Áreas y volúmenes -...

GPT-04_M1AA1L4_Áreas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Pérez

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Áreas y volúmenes

Por Sandra Elvia Pérez Márquez

Áreas de figuras planas Las aplicaciones de las figuras planas requieren, por lo general, conocer (o calcular) dos características principales: el perímetro y el área de la figura plana en cuestión. La tabla 1 muestra algunas de las figuras planas más representativas y las fórmulas para calcular su área. Para el caso del perímetro de polígonos, éste se determina sumando la longitud de sus lados. Solamente el círculo y la sección transversal incluyen una fórmula específica para determinarlo.

Figura plana Área Ejemplo Cuadrado

ladoladoÁrea ×=

llA ×=

Determina el perímetro y el área de un cuadrado que tiene 5 centímetros de lado.

cmPerímetroPerímetro

ladosdeSumaPerímetro

205555

=

+++=

=

( )( ) 22555 cmÁrealadoladoÁrea==

×=

Rectángulo

alturabaseÁrea ×=

hBA ×=

Calcula el perímetro y el área de un rectángulo con una base de 20 metros y una altura de 12 metros.

mPerímetroPerímetro

ladosdeSumaPerímetro

6412201220

=

+++=

=

2240)12)(20(

mÁreaÁrea

=

=

Triángulo

2alturabaseÁrea ×

=

2hBA ×

=

Calcula el área de un triángulo con una base de 15 centímetros y una altura de 10 metros.

2752)10)(15(

cmÁrea

Área

=

=



2

Trapecio

altura

menorbasemayorBaseÁrea ×

+=

2

hbBA ×

+=

2

Calcula el área de un trapecio con una base mayor de 18 centímetros, una base menor de 14 centímetros y una altura de 12 metros.

2192

1221418

cmÁrea

Área

=

×

+=

Rombo

2menordiagonalmayorDiagonal

Área×

=

2dDA ×

=

Encuentra el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 pulgadas y su diagonal menor mide 8 pulgadas.

2402)8)(10(

cmÁrea

Área

=

=

Romboide

LBP 22 +=

alturabaseÁrea ×=

hBA ×=

Calcula el área de un romboide con una base de 24 centímetros y una altura de 18 centímetros.

( )( )2432

1824cmÁrea

Área=

=

Polígono regular

2apotemaperímetroÁrea ×

=

2aPA ×

=

La apotema de un polígono regular, es decir, polígonos con todos los lados iguales, es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados.

Calcula el área de un hexágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema mide 1.732 cm. Para determinar el área de un polígono regular, primero calculamos su perímetro:

cmperímetroperímetro

12222222

=

+++++=

Con el perímetro y el valor de la apotema tenemos que:

( )( )

239.102732.112

cmÁrea

Área

=

=



3

Círculo

drP ×=×= ππ 2

radioradioÁrea ××=π

2rA ×=π

Determina el perímetro y el área de un círculo cuyo radio es de 4 centímetros.

( )( )( )cmperímetro

perímetro13.2542

=

= π

( )( ) ( )( )2

2

26.50164

cmÁreaÁrea

=

== ππ

Sector circular

°

×××=

3602 aperturadegradosr

Perímetroπ

°×××2

=360

onrP π

°

××=

360

2 aperturadegradosradioÁrea

π

360

2 onrA ××=π

Determina el área de un sector circular cuyo radio es de 5 centímetros y tiene apertura de 30º.

( )( )( )

2

2

54.6360

305

cmÁrea

Área

=

=π

Tabla 1. Fórmulas de áreas y perímetros de las principales figuras planas. Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. La imagen siguiente muestra un poliedro limitado por 4 triángulos.

Figura 1. Partes de un poliedro.

Un poliedro está formado por:

a. Caras b. Aristas (lados del polígono) c. Vértices



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Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Los poliedros regulares fueron estudiados por Platón. Partiendo de la definición antes dada, sólo es posible construir 5 poliedros regulares.

Nombre Figura Características

Tetraedro regular

• Formado por 4 triángulos

equiláteros • En cada vértice concurren 3

caras • 4 vértices • 6 aristas

Cubo

• Formado por 6 cuadrados • En cada vértice concurren 3


Octaedro




Dodecaedro

• Formado por 12 pentágonos • En cada vértice concurren 3


Icosaedro




Tabla 2. Características de los principales poliedros.



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Existen dos tipos de poliedros que son de especial interés: los prismas y las pirámides. Prismas

Los prismas son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus caras laterales son paralelogramos.

Se pueden clasificar como:

a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.

b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos

regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular.

Figura. 2 Prisma de base cuadrada.

c) Por el número de lados de sus bases: • Triangulares: si sus bases son triángulos • Cuadrangulares: si sus bases son cuadriláteros. • Pentagonales: si sus base son pentágonos,

etcétera.

Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo, que tiene por bases dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son:

Pirámides

Una pirámide es un poliedro en la que una de sus caras llamada base es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.



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Se pueden clasificar como:

a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base. En caso contrario tendremos una pirámide oblicua.

b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono

regular. En caso contrario será irregular.

c) Por el número de lados de su base: • Triangular • Cuadrangular • Pentagonal...

Figura 4. Pirámide de base octagonal.

Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, se obtiene lo que se llama tronco de pirámide. Cuerpos redondos o de revolución Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa.

Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro.

Figura 5. Cilindro. Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono.

Figura 6. Cono.



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Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia.

Figura 7. Circunferencia.

Volúmenes más utilizados

Figura Volumen

Prisma

alturabaseladeáreaV ×=

Cilindro

alturabaseladeáreaV ×= hrV ××= 2π

Pirámide

3alturabaseladeárea

V×

=

Cono


V×

=

3

2 hrV ××=π

Esfera

34 3rV ×

=π

Tabla 3. Fórmulas de los volúmenes más utilizados



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En los siguientes ejemplos, se muestra cómo calcular el volumen de distintos poliedros. A continuación te presentaré algunos ejemplos: Ejemplo 1

Un adorno tiene forma de una pirámide pentagonal. ¿Cuál será el volumen que ocupa la pirámide si cada uno de sus lados mide 16 cm, su apotema es de 14 cm y tiene una altura de 27 cm?

Figura 8. Pirámide pentagonal.

Para calcular el volumen de una pirámide se utiliza la siguiente fórmula:


V×

=

Como una pirámide pentagonal, su base es un pentágono, por ello, es necesario calcular primero el área de esta figura. El área de un pentágono se calcula como:

2apotemaperímetroÁrea ×

=

El pentágono tiene 5 lados iguales, por lo tanto, su perímetro será:

( ) cmcmlperímetro 80)16(55 ==×= De esta forma, el área del pentágono es:

( )( ) 22

5602

112021480

2cmcmcmcmapotemaperímetroÁreapentágono ===

×=

Una vez que calculaste el área de la base y como ya conoces la altura que es igual a 27 cm, ahora aplica la fórmula para calcular el volumen de cualquier pirámide.

( )( ) 332

50403

15120327560

3cmcmcmcmalturabaseladeárea

V ===×

=

Por lo tanto, el volumen de la pirámide pentagonal de lado igual a 16 cm, apotema 14 cm y altura de 27 cm es de 5040 cm3.



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Bibilografía

Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley Iberoamericana, López Mateos, M. Trad.). México: Pearson.

Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.

Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría. (3ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: Thomson.

Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y trigonometría. (3ª. ed., Villagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México: Thomson.

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