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Análisis
Sistemas Electrónicos de Control
Álvaro Gutiérrez14 de febrero de 2018
aguti@etsit.upm.es
www.robolabo.etsit.upm.es
N
Índice
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Polos dominantes y estabilidad
I Los polos en lazo cerrado con efectos dominantes sellaman polos dominantes en lazo cerrado
I Si algún polo se encuentra en el semiplano derecho delplano s, el sistema es inestable
I Si todos los polos se encuentran en el semiplanoizquierdo del plano s, el sistema es estable
I La estabilidad es una propiedad del sistema, nodepende de la entrada
I Si los polos dominantes complejos conjugados seencuentran cerca del eje jω, tendremos oscilacionesabundantes y una respuesta lenta
N
Estabilidad
I Lyapunov: Un sistema es estable en el sentido deLyapunov si al introducir una pequeña perturbación a laentrada, se produce un pequeño movimiento a la salida.
I BIBO:Un sistema es estable en el sentido BIBO si parauna entrada acotada su salida está acotada.
Sea P(s) = a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an
I Hurwitz: El polinomio P(s) es estable en el sentido deHurwitz si las raíces de la ecuación P(s) = 0 tienen partereal negativa distinta de cero.
Sea P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an−1z + an
I Schur: El polinomio P(z) es estable en el sentido de Schursi las raíces de la ecuación P(z) = 0 tienen módulo mejorque la unidad.
N
Estabilidad
I Lyapunov: Un sistema es estable en el sentido deLyapunov si al introducir una pequeña perturbación a laentrada, se produce un pequeño movimiento a la salida.
I BIBO:Un sistema es estable en el sentido BIBO si parauna entrada acotada su salida está acotada.
Sea P(s) = a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an
I Hurwitz: El polinomio P(s) es estable en el sentido deHurwitz si las raíces de la ecuación P(s) = 0 tienen partereal negativa distinta de cero.
Sea P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an−1z + an
I Schur: El polinomio P(z) es estable en el sentido de Schursi las raíces de la ecuación P(z) = 0 tienen módulo mejorque la unidad.
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Criterio de estabilidad de RouthI Sea P(s) = a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + anI Condición necesaria de estabilidad: ai > 0,∀iI Tabla de Routh:
sn : a0 a2 a4 . . .sn−1 : a1 a3 a5 . . .sn−2 : b1 b2 b3 . . .sn−3 : c1 c2 c3 . . .sn−4 : d1 d2 d3 . . ....
......
...s2 :s1 :s0 :
bi =a1a2i − a0a2i+1
a1
ci =b1a2i+1 − a1bi+1
b1
di =c1bi+1 − b1ci+1
c1· · ·
I Condición necesaria y suficiente: ai > 0, ∀i y todos lostérminos de la primera columna del array con signopositivo (a0, a1, b1, c1, d1, ...)
N
Estabilidad Routh - Casos especiales
I Término de la primera columna es 0. Se aproxima por ε.I Sin cambio de signo: Raíces imaginariasI Cambio de signo: Raíces positivas
I Todos los términos de una fila son cero. Raices con lamisma magnitud y signo opuesto. Se cambia por suderivada
I Pares de raíces reales con signos opuestosI Pares de raíces complejas conjugadas en el eje imaginario
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Estabilidad Routh - Ejemplos
