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APUNTES
HISTORIA
MATEMTICAS Volumen I Universidad de Sonora MXICO
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DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS TALLER EDITORIAL
Apuntes de Historia de las Matemticas
Volumen 1, Nmero 1. Enero 2002.
UNIVERSIDAD DE SONORA DIVISIN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Hermosillo, Sonora, Mxico.
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Apuntes de Historia de las Matemticas
Apuntes de Historia de las Matemticas es una publicacin cuatrimestral cuyo fin es generar material en espaol sobre la Historia de las Matemticas y ponerlo al alcance de estudiantes, profesores y pblico en general. Su fuente principal es el Seminario de Historia de las Matemticas que se viene desarrollando en este Departamento desde septiembre de 1999, con dos conferencias semanales durante los semestres lectivos. Sin embargo, la publicacin est abierta a todos los interesados, a quienes se invita a ponerse en contacto con el editor de esta serie, a la direccin electrnica siguiente:
mavalenc@gauss.mat.uson.mx Los trabajos debern escribirse en Word, en tipo Times New Roman de 12 puntos, en hoja tamao carta, a rengln sencillo, en una sola columna, con los mrgenes usuales del procesador: Izquierdo 3.0 cm, derecho 3.0 cm, superior 2.5 cm e inferior 2.5 cm. El ttulo se escribir con maysculas, centrado y con el tipo Times New Roman en tamao 16. Los subttulos irn en maysculas, con el mismo tipo, pero en tamao 12, justificados a la izquierda. Ttulo y subttulos irn en negritas. Inmediatamente debajo del ttulo aparecer el nombre del autor, en itlicas y negritas, justificado a la derecha. Los datos del autor se entregarn por separado para ubicarlos en otro lugar de la publicacin. Las pginas se numerarn abajo y al centro del texto, en tamao 12.
El texto estar justificado en ambos mrgenes. Cada prrafo iniciar sin sangra, pero despus de cada punto y aparte deber dejarse un rengln libre. Antes de cada subttulo debern dejarse dos renglones libres, y uno despus. La extensin mnima ser de seis cuartillas, y la mxima de catorce. Al final se incluirn las referencias, iniciando con los apellidos de los autores en negritas, colocados en orden alfabtico. Enseguida del nombre del autor o autores, se colocar entre parntesis el ao de publicacin, luego el nombre del artculo, libro o publicacin en itlicas, y finalmente los datos de edicin del libro o revista, o la direccin electrnica. El trabajo se entregar impreso y en disco de 3.5 pulgadas. Ambas versiones incluirn las ilustraciones, tal como debieran aparecer en la versin final.
Apuntes de Historia de las Matemticas Consejo Editorial
Marco Antonio Valencia Arvizu Coordinador Editorial
Guillermo Dvila Rascn Francisco C. Garca Durn Martha Guzmn Partida Eduardo Tellechea Armenta
Oscar Vega Amaya
Correspondencia: Apuntes de Historia de las Matemticas Departamento de Matemticas, Universidad de Sonora.
Boulevard Luis Encinas y Rosales. Hermosillo, Sonora, Mxico. C.P. 83000
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Directorio
Universidad de Sonora
M.C. Pedro Ortega Romero Rector
Dr. Enrique Fernando Velzquez Contreras Secretario General Acadmico
Dr. Daniel Carlos Gutirrez Rohan Vicerrector Unidad Regional Centro
M.C. Carlos Alberto Robles Corbal Director de la Divisin de Ciencias Exactas y Naturales
M.O. Israel Segundo Caballero Jefe del Departamento de Matemticas
Dr. Jess Adolfo Minjrez Sosa Coordinador de la Licenciatura en Matemticas
M.C. Agustn Grijalva Monteverde Coordinador de la Maestra en Matemtica Educativa
M.C. Pedro Flores Prez Coordinador de la Licenciatura en Ciencias de la Computacin
Este nmero termin de imprimirse en diciembre del 2001,
en el taller editorial del Departamento de Matemticas. Portada impresa en los Talleres Grficos de la Universidad de Sonora.
Diseo de portada: Taller de Diseo y Serigrafa. Edicin a cargo de Marco Antonio Valencia Arvizu
Asistente editorial: Yadira Jimnez Ramos Tiraje: 300 ejemplares
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002.
C O N T E N I D O
Colaboradores de este nmero .................... 02
Presentacin .................................................. 03 Las Matemticas en el Antiguo Egipto
Lina Morales Peral ................................. 05
Tales de Mileto Jos Luis Daz Gmez ........................... 13
Apolonio, el Gemetra de la Antigedad Francisco Javier Tapia Moreno .............. 19 La Geometra Analtica de Descartes,
Fermat: Y Apolonio? Vctor Manuel Hernndez Lizrraga ...... 32 El Nacimiento del Clculo Martha Cristina Villalba y Gutirrez ....... 46 Surgimiento de la Teora Matemtica
de la Probabilidad Oscar Vega Amaya ................................ 54
DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS, UNIVERSIDAD DE SONORA. HERMOSILLO, SONORA, MXICO.
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COLABORADORES DE ESTE NMERO
Jos Luis Daz Gmez es profesor Titular B del Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora. Obtuvo su Licenciatura en Matemticas en la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora (1979), la Maestra en Matemtica Educativa en el CINVESTAV DEL IPN (1988) y es Doctor en Matemtica Educativa por la Universidad Autnoma del Estado de Morelos (2001); su trabajo de tesis se titula Diseo y Construccin del Sistema Tutorial Inteligente Funcin(x). Vctor Manuel Hernndez Lizrraga ha sido profesor en diversas instituciones desde 1973 y actualmente ocupa una plaza de Maestro de Tiempo Completo, Asociado C, en el Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora. Es egresado de la Licenciatura en Enseanza de las Matemticas del Programa Nacional de Formacin y Actualizacin de Profesores de Matemticas (1989) y de la Maestra en Matemtica Educativa de la Universidad de Sonora (1994), con cuyas actividades colabora. Lina Morales Peral es egresada de la licenciatura en Matemticas de la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora (1987). De 1995 a 1998 alcanz la pasanta de la Maestra en Matemtica Educativa en el propio Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora, y se encuentra elaborando su tesis de grado. Ejerce la docencia desde 1984 y actualmente es profesora Asociada de nivel C. Usualmente atiende los cursos de lgebra Lineal y Clculo de Varias Variables. Francisco Javier Tapia Moreno es profesor de tiempo completo, Asociado D, del Departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora; su Licenciatura en Matemticas la obtuvo en la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora, generacin 1977-1981. De 1994 a 1997 curs los estudios y obtuvo el grado de Maestro en Optimizacin de Sistemas Productivos, en el Instituto Tecnolgico de Sonora, en Ciudad Obregn, Sonora. Oscar Vega Amaya estudi la Licenciatura en Matemticas en la Escuela de Altos Estudios de la Universidad de Sonora de 1980 a 1985; de 1987 a 1990 curs la Maestra en Matemticas en la Universidad Autnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, y de 1994 a 1998, el Doctorado en Matemticas en esta misma institucin. Su trabajo de tesis fue en el rea de Control de Procesos de Markov. Es profesor del Departamento de Matemticas desde 1985, y actualmente tiene la categora de Titular, nivel A. Martha Cristina Villalba y Gutirrez curs la especialidad de Matemticas en la Escuela Normal Superior Nueva Galicia, en Guadalajara, Jalisco, de 1974 a 1979. Dentro del Programa Nacional de Formacin y Actualizacin de Profesores de Matemticas, obtuvo la licenciatura en Enseanza de las Matemticas en 1989, y en 1994 el grado de Maestra en Ciencias con especialidad en Matemtica Educativa, en el departamento de Matemticas de la Universidad de Sonora. Ejerce la docencia desde 1973 y es actualmente Maestra de Tiempo Completo del Departamento de Matemticas, con nivel de Asociada D, donde colabora en el nivel de licenciatura y en el Programa de Maestra en Matemtica Educativa.
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P R E S E N T A C I N La Historia de las Matemticas, adems de ser muy interesante, es una disciplina que permite asomarse a las ideas que fueron motivando la construccin esa gran estructura que es hoy la matemtica moderna y conocer las dificultades de toda ndole que fue necesario superar para llegar a su estado actual. Conocer a los hombres de carne y hueso que la fueron construyendo, saber de sus ideales y pasiones, de sus destellos geniales, de sus esfuerzos persistentes y a veces hasta heroicos, nos permite situar a las matemticas en una dimensin menos abstracta y ms humana. Tambin nos permite ubicar los descubrimientos matemticos como resultado de procesos y entornos que motivaron y sirvieron de base para que los individuos pudieran hacer sus aportaciones, pues, como deca Miguel de Unamuno, el genio es producto del hombre y de su circunstancia. Por lo que respecta al desarrollo de las ideas y conceptos, la historia, a diferencia de los libros de texto y los artculos de investigacin, nos permite seguir el camino, a veces intrincado y errtico, que hubo que recorrer para llegar a un resultado que ahora puede parecernos elemental y, posiblemente, hasta obvio. La creatividad y la imaginacin se ven ms estimuladas con el seguimiento del proceso real, que con la presentacin lgicamente ordenada que, a posteriori, lleva al resultado por la va ms corta posible. Estudiando la historia de las matemticas y observando la manera como se formaron la mayor parte de los grandes matemticos, se aprecia tambin la importancia de estudiar directamente a los clsicos, remontarse a las fuentes, a las exposiciones de los grandes pensadores, prdigas de ideas y, a la vez, bien cimentadas en razonamientos profundos. Tomando en cuenta estos conceptos y buscando construir un foro que pudiera servir de punto de confluencia, en un aglutinador de intereses matemticos, en un buen pretexto para comentar diversos tpicos de matemticas en nuestra ya crecida y heterognea comunidad, y sobre todo que fuera til a estudiantes y profesores del Departamento de Matemticas de la Universidad de
Sonora, en septiembre de 1999 iniciaron los trabajos del Seminario de Historia de las Matemticas.
