Álgebra elemental

1.Las cuatro operaciones fundamentales2.Productos notables y factorización3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos

2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados

1.Una suma por una diferencia.

2. Binomio al cuadrado.

3. El producto de dos binomios con un término en común.

4. El cuadrado de un multinomio.

a b a b

2 2a b a b a b

5 5s s

2

2

2

55_____5

5 25__________

5

5

5 25

0 2

ss

s

s

s s s

ss

3 2 3 2a b a b

2 2 2

2

2

2

3 2 3 2

3 2 9

3 2 3 4

4

2 9

a b a b

a

a b a b a b

b a b

3 2 3 22 7 2 7h k h k

3 2 3 2

2 23 2

6

3 2 3 2 6

4

42 7 2 7 4

2 7 2

9

7

2 7

4 9

4

4

h k h k

h k

h k

h k h k h k

2a b

2 2 22a b a ab b

24 2r s

2

2

2

2

2 2

2

2

4 2

4 2 4 2 2

16 1

4 2 16

6

16 4

4

r

r s

r r s s

r

s r r

r s

s s

s

2

22

2 2

2 2 2

3

2 3 3

6

3 6 9

9

h k

h h k k

h h

h

k

h

k

k h k k

2a b

2 2 22a b a ab b

23 2

2 23

23 2 6 2 3 2

3

2 2

2

6 2 3 2 2 2

5 3

5 2 5 3 3

5 3 25 30

25 0

9

3 9

a b cd

a b a b cd cd

a b a bcd

a b cd a b a bcd c

c d

d

x a x b

2x a x b x a b x ab

2

2

2

2

7 1 7 2

7 1 2 7 1 2

49 3 7 2

49 21 2

7 1 7 2 49 21 2

i i

i i

i i

i

i

i

i i i

2 3

22 3 2 3

2 2 3 2 3

2 2 3 2 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2 4

q p q r

q p r q p r

q p q r q p r

q p q r q p r

2

2 2

2 2

1 13 2 3 6

1 1 1 13 2 6 3 2 6

3 1 1 2 19 6 3 12 9 6 3 12

2 1 19 18 12 9 9 12

m m

m m

m m m m

m m m m

El cuadrado de un multinomio esigual a la suma de los cuadradosde cada término, más la sumaalgebraica del doble producto decada término por cada uno de losque le suceden.

2

2 2 2 2 2 2

a b c

a b c ab ac bc

El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadradosde cada término, más la suma algebraica del doble producto decada término por cada uno de los que le suceden.

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c d

a b c dab ac ad bc bd cd

El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadradosde cada término, más la suma algebraica del doble producto decada término por cada uno de los que le suceden.

22

22 3

22

2 3

2 133 4

2 1

x y z w

r s t

a a

1.Las cuatro operaciones fundamentales2.Productos notables y factorización3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos

2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados

Para factorizar un multinomio esnecesario encontrar primero doso más multinomios o un monomioy uno o más multinomios, cuyoproducto sea el multinomio dado.

1. Multinomios que tienen un factor común.

2. La diferencia de dos cuadrados.

3. Trinomios que son cuadrados perfectos.

4. Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos.

Si cada término de un multinomioes divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizardividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en elcapítulo 1.

Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.

2 7 5ax ay az

Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.

2 7 5 1 2 7 5

2 7 52 7 5

2 7 52 7 5

ax ay az ax ay az

a ax ay azax ay az aa a

ax ay aza a x y z

a a a

Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.

2 7 5 2 7 5ax ay az a x y z

Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.

3 2 2 3 211 2t s t s t s

Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.

3 2 2 3 2

2 2

11 2

11 2

t s t s t s

t s ts s

3 2 4 2 4 2r m n s m n t s m n

3 2 4 2 4 2

2 3 4 4

2 3 5 4

r m n s m n t s m n

m n r s t s

m n r s t

3

22 ( ) 4 ( )

3 2 4 2 4 2

xz xy x

z x y z x y

r m n s m n t s m n

2 2a b

Los factores de la diferencia de loscuadrados de dos números son,respectivamente, la suma y ladiferencia de los dos números.