I a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0I s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 4 = 0I s3 + 2s2 + s + 2 = 0I s3 − 3s + 2 = 0I s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 − 25s− 50 = 0
+−
KP
K
s(s + p)
r(t) e(t) u(t) y(t)
H(s) =KpK
s2 + ps + KKp
s2 : 1 KKp
s1 : p 0s0 : KKp 0
s =−p±
√p2 − 4KKp
2
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Respuesta al escalón
Vi Vo
R
C
i
I R(s) =1s
I Y(s) = G(s)R(s) =1s− 1
s + (1/RC)
I y(t) = 1− e−t
RC
I e(t) = r(t)− y(t) = e−t
RC
G(s) =1
1 + sRC
N
Respuesta al escalón
Vi Vo
R
C
i
I R(s) =1s
I Y(s) = G(s)R(s) =1s− 1
s + (1/RC)
I y(t) = 1− e−t
RC
I e(t) = r(t)− y(t) = e−t
RC
G(s) =1
1 + sRC
N
Respuesta a la rampa
Vi Vo
R
C
i
I R(s) =1s2
I Y(s) = G(s)R(s) =1s2 −
RCs
+RC
s + (1/RC)
I y(t) = t − RC + RCe−t
RC
I e(t) = r(t)−y(t) = RC(1−e−t
RC )
G(s) =1
1 + sRC
N
Respuesta a la rampa
Vi Vo
R
C
i
I R(s) =1s2
I Y(s) = G(s)R(s) =1s2 −
RCs
+RC
s + (1/RC)
I y(t) = t − RC + RCe−t
RC
I e(t) = r(t)−y(t) = RC(1−e−t
RC )
G(s) =1
1 + sRC
N
Respuesta al impulso
Vi Vo
R
C
i
I R(s) = 1
I Y(s) = G(s)R(s) =1/RC
s + 1/RC
I y(t) =1
RCe−
tRC
I e(t) =1
RCe−
tRC
G(s) =1
1 + sRC
N
Respuesta al impulso
Vi Vo
R
C
i
I R(s) = 1
I Y(s) = G(s)R(s) =1/RC
s + 1/RC
I y(t) =1
RCe−
tRC
I e(t) =1
RCe−
tRC
G(s) =1
1 + sRC
N
Propiedades
I La respuesta a la derivada de una señal de entrada es laderivada de la señal de la salida
Señal entrada salida
Rampa r(t) = t y(t) = t − RC + RCe−t
RC
Escalon r(t) = 1 y(t) = 1− e−t
RC
Impulso r(t0) =∞, r(t 6= t0) = 0 y(t) =1
RCe−
tRC
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Ecuación generalizada
iV Vo
R
C
L
iG(s) =
Vo(s)Vi(s)
=1
LCs2 + RCs + 1
I G(s) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n
I ζ coeficiente de amortiguamientoI ωn frecuencia natural no amortiguada
I En nuestro ejemplo:
I ω2n =
1LC
I ζ =R2
√CL
N
Ecuación generalizada
iV Vo
R
C
L
iG(s) =
Vo(s)Vi(s)
=1
LCs2 + RCs + 1
I G(s) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n
I ζ coeficiente de amortiguamientoI ωn frecuencia natural no amortiguada
I En nuestro ejemplo:
I ω2n =
1LC
I ζ =R2
√CL
N
Ecuación generalizada
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 ωnt
0.5
1
1.5
2
0
y(t)
ζ = 0.0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.707
ζ = 1.0
ζ = 2.0
I ωd = ωn√
1− ζ2: frecuencia natural amortiguada
N
Ecuación generalizadaI Respuesta al escalón:
I Subamortiguado: 0 < ζ < 1I ωd = ωn
√1− ζ2: frecuencia natural amortiguada
I Amortiguamiento crítico: ζ = 1I Sobreamortiguado: ζ > 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 ωnt
0.5
1
1.5
2
0
y(t)
ζ = 0.1
ζ = 1.0
ζ = 2.0
sub-amortiguado
crticamente-amortiguado
sobre-amortiguado
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Régimen transitorio
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70 t
0.5
1
1.5
0
y(t)
(1.193,1.371)
Mp
tp
2ν(3.915,1.04)
ts
(0.725,1)
tr
I Tiempo de subida: tr =1ωd
tan−1(−ωd
σ) =
π − ϕ0
ωd
I Tiempo de pico: tp =π
ωd
I Sobreelongación máxima: Mp = e−(ζ/√
1−ζ2)π
I Tiempo de establecimiento: ts =4ζωn
(2 %) o3ζωn
(5 %)
N
Sistemas de orden superior
+−
Gc(s) G(s)r(t) e(t) u(t) y(t)
Y(s)R(s)
=Gc(s)G(s)
1 + Gc(s)G(s)
I Si G(s) =p(s)q(s)
y Gc(s) =n(s)d(s)
I entoncesY(s)R(s)
=p(s)n(s)
q(s)d(s) + p(s)n(s)
IY(s)R(s)
=b0sm + b1sm−1 + · · ·+ bm−1s + bm
