algebra lineal

ALGEBRA LINEAL

Loja, 14 de mayo del 2009

ECON. ANDREA LOAIZA

ABRIL – AGOSTO 2009

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ECONOMÍA

SISTEMAS LINEALES

ECUACIÓN LINEAL: es una ecuación con n variable x1……x2 que se pueda escribir de la forma

a1 son los coeficientes

b término constante SISTEMA LINEAL: Conjunto de ecuación

lineales m ecuaciones con n variables

bxaxaxa nn ..........2211

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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL: es un conjunto de valores que toman las variables y que hace que el sistema sea verdadero.

• MATRIZ: es una arreglo rectangular de

números, en donde cada número de la matriz se llama elemento, consta de m filas y n columnas

edependient

nteindependieeConsistent

nteInconsiste

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El sistema lineal se lo puede representar en matrices.

Si representamos cada matriz con una letra.Ax=bA es una matriz mxnx es un vector de columna nB es un vector de columna n

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MATRIZ AUMENTADA

9

10

3

601

232

021

96

10232

32

31

321

21

xx

xxx

xx

Solución del sistema por eliminación

1

6

15

100

010

001

1

6

15

3

2

1

x

x

x

6

VECTORES

Es una matriz de una columna nx1

Elementos: Origen, Extremo, Sentido, Dirección, Magnitud

4

21v

1

12v

1

4231

2

1vv

4

22.1 vv

7

0

3

2

1

u

Norma de un vector

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

0

2

0

2

v

222

21 )(....)()(. nuuuuuu

2222

211 )(....)()(

)).((),(

nn vuvuvu

vuvuvuvud

1u

uE

Angulo entre dos vectores

vu

vuCos

.

APLICACIONES VECTORES

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MATRICESAbreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a21 será el elemento de la fila 2 y columna 1.

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TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO

FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n

COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1

RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,

TRANSPUESTA Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por  At  ó  AT

OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

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TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO

NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann  Diagonal secundaria : son los elementos  aij con   i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

INVERSA Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I

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TIPO DEFINICIÓN EJEMPLO

SIMETRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At  , aij = aji  

DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

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OPERACIONES SUMA DE MATRICES

Es una ley de composición interna con las siguientes

MULTIPLICACIÓN DE MATRIZ POR UN ECALAR

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Dadas dos matrices  A = (aij)m×n  y  B = (bij)p×q  donde  n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz  A  es igual al número de filas de la matriz  B , se define el producto  A·B de la siguiente forma :El elemento a que ocupa el lugar  (i, j)  en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila  i  de la matriz  A por el correspondiente de la columna  j  de la matriz B.

PRODUCTO DE MATRICES

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