2 2a b a b a b

4 8

2 22 4

2 4 2 4

2 4 2 4

4 8 2 4 2 4

25

5

5 5

5 5

25 5 5

a b

a b

a b a b

a b a

a b a b a

b

b

16 8

2 28

16 8

4

8 4 8

8 4 8 4

4

8 4 8 4

81 2549 36

9 57 6

9 5 9 57 6

81 25 9 5 9 549 36 7

7 6

9 5 9 57 6

6

7

6

6

7

x y

x y

x y x y

x y x y x y

x y x y

2

2 2

25 3 3 4

5 3 3 4 5 3 3 4

5 3 3

5 3 3 4

5 3 3 4 5 3 4

4 5 3 3 4

3

a b m n

a b m n a b m n

a b m n a b

a b m n

a b m n a b m

m n

n

2 2 2

2 2 2

Los trinomios

2

2

son cuadrados perfectos y en cada caso seobserva que dos de los términos soncuadrados perfectos y positivos y que eltercer término es el doble producto de lara

a b a ab b

a b a ab b

íz cuadrada de los otros dos.

Además, que si el término del doble productoes positivo, el trinomio es el cuadrado de lasuma de las dos raices cuadradas, y que si eltérmino del doble producto es negativo, eltrinomio es el cuadrado de la diferencia delas dos raíces cuadradas.

2 2 2

2 2 2

2

2

a b a ab b

a b a ab b

2 2 2

2 2 2

2

2

a b a ab b

a b a ab b

24 12 9s s

2 2 2

2 2 2

2

2

a b a ab b

a b a ab b

224 12 9 2 3s s s

2

2

2

2

2

2 2

4 4 1

2 2 2 1 1

2 1

4 4

2

1 2 1

1

k k

k k

k k

k k k

22

2

2

2 2

2

2 2

1 1 11

1 116 2

1 124 4

14

6

14

2 4

cc

c c

c c

c c

c cc c

c c

2x a x b x a b x ab

4 ² 4 3 ²x xy y

4 ² 4 3 ²2 3 2x xy yx y x y

² 4 21s s

² 4 21

7 3s ss s

4 43 ² ²3 9

p pq q

4 43 ² ²

3 94 4² 3 ²9 3

2 23

3 3

p pq q

q pq p

q p q p

Para entender este caso, hagamosprimeramente la multiplicaciónde dos binomios:ax by cx dy

2

2

2

2 2

2

_________

________________

ax by

cx dy

acx bcxy

adxy bdy

acx ad b

ax by cx dy acx ad bc xy bd

c xy

y

bdy

ax by cx dy

2 2

2 2

Consideremos un trinomio del tipo

.

Si

entonces, ,

px qxy ry

px qxy ry ax by cx dy

p ac q ad bc r bd

2 2ax by cx dy acx ad bc xy bdy

2 2

2

2

Esto es, si se expresacomo el doble producto de dos binomios,los primeros términos de los binomios deben

ser factores de , los dos segundos términos

deben ser factores de y la suma de

px qxy ry

px

ry

losproductos del primer término de cada binomiopor el segundo término de cada binomio por elsegundo término del otro debe ser .qxy

2 2

2 2

Consideremos un trinomio del tipo .

Si entonces

, ,

px qxy ry

px qxy ry ax by cx dy

p ac q ad bc r bd

A los dos últimos productos

los denominaremos los productos cruzados.qxy

2 214 13 12x xy y

2 214 13 1214 1 14, 2 712 1 12, 2 6, 3 42 3 7 4

x xy y

x y x y

2 224 26 15c cd d

2 224 26 1524 1 24, 2 12, 3 8, 4 615=1 15, 3 52 3 12 5

c cd d

c d c d

5 4 318 6 24x x x

5 4 3

3 2

3

18 6 24

18 6 24

9 12 2 2

x x x

x x x

x x x

2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados

Ahora nos ocuparemos de aquellosfactores cuyos coeficientes sonnúmeros racionales y cuyosexponentes son enteros.

Aquellas expresiones cuyos factoresno llenan estos requisitos se deoniman

.irreductibles

Ahora nos ocuparemos de aquellos factorescuyos coeficientes son números racionalesy cuyos exponentes son enteros.

6 6 12 12

Corrientemente la suma de dos cuadradoscs irreductible, aunque expresiones como

y , que son la suma dedos cubos, pueden ser factorizados porlos métodos que aquí se indican.

x y x y

Los binomios del tipo se pueden dividiren las cuatros clases siguientes:1. La suma o la diferencia de dos cubos

2. Binomios del tipo para mayor que 3y divisible por 2.

3. Binomios del tipo

n n

n n

x y

x y n

para mayor que 3y divisible por 3.