En los primeros cuatro semestres del Seminario se impartieron 118 conferencias y en el semestre que est por concluir se impartirn 30 ms. Estas charlas han abordado el desarrollo histrico de diversos temas de las Matemticas, as como las biografas de un buen nmero de los personajes que han contribuido a su avance, desde la antigedad hasta nuestros das. Con algunos de los materiales surgidos de estas plticas, estamos iniciando la
publicacin de estos Apuntes de Historia de las Matemticas, con la intencin de que aparezcan tres veces por ao, en los meses de enero, mayo y septiembre.
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Independientemente de su origen y fuente primaria de artculos, estos
Apuntes estn abiertos a la colaboracin de todas las personas interesadas en difundir sus trabajos sobre la Historia de las Matemticas; las indicaciones generales para proponer trabajos para su publicacin, se encuentran en el interior de la portada de este ejemplar. Como lo sugiere su nombre, esta revista es primordialmente de divulgacin y por lo tanto no est dirigida a especialistas ni est escrita por especialistas en Historia de los Matemticas; en consecuencia, si se somete para publicacin algn trabajo de investigacin, su redaccin deber hacerlo accesible a un pblico amplio.
En este nmero inicial, se presentan seis artculos surgidos de exposiciones
realizadas en el Seminario de Historia de las Matemticas durante el segundo semestre de 1999; los tres primeros se ubican en la antigedad y los otros tres en los inicios de la edad moderna. En el primero de ellos, Lina Morales Peral nos habla de Las Matemticas en el Antiguo Egipto a partir de los escritos de esa cultura milenaria que han llegado hasta nuestros das. Despus Jos Luis Daz Gmez nos platica sobre la vida y obra del legendario Tales de Mileto, primer matemtico y tambin primer filsofo conocido. Enseguida Francisco Javier Tapia Moreno nos da una idea del trabajo de Apolonio: El Gemetra de la Antigedad, destacando los grandes alcances de sus ideas innovadoras. La obra de Apolonio es luego ligada por Vctor Manuel Hernndez Lizrraga al nacimiento de la geometra analtica por medio de La Geometra Analtica de Descartes, Fermat: Y Apolonio? Luego, Martha Cristina Villalba y Gutirrez nos narra cmo se dio El Nacimiento del Clculo, esa utilsima herramienta matemtica para representar el cambio y la suma de cantidades continuamente cambiantes; finalmente Oscar Vega Amaya aborda el Inicio de la Teora Matemtica de la Probabilidad, que abri una nueva rama de las matemticas y permiti todo un mundo de nuevas aplicaciones.
Esperamos que disfruten la lectura de estos artculos.
Hermosillo, Sonora, Mxico; a 26 de noviembre del 2001. EL EDITOR,
Marco Antonio Valencia Arvizu
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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LAS MATEMTICAS EN EL ANTIGUO EGIPTO Lina Morales Peral
INTRODUCCIN
En la Historia de las Matemticas pueden distinguirse perodos aislados, diferenciados uno
del otro por una serie de particularidades caractersticas. Podemos preguntar: En qu
momento termina la Edad de Piedra y comienza la Edad de los Metales? Es sta una
pregunta cuyas diversas respuestas estn ligadas con ms frecuencia a preocupaciones de
tipo geogrfico, cultural y econmico. Parece cierto que el Neoltico se prolonga ms en
Europa y termina antes en algunas zonas de Asia y frica.
Si convenimos en hacer coincidir el nacimiento de las civilizaciones antiguas con el
advenimiento de la Edad de los Metales, las primeras sociedades organizadas se formaron
en las orillas de los grandes ros, como el Nilo, el Eufrates, el Tigris y los principales ros
de la India y de China.
La periodizacin es necesaria para poder orientarse con mayor facilidad en toda la riqueza
de hechos que presenta el desarrollo histrico de las matemticas. Sin embargo, el papel de
tales periodizaciones es puramente auxiliar y se determina por las necesidades del objetivo
fundamental: el descubrimiento de lneas objetivas del desarrollo de las matemticas.
El proceso de formacin de los conceptos matemticos y de los procedimientos regulares
de solucin de determinadas clases de problemas elementales abarcan un gran intervalo de
tiempo. Su comienzo probablemente data de tiempos remotos, cuando el hombre pas a
utilizar instrumentos para la obtencin de medios de subsistencia y, posteriormente, al
intercambio de los productos de su trabajo. Este perodo concluye con el surgimiento de
formas cualitativamente nuevas del pensamiento matemtico, esto es, cuando el conjunto
de estos conceptos y mtodos y su contenido se hicieron lo suficientemente ricos para
constituir sistemas lgicamente relacionados, es decir, formas primarias de teoras
matemticas.
Los testimonios materiales, por los que puede estudiarse este perodo, el ms antiguo en la
historia de las matemticas, son escasos e incompletos. El balance cronolgico de las
civilizaciones de los valles del Indo y del Changijiang (Yangts) - ros que nacen en el
Tbet y se dirigen respectivamente hacia el norte de la India y hacia el este de China se apoya en crnicas cuya veracidad se pone en duda con frecuencia. Por el contrario, las
informaciones procedentes de los habitantes del valle del Nilo y del Creciente Frtil ofrecen, en las fuentes recogida hasta ahora, una mayor objetividad y una interpretacin
ms acertada de las actividades matemticas de estos pueblos.
Las formas y vas del desarrollo de los conocimientos matemticos en los diferentes
pueblos son muy diversas; sin embargo, el comn para todos los pueblos es que todos los
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conceptos bsicos de las matemticas: nmero, figura, rea, prolongacin infinita de la serie natural, etc., surgieron de la prctica y atravesaron un largo perodo de
perfeccionamiento.
ORIGEN
La civilizacin babilnica engloba un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia en
un perodo que comienza hacia el 5000 a. de C. y termina en los primeros tiempos del
cristianismo. Uno despus de otro, estos pueblos sumerios, acadios, caldeos, asirios, babilonios y otros contribuyeron a establecer las caractersticas de la civilizacin babilnica. Ms exactamente, la ciudad de Babilonia fue el centro cultural del Creciente Frtil entre los aos 2000 y 550 a. de C.
La civilizacin egipcia naci probablemente de un gran nmero de pequeas comunidades
urbanas y rurales que se unieron progresivamente en dos reinos, el Alto y el Bajo Egipto.
Egipto fue considerado durante mucho tiempo, debido al clima muy seco de la regin y al
culto que los egipcios profesaban a sus muertos, como el campo por excelencia de las
excavaciones histricas. Por esto, Egipto est lleno de construcciones de todo tipo (templos,
pirmides, obeliscos, etc.) y contienen numerosos papiros y objetos que el clima favorable
ha conservado muy bien.
FUENTES
El conocimiento actual de las matemticas babilnicas procede de excavaciones
arqueolgicas emprendidas a mediados del siglo XIX, en las cuales se recogieron casi
medio milln de tablillas de arcilla, de las cuales ms de 300 conciernen al mbito
matemtico, esencialmente. Cada tablilla de arcilla, impresa con escritura cuneiforme, tena
que ser cocida, por lo que estos documentos se conservan en bastante buen estado. Sin
embargo, hubo que esperar para apreciar verdaderamente los conocimientos matemticos
contenidos en estos documentos debido a las dificultades encontradas para descifrar estos
textos de escritura cuneiforme.
Entre estas tablillas de arcilla encontramos textos matemticos procedentes del ltimo
perodo sumerio (hacia el ao 2100 a. de C.); un nmero mayor de ellos pertenece a la
primera dinasta babilnica (poca del rey Hammurabi), y por ltimo, muchos de ellos
pueden situarse entre el ao 600 a. de C. y el 300 d. de C. Los textos matemticos contienen
esencialmente series de nmeros, relaciones geomtricas y listas de problemas. En
particular, las tablillas contienen multiplicaciones, nmeros y sus inversos, cuadrados y
cubos, y tambin algunas relaciones numricas en trminos de exponentes. El contenido
matemtico revelado por estos textos es suficientemente variado.
Mientras tanto, a los escritos egipcios les ha ido mejor que a los babilnicos en este
aspecto. Fue la expedicin de Napolen a Egipto la que confiri el impulso suficiente al
estudio cientfico de la civilizacin egipcia; fueron soldados franceses los que llevaron a
cabo el ms importante de los descubrimientos: excavando cerca de Rosetta, al este de
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Alejandra, extrajeron una piedra de basalto en la que haba una inscripcin en tres lenguas:
griego, demtico y jeroglfico. La piedra de Rosetta revelaba a los investigadores la
traduccin griega de un texto en escritura jeroglfica y en la vieja escritura popular egipcia
(demtico). Se tena la llave para descifrar los jeroglficos, pero cmo haba que utilizarla?
Esto se pudo lograr gracias al trabajo constante y minucioso.
Afortunadamente, el clima seco de Egipto favoreci la conservacin de algunos papiros.
Los principales documentos con que se cuenta en la actualidad son:
1) El papiro de Rhind. Escrito por el escriba Ahmes hacia el ao 1650 a. de C. y exhumado en Tebas en 1855, es un rollo de papiro comprado en 1858 por Henry Rhind
y conservado en el Museo Britnico de Londres que constituye una fuente importante
de la que obtenemos el conjunto de conocimientos matemticos egipcios. Contiene 85
problemas, redactados en escritura hiertica. Este texto, segn Ahmes, es una copia de
un texto ms antiguo (2000-1800), algunos de cuyos elementos proceden quiz de
perodos ms antiguos. Para su resolucin se realizan operaciones con fracciones, se
utiliza geometra (rea del rectngulo, tringulo, trapecio, crculo), clculo de
dimensiones y volmenes de pirmide. Las cinco partes del manual de Ahmes se
refieren respectivamente a la aritmtica, la estereometra, la geometra, el clculo de
pirmides y varios problemas prcticos.
2) El papiro de Mosc. Rollo de papiro comprado en Egipto en 1893 y conservado en el museo de artes de Mosc, fue escrito hacia el ao 1850 a. de C. por un escriba
desconocido. Contiene 25 problemas relacionados con la vida prctica y se parece al de
Rhind, salvo en dos problemas de particular significacin. El papiro de Mosc es, junto
con el de Rhind, una de las principales fuentes de informacin de la matemtica egipcia.
