alg. lineal
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practica algebra linealTRANSCRIPT
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011 - IICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 17.11.11
1.- Justificar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
a) Sean los vectores de V3 : ,1 , , 2 , 1, 2 y 2 , ,a t t t b t t t c t t t
, ,a b c es L. I. para 2t
b) 2.a b b c c a a b c
c) Si 4, 4, 8bproy a y (8, 4, 4)aproy b entonces . 64a b
2.- Sean las rectas 19
: 7 12
yL x z
211
: 34
xL y z
L : la recta que interseca a 1L y a 2L perpendicularmente
P 1 es el plano determinado por L y 1L
P 2 es el plano determinado por L y 2L
Hallar: a) La ecuación de los planos P 1 y P 2
b) El ángulo que forman los planos P 1 y P 2
3.- Sea el plano P : 2 3 4 15x y z y los puntos A = (5, 2, - 7) y B = (2, 1, 2),
Q es un punto del plano P, tal que la diferencia , ( , )d Q A d Q B es máxima.
Encontrar el ortocentro del triángulo QAB.
4.- Dadas las rectas
1 6,1, 1 2,1, 1L t
2 3,0,2 1,2,0L r
1AC L y 2BD L tales que la distancia ( , )d A B es mínima , C es la proyección de
P = (3, 0, 2) sobre 1L y D es la proyección de ( 6,1, 1)Q sobre 2L .
Calcular la medida del área del cuadrilátero ABCD.
Victoria
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011-ICODIGO : CB 111DOCENTE : A. L.KALA, HUAMAN , R. CHUNG FECHA : 18-06-2011
1.- Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
i) Si b c a
y 3a
, 4b
, 6c
, entonces .(2 ) 3a b a
ii) Si 0a b c a b c
, entonces b a c
, 0
iii) 2.a b c a b c ab c
2.- Una recta L pasa por el punto (1, -3, - 4), corta al eje X y ( , ) 5d O L , (O origen de
coordenadas). Determine la ecuación del planoP que pasa por el punto (1, -2, -3) y
d ( P, L) = 1.
3.- Una puerta rotatoria de un Centro Comercial consta de dos planos
P 1: 2 3 1 0x y z P 2: 2 3 0x y z
Se quiere aumentar un plano más a la puerta, de modo pase por la recta de intersección deambos planos y que sea paralelo a la columna que describe la ecuación de la recta
: 3 1L x y , 6z
a) Hallar la ecuación de dicho plano.
b) Dos personas hacen su ingreso por las coordenadas 7,1,8A y
(4, 3,2)B . ¿Por cual de los ángulos de intersección de los tres planos ingresan
las dos personas?.
4.- Sean los planos
P 1: 2 2x y z P 2: 4 2 3x y z
y los puntos A = (-1, 5, 3) , B = (4, - 6, 0) , C = (- 2, 5, 2) y D = (5, 9, - 4)
P es un punto del plano P1 , tal que la diferencia ( , ) ( , )d P A d P B es máxima y Q
es un punto del plano P 2 , tal que la suma ( , ) ( , )d Q c d Q D es mínima-. Calcular el
área de la región triangular OPQ , donde O es el origen de coordenadas del sistema
XYZ .
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 3
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1. Un rayo de luz parte del punto A(2, 1, 6), se refleja en el espejo plano XZ, este rayoreflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano YZ y este último rayo reflejado pasa porel punto B(3, 8, 2). Hallar la ecuación de este último rayo reflejado.
2. Las rectas L1 y L2 y L3 forman los lados de un Triángulo ABC hallar la distancia desde elCentro de Gravedad del Triángulo al plano P: 5x + 12z + 14 = 0. Donde las ecuaciones delas rectas mencionadas son:
1L : P = (5, 11, - 2)+r(0,8, -1) / r R 2L : P = (8, - 23, 3)+ s(3,-10, - 4) / s R 3L : P = (8, 1, - 6)+ t(3,-2, - 5) / t R
25. El rectángulo BCDF, de área 64 2 μ , se halla en el plano P : y + z = 8; L : -x +8 = y = z es una recta que intersecta a P en el punto E que es la intersección de las diagonales del rectángulo. Q es un plano que pasa por el origen de coordenadas, contiene a FD y es perpendicular a la recta L. Hallar los vértices del rectángulo.
10. Se tiene el punto A = (-3, 2, -1) y la recta L: x = 2y = z. Hallar las ecuaciones de dos planos paralelos sabiendo que uno de ellos contiene a
.
A y el otro contiene a L y la distancia entre ellos es 2
11. Sea la recta L: Q = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1), t R y el Plano P: x - z = 0 Hallar la ecuació
o
n de la recta que pasa por L P, forma un ángulo = 45 con la proyección de L sobre P y esta contenida en el Plano.
2. Supóngase que las manecillas de un reloj se coloca en una circunferencia de radio 1, de manera que el centro del reloj coin - cida con el origen de
12los ejes coordenados, y que cuando el
horario marca z el minutero marque z . Si z 0, hallar los valo - res de z para los cuales se cumplen:
A) Las manecillas
12
o señalen la misma dirección, es decir z = z .
