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TRANSFORMADA DE LAPLACE
DefiniciΓ³n: Sea π una funciΓ³n definida para π‘ β₯ 0 a la integral
β{π(π‘)} = β« πβπ π‘β
0
π(π‘)ππ‘ = limπβΆβ
β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘π
0
Se llama transformada de Laplace de π, siempre y cuando la integral converja.
β es una transformaciΓ³n lineal, siempre que las integrales converjan se tendrΓ‘
β{πΌπ(π‘) + π½π(π‘)} = πΌβ{π(π‘)} + π½β{π(π‘)} = πΌπΉ(π ) + π½πΊ(π )
EJ 59
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para π(π‘) = π, π constante real.
SegΓΊn la definiciΓ³n se tiene
β{π} = β« πβπ π‘β
0
πππ‘ = limπβΆβ
π β« πβπ π‘ππ‘π
0
= limπβΆβ
βππβπ π‘
π |π0
=π
π
Entonces,
β{π} =π
π
Observe que si 0 > π , la integral no existe, por lo que diremos que β{π(π‘)} =π
π , π π, π > 0.
EJ 60
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para π(π‘) = π‘.
De acuerdo a la definiciΓ³n
β{π‘} = β« πβπ π‘π‘ππ‘β
0
Integrando por partes, haciendo π’ = π‘ , ππ£ = πβπ π‘ππ‘, obtenemos:
β{π‘} =βπ‘πβπ π‘
π |β0
+1
π β« πβπ π‘ππ‘
β
0
=1
π β{1} =
1
π (
1
π ) =
1
π 2
Que al igual que en el ejemplo anterior, la integral existe, si y sΓ³lo si π > 0.
EJ 61
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para π(π‘) = πππ‘, donde π β β.
Como π(π‘) = πππ‘, entonces calculamos
β{πππ‘} = β« πβπ π‘πππ‘β
0
ππ‘ = β« π(βπ +π)π‘β
0
ππ‘ =βπβ(π βπ)π‘
π β π|β0
=1
π β π
Esta integral existe, siempre y cuando π β π > 0, es decir cuando π > π.
EJ 62
EvalΓΊe β{π ππ 2π‘}.
De acuerdo con la definiciΓ³n e integrando por partes.
β{π ππ 2π‘} = β« πβπ π‘π ππ 2π‘ππ‘ =βπβπ π‘π ππ 2π‘
π |β0
+2
π β« πβπ π‘ cos 2π‘ππ‘
β
0
β
0
=2
π β« πβπ π‘ cos 2π‘ππ‘, π > 0
β
0
=2
π [βπβπ π‘ cos 2π‘
π |β0
β2
π β« πβπ π‘π ππ 2π‘ππ‘
β
0
]
Limπ‘ββ
πβπ π‘ cos 2π‘ = 0, π > 0 Transformada de Laplace de π ππ 2π‘
=2
π [βπβπ π‘ cos 2π‘
π |β0
β2
π β« πβπ π‘π ππ2π‘ππ‘
β
0
] =2
π 2β
4
π 2β{π ππ 2π‘}
β{π ππ 2π‘} =2
π 2 + 4, π > 0
CCCI
Ya familiarizados con la definiciΓ³n de transformada de Laplace, es muy ΓΊtil contar con una
tabla donde estΓ‘n las transformadas de algunas funciones bΓ‘sicas.
FunciΓ³n Transformada de Laplace
CondiciΓ³n
π(π‘) = 1 β{1} =
1
π
π > 0
π(π‘) = π β{π} =
π
π
π > 0
π(π‘) = π‘π β{π‘π} =
π!
π π+1
π β β€+
π(π‘) = πππ‘ β{πππ‘} =
1
π β π
π < π
π(π‘) = cos(ππ‘) β{cos(ππ‘)} =π
π 2 + π2 π > 0
π(π‘) = s ππ(ππ‘) β{sen(ππ‘)} = π
π 2 + π2 π > 0
π(π‘) = cos β(ππ‘) β{cosh(ππ‘)} =π
π 2 β π2 π > 0
π(π‘) = s ππβ(ππ‘) β{senh(ππ‘)} = π
π 2 β π2 π > 0
Como observamos en los ejemplos y en la tabla, no podemos garantizar siempre, la
existencia de la transformada de Laplace, debemos colocar en casi todos los casos ciertas
restricciones, que garanticen que bajo esas condiciones, la transformada de Laplace existe.
Existencia de la Transformada de Laplace: Sea π(π‘) definida y continua a trozos para π‘ β₯
0, si
|π(π‘)| β€ ππππ‘ , π‘ > π
Para constantes π, π > 0, entonces β(π(π‘)) existe para todo π > π.
En el desarrollo de esta guΓa consideraremos, en adelante, ΓΊnicamente funciones cuya
transformada de Laplace exista.
Al observar β(π(π‘)), notamos que la transformada de Laplace depende de π , entonces
llamemos
β(π(π‘)) = πΉ(π )
Supongamos entonces que conocemos la transformada de dos funciones π y π, que serΓan
respectivamente πΉ y πΊ, veamos quien es β(ππ(π‘) + ππ(π‘)), donde π, π β β.
β(ππ(π‘) + ππ(π‘)) = limπβΆβ
β« (ππ(π‘) + ππ(π‘))πβπ π‘ππ‘ π
0
= limπβΆβ
π β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
+ limπβΆβ
π β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
Como π, π β β
π limπβΆβ
β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
+ π limπβΆβ
β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
= ππΉ(π ) + ππΊ(π )
Ejemplo: Calcular, la transformada de Laplace para πππ (3π‘ +π
4).
Primero, observemos que cos (π
4) = sin (
π
4) =
β2
2 entonces πππ (3π‘ +
π
4) =
β2
2cos(3π‘) β
β2
2sin(3π‘) consideremos
π =β2
2 , π = β
β2
2 , π(π‘) = cos(3π‘) π(π‘) = sin(3π‘), por tanto aplicamos la transformada
hacemos uso de la tabla anterior,
β (πππ (3π‘ +π
4)) =
β2
2[β(πππ (3π‘)) β β(sin(3π‘))] =
β2
2[
π
π 2 + 9β
3
π 2 + 9] =
β2
2
π β 3
π 2 + 9
L
Ejercicios:
1. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a. π(π‘) = π ππ2(π‘) i. π(π‘) = (π‘ + 2)3
b. π(π‘) = πππ 2(π‘) j. π(π‘) = (ππ‘ + πβπ‘)2
c. π(π‘) = π‘3 k. π(π‘) = πβπ‘sin (3π‘)
d. π(π‘) = π3π‘ l. π(π‘) = π‘4 β 5π‘3 +1
2π‘ + 7
e. π(π‘) = cos(3π‘) cos (5π‘) m. π(π‘) = π‘3/2
f. π(π‘) = π‘2π3π‘ n. π(π‘) = ππ‘+5
g. π(π‘) = π‘2cos (3π‘) o. π(π‘) = ππ‘+5