3) El rollo de cuero de las matemticas egipcias. Rollo de cuero comprado con el papiro Rhind y conservado en el Museo Britnico desde 1864. En 1927 se consigui, no sin
dificultad, desenrollar este documento de cuero y encontrar en l una coleccin, por
duplicado, de 26 sumas escritas en forma de fracciones unitarias, esto es, fracciones con
numeradores unitarios. Todo parece indicar que este rollo era una copia de un manual
que serva de gua prctica para un futuro trabajo, lo cual arroja mucha luz sobre el
aspecto mecnico contenido en las principales fuentes de las matemticas egipcias, de
la aritmtica, adems de proporcionar una justificacin de la supuesta existencia de
tablas tpicas de fracciones.
4) Los papiros de Kahun, Berln, Reisner, Akhmn, y algunos otros completan, en algunos puntos particulares, los conocimientos matemticos que se derivan de los tres
anteriores.
La escritura jeroglfica aparece, en general, en tumbas, monumentos y piedras, mientras que
la escritura hiertica (de forma cursiva) predomina en los papiros.
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Papiro de Rhind (Museo Britnico)
SISTEMAS DE NUMERACIN
Realmente no puede hablarse de un nico sistema de numeracin ya que, de hecho, se
encuentran dos: el sistema jeroglfico, que utiliza jeroglficos, y el hiertico (sagrado) o
sistema de los sacerdotes, que utiliza smbolos cursivos y que, en el siglo VIII a. de C.
desembocara en el sistema demtico o sistema del pueblo, cursivo y de forma abreviada.
1) Sistema jeroglfico. Sistema de base 10, no posicional, en el que el principio aditivo determina la disposicin de los smbolos. La utilizacin de este principio permite
expresar cualquier nmero; cada smbolo se repite el nmero de veces necesario. Por
ejemplo:
12.105 =
o ms bien
2) Sistema hiertico. Tambin es decimal, pero el principio de repeticin del sistema jeroglfico se sustituye por la introduccin de smbolos especiales, por lo que la
notacin hiertica es ms sencilla. Estos signos representan los nmeros de 1 a 10, as
como las potencias de 10. Los egipcios escriben de derecha a izquierda.
Generalmente, los egipcios utilizaban signos especficos para fracciones particulares como
2/3 y . En general, trabajaban con fracciones unitarias y cualquier fraccin de la forma p/q
se expresaba como una suma de fracciones unitarias. Las operaciones usuales se
efectuaban, casi en su totalidad, con ayuda del principio de adicin o por desdoblamiento.
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ARITMTICA EGIPCIA
Toda la estructura de la aritmtica egipcia se basa en dos principios operacionales: el
primero es inherente a su capacidad de multiplicar y dividir por 2 y el segundo a su
capacidad para calcular los dos tercios de cualquier nmero, entero o fraccionario. La
operacin aritmtica fundamental en Egipto fue la adicin.
La multiplicacin de dos enteros se efectuaba, generalmente, mediante operaciones
sucesivas de desdoblamiento, que dependen del hecho de que cualquier nmero puede
expresarse como una suma de potencias de 2. Por ejemplo, si se quiere efectuar la
multiplicacin 24 x 37, como 24=16+8, basta con sumar los mltiplos de 37 de estos
nmeros, como sigue:
1 37
2 74
4 148
8 296
+ __ 16 592 __ +
= 24 =888
de donde 24x37=888.
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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De la misma manera, para efectuar la divisin 847 33, se busca por cunto debe
multiplicarse 33 para obtener 847: Como los productos de 33 con potencias de 2 son 1, 33,
66, 132, 264, 528, etctera, y entonces
847=528+319
=528+264+55
=528+264+33+22
Este principio de desdoblamiento, as como eliminaba la necesidad de aprender las tablas
de multiplicar y facilitaba el empleo del baco para calcular y contar rpidamente,
presentaba serias dificultades para la aplicacin de estas operaciones a las fracciones, pues
reducan todas las fracciones a sumas de fracciones unitarias a fin de simplificar las
operaciones. Esta reduccin fue posible gracias a la construccin de tablas que contenan
fracciones del tipo 2/n.
Pero tambin, el desarrollo y el tratamiento de las fracciones a un nivel alto permite
comprender mejor el arte del clculo aritmtico. La construccin de la tabla de las
fracciones 2/n, de n=3 a n=101 con n impar, supone un trabajo considerable si se tiene en
cuenta que las descomposiciones en fracciones unitarias de la tabla son generalmente las
ms sencillas que pueden obtenerse.
LGEBRA EGIPCIA
El origen de muchos de los 110 problemas contenidos en los papiros Rhind y de Mosc
est estrechamente relacionado con la vida cotidiana. Estos problemas se resuelven
generalmente con la sola ayuda de la aritmtica o utilizando ecuaciones lineales de la forma
x+ax=b o x+ax+cx=b, donde la incgnita x se llama aha.
Generalmente, la solucin de una ecuacin lineal proviene de la aplicacin del mtodo de
falsa posicin: Por ejemplo, si x + x/7 = 24 se asigna un primer valor a x y se comprueba si es vlido: sea x = 7, entonces 7 + 7/7 = 8, lo cual es falso (se esperaba que fuera 24) ;
sin embargo, 3 x 8 =24, de donde la solucin es 3x7=21, es decir, x =21.
En general, los egipcios no resolvan la ecuacin cuadrtica, pero eso no les impidi
resolver ciertas ecuaciones de segundo grado. Los egipcios utilizaban muy poco el
simbolismo en su lgebra; manipulaban con xito las progresiones aritmticas y quizs las
geomtricas y utilizaban con soltura la conmutatividad y la distributividad, y estaban
familiarizados con el inverso de un nmero.
TRIGONOMETRA Y GEOMETRA EGIPCIAS
La mayora de los problemas de geometra que aparecen en los papiros hacen referencia a
frmulas de medicin necesarias para evaluar el rea de figuras planas y de ciertos
volmenes. El rea de un tringulo issceles se obtiene multiplicando la mitad de la base
por la altura. Los egipcios parecen acostumbrados a transformaciones que comprenden la
semejanza de rectngulos con ayuda de tringulos issceles y trapecios issceles. Calculan
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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tambin el volumen de cilindros y prismas, pero desconocen el Teorema de Pitgoras en su
formulacin general.
Un ejemplo: El rea de un crculo se obtena aplicando un cuadrado cuyo lado es igual a 8/9
de la longitud del dimetro. As, el valor de es 31/6. He aqu una interpretacin que
explica el origen de este valor:
3 3 3
A partir de un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, se
construye un octgono de tal manera que el rea de
cada uno de los tringulos issceles de las esquinas
sea 4 unidades.
rea del cuadrado =81.
rea del octgono = rea del cuadrado reas de cada uno de los tringulos = 81 18 = 63 (lo que es casi el rea de un cuadrado de lado 8).
Puesto que el rea del octgono difiere poco de la del crculo inscrito en este cuadrado, el
rea de un crculo ser aproximadamente igual a (8/9 d)2, o (16/9)
2 r
2 = r
2, de donde
=(16/9)2
o sea, aproximadamente, 3 1/6.
Los egipcios utilizaban una regla precisa relativa a la circunferencia: la razn entre el rea
de un crculo y su circunferencia es la misma que entre el rea del cuadrado circunscrito al
crculo y su permetro. Segn Boyer, esta relacin tiene una significacin matemtica
mucho mayor que la aproximacin a . Adems, podan calcular el rea de tringulos,
rectngulos y trapecios. La semejanza y la proporcionalidad no parecen haberles sido
desconocidas. En el siglo XIII a. de C. dos figuras similares, aunque de dimensiones
diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitacin donde se encuentra la tumba de
Seti I.
La perla de la geometra egipcia es, indiscutiblemente, el siguiente enunciado que se
encuentra en el papiro de Mosc (problema 14):
Si se os dice: una pirmide truncada de altura 6 y de bases 4 y 2; debis tomar el cuadrado
de 4 que es 16, despus doblar 4 para obtener 8, tomar el cuadrado de 2 que es 4, sumar 16,
8 y 4 para obtener 28; calcular 1/3 de 6 que es 2, multiplicar 28 por 2 que da 56; vis, es 56.
Es evidente que el escritor conoca la frmula : V = [a2
+ab +b2]h/3, que representa el
volumen de un tronco de pirmide de base cuadrada. Cmo fue descubierta? Se han dado
varias explicaciones, pero es difcil, incluso hoy, saber el mtodo empleado por los
egipcios. Los autores de estos documentos saban calcular la pendiente de los lados de una
pirmide y su volumen. Los problemas 56, 57, 58, 59 y 60 del papiro Rhind se refieren al
clculo de la razn entre la base horizontal de la pirmide y su altura, llamada seqt.
El valor de la seqt era importante para los constructores de pirmides, pues deban mantenerla constante en los sucesivos bloques de piedra. Podemos considerarlas como las
cotangentes del ngulo de inclinacin de las caras de las pirmides.
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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La geometra en Egipto no se desarroll como una ciencia en el sentido griego de la
palabra, fue propiamente una aritmtica aplicada. El calculista tena conocimiento de reglas, a partir de las cuales eran realizados los clculos, pero no se ha encontrado una
derivacin sistemtica de estas reglas.
La matemtica prehelnica no contaba con nada que pudiera llamarse teorema, y menos con
una prueba tal como la entendieron los griegos; slo contaban con recetas que elevaban al
rango de verdades al verificar una y otra vez que podan realizarlas. De ah que mostraran
una total indiferencia por contar con frmulas precisas. Este plantearse de manera general
los problemas es el paso que implic tomar el camino de la generalidad y la abstraccin.
Los griegos, al tratar de convertir esa especie de ciencia experimental que heredaron del
Oriente en una ciencia basada en la deduccin, dieron un giro que desemboc en la
formalizacin, al demostrar los resultados mediante razonamientos y ya no por simple
verificacin repetitiva; as, surgen las estructuras matemticas y los mtodos de
demostracin. De aqu, puede decirse que los egipcios eran expertos en el mtodo prctico
y los griegos en el terico.
