Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de
A es mayor que s.
OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.
Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:
1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.
TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Supremo e Infimo
Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de
A es mayor que s.
OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.
Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:
1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.
TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Supremo e Infimo
Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de
A es mayor que s.
OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.
Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:
1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.
TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.
Demostración: ver pizarra...
Ejemplos: [0, 1], (0, 1)
Axioma del Supremo
Supremo e Infimo
Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de
A es mayor que s.
OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.
Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:
1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.
TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.
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Ejemplos: [0, 1], (0, 1)Axioma del Supremo
Características de intervalos
En el caso de intervalos, dados a, b ∈ R con a < b:
min max inf sup[a, b] a b a b(a, b) @ @ a b[a, b) a @ a b(a, b] @ b a b
(−∞, b] @ b @ b(−∞, b) @ @ @ b(a,∞) @ @ a @[a,∞) a @ a @
Axioma del Supremo
Características de intervalos
En el caso de intervalos, dados a, b ∈ R con a < b:
min max inf sup[a, b] a b a b(a, b) @ @ a b[a, b) a @ a b(a, b] @ b a b
(−∞, b] @ b @ b(−∞, b) @ @ @ b(a,∞) @ @ a @[a,∞) a @ a @
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo:Todo conjunto no vacío y acotadosuperiormente posee un supremo.
ObservacionesSe puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormentepose ínfimo. Basta verificar que inf(A) = − sup(−A).No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo.
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo:Todo conjunto no vacío y acotadosuperiormente posee un supremo.
ObservacionesSe puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormentepose ínfimo. Basta verificar que inf(A) = − sup(−A).
No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo.
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo:Todo conjunto no vacío y acotadosuperiormente posee un supremo.
ObservacionesSe puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormentepose ínfimo. Basta verificar que inf(A) = − sup(−A).No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo.
Axioma del Supremo
Ejercicio de supremos
PropiedadesSean A y B dos conjuntos, definimos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} yA · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}, entonces
sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
sup(A · B) = sup(A) · sup(B). Para A, B ⊆ [0,∞).
Axioma del Supremo
Ejercicio de supremos
PropiedadesSean A y B dos conjuntos, definimos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} yA · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}, entonces
sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
sup(A · B) = sup(A) · sup(B). Para A, B ⊆ [0,∞).
Axioma del Supremo
Aplicación 1
Parte EnteraLa parte entera de un real x > 0 (denotada [x ]), se definirá como el supremodel conjunto A = {n ∈ N : n ≤ x} .
Observación[x ] es un número natural.Una consecuencia importante de esto último es que [x ] ≤ x < [x ] + 1.
Axioma del Supremo
Aplicación 1
Parte EnteraLa parte entera de un real x > 0 (denotada [x ]), se definirá como el supremodel conjunto A = {n ∈ N : n ≤ x} .
Observación[x ] es un número natural.Una consecuencia importante de esto último es que [x ] ≤ x < [x ] + 1.
Axioma del Supremo
Aplicación 2
TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.
Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.
Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.
Axioma del Supremo
Aplicación 2
TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.
Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.
Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.
Axioma del Supremo
Aplicación 2
TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.
Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.
Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.
Axioma del Supremo
Aplicación 2
TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.
Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.
Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.
Axioma del Supremo
Aplicación 2
TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.
Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.
Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.
Axioma del Supremo
Aplicación 2
TeoremaLos racionales son densos en los reales. Esto significa que dados dosreales x , y con x < y , entonces existe un racional r tal que x < r < y .
Axioma del Supremo
Aplicación 3
El axioma del supremo como constructor de números.
Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.
Consideremos nuevamente el conjunto A ={
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Raíz cuadrada de 2:√
2 = sup{
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Se tiene que√
2 /∈ Q.
Axioma del Supremo
Aplicación 3
El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.
Consideremos nuevamente el conjunto A ={
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Raíz cuadrada de 2:√
2 = sup{
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Se tiene que√
2 /∈ Q.
Axioma del Supremo
Aplicación 3
El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.
Consideremos nuevamente el conjunto A ={
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Raíz cuadrada de 2:√
2 = sup{
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Se tiene que√
2 /∈ Q.
Axioma del Supremo
Aplicación 3
El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.
Consideremos nuevamente el conjunto A ={
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Raíz cuadrada de 2:√
2 = sup{
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Se tiene que√
2 /∈ Q.
Axioma del Supremo
Aplicación 3
El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.
Consideremos nuevamente el conjunto A ={
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Raíz cuadrada de 2:√
2 = sup{
r ∈ R : r2 ≤ 2}
.
Se tiene que√
2 /∈ Q.
Axioma del Supremo
Extensiones
Lo anterior permite definir:
Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:
√x = sup
{r ∈ R : r2 ≤ x
}.
De manera más general:
Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:
n√
x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .
ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.
Axioma del Supremo
Extensiones
Lo anterior permite definir:
Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:
√x = sup
{r ∈ R : r2 ≤ x
}.
De manera más general:
Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:
n√
x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .
ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.
Axioma del Supremo
Extensiones
Lo anterior permite definir:
Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:
√x = sup
{r ∈ R : r2 ≤ x
}.
De manera más general:
Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:
n√
x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .
ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.
Axioma del Supremo
Extensiones
Lo anterior permite definir:
Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:
√x = sup
{r ∈ R : r2 ≤ x
}.
De manera más general:
Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:
n√
x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .
ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.
Axioma del Supremo
Números irracionales
ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.
Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.
Un teorema anterior, puede extenderse a I:
Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .
Axioma del Supremo
Números irracionales
ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.
Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.
Un teorema anterior, puede extenderse a I:
Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .
Axioma del Supremo
Números irracionales
ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.
Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.
Un teorema anterior, puede extenderse a I:
Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .
Axioma del Supremo
Números irracionales
ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.
Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.
Un teorema anterior, puede extenderse a I:
Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .
Axioma del Supremo
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