a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an
IY(s)R(s)
=K(s + z1)(s + z2) · · · (s + zm)
(s + p1)(s + p2) · · · (s + pn)
N
Sistemas de orden superior
I Para R(s) =1s
I Si los polos en lazo cerrado son reales y distintos
Y(s) =as+
n∑i=1
ai
s + pi
I Si los polos en lazo cerrado son reales y/o parescomplejos conjugados
Y(s) =as+
q∑j=1
aj
s + pj+
r∑k=1
bk(s + ζkωk) + ckωk
√1− ζ2
k
s2 + 2ζkωks + ω2k
I donde (q + 2r = n)
N
Sistemas de orden superior
I Entonces
y(t) = a +
q∑j=1
aje−pjt +
r∑k=1
bke−ζkωktcosωk
√1− ζ2t +
+
r∑k=1
cke−ζkωktsinωk
√1− ζ2t, para t ≥ 0
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Error en régimen permanente
+−
Gc(s) G(s)r(t) e(t) u(t) y(t)
I Definimos el tipo del sistema en lazo abierto (Gc(s)G(s))como el número de polos en el origen
I Error en régimen permanente essI ess = lim
t→∞e(t) = lim
s→0sE(s)
ess ess ess
r(t) = 1 r(t) = t r(t) = 12 t2
Tipo 0 cte ∞ ∞Tipo 1 0 cte ∞Tipo 2 0 0 cte
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Introducción
I Las características de la respuesta transitoria dependende la localización de los polos en lazo cerrado
I La localización de los polos en lazo cerrado depende dela ganancia de lazo
I Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuacióncaracterística. Esto puede ser muy laborioso
I El lugar de raíces es un método sencillo para encontrarlas raíces de la ecuación caracerística.
N
Introducción
I El lugar de raíces presenta las raíces de la ecuacióncaracterística para todos los valores de un parámetrodel sistema
I Normalmente el parámetro es la gananciaI Gracias al lugar de raíces podemos:
I Localizar los polos en lazo cerradoI Observar los efectos de la gananciaI Añadir polos y/o ceros en lazo abiertoI Modificar la ganancia del sistema
N
IntroducciónI Lugar de raíces de un vistazo:
I Los valores de s que hacen que la función de transferenciasea igual a −1 satisfacen la ecuación característica delsistema
I Se representan los valores en el plano complejo sI Se representan los polos en lazo cerrado cuando la
ganancia varía de 0 a ∞I Se muestra como cada polo y/o cero en lazo abierto
contribuye las posiciones de los polos en lazo cerrado
N
Condicion de ángulo y magnitud
+−
Gc(s) G(s)r(t) e(t) u(t) y(t)
Y(s)R(s)
=Gc(s)G(s)
1 + Gc(s)G(s)
I Ecuación característicaI 1 + Gc(s)G(s) = 0I Gc(s)G(s) = −1
I Condición de magnitudI |Gc(s)G(s)| = 1
I Condición de ánguloI ∠Gc(s)G(s) = ±180◦(2k + 1) ; (k = 0, 1, 2, ...)
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Ejemplos
I G(s)H(s) =K
s(s + 1)(s + 2)
I G(s)H(s) =K(s + 2)
s2 + 2s + 3
N
Ejemplos
I G(s)H(s) =K
s(s + 1)(s + 2)
I G(s)H(s) =K(s + 2)
s2 + 2s + 3
N
Ejemplos
I G(s)H(s) =K
s(s + 1)(s + 2) I G(s)H(s) =K(s + 2)
s2 + 2s + 3
N
Ejemplos
I G(s)H(s) =K
s(s + 1)(s + 2) I G(s)H(s) =K(s + 2)
s2 + 2s + 3
N
1 EstabilidadTabla RouthEjemplos
2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente
3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos
N
Parámetros característicos
I Las líneas con ζ constante son radiales pasando por elorigen.
I ζ determina la localización angular de los polos en lazocerrado
I ωn determina la distancia del polo al origen
N
Gracias
GRACIAS!!
N
Gracias
GRACIAS!!
N
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