Los materiales contenidos en los papiros permiten afirmar que 20 siglos antes de nuestra
era, en Egipto existan elementos de matemticas que apenas comenzaban a separarse de
los problemas prcticos, pero ya apuntaban hacia una ciencia.
REFERENCIAS
[1] Boyer, Carl P. (1968). A history of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. New York.
[2] Collette, Jean-Paul (1986). Historia de las Matemticas, tomo 1. Siglo Veintiuno Editores, S.A. de C.V. Mxico, D.F.
[3] Chvez Rivera, Hctor (1995). Bosquejo histrico de la geometra griega hasta la poca de Euclides. Departamento de Matemtica Educativa del CINVESTAV- IPN. Mxico, D.F.
[4] Newman, James R. (1983). El mundo de las matemticas. Coleccin Sigma, tomo 1.
Ediciones Grijalbo, S.A. Mxico, D.F.
[5] Rbnikov, K. (1991). Historia de las Matemticas. Editorial Mir, Mosc.
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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TALES DE MILETO
Jos Luis Daz Gmez
El espacio es la ms grande de todas las cosas,
porque contiene todo lo que ha sido creado.
Tales de Mileto
INTRODUCCIN
Tales, filsofo, astrnomo y matemtico griego naci en Mileto en el ao 624 a. de C. de
acuerdo con el pensador griego Apolodoro, y muri a la edad de 78 aos durante la
quincuagsima octava olimpada (548-545 a. de C) segn el historiador en filosofa griega
Digenes Laertes. Tales es el padre tradicional de la matemtica griega y aunque su
imagen completa es legendaria, subsiste por algo eminentemente real. Simboliza las
circunstancias bajo las cuales los fundamentos, no solamente de la matemtica moderna,
sino tambin de la ciencia y de la filosofa, fueron establecidas [7].
No hay escritos de Tales disponibles, as como tampoco hay fuentes contemporneas a las
que se pueda recurrir como referencia. Esto hace extraordinariamente difcil el poder
contabilizar lo logrado por Tales. La labor se hace an ms difcil por cuanto se sabe que en
la antigua Grecia haba la prctica de atribuirle muchos descubrimientos a personas
reconocidas como sabios sin que ellos hubieran tenido parte en ellos. La inclusin del
nombre de Tales en el canon de los legendarios Siete Hombres Sabios condujo a su
idealizacin y despus a la leyenda que le acompaa. De esos siete hombres se le consider
el primer filsofo, as como tambin un discpulo de los egipcios y caldeos, suposicin
de muy buen fundamento por los viajes de Tales a Egipto y Mesopotamia.
Para informacin respecto al trabajo de Tales y en general del desarrollo inicial de la
matemtica griega, deberemos confiar enteramente en pequeos fragmentos transmitidos
por autores posteriores y en observaciones dispersas de filsofos y de otros autores no
estrictamente matemticos [7].
Tales era un hombre esencialmente prctico: comerciante, hbil en ingeniera, astrnomo,
filsofo, estadista, gemetra.
TALES EL COMERCIANTE
Fue mercader en su juventud, y tuvo mucho xito como hombre de negocios; sus tareas
como mercader le llevaron a muchos pases y su ingenio natural le permiti aprender las
novedades que vea. Muchas leyendas y ancdotas se renen en torno a su nombre. Una de
las ancdotas que se cuentan de su vida es cuando estuvo encargado de unas mulas
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cargadas con sacos de sal; en su camino, al cruzar el ro, una mula resbal; la sal se disolvi
y su carga se aliger. El animal entonces se sumerga maosamente cada vez que tena que
cruzar un ro. Tales encontr la solucin para darle una leccin a la mula: la carg con un
saco de esponjas. Otra ancdota -narrada por Aristteles- es que en otra ocasin se apoder
de todas las cosechas de olivas y al tener el "monopolio", como dueo del mercado, les
demostr lo negativo que esto podra ser y despus vendi todo a un precio tan razonable
que horrorizara a un capitalista de hoy en da. Como mercader acumul riqueza suficiente
para consagrarse al estudio durante los aos de su edad madura [6].
TALES EL INGENIERO
Como lo que ahora llamaramos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidrulicas y se dice que
desvi el curso del ro Halis mediante la construccin de diques.
TALES EL ASTRNOMO
Como astrnomo fue ms clebre, lo espectacular fue la prediccin del eclipse solar que
detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares el 28 de mayo del ao 585 a. de C. Expertos
modernos en la materia estn convencidos de que Tales careca del conocimiento para
predecir con precisin la localidad donde el eclipse se poda observar o el carcter del
mismo y sus estimaciones debieron ser aproximadas. Es probable que el hecho de que el
eclipse fuera total y la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante
contribuyera enormemente a la reputacin de Tales como astrnomo.
El estudioso griego Calmaco registra que Tales descubri la constelacin de la Osa Menor
y recomend a los navegantes guiarse por ella en lugar de la Osa Mayor. Fue el primero en
comparar la magnitud del sol con la de la luna y encontr que sta era 700 veces menor que
el sol. Tambin se cree que conoci el recorrido del sol de un trpico a otro. Adems,
explic los eclipses de sol y de luna y delimit las estaciones del ao y asign a ste 365
das. Sus resultados astronmicos sustituyen lo que era poco ms que una elaboracin de
catlogos de estrellas por una ciencia autntica.
Tambin se cree que fue el primero en estudiar el fenmeno magntico (nombre dado por
Magnesia, lugar del hallazgo de la piedra imn), as como de trabajar en la propiedad
elctrica del mbar.
TALES EL ESTADISTA
Segn el historiador griego Herodoto, Tales fue un estadista prctico que estaba en favor de
la federacin de ciudades jnicas de Grecia.
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TALES EL FILSOFO
Se ve en la figura de Tales de Mileto al Padre de la Filosofa. Fund en Mileto una escuela
de matemticas y filosofa, llamada escuela jnica; en esta escuela aporta un enfoque
diferente: racional y objetivo, para abordar los cuestionamientos a las preguntas sobre el
sentido ltimo de la existencia, que hasta ese momento slo se haban tratado desde un
enfoque mitolgico.
Tales busca el fundamento natural de las cosas y en su afn por la abstraccin, que
consideraba ms valiosa que la intuicin o la sensibilidad cree, al respecto, que el principio
originario, la sustancia primordial de todas las cosas es el agua, que en diversos grados de
condensacin da lugar a todos los elementos y estados y es una fuerza eterna, activa,
susceptible de dar existencia [4].
Esta afirmacin nos puede parecer ingenua pero l reconoca el estado hmedo en los
animales y las plantas, observaba que la tierra "flota sobre el agua". Quiz la respuesta no
sea apropiada pero debemos enfocar nuestro inters a la pregunta: por primera vez se
pregunta el hombre sobre el origen de todo lo que existe.
La importancia del intento de Tales no radica en su eleccin del agua como substancia
fundamental sino en tratar de explicar el comportamiento de la naturaleza a travs de la
simplificacin de los fenmenos y en buscar las causas de los mismos dentro de la misma
naturaleza ms que en los caprichos de dioses antropomrficos. A este respecto Aristteles
dice que para Tales la pregunta fundamental no es, qu es lo que sabemos, sino cmo lo
sabemos.
Tales pues, en su cosmologa, pensaba que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a
la Tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre la cual existira una burbuja
hemisfrica de aire, nuestra atmsfera, sumergida en la masa lquida. La superficie convexa
de la burbuja sera nuestro cielo y los astros, segn expresin de Tales, "navegaran por las aguas de arriba".
TALES EL GEMETRA
En esa poca las culturas como la babilnica y la egipcia, resolvan problemas geomtricos
en forma eminentemente emprica ya que no utilizaban un sistema lgico deductivo. De
acuerdo con el historiador O. Neugebauer [5] la matemtica prehelnica no contaba con
nada que pudiera llamarse un teorema y por lo tanto una prueba tal como lo entendieron los
griegos. Se tenan conocimientos de ndole intuitiva y para probarlos les bastaba el hecho
de que tales resultados, cada vez que eran utilizados en la prctica, llevaban a conclusiones
que no contradecan lo que la experiencia haba recogido de la realidad [2].
Lo que puede decirse es que se haba alcanzado un alto grado de desarrollo de la habilidad
operatoria, para abordar todo tipo de problemas de la vida prctica; problemas que iban
desde la reparticin de una herencia y el clculo de inters compuesto, hasta los problemas
ligados a lo que despus llamaramos Geometra.
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El mayor mrito de los sabios griegos fue el transformar la geometra al cambiar el enfoque
de la misma de emprico a deductivo. Se menciona que uno de los protagonistas de esta
transformacin fue tambin Tales de Mileto, a quien se le reconocen los primeros intentos
para transformar la geometra en una ciencia racional al abstraer, de las cosas perceptibles,
las lneas, ngulos y superficies que las determinan.
Un estudiante de Aristteles, llamado Eudemo de Rodas (ao 320 a. de C.), hace referencia
a Tales en su Historia de las Matemticas. Este documento, que fue una historia completa
de la geometra griega que cubra el perodo anterior a 335 a. de C., se perdi y antes de que
esto ocurriera, lleg a existir un resumen del mismo que posteriormente desapareci
tambin. Informacin relacionada con este resumen aparece en el Sumario de Eudemo,
escrito por el historiador Proclo en el siglo V d. de C. Este resumen contiene un
Comentario sobre el Primer libro de los elementos de Euclides, y es un esbozo muy
breve del desarrollo de la geometra griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides [3].
All, despus de referirse a los orgenes de la geometra en Egipto y pasar a hablar sobre
Tales, Proclo dice:
...primero fue a Egipto y despus introdujo este estudio en Grecia. Descubri muchas de
las proposiciones por s mismo e instruy a sus seguidores en los principios que subyacen
en muchas otras, siendo su mtodo de ataque ms general en algunos casos, ms emprico
en otros.
Ms adelante en su Comentario y citando a Eudemo, Proclo afirma que Tales estableci
cuatro teoremas:
1. El crculo se bisecta por su dimetro.
2. Los ngulos de la base de un tringulo con dos lados iguales son iguales.
3. Los ngulos opuestos de lneas rectas que se intersectan, son iguales.
4. Si dos tringulos son tales que dos ngulos y un lado de uno son iguales a dos ngulos y un lado del otro, entonces los tringulos son congruentes.
