alg. lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011 - IICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 17.11.11

1.- Justificar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

a) Sean los vectores de V3 : ,1 , , 2 , 1, 2 y 2 , ,a t t t b t t t c t t t

, ,a b c es L. I. para 2t

b) 2.a b b c c a a b c

c) Si 4, 4, 8bproy a y (8, 4, 4)aproy b entonces . 64a b

2.- Sean las rectas 19

: 7 12

yL x z

211

: 34

xL y z

L : la recta que interseca a 1L y a 2L perpendicularmente

P 1 es el plano determinado por L y 1L

P 2 es el plano determinado por L y 2L

Hallar: a) La ecuación de los planos P 1 y P 2

b) El ángulo que forman los planos P 1 y P 2

3.- Sea el plano P : 2 3 4 15x y z y los puntos A = (5, 2, - 7) y B = (2, 1, 2),

Q es un punto del plano P, tal que la diferencia , ( , )d Q A d Q B es máxima.

Encontrar el ortocentro del triángulo QAB.

4.- Dadas las rectas

1 6,1, 1 2,1, 1L t

2 3,0,2 1,2,0L r

1AC L y 2BD L tales que la distancia ( , )d A B es mínima , C es la proyección de

P = (3, 0, 2) sobre 1L y D es la proyección de ( 6,1, 1)Q sobre 2L .

Calcular la medida del área del cuadrilátero ABCD.

Victoria

PRACTICA CALIFICADA Nº 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011-ICODIGO : CB 111DOCENTE : A. L.KALA, HUAMAN , R. CHUNG FECHA : 18-06-2011

1.- Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.

i) Si b c a

y 3a

, 4b

, 6c

, entonces .(2 ) 3a b a

ii) Si 0a b c a b c

, entonces b a c

, 0

iii) 2.a b c a b c ab c

2.- Una recta L pasa por el punto (1, -3, - 4), corta al eje X y ( , ) 5d O L , (O origen de

coordenadas). Determine la ecuación del planoP que pasa por el punto (1, -2, -3) y

d ( P, L) = 1.

3.- Una puerta rotatoria de un Centro Comercial consta de dos planos

P 1: 2 3 1 0x y z P 2: 2 3 0x y z

Se quiere aumentar un plano más a la puerta, de modo pase por la recta de intersección deambos planos y que sea paralelo a la columna que describe la ecuación de la recta

: 3 1L x y , 6z

a) Hallar la ecuación de dicho plano.

b) Dos personas hacen su ingreso por las coordenadas 7,1,8A y

(4, 3,2)B . ¿Por cual de los ángulos de intersección de los tres planos ingresan

las dos personas?.

4.- Sean los planos

P 1: 2 2x y z P 2: 4 2 3x y z

y los puntos A = (-1, 5, 3) , B = (4, - 6, 0) , C = (- 2, 5, 2) y D = (5, 9, - 4)

P es un punto del plano P1 , tal que la diferencia ( , ) ( , )d P A d P B es máxima y Q

es un punto del plano P 2 , tal que la suma ( , ) ( , )d Q c d Q D es mínima-. Calcular el

área de la región triangular OPQ , donde O es el origen de coordenadas del sistema

XYZ .

Victoria

PRÁCTICA CALIFICADA N° 3

1. Un rayo de luz parte del punto A(2, 1, 6), se refleja en el espejo plano XZ, este rayoreflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano YZ y este último rayo reflejado pasa porel punto B(3, 8, 2). Hallar la ecuación de este último rayo reflejado.

2. Las rectas L1 y L2 y L3 forman los lados de un Triángulo ABC hallar la distancia desde elCentro de Gravedad del Triángulo al plano P: 5x + 12z + 14 = 0. Donde las ecuaciones delas rectas mencionadas son:

1L : P = (5, 11, - 2)+r(0,8, -1) / r R 2L : P = (8, - 23, 3)+ s(3,-10, - 4) / s R 3L : P = (8, 1, - 6)+ t(3,-2, - 5) / t R

25. El rectángulo BCDF, de área 64 2 μ , se halla en el plano P : y + z = 8; L : -x +8 = y = z es una recta que intersecta a P en el punto E que es la intersección de las diagonales del rectángulo. Q es un plano que pasa por el origen de coordenadas, contiene a FD y es perpendicular a la recta L. Hallar los vértices del rectángulo.

10. Se tiene el punto A = (-3, 2, -1) y la recta L: x = 2y = z. Hallar las ecuaciones de dos planos paralelos sabiendo que uno de ellos contiene a

.

A y el otro contiene a L y la distancia entre ellos es 2

11. Sea la recta L: Q = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1), t R y el Plano P: x - z = 0 Hallar la ecuació

o

n de la recta que pasa por L P, forma un ángulo = 45 con la proyección de L sobre P y esta contenida en el Plano.

2. Supóngase que las manecillas de un reloj se coloca en una circunferencia de radio 1, de manera que el centro del reloj coin - cida con el origen de

12los ejes coordenados, y que cuando el

horario marca z el minutero marque z . Si z 0, hallar los valo - res de z para los cuales se cumplen:

A) Las manecillas

12

o señalen la misma dirección, es decir z = z .