4. Binomios del tipo para mayor que 3y no divisible por 3 ni por 2.

n n

n n

x y n

x y n

3 3x yx y

3 3x y x y

2

3 3x

x y x y

2

3 3

3 2

xx y x y

x x y

2

3 3

3 2

2 3

_____________

0

xx y x y

x x y

x y y

2

3 3

3 2

2 3

_____________

0

x xyx y x y

x x y

x y y

2

3 3

3 2

2 3

2 2

_____________

0

x xyx y x y

x x y

x y y

x y xy

2

3 3

3 2

2 3

2 2

2 3

_____________

0

_______________

0

x xyx y x y

x x y

x y y

x y xy

xy y

2 2

3 3

3 2

2 3

2 2

2 3

_____________

0

_______________

0

x xy yx y x y

x x y

x y y

x y xy

xy y

2 2

3 3

3 2

2 3

2 2

2 3

2 3

_____________

0

_______________

0

_________

x xy yx y x y

x x y

x y y

x y xy

xy y

xy y

0

3 3 2 2x y x y x xy y

El primer factor de la suma de los cubosde los números es la suma de los dos números.El segundo factor es el cuadrado del primernúmero menos el producto del primernúmero por el segundo más el cuadradodel segundo número.

6 3

39

3 12

27

648125 8

s t

ij

m n

3 3x yx y

3 32 2x y x xy y

x y

3 3 2 2x y x y x xy y

El primer factor de la diferencia de los cubosde los números es la diferencia de los dosnúmeros.El segundo factor es el cuadrado del primernúmero más el producto del primernúmero por el segundo más el cuadrado delsegundo número.

3 3

36

15 9

12527

1000

a b

yx

k l

Binomios del tipo para mayor que 3 y divisible por 2.n nx y n

2 2/ 2 / 2

2 2

En este caso se expresa en la forma

En esta forma el binomio es la diferencia dedos cuadrados y se puede factorizarmediante el empleo de

=

Si / 2 es divisible por 2, se aplica

n n

n n

x y

x y

x y x y x y

n

nuevamenteel procedimiento anterior y se continúa asíhasta donde sea posible.

3 3/3 /3

3 3 2 2

En este caso se puede expresar como

y .

Por tanto, los binomios de este tipo seconsideran como la suma o la diferenciade dos cubos y pueden aplicarse las fórmulas

.

n n

n n

x y

x

x y x y x xy y

Binomios del tipo para mayor que 3 y divisible por 3.n nx y n

Si es divisible por 2 o por 3, la expresiónse factoriza por los anteriores métodos. Sin embargo, si no es múltiplo de 2 ni de 3,la expresión se puede factorizar por mediode las siguientes fórmulas

n

n

. Estas se dan sindemostración, pero se pueden comprobar,mediante divisiones laboriosas, para cualquiervalor entero positivo de .n

Binomios del tipo para mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.n nx y n

1 2 3 2 2 3 2 1

Si no es divisible ni por 2 ni por 3,

...

n n

n n n n n n

n

x y

x y x x y x y x y xy y

Binomios del tipo para mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.n nx y n

1 2 3 2 2 3 2 1

Para cualquier entero no divisible ni por 2 ni por 3,

...

n n

n n n n n n

n

x y

x y x x y x y x y xy y

Binomios del tipo para mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.n nx y n

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

1 2 3 2 2 3 2 1

1 2 3 2 2 3 2 1

...

no divisible ni entre 2 ni entre 3

...

