7 aproximacion de funciones
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APROXIMACION DE FUNCIONES
• En este capítulo se estudiará la aproximación de funciones disponibles en forma discreta (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija su reemplazo por funciones más simples, específicamente por polinomios.
• Una vez que se ha determinado un polinomio Pn(x) de manera que aproxime satisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede esperarse que al diferenciar Pn(x) o integrarla, también aproxime la derivada o integral correspondiente a f(x).
Aproximación polinómica
xi x0 x1 ... xn
f(xi) F0 f1 ... fn
Se realiza cuando la función puede ser conocida en forma explícita o mediante un conjunto de valores tabulados para cada uno de los argumentos por donde pasa la función (valores funcionales).
Normalmente se acepta aproximar a la función tabulada en puntos coincidentes mediante un polinomio de grado “n” (condición de aproximación):f(xi) Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0
Aproximación polinómica
Donde: E(x) = f(x) – Pn(x) ; Para todo x en [x0,xn]Observaciones:1) Los polinomios son funciones fáciles de derivar, integrar, evaluar y de programar en un computador. Véase :
2) Los polinomios presentan propiedades analíticas importantes que facilitan el cálculo de las raíces del polinomio, así mismo nos permite identificar el tipo de raíz (Real ó complejo).
Cálculos Analíticos
• Interpolación : f(x)Pn(x), x en [xo, xn]
• Extrapolación : f(x)Pn(x), x<x0 o x>xn
• Diferenciación : f’(x) P’n(x)
• Integración :
b
a
b
an dxxPdxxf )()(
Cálculo de Polinomio Interpolante
nnn
n
n
n
n
nn
nn
nn
ini
nn
nnn
n
y
y
y
y
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
xxx
eVandermondde
LinealesEcuacionesdeSistema
niparaxPxf
axaxaxaxaxP
2
1
0
2
1
0
1
2
1
22
1
1
11
0
1
00
1
2
2
1
10
1
1
1
1
0
Este procedimiento en la practica no es muy usual debido a que la matriz de Vandermonde es mal condicionada.
Propiedades de Aproximación1) Siempre que se acepte aproximar la función f(x)
mediante un polinomio de grado n: Pn(x) que pase por (n+1) puntos coincidentes, se puede construir un polinomio que es único (propiedad de existencia y unicidad).
2) El error de aproximación viene dado por:
3) Cota superior de error (M):
],[;,lg
))...()(()!1(
)()()(
00
10
)1(
nn
n
n
nn
xxxxxúnaPara
xxxxxxn
fxPxfE
],[)(:
)())(()!1(
)()()(
0
)1(
10
n
n
nnn
xxxparaxfmáxMDonde
xxxxxxn
MxPxfxE
INTERPOLACIÓN NUMÉRICA
• Consiste en estimar el valor de la función f(x) para cualquier argumento x, conociendo la función de manera explícita o mediante un conjunto de valores tabulados (xi, f(xi)).
Herramientas de Interpolación• A continuación definiremos algunas herramientas
que nos permitirán más adelante construir un polinomio de interpolación:– Diferencias Finitas– Diferencias Divididas
Diferencia Finita hacia adelante o progresiva
• Diferencia finita de primer orden:
• Diferencia finita de segundo orden:
• Diferencia Finita de orden n:
kkk fff 1
kkk fff 1
2
k
n
k
n
k
n fff 1
1
1
Diferencia finita hacia atrás o regresiva:
Diferencia Finita Central:
1
11
k
n
k
n
k
n fff
2/1
1
2/1
1
k
n
k
n
k
n fff
Diferencias Divididas
Se define para puntos o argumentos
desigualmente espaciados:
• Diferencia dividida de Primer orden:
• Diferencia dividida de segundo orden:
• Diferencia dividida de orden “n”:
ii
iiii
xx
xfxfxxf
1
11
)()(],[
ii
iiiiiii
xx
xxfxxfxxxf
2
12121
],[],[],,[
ini
niiniininiii
xx
xxfxxfxxxxf
],...,[],...,[],,...,,[ 11
11
Polinomio de interpolación de Newton basado en diferencias Divididas
• Sea la función f(x) tabulada para (n+1) puntos, siempre es posible construir un polinomio de grado “n” (o menor) que pase por dichos puntos y se le puede dar la forma:
• Se trata ahora de determinar los coeficientes ak.Si x=x0, Pn(x0)=a0f(x0)Si x=x1, Pn(x1)=f(x0)+a1(x1-x0)f(x1)a1=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)=f[x0,x1]
• Es estudiante puede demostrar que en general se cumple:
))...()((....))(()()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxPxf
kk xxxfa ,...,, 10
Por lo tanto:
Error de Interpolación
Se suele aproximar el error considerando x=xn+1,
es decir, se requiere un punto adicional.
