5.4 metodo fibonacci

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MERIDA

DEPTO DE QUIMICA-BIOQUIMICADISEÑO DE PROCESOS 1

«5.4 METODO FIBONACCI»EJEMPLO 5.2 APLICACIÓN DEL METODO DE

FIBONACCI

PROFESOR(A): DR. MARTHA HELENA AYORA CAMARAALUMNO: AGUILAR BENITES JULIAN ROBERTO

EJEMPLO 5.2 APLICACIÓN DEL METODO DE FIBONACCI

PROBLEMAMinimizar la función f(x)=(x-4)2

haciendo una búsqueda en el intervalo [0,9]. Usar 2 iteraciones.

SOLUCIONPara n-2 iteraciones se requiere de n-4

evaluaciones de función. Sabemos que τn-2 = τ2 = 1/2, a partir de lo cual se construye la secuencia valores de τi que se van a usar en cada iteración i:

Comencemos colocando los primeros puntos.

SOLUCIONIteración 0. Colocación de los puntos iniciales

La evaluación de la función en estos puntos resulta en

SOLUCIONSuponiendo que la

función es unimodal, rechazamos la región comprendida al lado derecho del punto r0, como se muestra esquemáticamente en seguida:

SOLUCIONIteración 1

El intervalo reducido y el valor de τ a usarse en esta iteración son:

El punto que quedo sin eliminar en la iteración anterior, que era punto izquierdo, se transforma en el punto derecho para esta iteración:

SOLUCIONEl nuevo punto izquierdo es

Y la función en este punto es,

SOLUCIONEl siguiente esquema muestra el resultado

para esta iteración:

SOLUCIONIteración 2

Esta es la ultima iteración que se ha fijado, en la cual el intervalo remanente es

con

SOLUCIONComo se trata de la ultima iteración, el nuevo

punto de colocación r2 debe coincidir con el punto l2 + ε, donde ε es un numero suficiente pequeño. Tomando ε=0.001,

Debido a que la función disminuye hacia el lado derecho del punto final y tenemos un problema de minimización, entonces se rechaza la región del lado izquierdo de ese punto.

SOLUCIONLa aplicación del método

de Fibonacci con 2 iteraciones termina con una aproximación del optimo x* = 3.6. Se detecta que el optimo esta comprendido entre 3.6 y 5.4 . La solución exacta implica x*=4. como ejercicio, repetir el problema considerando 4 iteraciones.