B) Las manecillas formen entre sí un ángulo múltiplo a 90 . (5.0 Puntos toda la pregunta, 2.5 puntos cada acápite )
2. Supóngase que las manecillas de un reloj se coloca en una circunferencia de radio 1, de manera que el centro del reloj coin - cida con el origen de
12los ejes coordenados, y que cuando el
horario marca z el minutero marque z . Si z 0, hallar los valo - res de z para los cuales se cumplen:
A) Las manecillas
12
o señalen la misma dirección, es decir z = z .
B) Las manecillas formen entre sí un ángulo múltiplo a 90 . (5.0 Puntos toda la pregunta, 2.5 puntos cada acápite )
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : ALEJANDRO HUAMAN , RICARDO CHUNG FECHA : 18.06.10
1.- Dadas las rectas 17 4 3
:3 4 2
x y zL
y 2
21 5 2:
6 4 1
x y zL
Halle la distancia mínima entre 1L y 2L y además la recta perpendicular a 1L y
2L y que las intercepta.
2.- En el partido de Portugal entre Costa Marfil válido para el grupo G del MundialSudáfrica 2010, Cristiano Ronaldo ubicado en el punto representado por el origende coordenadas, corre en dirección del punto A(0, 0, 16) desde donde lanza uncabezazo a un ángulo imposible del arco contrario ubicado en el punto B(50, 12, 16)que se halla en el plano 25 6 1178 0x y , difícil de tapar por el arquero
marfileno.
Lamentablemente como sabemos fallo en sus cálculos y cayó a 0.1 unidad delblanco. Si la trayectoria de la pelota fue paralela al plano XY, hallar el ángulo quedebió girar Ronaldo para anotar y darle la victoria que no pudo conseguir Portugal.
3.- Demuestre que 2 2 2z w z w z w
4.- Sea (1 ) (1 )n nz i i . Hallar Re( ) ( )z im z
Victoria
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
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3.- El rectángulo BCDF, de área 264 2u , se halla en al plano : 8P y z ;
: 8L x y z es una recta que intercepta a P en el punto E que es la
intersección de las diagonales del rectángulo. Q es un plano que pasa por el origen
de coordenadas, contiene a FD y es perpendicular a la recta L. Hallar los vérticesdel rectángulo.
2.- Suponga que las manecillas de un reloj se coloca en una circunferencia de radio 1.de manera que el centro del reloj coincida con el origen de los ejes coordenados, y
que cuando el horario marca z el minutero marque 12z . Si 0z , hallar los valoresde z para los cuales se cumplen:
a) Las manecillas señalen la misma dirección, es decir 12z zb) Las manecillas formen entre si un ángulo múltiplo a 90º.
3.- Se tienen dos túneles que parten, de una superficie lisa y que representa el plano XY,desde los puntos P1A0,5/2,0) y P1B(5,2,0), y que llegan respectivamente a lospuntos P2A(7,-1,-7) y P2B(-5, 3,-5), Hallar la mínima distancia que debe tener untúnel que debe quedar a nivel (paralelo al plano XY) y que sirva para interconectara los túneles A y B
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 22 .01.2010
1.- Dados los puntos P= (0, 0, 0) y Q = (1, 1, 1): Determine las proyecciones de los puntos
P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano P
que pasa por el punto (1, 4,-2) y dista una unidad de la recta : (2,6,5) (2, 4,0)L t ,
t.
2.- Sean R y : 17 17 7 298 0W x y z dos planos secantes, sean los puntos
3 5, ,2
2 2P
, A y B comunes a los dos planos R y W .
( 8, ,19)D r es un punto de W, Q es un punto de la recta 2L D W a
w R
tal que 1PQ L , 2PQ L , / /QP
(-9,9,-2) , AQ QB , PC = PD , C es un punto
de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la intersección de los planos R y
W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas.
3.- En una pirámide A – PRNM, PR PM , el punto P = (-4, -1, 0), los planos
1 : 4 4 0P y z , 2 : 4 0P x y contiene a los triángulos PAN y PAM
respectivamente, el ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM
y APR respectivamente mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a
RAN, R = (-4, 0, 0), 90ºm PRN , Hallar el ángulo que forman los planos P2 y P3.
4.- a) Dados Los números complejos 1 2,z z y 3z demuestre que
21 3 2 1 2 3z z z z z z
b) Calcule:
2 4 2( 1)cos cos ... cos
nE
n n n
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, C. MENDOZA FECHA : 20.11.09
1.- Siendo 1 1 1A x a y b z c
2 2 2B x a y b z c
3 3 3C x a y b z c
Demuestre que1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
A BC y y y a b c
z z z
2.- Sean los puntos, A(4, 0, -1), B(a, b, 0) y C. Si (3, 6,3)ABPB proy CB
,
(1, 3, 7)PC
y BQ BA BC
. Hallar la medida del ángulo entre las rectas AC
y PQ
.