no divisible ni entr

n n n n n n n n

n n n n n n n n

x y x y x y

x y x y x xy y

x y x y x xy y

x y x y x x y x y x y xy y

n

x y x y x x y x y x y xy y

n

e 2 ni entre 3

con par y no divisible entre 3, es irreductiblen nx y n

6 6m s

6 6

2 23 3

3 3 3 3

3 3 3 3

m s

m s

m s m s

m s m s

6 6

2 23 3

3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 2 2

m s

m s

m s m s

m s m s

m s m s m ms s

16 16a b

16 16

2 28 8

8 8 8

8 8

8

8 8

a b

a b

a b a

a b a

b

b

8 8

2 24 4

4 4 4 4

44 4 4

a b

a b

a b a b

a b a b

16 16

2 28 8

8 8 8 8

8 8 4 4 4 4

a b

a b

a b a b

a b a b a b

4 4

2 22 2

2 2 2 2

22 2 2

a b

a b

a b a b

a b a b

16 16

2 28 8

8 8 8 8

8 8 4 4 2 2 2 2

a b

a b

a b a b

a b a b a b a b

2 2a b a b a b

16 16

2 28 8

8 8 8 8

8 8 4 4 2 2

a b

a b

a b a b

a b a b a b a b a b

15 15b c

15 15

3 35 5

2 25 5 5 5 5 5

10 5 5 15 5 0

b c

b c

b c

b

b b c c

b b cc c

15 15

3 35 5

2 25 5 5 5 5 5

5 5 10 5 5 10

4 3 2 2 3 4 10 5 5 10

b c

b c

b c b b c c

b c b b c c

b c b b c b c bc c b b c c

10 5 5 10

2 2 8 7 5 3 4 4 3 5 7 8

b b c c

b bc c b b c b c b c b c bc c

7 7x y

7 7

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

x y

x y x x y x y x y x y xy y

3125 x y

3

3 3

2 2

2

2 2

2 2

125

5

5 5 5

5 25 5

5 25 5 5 2

5 2 5 5 25

x y

x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y xy

x y x y xy x y

39 3 1x m

39 3

3 33 3

2 23 3 3 3 3 3

3 3 6 3 3 3 6 3

1

1

1 1 1

1 2 1

x m

x m

x m x x m m

x m x x m x m m

2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados

Frecuentemente un multinomio quecontiene cuatro o más términos sepuede reducir a una forma factorizablemediante una adecuada agrupación desus términos y posterior factorizaciónde los grupos.

Si esto es posible, el multinomio sepuede factorizar por medio de algunode los métodos anteriores.

1mn m n

11

1 1

1 1

mn m nmn m n

m n n

n m

3 3ab a b

3 33 3

1 3 1

1 3

ab a bab b a

b a a

a b

5 2 10uv v u

5 2 102 5 10

2 5 2

2 5

uv v uuv u v

u v v

v u

6 6rs s r

6 66 6

6 6

6 1

rs s rrs s r

s r r

r s

2 2 2 225 10 4 4r rs s t tu u

2 2 2 2

2 2

25 10 4 4

5 2

5 2 5 2

5 2 5 2

r rs s t tu u

r s t u

r s t u r s t u

r s t u r s t u

2 2 2 29 6 4 4a ab b c cd d

2 2 2 2

2 2

9 6 4 4

3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

a ab b c cd d

a b c d

a b c d a b c d

a b c d a b c d

2 26 6 13 4 6ms m mn sn n

2 2

2 2

6 6 13 4 6

6 13 6 6 42 3 3 2 2 3 2

3 2 2 3 2

ms m mn sn n

m mn n ms nsm n m n s m n

m n m n s

2 225 15 13 5 2jk j jh hk h

2 2

2 2

25 15 13 5 2

25 5 15 13 25 5 5 3 2

5 5 3 2

jk j jh hk h

jk hk j jh hk j h j h j h

j h k j h

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

25 10 4 4

9 6 4 4

6 6 13 4 6

25 15 13 5 2

r rs s t tu u

a ab b c cd d

ms m mn sn n

jk j jh hk h

2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados

Si se puede convertir un trinomioen un cuadrado perfecto,mediante la adición de un términoque sea cuadrado perfecto,entonces se puede expresar el trinomiocomo una diferencia de cuadrados.

4 2 2 44 8 9x x y y

4 2 2 4

4 2 2 4 2 2 2 2

4 2 2 2 2 4 2 2

4 2 2 4 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 8 9

4 8 9 4 4

4 8 4 9 4

4 12 9 4

2 3 4

2 3 2 2 3 2

2 2 3 2 2 3

x x y y

x x y y x y x y

x x y x y y x y

x x y y x y

x y x y

x y xy x y xy

x xy y x xy y

Debe observarse que este métodose aplica únicamente si al agregarun cuadrado perfecto al trinomioéste se convierte en cuadrado perfecto.

4 2 2 4

2 2

4 2 2 4

4 2 2 4 2 2 2 2

24 2 2 4 2 2 2 2 2 2

Por ejemplo,

se convierte en cuadrado perfecto cuando

se le sustrae .Sin embargo, se tiene

2

que por ser suma de dos cuadrados no

x x y y

x y

x x y y

x x y y x y x y

x x y y x y x y x y

es factorizable.

4 2 2 42 9a a b b

4 2 2 4

4 2 2 4 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 9

2 9 4 4

6 9 4

3 4

3 2 3 2

2 3 2 3

2 3 2 3

a a b b

a a b b a b a b

a a b b a b

a b a b

a b ab a b ab

a ab b a ab b

a ab b a ab b

4 2 4 84 41 64x x y y

4 2 4 8

4 2 4 8 2 4 2 4

4 2 4 8 2 4

22 4 2 4

2 4 2 2 4 2

2 4 2 2 4 2

4 41 64

4 41 64 9 9

4 32 64 9

2 8 9

2 8 3 2 8 3

2 8 3 2 8 3

x x y y

x x y y x y x y

x x y y x y

x y x y

x y xy x y xy

x y xy x y xy