n
i
i
j
ji
n
k
kkn
nnn
xxxxfxfxxxxxxfxfxP
xxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP
0
1
0
00
1
1000
11010102100100
)(]...[)())...(](...[)()(
))...()(](...[))(]([)]([)()(
n
i
inn
n
i
ni
n
n
n
n
xxxxxxfxe
xxxxn
fxxxxxx
n
fxe
0
10
0
0
)1(
10
)1(
)(]...[)(
],[)()!1(
)())...()((
)!1(
)()(
Ejemplo.- Obtener el polinomio interpolante
x 0 1 2 4 5
y 2 3 10 66 127
Estime y(2.5)
Tabla de diferencias divididas
x y y[ , ] y[ , , ] y[ , , ,] y[ , , , ,]
0
1
2
4
5
2
3
10
66
127
1
7
28
61
3
7
11
1
10
ºº
º
º
º
De la tabla anterior, obtenemos los coeficientes del polinomio interpolante:
321043210
2103210
102100100
,,,,
,,,
,,,
xxxxxxxxxxxxxy
xxxxxxxxxxy
xxxxxxxyxxxxyyxP
2
421002101
104012
3
xxP
xxxxxxx
xxxxP
625.175.2
25.25.25.2 3
y
Py
Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas
• Se debe hallar una relación entre las diferencias finitas y divididas; se deja como ejercicio la demostración que:
• Reemplazando en el polinomio basado en diferencias divididas se tiene:
k
k
khk
fxxxxf
!],....,,[ 0
210
))...((!
...))((!2
)(!1
)( 100
102
2
01
00
nn
n
n xxxxhn
fxxxx
h
fxx
h
ffxP
Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas
• Teniendo en cuenta que los intervalos se tomarán igualmente espaciados (h=cte) para x, y haciendo el cambio de variable, se demuestra que:
• Esta última forma se conoce como polinomio de interpolación de Newton Progresivo con cambio de escala.
• Queda para el estudiante como ejercicio la deducción de la fórmula de error para el polinomio anterior.
i
sfsPf
n
nsssf
ssfsfsP
i
sfsP
fn
nsssf
ssfsfsP
h
xxs
n
i
i
n
n
n
n
i
i
n
n
n
0
0
00
2
000
0
00
2
00
0
)(!
)1)...(1(...
!2
)1()()(
!
)1)...(1(...
!2
)1()(
Ejemploa) Aproximar la siguiente data usando un
polinomio basado en diferencias finitas:
X 2 3 4
Y 0 -1 0
b) Estime Y(2.5):
c) Calcule el error cometido, si esta data se
obtuvo de la función Y=sen(pi*X/2)
Solución
Tabla de diferencias finitas:X Y ΔY Δ2Y
2
3
4
0
-1
0
-1
12
sssP
ssssP
Yss
YsYsP
2
2!2
110
!2
1
2
0
2
00
0429.0
7071.02
5.25.2
75.05.025.05.0
5.01
25.2
1
2
5.2
2
0
Error
seny
sP
s
X
h
XXs
X
Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Regresivas
Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Centrales
Polinomio de Stirling
Queda para el estudiante demostrar que el polinomio anterior puede
representarse en la forma siguiente:
h
xxsquecuentaenTeniendo
fn
nssssf
sssf
ssfsfsP
n
n
n
nnnnn
:
!
)1(...)2)(1(...
!3
)2)(1(
!2
)1()( 32
...
2!5
)2)(1(
!4
)1(
2!3
)1(
!22!1)(
2/1
5
2/1
522222
0
4222
2/1
3
2/1
322
0
22
2/12/102
ffsssf
ss
ffssf
sffsfsP m
h
xxs
i
is
i
isfsP
n
ns
n
nsssssfsP
in
i
i
n
nn
n
02
0
1
12
2/102
2
0
12
2/1
4
0
3
2/1
2
02/102
2
1
12
1)(
2
1
12
1...
4
1
3
1
21)(
Polinomios de interpolación de Lagrange
Para intervalos iguales o no.
para algún:
))...()(()!1(
)()()(
)(
)()(...)()()()()()()(
10
)1(
0
0
1100
n
n
nn
n
ijj ji
j
i
n
i
nniin
xxxxxxn
fxPxfE
xx
xxxL
xfxLxfxLxfxLxfxLxP
],[;, 00 nn xxxxx
Ejemplo
X Y
0 -2
2 2
5 6
Obtener el Polinomio de Lagrange de la siguiente data:
215
34
15
2
62505
202
5202
502
5020
52
2
2
2
1202
101
2101
200
2010
212
xxxP
xxxxxx
xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxP
AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS
Dado un conjunto de pares ordenados (xi, yi), se
busca una función de aproximación g, tal que:
g(xi) se aproxime a yi para i=1, 2, ..., n
• De un modo general, una función aproximante dependerá de varias constantes , es decir:
• Para i=1, 2, ...., n, definimos las desviaciones como:
• La función aproximada deberá ser escogida de forma que tales desviaciones sean pequeñas en valor absoluto.
