Áreas y volúmenes -...
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GPT-04_M1AA1L4_Áreas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Pérez
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
1
Áreas y volúmenes
Por Sandra Elvia Pérez Márquez
Áreas de figuras planas Las aplicaciones de las figuras planas requieren, por lo general, conocer (o calcular) dos características principales: el perímetro y el área de la figura plana en cuestión. La tabla 1 muestra algunas de las figuras planas más representativas y las fórmulas para calcular su área. Para el caso del perímetro de polígonos, éste se determina sumando la longitud de sus lados. Solamente el círculo y la sección transversal incluyen una fórmula específica para determinarlo.
Figura plana Área Ejemplo Cuadrado
ladoladoÁrea ×=
llA ×=
Determina el perímetro y el área de un cuadrado que tiene 5 centímetros de lado.
cmPerímetroPerímetro
ladosdeSumaPerímetro
205555
=
+++=
=
( )( ) 22555 cmÁrealadoladoÁrea==
×=
Rectángulo
alturabaseÁrea ×=
hBA ×=
Calcula el perímetro y el área de un rectángulo con una base de 20 metros y una altura de 12 metros.
mPerímetroPerímetro
ladosdeSumaPerímetro
6412201220
=
+++=
=
2240)12)(20(
mÁreaÁrea
=
=
Triángulo
2alturabaseÁrea ×
=
2hBA ×
=
Calcula el área de un triángulo con una base de 15 centímetros y una altura de 10 metros.
2752)10)(15(
cmÁrea
Área
=
=
GPT-04_M1AA1L4_Áreas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Pérez
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
2
Trapecio
altura
menorbasemayorBaseÁrea ×
+=
2
hbBA ×
+=
2
Calcula el área de un trapecio con una base mayor de 18 centímetros, una base menor de 14 centímetros y una altura de 12 metros.
2192
1221418
cmÁrea
Área
=
×
+=
Rombo
2menordiagonalmayorDiagonal
Área×
=
2dDA ×
=
Encuentra el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 pulgadas y su diagonal menor mide 8 pulgadas.
2402)8)(10(
cmÁrea
Área
=
=
Romboide
LBP 22 +=
alturabaseÁrea ×=
hBA ×=
Calcula el área de un romboide con una base de 24 centímetros y una altura de 18 centímetros.
( )( )2432
1824cmÁrea
Área=
=
Polígono regular
2apotemaperímetroÁrea ×
=
2aPA ×
=
La apotema de un polígono regular, es decir, polígonos con todos los lados iguales, es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados.
Calcula el área de un hexágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema mide 1.732 cm. Para determinar el área de un polígono regular, primero calculamos su perímetro:
cmperímetroperímetro
12222222
=
+++++=
Con el perímetro y el valor de la apotema tenemos que:
( )( )
239.102732.112
cmÁrea
Área
=
=
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Círculo
drP ×=×= ππ 2
radioradioÁrea ××=π
2rA ×=π
Determina el perímetro y el área de un círculo cuyo radio es de 4 centímetros.
( )( )( )cmperímetro
perímetro13.2542
=
= π
( )( ) ( )( )2
2
26.50164
cmÁreaÁrea
=
== ππ
Sector circular
°
×××=
3602 aperturadegradosr
Perímetroπ
°×××2
=360
onrP π
°
××=
360
2 aperturadegradosradioÁrea
π
360
2 onrA ××=π
Determina el área de un sector circular cuyo radio es de 5 centímetros y tiene apertura de 30º.
( )( )( )
2
2
54.6360
305
cmÁrea
Área
=
=π
Tabla 1. Fórmulas de áreas y perímetros de las principales figuras planas. Poliedros
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. La imagen siguiente muestra un poliedro limitado por 4 triángulos.
Figura 1. Partes de un poliedro.
Un poliedro está formado por:
a. Caras b. Aristas (lados del polígono) c. Vértices
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Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Los poliedros regulares fueron estudiados por Platón. Partiendo de la definición antes dada, sólo es posible construir 5 poliedros regulares.
