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TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición: Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0 a la integral

ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞

0

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = lim𝑏⟶∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

0

Se llama transformada de Laplace de 𝑓, siempre y cuando la integral converja.

ℒ es una transformación lineal, siempre que las integrales converjan se tendrá

ℒ{𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)} = 𝛼ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝛽ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝛼𝐹(𝑠) + 𝛽𝐺(𝑠)

EJ 59

Calcular, si existe, la transformada de Laplace para 𝑓(𝑡) = 𝑘, 𝑘 constante real.

Según la definición se tiene

ℒ{𝑘} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞

0

𝑘𝑑𝑡 = lim𝑏⟶∞

𝑘 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡𝑏

0

= lim𝑏⟶∞

−𝑘𝑒−𝑠𝑡

𝑠|𝑏0

=𝑘

𝑠

Entonces,

ℒ{𝑘} =𝑘

𝑠

Observe que si 0 > 𝑠, la integral no existe, por lo que diremos que ℒ{𝑓(𝑡)} =𝑘

𝑠, 𝑠𝑖, 𝑠 > 0.

EJ 60

Calcular, si existe, la transformada de Laplace para 𝑓(𝑡) = 𝑡.

De acuerdo a la definición

ℒ{𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑑𝑡∞

0

Integrando por partes, haciendo 𝑢 = 𝑡 , 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡, obtenemos:

ℒ{𝑡} =−𝑡𝑒−𝑠𝑡

𝑠|∞0

+1

𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

=1

𝑠ℒ{1} =

1

𝑠(

1

𝑠) =

1

𝑠2

Que al igual que en el ejemplo anterior, la integral existe, si y sólo si 𝑠 > 0.

EJ 61

Calcular, si existe, la transformada de Laplace para 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡, donde 𝑎 ∈ ℝ.

Como 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡, entonces calculamos

ℒ{𝑒𝑎𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑒𝑎𝑡∞

0

𝑑𝑡 = ∫ 𝑒(−𝑠+𝑎)𝑡∞

0

𝑑𝑡 =−𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡

𝑠 − 𝑎|∞0

=1

𝑠 − 𝑎

Esta integral existe, siempre y cuando 𝑠 − 𝑎 > 0, es decir cuando 𝑠 > 𝑎.

EJ 62

Evalúe ℒ{𝑠𝑒𝑛 2𝑡}.

De acuerdo con la definición e integrando por partes.

ℒ{𝑠𝑒𝑛 2𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡𝑑𝑡 =−𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡

𝑠|∞0

+2

𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡 cos 2𝑡𝑑𝑡

∞

0

∞

0

=2

𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡 cos 2𝑡𝑑𝑡, 𝑠 > 0

∞

0

=2

𝑠[−𝑒−𝑠𝑡 cos 2𝑡

𝑠|∞0

−2

𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡𝑑𝑡

∞

0

]

Lim𝑡→∞

𝑒−𝑠𝑡 cos 2𝑡 = 0, 𝑠 > 0 Transformada de Laplace de 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

=2

𝑠[−𝑒−𝑠𝑡 cos 2𝑡

𝑠|∞0

−2

𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑑𝑡

∞

0

] =2

𝑠2−

4

𝑠2ℒ{𝑠𝑒𝑛 2𝑡}

ℒ{𝑠𝑒𝑛 2𝑡} =2

𝑠2 + 4, 𝑠 > 0

CCCI

Ya familiarizados con la definición de transformada de Laplace, es muy útil contar con una

tabla donde están las transformadas de algunas funciones básicas.

Función Transformada de Laplace

Condición

𝑓(𝑡) = 1 ℒ{1} =

1

𝑠

𝑠 > 0

𝑓(𝑡) = 𝑘 ℒ{𝑘} =

𝑘

𝑠

𝑠 > 0

𝑓(𝑡) = 𝑡𝑛 ℒ{𝑡𝑛} =

𝑛!