Algunos de estos resultados deban ser conocidos desde bastante antes; de algunos,
solamente se dice que fueron enunciados por l; lo importante aqu es la creencia de que
Tales usaba razonamientos lgicos para hacer ver que eran ciertos y no lo haca por medio
de la intuicin, la experimentacin y la comprobacin repetida, como en esas pocas se
haba hecho. Lo hiciera Tales o no, lo que s es cierto es que los Pitagricos desarrollaban
la matemtica de una manera deductiva.
Hay un quinto teorema que tradicionalmente se incorpora a la lista anterior y que dice:
5. El ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo recto.
Actualmente se piensa que este teorema pudo tener su verdadero origen en Babilonia y
posteriormente ser introducido por Tales en Grecia.
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Segn el historiador Heath [3], si Tales hubiera sabido que el ngulo en un semicrculo es
un ngulo recto, podra haber demostrado que;
6. La suma de los tres ngulos interiores de un tringulo rectngulo es igual a dos rectos.
Pero tambin es posible demostrar la proposicin 5) conociendo 6).
Tenemos aqu un caso de equivalencias de dos resultados. Si conocemos 5), podemos
probar 6). Si sabemos 6), podemos probar 5). Si Tales demostr 5). Cmo lo hizo? Habr
usado 6)? Hay referencias, Eudemo a travs de Proclo , que indican que 6) no solo fue
demostrado por los Pitagricos, sino que incluso fue descubierto por ellos. Y por tanto se
cree que Tales quiz demostr 5), a partir del conocimiento de 6), pero que no daba una
demostracin general; solo aceptndolo como cierto a travs de demostraciones de orden
particular y de carcter ms experimental e intuitivo, que las que ya aparecen en los
Elementos de Euclides.
Entre los resultados ms conocidos de Tales se encuentra el teorema que lleva su nombre,
relativo a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un
sistema de paralelas.
Teorema de Tales:
Si dos rectas r y r se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de interseccin sobre una de ellas son
proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra.
Parte de la leyenda atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de geometra para medir
las dimensiones de las pirmides de Egipto y calcular la distancia a la costa de barcos en
alta mar. Digenes Laertes, junto con Plinio y Plutarco sealan que la medida de la altura
de las pirmides se llev a cabo a travs de la determinacin de la longitud de la sombra
que ellas producan cuando una vara clavada verticalmente en el suelo produca una sombra
igual a su altura. Para medir la distancia de los barcos en alta mar a la costa, la leyenda dice
que Tales fue el primero en emplear la proporcionalidad de los lados de tringulos
semejantes. Hay dudas muy grandes con respecto a esto, ya que estas ideas se haban
manejado con mucha anterioridad en Egipto y Mesopotamia, donde Tales invirti una parte
de su vida. Queda entonces planteada la interrogante de si Tales fue el primer hombre en la
historia en introducir estructuras lgicas en la geometra. Es muy posible que el verdadero
papel que haya jugado no sea tanto el de creador y est ms relacionado con el de un
intrprete, organizador y recopilador inteligente de esas estructuras lgicas.
A MANERA DE REFLEXIN
La mayora de los profesores y estudiantes de Matemticas piensan que la Matemtica es
una ciencia formal y exacta que poco, o mejor casi nada, tiene que ver con la Filosofa.
Pareciera entonces que la Filosofa y la Matemtica estuvieran en posicin irreconciliable
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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una frente a la otra. Muchos de quienes estudian Matemticas, ven como una prdida de
tiempo el cuestionarse sobre el sentido de la existencia, o sobre el origen del conocimiento.
Al estudiar el trabajo realizado por Tales se observa la relacin que existe entre la Filosofa
y la Matemtica, relacin que se da desde los mismos orgenes de ambas, y nos demuestra
que entre ellas hay mucho ms en comn que lo que uno podra esperar.
Se pueden estudiar otros ejemplos de grandes matemticos que a su vez han sido grandes
filsofos como Descartes y Leibniz y en ellos vemos la posibilidad y hasta la necesidad de
reconciliar estas dos disciplinas. Debemos ver con profundo respeto a los hombres que en
su tiempo se plantearon las grandes preguntas sobre el misterio de la existencia y el
conocimiento. En muchas ocasiones habr que resaltar que la principal aportacin que ellos
hicieron no son las respuestas, sino las preguntas mismas.
REFERENCIAS
[1] Eves, Howard (1969). Estudio de las geometras. Vol. I. Unin Tipogrfica editorial Hispano Americana. Pgs. 9-11.
[2] Filloy Y., Eugenio (1976). La geometra y el mtodo axiomtico. Revista Matemtica.
Matemticas y Enseanza. Sociedad Matemtica Mexicana. Nmeros 3,4,5,6.
[3] Heath, T. (1921). A History of Greek Mathematics. Oxford University Press.
[4] Maras, Julin (1994). Historia de la filosofa. Alianza Universidad Textos. Pg. 13.
[5] Neugebauer, O. (1957). The Exact Sciences in Antiquity. Brown University Press.
[6] Newman, J. R. (1969). Sigma. El Mundo de las matemticas. Ediciones Grijalbo S. A.
Octava Edicin. Volumen I, Pgs. 9 12.
[7] Struik, D. J. (1980). Historia concisa de las matemticas. Serie Ciencia y Tcnica. Instituto Politcnico Nacional. Pgs. 53-54.
[8] Wentworth, J. y Smith, D. J. (1981). Geometra Plana y del Espacio. Editorial Porra,
S. A. Dcima Edicin.
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APOLONIO, EL GEMETRA DE LA ANTIGEDAD
Francisco Javier Tapia Moreno
INTRODUCCIN
De los tres grandes matemticos del helenismo: Euclides, Arqumedes y Apolonio, este
ltimo ha sido el menos conocido a lo largo de los siglos. Aunque del personaje Euclides
no sabemos casi nada, su obra fue pronto el paradigma de la sistematizacin del saber
matemtico, la obra de los fundamentos, y conserv este halo por siempre. Arqumedes, por
su genio polifactico y por las leyendas creadas alrededor de su persona, coronadas con la
historia de su muerte, es sin duda, de entre los tres, la figura ms conocida universalmente.
Apolonio representa la grandeza tcnica especializada, el virtuosismo geomtrico por
excelencia. Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de l se haba escrito en el
campo de su mayor brillantez, las cnicas, pero por su carcter tan especializado y tan
difcil, ni siquiera esta obra maestra, Las Cnicas, se conoce hoy en su integridad y ms de
la mitad de ella permaneci oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por
Edmond Halley en 1710.
Los tres genios griegos de la matemtica representan una nueva era y son verdaderos hijos
de su poca histrica. El helenismo significa, tanto en poltica como en filosofa, una
autntica fragmentacin. En poltica, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos ms o
menos pequeos que compiten en ser dignos herederos de la tradicin del siglo de oro
helnico. En filosofa se produce tambin una fragmentacin del saber unificado al que
Platn y Aristteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagrica, aspiraron. El saber
orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la esttica, tica, religin,
poltica,... cede el paso al saber especializado que en matemticas viene a ser representado
por Euclides, Arqumedes y Apolonio, y muy particularmente por este ltimo.
EL ENTORNO DE APOLONIO
Los datos de la vida de Apolonio son ciertamente escasos y casi todos ellos provienen de
algunas noticias que aparecen en las introducciones de los diferentes libros de Las Cnicas.
Apolonio naci a mediados del siglo III a. de C. en Perga (ver figura 1), ciudad situada en
Panfilia, segn Heath hacia el 262 a. de C., segn otros entre 246 y 221. Fue probablemente
unos veinte aos ms joven que Arqumedes. Parece que estudi o pas largo tiempo en
Alejandra, cuyo Museo y Biblioteca constituan en aquel tiempo el centro del saber
occidental.
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Parece extrao que, a pesar de esto, Apolonio no dedicara alguno de los libros de su gran
obra, Las Cnicas, a ninguno de los reyes de Alejandra, Tolomeo III Euergetes (246-222)
Tolomeo IV Filopator (222-205), ... sino a personajes de Prgamo, Eudemo (libros I, II, III)
y Atalo (tal vez el rey Atalo I de Prgamo, 241-197, libros IV-VIII). Sarton se pregunta si
Figura 1
pudo ser debido a problemas que surgieran entre Apolonio y las autoridades del Museo.
Apolonio pas algn tiempo tambin en Prgamo y en Efeso.
Las Cnicas fueron con certeza una obra de madurez, compuestas en Alejandra, pues enva
el segundo libro a Eudemo, en Prgamo, a travs de su hijo Apolonio. Parece ser que el
perodo de mximo florecimiento de Apolonio tiene lugar en el reinado de Tolomeo
Filopator (222-205). De su muerte no se sabe nada en absoluto, ni dnde, ni cundo, ni
cmo.
De entre los personajes nombrados en los prlogos de los libros de Las Cnicas se pueden
identificar Eudemo y Filnides. Filnides fue matemtico y filsofo epicreo conocido
personalmente por el rey selecida Antoco IV Epifanes ( 175-163) y por Demetrio Sotero
(163-150). Eudemo parece haber sido el primer maestro de Filnides. As, la presentacin
por Apolonio a Eudemo del joven Filnides tuvo lugar probablemente a comienzos del
siglo II. Las Cnicas debieron ser escritas por entonces y estas fechas casan bien con la
evidencia interna de la dependencia de Apolonio en otras obras con respecto a Arqumedes,
que muri ya anciano en 212.
CNICAS PRECEDENTES A LAS DE APOLONIO
El trabajo ms importante de Apolonio se refiere a las secciones cnicas. La cuestin previa
interesante que en este apartado examinaremos es la siguiente: qu se saba sobre cnicas
antes de Apolonio?
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Debido precisamente a la perfeccin de la obra de Apolonio, los tratados que sobre cnicas
fueron escritos antes que el suyo, no han sido conservados. Se conocen noticias aisladas
que se pueden encontrar en los escritores que describen el desarrollo de la geometra.
Menecmo, hacia 350 a. de C., se ocupa del problema clsico de la duplicacin del cubo
(construir un cubo de doble volumen que otro dado), en cuya motivacin y descripcin no
entraremos aqu. Redujo el problema al de la construccin de las dos medias proporcionales
entre 2 y 1. En nuestro lenguaje, si encontramos x e y, tales que
2:x = x:y = y:1
entonces ,,2 22 xyyx y as 33 2yx , es decir, el cubo de lado x es de volumen
doble que el de lado y .
En general, el problema de las dos medias proporcionales entre a y b consiste en
hallar x e y , tales que
a:x = x:y = y:b
su resolucin se reduce a hallar la interseccin de la curva ayx2 con la curva abxy y
es as como aparecen lo que nosotros llamamos parbola e hiprbola equiltera.
Menecmo introduce estas curvas como secciones de un cono circular recto por un plano
perpendicular a una generatriz. Por eso la parbola fue llamada, y con esta terminologa
aparece todava en Arqumedes, seccin de cono rectngulo (es decir, seccin de un cono
cuyo ngulo de apertura es recto, cortado por un plano perpendicular a una generatriz). La
elipse era la seccin de cono acutngulo y la hiprbola (hasta Apolonio, slo se consider
una rama de ella) la seccin de cono obtusngulo.
El desarrollo de la teora de las cnicas debi ser muy rpido pues ya hacia fines del siglo
IV a. de C. existieron dos obras importantes. La primera es de Aristeo, el Libro de los
lugares slidos (lugares planos eran los que daban lugar a rectas y crculos; lugares
slidos, aquellos en los que aparecen las cnicas por interseccin de cilindros y conos con
planos; lugares lineales eran otras curvas de orden superior no reducibles a las anteriores,
como la cuadratriz o la concoide). La segunda obra de inters, tambin perdida, fue de
Euclides, en cuatro libros, cuyo contenido debi ser, en sus lneas fundamentales, el que se
encuentra en los cuatro primeros libros de Las Cnicas de Apolonio, si bien menos general
y menos sistemtico.
De este modo, al final del siglo IV, ya eran bien conocidas propiedades tales como la de la
ordenada (ver figura 2) y tambin la de las asntotas de la hiprbola (ver figura 3).
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Figura 2. Figura 3.
Ahora, he aqu la forma sencilla como Menecmo pudo llegar a la propiedad que hoy
expresamos como pxy 22 para la seccin del cono rectngulo (parbola, ver figura 4).
Figura 4.
Arqumedes se especializ en propiedades de la parbola. Muchas de las que cita en sus
obras las propone como del dominio pblico en su tiempo. As la de la subnormal y el
hecho de que si PV es un dimetro que biseca la cuerda QQ (ver figura 5) y si la tangente
en Q interseca el dimetro en T entonces
PTPV .
L
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23
Figura 5
LAS CNICAS DE APOLONIO
Las circunstancias de la composicin de la obra de Apolonio estn explicadas por l mismo
en su primer libro. Apolonio saba mucho ms de lo que hasta entonces se conoca y de un
modo mucho mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. l mismo, en este prlogo
al libro primero, explica el contenido de la obra bien claramente. Los cuatro primeros libros
constituyen una introduccin elemental. Deban constituir materia probablemente ya
sabida, pero no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro V se exponen los
hallazgos ms importantes del mismo Apolonio.
Su ndice se puede proponer ms o menos as:
I. Modos de obtencin y propiedades fundamentales de las cnicas. II. Dimetros, ejes y asntotas. III. Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos. IV. Nmero de puntos de interseccin de cnicas. V. Segmentos de mxima y mnima distancia a las cnicas. Normal, evoluta, centro de
curvatura.
VI. Igualdad y semejanza de las secciones cnicas. Problema inverso: dada la cnica, hallar el cono.
VII. Relaciones mtricas sobre dimetros. VIII. Se desconoce su contenido. Tal vez teoremas y/o problemas sobre dimetros
conjugados.
A continuacin examinaremos someramente algunos de los detalles ms importantes de los
diferentes libros, adelantando solamente que se considera, de modo unnime, el libro V
como el mejor y ms original de todos.
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El libro I comienza con la generacin del cono circular oblicuo de dos hojas que,
seccionado por un plano, dar lugar a los diferentes tipos de cnicas. Apolonio haba
captado cmo esta consideracin de un solo cono permite la obtencin de las tres cnicas
segn la inclinacin diversa del plano y adems identificar la hiprbola como una curva
con dos ramas. En estos puntos importantes se aparta de sus antecesores en el campo,
logrando una visin ms unitaria y mejor sistematizada del tema. Estudia las secciones
circulares del cono, paralelas y antiparalelas a la base; introduce el parmetro p = 2b2/a,
que llama lado recto; establece las propiedades de ordenada y abscisa de las cnicas;
considera el centro, ejes, dimetros conjugados, tangentes, ... y ataca el problema de la
construccin de la cnica dados diversos elementos suyos.
El libro II estudia fundamentalmente las propiedades de las asntotas de la hiprbola.
Caracteriza la asntota OM por la distancia PM sobre la tangente, en funcin de OP y el
parmetro correspondiente (ver figura 6). Estudia al final el problema importante siguiente:
Trazar una tangente que forme un ngulo dado con el dimetro que pasa por el punto de
contacto.
El lenguaje de Apolonio es un lenguaje sinttico, que utiliza a la perfeccin los viejos
procedimientos pitagricos de la aplicacin de reas. Los resultados, sin embargo, son
fcilmente traducibles al lenguaje de la geometra analtica. Lo que resulta profundamente
sorprendente y llamativo es que Apolonio sea capaz de llegar tan lejos sin asomo de
utilizacin de los mtodos avanzados de la geometra y del clculo de los que nosotros
disponemos.
Figura 6.
El libro III se dedica primero a estudiar las relaciones de tringulos y cuadrilteros
determinados por tangentes y dimetros conjugados. Obtiene la relacin armnica sobre los
cuatro puntos determinados en una secante a la cnica que pasa por un punto, su polar y los
dos de interseccin de la secante con la cnica.
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En la proposicin 41 se establece cmo tres tangentes a la parbola se cortan en la misma
razn y as resulta la parbola como envolvente de las rectas con esta propiedad.
En la proposicin 43 aparece la hiprbola como lugar de puntos tales que ,constantexy
siendo x e y abscisa y ordenada respecto a los ejes constituidos por las asntotas.
Desde la proposicin 45 hasta la 52 aparecen propiedades interesantes sobre los focos.
En la proposicin 45 se establece cmo desde un foco F se ve bajo un ngulo recto
MFM el segmento determinado por una tangente cualquiera entre las tangentes en A y A (ver figura 7).
Figura 7
El libro IV es de bastante menos valor. En l estudia el nmero de puntos de interseccin de
las cnicas. Es interesante desde un punto de vista lgico que de sus 57 proposiciones, las
23 primeras se demuestran por reduccin al absurdo.
El libro V, que consta de 77 proposiciones es, con gran diferencia, el ms sorprendente de
todos. Se puede decir que en l Apolonio, 20 siglos antes que Huygens (en su Horologium
Oscillatorium, de 1673), introduce ya, a su modo, con instrumentos puramente sintticos,
nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc,.. y que logra
obtener estos elementos para las cnicas de la manera ms rigurosa.
La normal desde un punto exterior viene definida a travs de la propiedad de mxima o
mnima distancia desde el punto a la curva. Apolonio comienza por considerar el punto E
sobre el eje principal tal que AE = p/2 (ver figura 8). Demuestra entonces que para
cualquier punto P sobre la elipse se verifica 222 ANAEPE y as est a distancia de E
mayor que A . Por tanto AE es para E el segmento de distancia mnima desde E a la
elipse. Considera luego E en situaciones ms generales y anlogamente determina la
normal desde E .
Las proposiciones ms llamativas de toda la obra son ciertamente la 51 y 52 de este libro
quinto. En ellas consigue, por procedimientos puramente sintticos!, obtener la evoluta de
las cnicas, es decir, el lugar geomtrico de los centros de curvatura, mediante la
determinacin del nmero de normales distintas desde cada punto. Esto equivale a describir
La proposicin 49 afirma esencialmente
que la podaria del foco es el crculo de
dimetro AA en la elipse e hiprbola. La
52 contiene lo que hoy solemos tomar a
veces como definicin de elipse
aFPPF 2 . Los focos, en
Apolonio, son
es decir, "los
puntos que surgen de la aplicacin" de
reas.
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sintticamente las curvas que en el lenguaje de nuestra geometra analtica tendran por
Figura 8
ecuacin
3
2
21627
pxpy (parbola)
3
23
23
2 22 babyax (elipse, hiprbola)
En las proposiciones 6355 obtiene las normales desde un punto exterior, reduciendo el
problema a la determinacin del pie de la normal sobre la cnica por interseccin de sta
con una hiprbola equiltera asociada al punto exterior.
En el libro VI, dedicado fundamentalmente a la igualdad y semejanza de cnicas, aparece el
problema interesante siguiente: dada la cnica y dado un cono circular recto, hallar una
seccin del cono que sea igual a la cnica dada. Es llamativa la elegancia de la resolucin
de este problema.
Las proposiciones del libro VII, nuevas en su mayor parte, como Apolonio mismo seala,
contienen numerosas relaciones mtricas entre dimetros conjugados, reas, etc...
OTRAS OBRAS DE APOLONIO
Apolonio escribi unas cuantas obras ms que se difundieron bastante en su entorno, una
buena parte relativa a geometra, otras a campos de la fsica donde sus profundos
conocimientos geomtricos ms pudieron aportar, como es el caso del estudio de la
reflexin sobre espejos curvos; otras de astronoma, campo en el que Apolonio ejerci una
notable influencia, siendo citado explcitamente por Tolomeo, autor del Almagesto
(alrededor del ao 140 d. de C.), como responsable de un importante teorema en la teora de
epiciclos. Pero parece cierto que las otras obras matemticas de las que nos han llegado
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noticias fueron de inters ms bien puntual, a juzgar por el tipo de problemas que trataban.
He aqu una descripcin sucinta de cada una de ellas.