Nombre Figura Características
Tetraedro regular
• Formado por 4 triángulos
equiláteros • En cada vértice concurren 3
caras • 4 vértices • 6 aristas
Cubo
• Formado por 6 cuadrados • En cada vértice concurren 3
caras • 8 vértices • 12 aristas
Octaedro
• Formado por 8 triángulos
equiláteros • En cada vértice concurren 4
caras • 6 vértices • 12 aristas
Dodecaedro
• Formado por 12 pentágonos • En cada vértice concurren 3
caras • 20 vértices • 30 aristas
Icosaedro
• Formado por 20 triángulos
equiláteros • En cada vértice concurren 5
caras • 12 vértices • 30 aristas
Tabla 2. Características de los principales poliedros.
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Existen dos tipos de poliedros que son de especial interés: los prismas y las pirámides. Prismas
Los prismas son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus caras laterales son paralelogramos.
Se pueden clasificar como:
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.
b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos
regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular.
Figura. 2 Prisma de base cuadrada.
c) Por el número de lados de sus bases: • Triangulares: si sus bases son triángulos • Cuadrangulares: si sus bases son cuadriláteros. • Pentagonales: si sus base son pentágonos,
etcétera.
Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo, que tiene por bases dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son:
Pirámides
Una pirámide es un poliedro en la que una de sus caras llamada base es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.
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Se pueden clasificar como:
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base. En caso contrario tendremos una pirámide oblicua.
b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono
regular. En caso contrario será irregular.
c) Por el número de lados de su base: • Triangular • Cuadrangular • Pentagonal...
Figura 4. Pirámide de base octagonal.
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, se obtiene lo que se llama tronco de pirámide. Cuerpos redondos o de revolución Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa.
Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro.
Figura 5. Cilindro. Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono.
Figura 6. Cono.
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Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia.
Figura 7. Circunferencia.
Volúmenes más utilizados
Figura Volumen
Prisma
alturabaseladeáreaV ×=
Cilindro
alturabaseladeáreaV ×= hrV ××= 2π
Pirámide
3alturabaseladeárea
V×
=
Cono
3alturabaseladeárea
V×
=
3
2 hrV ××=π
Esfera
34 3rV ×
=π
Tabla 3. Fórmulas de los volúmenes más utilizados
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En los siguientes ejemplos, se muestra cómo calcular el volumen de distintos poliedros. A continuación te presentaré algunos ejemplos: Ejemplo 1
Un adorno tiene forma de una pirámide pentagonal. ¿Cuál será el volumen que ocupa la pirámide si cada uno de sus lados mide 16 cm, su apotema es de 14 cm y tiene una altura de 27 cm?
Figura 8. Pirámide pentagonal.
Para calcular el volumen de una pirámide se utiliza la siguiente fórmula:
3alturabaseladeárea
V×
=
Como una pirámide pentagonal, su base es un pentágono, por ello, es necesario calcular primero el área de esta figura. El área de un pentágono se calcula como:
2apotemaperímetroÁrea ×
=
El pentágono tiene 5 lados iguales, por lo tanto, su perímetro será:
( ) cmcmlperímetro 80)16(55 ==×= De esta forma, el área del pentágono es:
( )( ) 22
5602
112021480
2cmcmcmcmapotemaperímetroÁreapentágono ===
×=
Una vez que calculaste el área de la base y como ya conoces la altura que es igual a 27 cm, ahora aplica la fórmula para calcular el volumen de cualquier pirámide.
( )( ) 332
50403
15120327560
3cmcmcmcmalturabaseladeárea
V ===×
=
Por lo tanto, el volumen de la pirámide pentagonal de lado igual a 16 cm, apotema 14 cm y altura de 27 cm es de 5040 cm3.
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Bibilografía
Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley Iberoamericana, López Mateos, M. Trad.). México: Pearson.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría. (3ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: Thomson.
Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y trigonometría. (3ª. ed., Villagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México: Thomson.
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