B) Las manecillas formen entre sí un ángulo múltiplo a 90 . (5.0 Puntos toda la pregunta, 2.5 puntos cada acápite )

2. Supóngase que las manecillas de un reloj se coloca en una circunferencia de radio 1, de manera que el centro del reloj coin - cida con el origen de

12los ejes coordenados, y que cuando el

horario marca z el minutero marque z . Si z 0, hallar los valo - res de z para los cuales se cumplen:

A) Las manecillas

12

o señalen la misma dirección, es decir z = z .

B) Las manecillas formen entre sí un ángulo múltiplo a 90 . (5.0 Puntos toda la pregunta, 2.5 puntos cada acápite )

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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : ALEJANDRO HUAMAN , RICARDO CHUNG FECHA : 18.06.10

1.- Dadas las rectas 17 4 3

:3 4 2

x y zL

y 2

21 5 2:

6 4 1

x y zL

Halle la distancia mínima entre 1L y 2L y además la recta perpendicular a 1L y

2L y que las intercepta.

2.- En el partido de Portugal entre Costa Marfil válido para el grupo G del MundialSudáfrica 2010, Cristiano Ronaldo ubicado en el punto representado por el origende coordenadas, corre en dirección del punto A(0, 0, 16) desde donde lanza uncabezazo a un ángulo imposible del arco contrario ubicado en el punto B(50, 12, 16)que se halla en el plano 25 6 1178 0x y , difícil de tapar por el arquero

marfileno.

Lamentablemente como sabemos fallo en sus cálculos y cayó a 0.1 unidad delblanco. Si la trayectoria de la pelota fue paralela al plano XY, hallar el ángulo quedebió girar Ronaldo para anotar y darle la victoria que no pudo conseguir Portugal.

3.- Demuestre que 2 2 2z w z w z w

4.- Sea (1 ) (1 )n nz i i . Hallar Re( ) ( )z im z

Victoria

PRACTICA CALIFICADA Nº 3

3.- El rectángulo BCDF, de área 264 2u , se halla en al plano : 8P y z ;

: 8L x y z es una recta que intercepta a P en el punto E que es la

intersección de las diagonales del rectángulo. Q es un plano que pasa por el origen

de coordenadas, contiene a FD y es perpendicular a la recta L. Hallar los vérticesdel rectángulo.

2.- Suponga que las manecillas de un reloj se coloca en una circunferencia de radio 1.de manera que el centro del reloj coincida con el origen de los ejes coordenados, y

que cuando el horario marca z el minutero marque 12z . Si 0z , hallar los valoresde z para los cuales se cumplen:

a) Las manecillas señalen la misma dirección, es decir 12z zb) Las manecillas formen entre si un ángulo múltiplo a 90º.

3.- Se tienen dos túneles que parten, de una superficie lisa y que representa el plano XY,desde los puntos P1A0,5/2,0) y P1B(5,2,0), y que llegan respectivamente a lospuntos P2A(7,-1,-7) y P2B(-5, 3,-5), Hallar la mínima distancia que debe tener untúnel que debe quedar a nivel (paralelo al plano XY) y que sirva para interconectara los túneles A y B

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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 22 .01.2010

1.- Dados los puntos P= (0, 0, 0) y Q = (1, 1, 1): Determine las proyecciones de los puntos

P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano P

que pasa por el punto (1, 4,-2) y dista una unidad de la recta : (2,6,5) (2, 4,0)L t ,

t.

2.- Sean R y : 17 17 7 298 0W x y z dos planos secantes, sean los puntos

3 5, ,2

2 2P

, A y B comunes a los dos planos R y W .

( 8, ,19)D r es un punto de W, Q es un punto de la recta 2L D W a

w R

tal que 1PQ L , 2PQ L , / /QP

(-9,9,-2) , AQ QB , PC = PD , C es un punto

de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la intersección de los planos R y

W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas.

3.- En una pirámide A – PRNM, PR PM , el punto P = (-4, -1, 0), los planos

1 : 4 4 0P y z , 2 : 4 0P x y contiene a los triángulos PAN y PAM

respectivamente, el ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM

y APR respectivamente mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a

RAN, R = (-4, 0, 0), 90ºm PRN , Hallar el ángulo que forman los planos P2 y P3.

4.- a) Dados Los números complejos 1 2,z z y 3z demuestre que

21 3 2 1 2 3z z z z z z

b) Calcule:

2 4 2( 1)cos cos ... cos

nE

n n n

Victoria

PRÁCTICA CALIFICADA N° 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, C. MENDOZA FECHA : 20.11.09

1.- Siendo 1 1 1A x a y b z c

2 2 2B x a y b z c

3 3 3C x a y b z c

Demuestre que1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

A BC y y y a b c

z z z

2.- Sean los puntos, A(4, 0, -1), B(a, b, 0) y C. Si (3, 6,3)ABPB proy CB

,

(1, 3, 7)PC

y BQ BA BC

. Hallar la medida del ángulo entre las rectas AC

y PQ

.