3.- Dadas las rectas
11 3
: 42 3
x yL z
2 :L (1, 0, -1) + t(1, 1, 2)
a) Calcule la ecuación de la recta L que es perpendicular a 1L y 2L
b) Determine dos puntos A y B en la recta L que forman con Q(1, 0, 0) un triánguloequilátero
4.- Dado el plano P que pasa por el punto s(1, 4, -2) y dista una unidad de la recta
(2,6,5) (2, 4,0) ,L t t indique si el punto (1, 1, 1) y (1, 0, 0) se encuentra arriba
ó debajo del plano P.
NOTA: 2 soluciones
Victoria
PRACTICA CALIFICADA Nº 3
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 19.06.09
1.- Sean las rectas 1 (5, 3,6) (1, 1,0)L t
2L 12 4
25 2
y zx
La distancia mínima entre las rectas es la longitud de la altura de un triángulo isósceles con
base sobre L2 y área 24 5 . Encontrar los vértices del triángulo.
2.- Sean los planos: P1 : 3 4 2 5x y z
P2 : 5 2 1x y z y sean los puntos A = (-2, 6, 2) , B = (7,13,16) , C = (13, -7, 2) D = (-8, 7,-5)
P P1 de modo que ( , ) ( , )d P A d P B es mínima.
Q P2 de modo que ( , ) ( , )d Q C d Q D es máxima.
Encontrar la ecuación del plano determinado porP1 P2 y que contiene a PQ
3.- Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar su respuesta
a) SeaP3 = espacio de los polinomios de grado < 3 y sea el conjunto 1 2 3, ,p p p
contenido enP3 donde 21( ) 2 1p x x x , 2
2 ( ) 4 2 3p x x x
3( ) 5p x x . Entonces 1 2 3, ,p p p es L. I
b) Si ( ( ))a b a b a a a a b 4a b
c) 4( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )a b b c b c c a c a a b a b c
d) Si (7,3,5)bproy a y ( 8, 4, 2)aproy b 18,4,2
3a y
1
5b (7, 3, 5)
4.- Calcular 2 2 2 22 4 6 68cos cos cos ... cos
35 35 35 35
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 3
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : R. VASQUEZ, A. HUAMAN FECHA : 14.11.08
1.- Un Plano P pasa por el punto (1, 4, -2) y dista una unidad de la recta
: (2,6,5) (2, 4,0),L r r , determine el área de la región triangular formada por las
proyecciones de los puntos (0, 0, 1), (1, 0, 0) y (0, 0, 0) sobre el plano P.
2.- Dados los vectores(1, 2,0)a
(0,1, 2)b
(1,0,1)c
Determine
i) La proyección ortogonal del vector a
sobre el plano formado por b
y c
ii) Sobre la recta L: (1, 0, 0) + r v
(siendo v
la proyección ortogonal de i) dos puntosM y N que forman con Q (0, 0, 0) un triangulo equilátero.
3.- Sean las rectas 18 8
:4 8 4
x y zL
, 2
8:
4 4 8
x y zL
y el punto E que equidista de
L1 y L2.P es un plano que contiene a L2 y a E. D = 1 2 3 2, , , 0d d d d es un punto de L1 que
dista de P en 4 2 , calcular las coordenadas de D.
4.- En un tetraedro G – ABC, G = (8, 0,0), A = (8, 8, 8), la bisectriz interior del vértice C
en la base ABC está contenida en la recta 1 : 82
zL x y y la mediana BM de ABC
está contenida en la recta: 2 : 82
yL x z . Hallar el volumen del tetraedro.
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 3
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN , R. VASQUEZ FECHA : 20.06.08
1.- Sean los planos P 1 : 3 4 6 0x y z P 2 : 9 0x y z
y los puntos A = (7, -2, 9) , B = (-4, 3, 5) , C = 122, 26,22
3 , D = 1
2,16, 143
P P 1 tal que d(P, A) + d(P, B) es mínima,
Q P 2 tal que |d(Q, C) – d(Q, D)| es máxima. Hallar la ecuación de la recta que
contiene a PQ .
2.- Sean , ,x y z y , ,a b c conjuntos L. I de V3 , donde 1 2 3, ,x x x x
1 2 3, ,y y y y , 1 2 3, ,z z z z
1 2 1 2 1 2A B x x a y y b z z c
1 2 3 1 2 3 1 2 3A B C x x x a y y y b z z z c y
6x y z , 8a b c
Calcular:
. . .
. . .
. . .
A a A b A c
B a B b B c
C a C b C c
3.- Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas ó falsas. Justificar la respuesta.
a) Si ( ( )) 0a b a a a a b
b) ( ( )) ( )( . ) ( )( . )a b c d a c b d a d b c
c)a b d a b e
a b c a d ea c d a c e
d) 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c b c c a c a a b a b c
4.- Calcular la siguiente suma , haciendo uso de los números complejos1 cos5 3 cos 7 5 cos9 ... 79 cos83E sen sen sen sen
Victoria
PRACTICA CALIFICADA 3