La nica obra, aparte de Las Cnicas, que ha sobrevivido hasta nuestros tiempos, tiene por
ttulo Sobre la seccin de la razn ( ) que fue conservada en rabe y
traducida por Halley al latn en 1706. Halley haba hecho el esfuerzo de aprender rabe a
fin de ser capaz de leer esta obra de Apolonio. El problema principal se puede indicar de la
forma siguiente (ver figura 9):
Figura 9
Dado el punto ,A los puntos ,, NM las dos rectas r y s que pasan respectivamente por
M y N y dado el nmero trazar por A una recta t tal que PQPM / .
Es fcil para nosotros, mediante nuestra geometra analtica, ver cmo este problema se
puede reducir a uno acerca de interseccin de cnicas y as es sencillo imaginar cmo pudo
proceder Apolonio en ste y otros problemas semejantes con suma facilidad, gracias a sus
conocimientos sobre cnicas.
Otra obra, sta perdida, se titula Sobre la seccin del rea ( . El
problema tratado era como el anterior, salvo que ahora debera ser NQMP .
El tratado sobre la Seccin determinada ( ) consista en lo siguiente (ver
figura 10): Dados cuatro puntos sobre la recta CBA ,, y D , y el nmero ,
determinar otro punto P sobre la misma recta tal que
Figura 10
A
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La obra titulada Tangencias (E ) se hizo especialmente famosa a lo largo de la
historia por contener lo que se vino a llamar el Problema de Apolonio. Dados tres
elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, se
pide hallar una circunferencia que sea tangente a ellos (pase por ellos en el caso de
puntos). El caso ms complicado, dadas tres circunferencias hallar otra tangente a las tres,
es el mencionado problema de Apolonio. No conocindose exactamente la solucin de
Apolonio, esta cuestin interes vivamente a muchos matemticos famosos, entre ellos
Vieta, Descartes, Newton, Euler, Poncelet,... El problema tratado en la obra sobre
Inclinaciones ( ) se puede proponer en general como sigue (ver figura 11): Dado
un punto A, dos curvas r y s , y la longitud p , hallar una recta t que pase por A tal que
pMN .
Figura 11
El tratado sobre Lugares planos ( ) estudia condiciones que conducen a
rectas y crculos como lugares geomtricos.
De estos tratados, se conocen algunas referencias sobre su contenido a travs de las noticias
que proporciona Pappus (siglo IV d. de C.), quien debi tener ante sus ojos las obras de
Apolonio o al menos algn catlogo ms extenso. Hay an otras obras que menciona cuyo
contenido es ms oscuro. Una especie de Arenario, al estilo del de Arqumedes, con
tcnicas para manejar nmeros grandes. Un tratado Sobre la hlice, otro Sobre el
dodecaedro y el icosaedro, en el que aparece la igualdad de las apotemas de los dos
poliedros regulares inscritos en la misma esfera, lo que conduce de modo directo a una fcil
comparacin de volmenes (mayor para el dodecaedro, contra lo que una primera intuicin
podra sospechar).
Pappus menciona tambin un Tratado general ( ) en el que podra
haber observaciones sistemticas de tipo axiomtico relativas a los fundamentos de la
geometra. Existe tambin una oscura alusin a un tratado Sobre los irracionales
desordenados ( ) que tal vez podra consistir en
consideraciones que extendan, no se sabe bien en qu direccin, el contenido del libro X
de los Elementos de Euclides.
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Pappus cita tambin un trabajo sobre Clculo rpido ( ) que debiera referirse al
clculo aproximado de . Tambin se nombran en el catlogo de Pappus dos trabajos de
ptica, Sobre el espejo custico ( ) y A los catrpticos ( s s
) en los que sin duda los conocimientos geomtricos de Apolonio se ponan
en accin con gran ventaja.
LA HUELLA DE APOLONIO
La influencia de Apolonio en los gemetras griegos y rabes fue muy profunda. No en vano
Apolonio fue llamado El Gemetra de la Antigedad. Sobre porciones ms o menos
extensas de su obra escribieron comentarios Pappus (s. IV d. de C.) Serenus Antissensis
(IV), Hyppathia (V), Eutoquio (VI), Abalphat de Ispahan (X), Abdomelek de Chiraz
(XIII),...
La obra de Apolonio comienza a filtrarse lentamente hacia Occidente por va de la
matemtica rabe. Vitelio, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de
ptica, que en el fondo es un comentario al tratado de ptica del rabe Al-Hazen, que
residi en la pennsula ibrica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas
proposiciones geomtricas de Apolonio.
El primer texto griego de Las Cnicas que aparece en Occidente es el que Francisco Filelfo,
nacido en Tolentino en 1398, se trajo de Constantinopla a Venecia en 1427.
La primera versin al latn de los cuatro primeros libros de Las Cnicas fue realizada por el
matemtico Juan Bautista Memo, en Venecia. Revela grandes lagunas en el conocimiento
del griego, pero a pesar de ello, al morir Juan Bautista, un sobrino suyo, Juan Mara Memo,
edit la obra en 1537.
En 1566, en Bolonia, Federico Commandino publica una segunda traduccin, mucho
mejor, de los cuatro primeros libros, basada sobre los textos griegos, y acompaada de los
lemas de Pappus, del comentario de Eutoquio y de dos libros sobre cnicas de Serenus
Antissensis. Una segunda edicin de esta obra fue impresa en Pars en 1626.
En 1655 aparece publicado un exponente de lo que constitua el ejercicio de moda en ese
tiempo, la reconstruccin conjetural de las obras perdidas de los clsicos. El Padre Claude
Richard publica en Amberes un comentario de los cuatro primeros libros sobre las cnicas
de Apolonio, basado en los textos de Memo y Commandino, seguido de otros cuatro libros
que, a juicio del P. Richard, pretendan reconstruir el contenido de los cuatro libros de
Apolonio desconocidos entonces en Occidente.
En 1675 Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge, public en Londres un manual
de geometra en que condensaba los cuatro primeros libros de Apolonio, adems de otras
obras de Arqumedes y de Teodosio.
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A partir de 1629 comienzan a conocerse en Occidente los primeros manuscritos rabes de
la obra de Apolonio, que contenan ms libros que los hasta entonces conocidos, a travs de
Golius, profesor de lenguas orientales en Leyden. El Padre Mersenne se hace eco de ello en
una obra en 1644. Golius los trajo consigo a Holanda, despus de un viaje por el Pronio, y
en principio plane traducirlos y publicarlos. No se sabe bien por qu no llev a cabo su
proyecto ni por qu su coleccin se dispers despus de su muerte.
Mientras el gemetra Viviani, en 1658, se ocupaba de reconstruir conjeturalmente el
contenido de los cuatro libros desconocidos de Apolonio, otro gemetra italiano, Borelli,
encontr en la biblioteca de los Mdicis, en Florencia, un manuscrito rabe, probablemente
de la coleccin de Golius, que contena los libros V, VI y VII de Las Cnicas, en una
versin resumida y ms o menos retocada por el matemtico persa Abalphat de Ispahan, en
994. Viviani logr que Borelli no publicase tal hallazgo sino despus de que l hubiese
publicado su reconstruccin, lo que hizo en 1659. Como se pudo ver despus, la
reconstruccin del libro V de Viviani fue de un acierto sorprendente y extenda el campo de
Apolonio considerablemente.
Borelli por su parte hizo traducir el libro de Abalphat al latn y lo public con numerosos
comentarios en Florencia en 1661.
Otro manuscrito rabe que contena una versin abreviada de los mismos libros de Las
Cnicas, comentada por el gemetra persa Abdolmelek de Chiraz en 1250, fue adquirida en
1641 por el orientalista alemn Christian Rau. Este lo tradujo al latn y lo public en Kiel
en 1669.
La primera versin completa en rabe de los libros V, VI, VII, aparece pblicamente en
Occidente al comienzo del siglo XVII en Irlanda, en un manuscrito que los herederos de
Golius haban vendido al obispo de Armach (Codex Armachanus). Se trataba de una
traduccin del griego al rabe realizada en el siglo IX por Thabit ben Kurra, en Bagdad.
La edicin prncipe de Las Cnicas se debe al entusiasmo de Edmond Halley (1656-1742),
el gran impulsor del trabajo de Newton, a quien convenci para que escribiese los Principia
que posteriormente l mismo hizo imprimir con los costos a su cargo, en 1687.
En 1704 Halley sustituy a Gregory como profesor de geometra en Oxford. Gregory haba
traducido los Elementos de Euclides y en 1703 los haba publicado en latn y griego. l y
Halley se haban propuesto traducir y publicar los siete libros de las Cnicas de Apolonio.
Con tal fin Halley decidi aprender rabe. En 1706 publica Halley el tratado de Apolonio
sobre la seccin de la razn. Muerto Gregory, Halley emprende en solitario la conclusin
de la publicacin de los siete libros conservados de las Cnicas y en 1710 aparece la obra
en una impecable presentacin. Se compone de tres partes.
La primera contiene el texto griego de los cuatro primeros libros, publicado (en griego) por
vez primera, junto con la versin latina de Commandino ms o menos corregida, con los
textos griegos de los lemas de Pappus y con el comentario de Eutoquio, todos los textos
griegos acompaados de sus versiones en latn.
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La segunda parte comprende la traduccin latina de los libros V, VI, VII, basada sobre la
versin rabe de Thabit ben Kurra, seguida del texto griego de los lemas de Pappus
relativos a estos tres libros y una reconstruccin conjetural del libro VIII hecha por Halley
mismo.
La tercera parte contena el texto griego y una versin latina de los dos libros de Serenus
Antissensis sobre la seccin del cilindro y del cono.
En 1893 apareci la edicin crtica del texto griego de los cuatro primeros libros realizada
por Heiberg en Copenhague.
La nica traduccin completa de Las Cnicas a una lengua romance, el francs, fue
publicada en Brujas en 1923, realizada por Paul Ver Eecke. Tal versin est precedida por
un extenso comentario sobre lo que acerca de Apolonio se conoce hoy da, as como sobre
la huella de su obra a lo largo de la historia.
REFERENCIAS
[1] Boyer, Carl P. (1968). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. New York.