3.- Dadas las rectas

11 3

: 42 3

x yL z

2 :L (1, 0, -1) + t(1, 1, 2)

a) Calcule la ecuación de la recta L que es perpendicular a 1L y 2L

b) Determine dos puntos A y B en la recta L que forman con Q(1, 0, 0) un triánguloequilátero

4.- Dado el plano P que pasa por el punto s(1, 4, -2) y dista una unidad de la recta

(2,6,5) (2, 4,0) ,L t t indique si el punto (1, 1, 1) y (1, 0, 0) se encuentra arriba

ó debajo del plano P.

NOTA: 2 soluciones

Victoria

PRACTICA CALIFICADA Nº 3

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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 19.06.09

1.- Sean las rectas 1 (5, 3,6) (1, 1,0)L t

2L 12 4

25 2

y zx

La distancia mínima entre las rectas es la longitud de la altura de un triángulo isósceles con

base sobre L2 y área 24 5 . Encontrar los vértices del triángulo.

2.- Sean los planos: P1 : 3 4 2 5x y z

P2 : 5 2 1x y z y sean los puntos A = (-2, 6, 2) , B = (7,13,16) , C = (13, -7, 2) D = (-8, 7,-5)

P P1 de modo que ( , ) ( , )d P A d P B es mínima.

Q P2 de modo que ( , ) ( , )d Q C d Q D es máxima.

Encontrar la ecuación del plano determinado porP1 P2 y que contiene a PQ

3.- Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar su respuesta

a) SeaP3 = espacio de los polinomios de grado < 3 y sea el conjunto 1 2 3, ,p p p

contenido enP3 donde 21( ) 2 1p x x x , 2

2 ( ) 4 2 3p x x x

3( ) 5p x x . Entonces 1 2 3, ,p p p es L. I

b) Si ( ( ))a b a b a a a a b 4a b

c) 4( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )a b b c b c c a c a a b a b c

d) Si (7,3,5)bproy a y ( 8, 4, 2)aproy b 18,4,2

3a y

1

5b (7, 3, 5)

4.- Calcular 2 2 2 22 4 6 68cos cos cos ... cos

35 35 35 35

Victoria

PRÁCTICA CALIFICADA N° 3

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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : R. VASQUEZ, A. HUAMAN FECHA : 14.11.08

1.- Un Plano P pasa por el punto (1, 4, -2) y dista una unidad de la recta

: (2,6,5) (2, 4,0),L r r , determine el área de la región triangular formada por las

proyecciones de los puntos (0, 0, 1), (1, 0, 0) y (0, 0, 0) sobre el plano P.

2.- Dados los vectores(1, 2,0)a

(0,1, 2)b

(1,0,1)c

Determine

i) La proyección ortogonal del vector a

sobre el plano formado por b

y c

ii) Sobre la recta L: (1, 0, 0) + r v

(siendo v

la proyección ortogonal de i) dos puntosM y N que forman con Q (0, 0, 0) un triangulo equilátero.

3.- Sean las rectas 18 8

:4 8 4

x y zL

, 2

8:

4 4 8

x y zL

y el punto E que equidista de

L1 y L2.P es un plano que contiene a L2 y a E. D = 1 2 3 2, , , 0d d d d es un punto de L1 que

dista de P en 4 2 , calcular las coordenadas de D.

4.- En un tetraedro G – ABC, G = (8, 0,0), A = (8, 8, 8), la bisectriz interior del vértice C

en la base ABC está contenida en la recta 1 : 82

zL x y y la mediana BM de ABC

está contenida en la recta: 2 : 82

yL x z . Hallar el volumen del tetraedro.

Victoria

PRÁCTICA CALIFICADA N° 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN , R. VASQUEZ FECHA : 20.06.08

1.- Sean los planos P 1 : 3 4 6 0x y z P 2 : 9 0x y z

y los puntos A = (7, -2, 9) , B = (-4, 3, 5) , C = 122, 26,22

3 , D = 1

2,16, 143

P P 1 tal que d(P, A) + d(P, B) es mínima,

Q P 2 tal que |d(Q, C) – d(Q, D)| es máxima. Hallar la ecuación de la recta que

contiene a PQ .

2.- Sean , ,x y z y , ,a b c conjuntos L. I de V3 , donde 1 2 3, ,x x x x

1 2 3, ,y y y y , 1 2 3, ,z z z z

1 2 1 2 1 2A B x x a y y b z z c

1 2 3 1 2 3 1 2 3A B C x x x a y y y b z z z c y

6x y z , 8a b c

Calcular:

. . .

. . .

. . .

A a A b A c

B a B b B c

C a C b C c

3.- Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas ó falsas. Justificar la respuesta.

a) Si ( ( )) 0a b a a a a b

b) ( ( )) ( )( . ) ( )( . )a b c d a c b d a d b c

c)a b d a b e

a b c a d ea c d a c e

d) 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c b c c a c a a b a b c

4.- Calcular la siguiente suma , haciendo uso de los números complejos1 cos5 3 cos 7 5 cos9 ... 79 cos83E sen sen sen sen

Victoria

PRACTICA CALIFICADA 3