3.3 (parte ii) - wordpress.com · ahora estamos buscando dos números cuyo producto es 110, y...

División de números

cardinales

3.3 (parte II)

División de Números Cardinales

Modelo de repartición – el conjunto de

elementos representado por el dividendo se

reparte en un número de subconjuntos igual al

divisor.

División de Números Cardinales

Modelo de repartición

Suponer que tenemos 18 galletas y que queremos

dar una cantidad equivalente de galletas a tres de

nuestros amigos : Pablo, David, y Carlos.

¿Cuántas galletas recibirá cada uno?

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

División de Números Cardinales

Model del factor desconocido – el modelo

dice que a divido por b es un número único, c,

si y solo si b • c = a.

Ejemplo:

Para llenar el blanco en el ejercicio

35 ÷ 7 = ,

pensamos: "siete por cinco es treinta y cinco,

por lo tanto, treinta y cinco dividido por siete es

cinco".

División de Números Cardinales

Model de la resta repetida – el divisor se resta

repetidamente del dividendo hasta que sólo

quede un residuo que es menor que el divisor

División de Números Cardinales

Model de la resta repetida

Suponer que tenemos 24 galletas y los queremos

en cajas de 8 galletas. ¿Cuántas cajas

necesitamos?

• Si se llena una caja, entonces nos quedarían 24 − 8

= 16 galletas.

• Si se llena una segunda caja, entonces nos quedarían

16 − 8 = 8 galletas.

• Si se llena una tercera caja, entonces ya no nos

quedarían más galletas ya que 8 − 8 = 0

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

Por lo tanto: 24 ÷ 8 = 3

Definición

Division of cardinales

Para dos números cardinales a y b, con b ≠ 0,

a ÷ b = c, si y solo si, c es el número cardinal

único tal que b · c = a.

a es el dividendo, b es el divisor, y

c es el cociente.

a ÷ b también se puede escribir

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

Division Algorithm

Dado cualesquiera dos números cardinales a y b

con b ≠ 0, existen cardinales q (cociente) y r

(residuo) tales que

Cuando a se divide por b y el residuo es 0,

decimos que

• a es divisible por b

• b es un divisor de a

• b divide a a.

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

con

Ejemplo

Si123 se divide por un número y el residuo es 13,

¿cuáles son los posibles divisores?

Si 123 se divide por b, entonces del algoritmo de

división tenemos que

123 = bq + 13 y b > 13.

De la definición de resta tenemos que

Solución

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

bq = 123 − 13,

por lo tanto bq = 110

Ejemplo (continuación)

Ahora estamos buscando dos números cuyo

producto es 110, y dónde un número es mayor que

13. 1 110

2 55

5 22

10 11

Vemos que los únicos posibles valores para b son

110, 55, y 22 ya que deben ser mayores que 13.

La tabla muestra los pares

de números cardinales

cuyo producto es 110.

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

Operaciones inversas: Multiplicación y

División

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

División por 0 y 1

Sea n cualquier cardinal diferente de cero.

Entonces,

n ÷ 0 NO está definido.

0 ÷ n = 0.

0 ÷ 0 NO está definido.

Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

En una expresión sin paréntesis el orden es:

1. Multiplicaciones y divisiones.

– Si están consecutivas se resuelven de

izquierda a derecha.

2. Sumas y restas.

– Si están consecutivas se resuelven de

izquierda a derecha.

Orden de las Operaciones

Ejemplos

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 17 2×3 + 2

b. 4 ×10 – 8 ÷ 2

c. 16 ÷ 2 × 3÷ 8

= 13

= 36

= 3

Orden de operaciones:

Potencias

Utilizamos la notación exponencial con exponentes

naturales para representar multiplicaciones

repetidas.

Por ejemplo, la multiplicación

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

se puede representar 56, donde

• 5 se conoce como la base

• 6 se conoce como el exponente.

Notación exponencial

En general, para cualquier número real a y

cualquier natural n,

a1 = a

a2 = a·a

a3 = a·a·a

an =

En este caso decimos que an es la n-sima potencia de a o a

elevada a la n.

veces

...

n

aaaaaa a

Práctica

Evalúe.

a) 81

b) 62

c) 43

d) 25

= 8

= 4· 4· 4 = 64

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

= 6 · 6 = –81

Orden de operaciones

En una expresión sin paréntesis y con potencias,

el orden es:

1. Si hay potencias, se evalúan primero.

2. Multiplicaciones y divisiones.

• Si están consecutivas se resuelven de izquierda

a derecha.

3. Sumas y restas.

• Si están consecutivas se resuelven de izquierda

a derecha.

1ero Se evalúa la potencia

2ndo Multiplicación

3ero Suma

Ejemplo

Simplifique la expresión 2 + 5 (3)2 .

= 2 + 5 (9)

= 2 + 45

= 47

1ero Potencia

2ndo Multiplicación

3ero Resta

Ejemplo

Simplifique la expresión 2(6) 4(2)3 .

2(6) 4(2)3

= 2(6) 4(8)

= 12 ( 32)

= 12 + 32

= 20

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones:

a) 5 – 3 + 2 – 4

b) 43 – 6(8)

c) 8×20 5×33

= 2 + 2 – 4 = 0

= 64 – 6(8) = 64 – 48 = 16

= 8×20 5×27 = 160 135 = 25

= 4 – 4

Orden de operaciones:

Símbolos de agrupamiento

Si la expresión tiene símbolos de agrupación, por

ejemplo:

( ), { }, [ ], | |

se simplifica primero la expresión

agrupada siguiendo el orden de las

operaciones.

Ejemplos

Simplifique la expresión numérica.

a) 2 – (5 – 3)

b) 4(3 – 1) – 5

c) 5 × (8 – 2) – 23

= 3

= 22

= 2 – 2 = 0

= 4( 2 ) – 5 = 8 – 5

= 5 × 6 - 8 = 30 - 8

Orden de operaciones

Si los símbolos de agrupación están anidados (uno dentro de otro), se simplifica primero el que está adentro.

Ejemplo:

5 – [ 8 – (7 – 3)]

= 5 – (8 – 4)

= 5 – 4

= 1

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 6[4 + 5×2]

b. 3[14 – (8 + 2)] +102

c. 2 [10–3×2] – 3(9 5) + 12

= 6 (4 +10) = 6 (14) = 84

= 3(14 –10) +100

= 8

= 112

= 2(10 – 6) – 3(4) + 12

= 2(4) – 12 +12

= 3(4) +100