9_sesion 3 2 relaciones parametricas e inversas (1)

Matemática Básica(Ing.) 1

Sesión 3.2

Ecuaciones Paramétricas yFunciones Inversas

Matemática Básica(Ing.) 2

Información del curso

Tareas: ingresar al aula virtual e imprimir.

Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).

Matemática Básica(Ing.) 3

Habilidades

1. Define ecuaciones paramétricas.

2. Grafica curvas definidas por ecuaciones paramétricas.

3. Define función inversa.

4. Determina algebraicamente y geométricamente una función inversa.

5. Verifica si una función tiene inversa.

Matemática Básica(Ing.) 4

Si x e y están dadas como funciones x = f(t) ; y = g(t), en un intervalo de valores de t, entonces el conjunto de puntos (x, y)= (f(t); g(t)) definido por estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva.

Ecuaciones Paramétricas

Nota:

x = f ( t ),   y = g ( t ), t ϵ [a; b].

en donde f y g son funciones del parámetro t. 

Matemática Básica(Ing.) 5

Ecuación paramétrica de la cicloide.

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm

La cicloide se produce cuando se hace

rodar un círculo sobre una superficie horizontal. Un punto

del borde del círculo describe una curva que se denomina

cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro

del círculo le corresponde un arco de la cicloide

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Función inversa Criterio de la recta horizontal

Una función f es inyectiva (uno a uno) si y sólo sí

toda recta horizontal interseca a su gráfica a lo

más en un punto.

y = f(x)

f(b) =

x

y

a

f(a)

b

¿Es f inyectiva?

Matemática Básica(Ing.) 7

Aplicación del criterio de la recta horizontal ¿Cuál de las gráficas siguientes son gráficas de

funciones que son uno a uno?

x

y

x

y

Matemática Básica(Ing.) 8

Función inversa

Si f es una función uno a uno con Dom(f ) = D Ran(f ) = R

entonces la función inversa de f, denotada por f -1, es la función con

Dom(f -1) = R Ran(f -1) = D

definida mediante f -1(b) = a si y sólo si f(a) = b

Matemática Básica(Ing.) 9

El principio de la reflexión inversa

1. Los puntos (a; b) y (b; a) en el plano coordenado son simétricos con respecto a la recta y = x.

2. Los puntos (a; b) y (b; a) son reflexiones uno del otro con respecto a la recta y = x.

Matemática Básica(Ing.) 10

x

y

La función inversa f -1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x

y=xf(x)

f-1(x)

Regla

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Regla de composición de la inversa

Una función f es uno a uno con función inversa g

si y sólo si

a. f (g(x)) = x para toda x en el dominio de g.

b. f (g(x)) = x para toda x en el dominio de f.

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Función inversa

Dada y = f (x), se quiere determinar la regla de correspondencia para f -1:

• Verifique que f es uno a uno. Indique, si hay, las restricciones sobre el dominio de f (observe que podría ser necesario imponer alguna para obtener una versión uno a uno de f)

• Intercambie x y y en la regla y = f (x).

• Despeje y para obtener la regla de correspondencia y = f -1(x).

• Indique cualquier restricción sobre el dominio de f -1.

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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios de la sección 1.5

Pág. 127 – 137

Resolver (Pág. 135):

7, 15, 17, 23 y 27.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante