angulos cuadrantales
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-
Trigonometra 3 de Secundaria
Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 1 -
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE
NGULOS EN POSICIN NORMAL II
11.. nngguullooss CCuuaaddrraannttaalleess
Entenderemos por ngulo cuadrantal a
aquel ngulo en posicin normal cuyo lado
final coincida con cualquier semieje del
plano cartesiano. La medida de este ngulo
siempre tendr la forma:
2
n ; n Z n. 90.
Ejemplo:
Para diferentes valores enteros de n
tendramos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; .
n . 90 = -270; -180; -90; 0; 90; 180; 270;
360;
El siguiente grfico muestra algunos
ngulos Cuadrantales y su medida.
22.. RR.. TT.. ddee nngguullooss CCuuaaddrraannttaalleess
DDoonnddee::
CCOOMMPPRROOBBAACCIINN
1. 1rr
y90sen
r
2. 0rr
x90cos
0
3. /r
y90tg
0
r
33.. RR.. TT.. ddee nngguullooss CCootteerrmmiinnaalleess
Si dos o ms ngulos son coterminales
entonces las Razones Trigonomtricas de
sus medidas tienen el mismo valor
numrico por ende diremos que son
iguales.
x
y
90 180
-90
m
R.T.
0,
360 90 180 270
0; 2 /2 3/2
Sen 0 1 0 -1
Cos 1 0 -1 0
Tg 0 N 0 N
Ctg N 0 N 0
Sec 1 N -1 N
Csc N 1 N -1
0 = Cero 1 = Uno N = No definido
x
y
90
(0; r)
r
La divisin de un nmero entre 0
(cero) es una operacin no
definida.
x
y (a; b)
R.T. = R.T.
-
Trigonometra 3 de Secundaria
Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 2 -
PPrrccttiiccaa DDiirriiggiiddaa NN 0011
TTaarreeaa NN 0011
Ejercicios Resueltos
Son s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.
Ejemplos
1. Calcular:
8)Cos360(2Sen270
1)Cos180(3Sen90E
2
2
Solucin:
Reemplazando valores:
8)2(-1)
1(-1)3(1)E
2
2
1(
8
14E
2(-3)
2
17
17E
E = 1
1. Simplificar:
360cosab2
0cos)ba(90sen)ba(E
a) a b) b c) a-1
d) b-1
e) ab
2. Simplificar:
90cscab2
270sen)ba(0sec)ba(E
22
a) a b) b c) 1
d) 2 e) 4
3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x
Calcular: )2
(f
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x
Calcular: )4
(f
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
1. Calcular:
2abcsc270
cos1802
b)-(asec3602
b)(aE
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
2. Calcular:
90cscb30seca
360cos)ba(90sen)ba(E
22
33
a) a b) b c) 2a
d) 2b e) ab
3. Si: 4
xtg
3
xcos
2
xsen)x(f
Calcular: f()
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
-
Trigonometra 3 de Secundaria
Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 3 -
Tarea N 01
4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
Calcular: )2
(f
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
5. Calcular:
E = (3Sen90 Cos180)2 + (Sen270 Cos360)
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
6. Reducir: nCos0mSen90
1805
Cos2
n903
Sen2
mC
a) m + n b) m n c) mn
d) nm
2n
2m
e)
nm
2n
2m
1. Calcular:
E = (2Sen180 Sen90)2 + (3Cos180 Cos90)
2
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
2. Reducir:
2703
Sen2
nmnSen270Cos02
m
Cos3603
nSen903
mJ
a) m n b) m + n c) m
d) n e) n m
3. Calcular:
Csc2702ab
Cos180b)(aSec360b)(aE
22
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
4. Seale el signo de:
316Cos
124340.CtgSenP
a) (+) b) () c) (+) y ()
d) (+) () e) No se puede precisar
5. Seale el signo de:
1905
316.Sen3
Sec
3104
217.Sen3
160.Tg5
CosA
a) (+) b) () c) (+) y ()
d) (+) () e) No se puede precisar
6. A qu cuadrante pertenece , si: Cos < 0;
y Sen < 0?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) Es cuadrantal
7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
Calcular: )2
(f
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
8. Si: IIC, IIIC IVC
Indicar el signo de la expresin:
sectg
coscscE
a) + b) - c) + -
d) + - e) Todas son positivas
9. Calcular: E =
Sec2)2
3Ctg(
Cos-)2
2Sen(
a) 1 b) 1 c) 2
d) 3 e) 22
10. Seale el signo de:
1703
200.Cos4
Sec
1602
214.Tg5
170.Cos3
SenA
a) (+) b) () c) (+) y ()
d) (+) () e) No se puede precisar
-
Trigonometra 3 de Secundaria
Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 4 -
=2(n)+ = 360(n)+ R.T[2(n)+]=R.T[]
R.T[360(n)+]=R.T[]
NGULOS COTERMINALES
Los ngulos se pueden medir en el sentido
del movimiento de las agujas del reloj (tiene
medida negativa) y al contrario del
movimiento de las agujas del reloj (con
medida positiva).
Dos o ms ngulos se denominan
coterminales, cuando tienen el mismo
lado inicial y el mismo lado final.
La diferencia entre dos o ms ngulos
coterminales es el nmero de vueltas
sobre el lado inicial.
Aqu es donde se justifica porque los
ngulos trigonomtricos no tienen lmites
en su magnitud, pues slo se diferencian
en el nmero de vueltas.
Ejemplos
Si dos o ms ngulos son coterminales
entonces las Razones Trigonomtricas de
sus medidas tienen el mismo valor
numrico por ende diremos que son
iguales.
Para encontrar un ngulo coterminal
positivo y uno negativo con un ngulo dado,
puede sumar y restar 360 si el ngulo es
medido en grados o 2 si el ngulo es
medido en radianes.
Ejemplo 1:
Encuentre un ngulo coterminal positivo y
uno negativo con un ngulo de 55.
55 360 = 305
55 + 360 = 415
Un ngulo de 305 y un ngulo de 415
son coterminales con un ngulo de 55.
En General:
EJERCICIOS DE NGULOS
COTERMINALES
Obs.: La diferencia es igual a 360
Los siguientes ngulos estn en la posicin
estndar, encuentre un ngulo coterminales
positivos.
1) 120 --- > 480
2) 135 --- > 495
3) 240 --- > 600
4) 315 --- > 675
5) 60 --- > 420
6) 90 --- > 450
7) -30 --- > 330
8) -150 --- > 210
9) 150 --- > 510
10) -45 --- > 315
x
y (a; b)
R.T. = R.T.
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