[2] Diccionario Enciclopdico Quillet (1976). Juan Santiere, Apolonio, Cnicas,
Parbola. Cumbre S.A. Mxico D.F. 6a Ed.
[3] Enciclopedia Universal Ilustrada Europeo-Americana (1981). Apolonio. Espasa-
Calpe, S.A. Madrid
SITIOS EN LA RED
[4] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Apollonius.html
[5] http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/apollonius.html
[6] http://library.thinkquest.org/22584/temh3031.htm#top
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APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002
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LA GEOMETRA ANALTICA
DE DESCARTES Y FERMAT: Y APOLONIO?
Vctor M. Hernndez L.
Resumen
En este escrito se retoman algunos antecedentes histricos y prehistricos de
la Geometra Analtica como tal, con el propsito de mostrar cierta evidencia
de que, sin importar la magnitud y lo novedoso de un aspecto o rama de la
matemtica, el reconocimiento social de su autora es ms bien: una
asignacin que reconoce las aportaciones que sintetizan la convergencia, en
una poca determinada, de diversas corrientes y recursos del pensamiento
matemtico, que el desconocimiento o negacin de aquellos precursores,
cercanos y lejanos, que le dieron lugar.
El que Apolonio, el ms grande gemetra de la antigedad, fallara en desarrollar la geometra analtica fue probablemente ms el producto de la
inexperiencia de la cultura antigua en una diversidad de curvas (se conocan
escasamente unas doce) y de la pesada herramienta retrica de que se
dispona; en cambio, las aportaciones modernas a la Geometra Analtica tuvieron a su disposicin toda el lgebra renacentista.
INTRODUCCIN
Sin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectos o ramas de las matemticas
pueden asignarse al trabajo de un nico individuo. La Geometra Analtica de Descartes y Fermat no fue la excepcin a esto, es decir, no fue un producto exclusivo de sus investigaciones, sino ms bien, la sntesis de varias tendencias matemticas convergentes
en los siglos XVI y XVII. Entre los autores que contribuyeron a las tendencias citadas
pueden contarse Apolonio, Oresme, Vieta y muchos otros matemticos.
Resulta de particular inters, por su magnitud e importancia, el trabajo de Apolonio (262 190 a. de C.), Las Cnicas
1, en el que ya se advierten, respecto al uso de coordenadas,
muchos aspectos tan similares a los acercamientos modernos, tanto que, en algunas
ocasiones, es juzgado como una geometra analtica que se anticip a aquella de Descartes
y Fermat por 1800 aos, en la que se identifican formas retricas de las ecuaciones de las
curvas establecidas por Apolonio como relaciones entre las abscisas y las ordenadas. Las
abscisas y las ordenadas de la poca eran aplicaciones de lneas de referencia en general, y
de un dimetro y una tangente en sus extremos en particular, lo que no hace diferencias
esenciales con un marco coordenado rectangular, o ms generalmente, oblicuo. En este
sistema de referencia, las distancias medidas a lo largo del dimetro desde el punto de
tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e intersecados entre el
eje y la curva son las ordenadas. Sin embargo, el lgebra geomtrica Griega no tena
1 Para una referencia ms extensa ver: Boyer, Carl B., A History of Mathematics. Segunda Edicin. Cap. 9. John Wiley &
Sons. USA. 1991.
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magnitudes negativas y, an ms, el sistema coordenado en cada caso era construido a
posteriori con el fin de estudiar las propiedades de una curva dada y no a priori para
propsitos de representacin grfica de una ecuacin o relacin expresada, ya fuera
retrica o simblicamente.
LA GEOMETRA ANALTICA DE DESCARTES Y FERMAT2
El paso final en la preparacin para las nuevas matemticas infinitesimales, y aquel que
tuvo ms posibilidades para la investigacin, fue el desarrollo de la geometra por Ren
Descartes (1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). La Geometra de Descartes fue
publicada en 1637 como uno de tres apndices de su Discurso del Mtodo / para conducir
bien la razn, y buscar / la Verdad en las ciencias. / Adems / La Diptica / Los Meteoros /
y / la Geometra / que son ensayos de este Mtodo "3.
En el mismo ao, Fermat envi a sus corresponsales en Pars su Introduccin a los Lugares
Planos y Slidos. Estos dos ensayos establecieron los fundamentos para la geometra
analtica. Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue ms sistemtico en algunos
aspectos, no fue publicado de hecho sino hasta 1679, despus de su muerte, y por esta razn
hoy hablamos de la geometra cartesiana en lugar de la geometra fermatiana.
La idea central de la geometra analtica es la correspondencia entre una ecuacin
0),( yxf y el lugar (generalmente una curva) consistente de todos aquellos puntos cuyas
coordenadas ),( yx relativas a dos ejes fijos perpendiculares satisfacen la ecuacin. De
hecho, ni Descartes ni Fermat usaron sistemticamente dos ejes de coordenadas en la forma
estndar actual. Lo ms cercano a ello viene indicado en el
principio gua de Fermat:
Cuando encontremos dos cantidades conocidas
en una ecuacin, tenemos un lugar geomtrico,
la extremidad de una de stas describe una
lnea, recta o curva.
Para Fermat (tanto como para Descartes) las dos cantidades
desconocidas en una ecuacin eran segmentos lineales ms
que nmeros. Uno de stos era medido a la derecha desde un punto de referencia sobre un
eje horizontal, y el segundo era localizado con una ordenada vertical sobre el extremo del
primero. El principio de Fermat afirma entonces que el punto terminal de la ordenada
describe la curva correspondiente a la ecuacin dada. La prctica general de Descartes fue
similar, de tal manera que ambos, de hecho, dieron con la "geometra ordenada" en lugar de
la geometra co-ordenada.Fermat se adhiri a la notacin algebraica de Vieta, y design a
sus variables como A y E en lugar de x y y. Sin embargo, Descartes us totalmente la
notacin estndar actual (o, ms precisamente, nosotros usamos la notacin de Descartes),
con la simple excepcin de que l escriba en lugar de = para la igualdad. Estandariz 2 Tomado de: Edwards, C.H., The Historical Development of Calculus. Pp. 95-97. Springer-Verlag. 1979.USA.
3 Este es el ttulo que dan las traducciones espaolas. Quizs fuera mejor "nuestra razn" en vez de "la razn", pues
Descartes dice "... pour bien conduire sa raison" y no "la raison".
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la notacin exponencial para las potencias e inici la prctica comn de usar letras cerca del
inicio del alfabeto para los parmetros y aquellas cerca del final para las variables.
La intencin de ambos, Descartes y Fermat, fue aplicar los mtodos del lgebra renacentista
a la solucin de los problemas en geometra. Descartes establece el plan como sigue4:
Si entonces, deseamos resolver algn problema, primero suponemos que ya disponemos del problema y damos nombre a todas las lneas que parecen ser necesarias para su construccin, tanto a aquellas que son desconocidas como a las conocidas. Entonces, sin hacer distincin entre las lneas conocidas y desconocidas debemos desembrollar la dificultad en cualquier manera que muestre ms naturalmente las relaciones entre esas lneas, hasta que nos sea posible expresar una cantidad de dos formas. Esto constituir una ecuacin, ya que los trminos de una de esas dos expresiones es en conjunto igual a los trminos de la otra.
Descartes empez con un problema geomtrico, que comnmente involucraba una curva
dada, y la defina tanto como un lugar geomtrico esttico a la manera de los griegos como
en trminos de un movimiento continuo uniforme (como la espiral de Arqumedes). Su
procedimiento fue trasladar un problema geomtrico al lenguaje de una ecuacin
algebraica, luego simplificarla y finalmente resolver esta ecuacin.
La primera referencia del Mtodo de Descartes se encuentra en una carta de Constantino
Huygens a Descartes, de octubre de 1635, donde aqul le manifiesta su satisfaccin por
haberse decidido a publicar la Diptrica y le aconseja sobre la mejor manera de hacer la
figura y de imprimirla.
En la portada de su libro: Discurso del Mtodo / para conducir bien la razn, y buscar / la
Verdad en las ciencias. / Adems / La Diptica / Los Meteoros / y / la Geometra / que son
ensayos de este Mtodo " no figura el nombre del autor, omisin voluntaria que obedeca al
propsito, como despus dijo el propio Descartes, de conocer mejor las opiniones y las
crticas.
La parte menos discutida en su poca fue la Geometra, sin duda porque, como dice el autor
no ignorarlo, ella tendra un pequeo nmero de lectores, pues deban ser personas que no
solamente estuviesen al corriente de todo lo que se saba de Geometra y de lgebra, sino
que deban ser, adems, "laboriosos, ingeniosos et attentos".
LA GEOMETRA DE DESCARTES
El Libro Primero de la Geometra5 trata de los Problemas que pueden resolverse sin
emplear ms que crculos y lneas rectas.
4 D.E. Smith y M.L. Latham, The Geometry of Rene Descartes. Chicago: Open Court, 1925 (Dover reprint).
5 La Geometra est formada por tres libros y es algo ms breve que los otros dos agregados al Discurso; abarca en la
edicin original 120 pginas, con 48 figuras, aunque son diferentes 30, pues se repite la impresin cuando vuelve a referirse a una de ellas.
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El Libro Segundo se titula De la naturaleza de las lneas curvas. Trata especialmente de las
de grado superior y, sobre todo, de la construccin y propiedades de tangentes y normales,
lneas stas cuya importancia deriva de los problemas de la reflexin de la luz sobre las
superficies curvas.
El Libro Tercero est dedicado a los problemas slidos o superslidos, lo cual lo lleva al
estudio de la resolucin de ecuaciones, discusin de sus races, y relaciones entre los
coeficientes. Muestra que una ecuacin puede tener tantas races como dimensiones tiene el
grado, y da luego su famosa regla de los signos. Por ltimo, trata los clebres problemas de
3er grado: la triseccin del ngulo y la duplicacin del cubo y seala que a ellos puede
reducirse cualquier otro problema de 3er grado.
En su Libro Primero, Descartes escribe6:
LIBRO PRIMERO
De los problemas que se pueden construir sin
emplear ms que crculos y l
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