𝑠𝑛+1

𝑛 ∈ ℤ+

𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡 ℒ{𝑒𝑎𝑡} =

1

𝑠 − 𝑎

𝑎 < 𝑠

𝑓(𝑡) = cos(𝑎𝑡) ℒ{cos(𝑎𝑡)} =𝑠

𝑠2 + 𝑎2 𝑠 > 0

𝑓(𝑡) = s 𝑒𝑛(𝑎𝑡) ℒ{sen(𝑎𝑡)} = 𝑎

𝑠2 + 𝑎2 𝑠 > 0

𝑓(𝑡) = cos ℎ(𝑎𝑡) ℒ{cosh(𝑎𝑡)} =𝑠

𝑠2 − 𝑎2 𝑠 > 0

𝑓(𝑡) = s 𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) ℒ{senh(𝑎𝑡)} = 𝑎

𝑠2 − 𝑎2 𝑠 > 0

Como observamos en los ejemplos y en la tabla, no podemos garantizar siempre, la

existencia de la transformada de Laplace, debemos colocar en casi todos los casos ciertas

restricciones, que garanticen que bajo esas condiciones, la transformada de Laplace existe.

Existencia de la Transformada de Laplace: Sea 𝑓(𝑡) definida y continua a trozos para 𝑡 ≥

0, si

|𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒𝑐𝑡 , 𝑡 > 𝑇

Para constantes 𝑐, 𝑇 > 0, entonces ℒ(𝑓(𝑡)) existe para todo 𝑠 > 𝑐.

En el desarrollo de esta guía consideraremos, en adelante, únicamente funciones cuya

transformada de Laplace exista.

Al observar ℒ(𝑓(𝑡)), notamos que la transformada de Laplace depende de 𝑠, entonces

llamemos

ℒ(𝑓(𝑡)) = 𝐹(𝑠)

Supongamos entonces que conocemos la transformada de dos funciones 𝑓 y 𝑔, que serían

respectivamente 𝐹 y 𝐺, veamos quien es ℒ(𝑎𝑓(𝑡) + 𝑐𝑔(𝑡)), donde 𝑎, 𝑐 ∈ ℝ.

ℒ(𝑎𝑓(𝑡) + 𝑐𝑔(𝑡)) = lim𝑏⟶∞

∫ (𝑎𝑓(𝑡) + 𝑐𝑔(𝑡))𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑏

0

= lim𝑏⟶∞

𝑎 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏

0

+ lim𝑏⟶∞

𝑐 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡 𝑏

0

Como 𝑎, 𝑐 ∈ ℝ

𝑎 lim𝑏⟶∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏

0

+ 𝑐 lim𝑏⟶∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡 𝑏

0

= 𝑎𝐹(𝑠) + 𝑐𝐺(𝑠)

Ejemplo: Calcular, la transformada de Laplace para 𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 +𝜋

4).

Primero, observemos que cos (𝜋

4) = sin (

𝜋

4) =

√2

2 entonces 𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 +

𝜋

4) =

√2

2cos(3𝑡) −

√2

2sin(3𝑡) consideremos

𝑎 =√2

2 , 𝑐 = −

√2

2 , 𝑓(𝑡) = cos(3𝑡) 𝑔(𝑡) = sin(3𝑡), por tanto aplicamos la transformada

hacemos uso de la tabla anterior,

ℒ (𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 +𝜋

4)) =

√2

2[ℒ(𝑐𝑜𝑠(3𝑡)) − ℒ(sin(3𝑡))] =

√2

2[

𝑠

𝑠2 + 9−

3

𝑠2 + 9] =

√2

2

𝑠 − 3

𝑠2 + 9

L

Ejercicios:

1. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑡) i. 𝑓(𝑡) = (𝑡 + 2)3

b. 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑡) j. 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡 + 𝑒−𝑡)2

c. 𝑓(𝑡) = 𝑡3 k. 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡sin (3𝑡)

d. 𝑓(𝑡) = 𝑒3𝑡 l. 𝑓(𝑡) = 𝑡4 − 5𝑡3 +1

2𝑡 + 7

e. 𝑓(𝑡) = cos(3𝑡) cos (5𝑡) m. 𝑓(𝑡) = 𝑡3/2

f. 𝑓(𝑡) = 𝑡2𝑒3𝑡 n. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡+5

g. 𝑓(𝑡) = 𝑡2cos (3𝑡) o. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡+5