• Esta función puede ser elegida como una combinación lineal de otras:
• Por ejemplo, la aproximación mediante una recta será:
),...,,,()( 21 kcccxFxg
kiii cccxFyd ,...,,, 21
kkk ccccxF .....),...,,( 111
2121 ),,( cxcccxF
• El método de los mínimos cuadrados consiste en obtener una función de aproximación, que busca:
• Se busca entonces, minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones:
n
i
idMinimizar1
2
n
i
ikkii
n
i
ik xcxcydcce1
2
11
1
2
1 ...),...,(
por lo tanto:
Aproximación de una recta por mínimo
cuadrados:
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
ii
n
i
ii
ycxc
yxxcxc
cxcxg
1 11
21
1 11
2
2
1
21
1
)(
kjc
e
e
j
,...,1,0
0
Forma Matricial del ajuste o regresión por mínimos cuadrados
Sistema sobre-determinado para ajuste de una
recta
Escribiendo la ecuación c1x + c2 = y para todos
los puntos conocidos (xi , yi), i =1,..,n obtenemos
un sistema sobre-determinado:
nn y
y
y
c
c
x
x
x
2
1
2
12
1
1
1
1
Forma Matricial del ajuste o regresión por mínimos cuadrados
O:
Donde:
ycA
nn y
y
y
y
x
x
x
A2
1
2
1
1
1
1
Ecuación normal para el ajuste
El cuadrado de la norma 2 de r = y – Ac es:
La minimización de requiere que:
La minimización de requiere que:
A esta ecuación se le denomina ECUACION NORMAL.
Factor de regresión:
n
y
y
dataladey
ajustedefuncionladey
yy
yy
R
n
i
i
m
i
i
n
i
mi
n
i
mi
1
1
2
1
2
2
ˆ
ˆ
Factor de regresión:
• El factor de regresión mide la eficiencia del ajuste,
• Cuando R2 =1 la función de ajuste coincide con la data.
• Cuando R2 es cercano a 1 el ajuste se considera aceptable.
• Cuando R2 es cercano a 0 el ajuste se considera pésimo o deficiente
10 2 R
Reducción a problemas de mínimos cuadrados
• Las funciones:
• Se puede linealizar:
bx
b
aey
axy
xbay
xbay
)log()log(
)log()log()log(
EjemploAjustar los siguientes datos a una recta:
X 0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9
Y 0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03
Se ajustará a la recta: y=c1 x + c2
se plantea el siguiente sistema M*C=Y
03.2
47.1
52.1
99.0
92.0
61.0
19.0
17.0
17.0
15.0
14.0
11.0
2
1
c
c
Planteando la ecuación normal: MT*M*C=MT*Y
03.2
47.1
52.1
99.0
92.0
61.0
111111
9.07.07.05.04.01.0
19.0
17.0
17.0
15.0
14.0
11.0
111111
9.07.07.05.04.01.0
2
1
c
c
93.0
2862.07646.1
2862.0
7646.1
54.7
844.4
63.3
3.321.2
2
2
1
2
1
R
xy
c
c
c
c
EjemploAjustar los siguientes datos a la función y=axb
x 1 1.2 1.6 2
y 1 1.3 1.4 1.7
Ln(y)=Ln(a)+b*Ln(x)
Y=A+BX
A=0.0514
B=b=0.6874
a=1.0525
y=1.0525x0.6874
Interpolación segmentaria o SplinesUn Spline o trazador es una función que
consiste en trozos de polinomios unidos con
ciertas condiciones de continuidad.
Dados los nodos xo<x1<…<xn, un spline de grado
k con esos nodos es una función S tal que:
•En cada sub-intervalo [ti-1,ti] S es un polinomio
de grado k
•La (k-1)-iésima derivada de S es continua en
[xo, xn]
Spline Lineal
1,,2,1,0,,,)( 1 nixxxparabxmxs iiiii
Las condiciones, y producen 2necuaciones para encontrar 2n incógnitas. Aplicando esto, conseguimos:
iii yxs )( 11 )( iii yxs
1
1
1
1
1
1
1 ,),()(
iii
ii
ii
i
ii
i
i
ii
i
ii xxxxxxx
yyy
xx
xxy
xx
xxyxs
cuyo resultados son líneas rectas que ensamblan puntos vecinos.Claramente se observa que, es la formula de interpolación deLagrange para un conjunto de datos que consiste de los siguientes puntos:
y
)(xsi
),( ii yx ),( 11 ii yx
Ejemplo Encontrar los Splines lineales para el siguiente conjunto de datos:
Splines Lineales:
i 0 1 2 3 4
x 0 5 7 8 10
y 0 2 -1 -2 20
]5,0[,5
2
05
02
50
50)(0
xx
xxxs
]7,5[,5.95.157
51
75
72)(1
xx
xxxs
]8,7[,678
72
87
81)(2
xx
xxxs
]10,8[,9011810
820
108
102)(3
xx
xxxs
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