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División de números

cardinales

3.3 (parte II)

División de Números Cardinales

Modelo de repartición – el conjunto de

elementos representado por el dividendo se

reparte en un número de subconjuntos igual al

divisor.


Modelo de repartición

Suponer que tenemos 18 galletas y que queremos

dar una cantidad equivalente de galletas a tres de

nuestros amigos : Pablo, David, y Carlos.

¿Cuántas galletas recibirá cada uno?

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Model del factor desconocido – el modelo

dice que a divido por b es un número único, c,

si y solo si b • c = a.

Ejemplo:

Para llenar el blanco en el ejercicio

35 ÷ 7 = ,

pensamos: "siete por cinco es treinta y cinco,

por lo tanto, treinta y cinco dividido por siete es

cinco".


Model de la resta repetida – el divisor se resta

repetidamente del dividendo hasta que sólo

quede un residuo que es menor que el divisor


Model de la resta repetida

Suponer que tenemos 24 galletas y los queremos

en cajas de 8 galletas. ¿Cuántas cajas

necesitamos?

• Si se llena una caja, entonces nos quedarían 24 − 8

= 16 galletas.

• Si se llena una segunda caja, entonces nos quedarían

16 − 8 = 8 galletas.

• Si se llena una tercera caja, entonces ya no nos

quedarían más galletas ya que 8 − 8 = 0


Por lo tanto: 24 ÷ 8 = 3

Definición

Division of cardinales

Para dos números cardinales a y b, con b ≠ 0,

a ÷ b = c, si y solo si, c es el número cardinal

único tal que b · c = a.

a es el dividendo, b es el divisor, y

c es el cociente.

a ÷ b también se puede escribir


Division Algorithm

Dado cualesquiera dos números cardinales a y b

con b ≠ 0, existen cardinales q (cociente) y r

(residuo) tales que

Cuando a se divide por b y el residuo es 0,

decimos que

• a es divisible por b

• b es un divisor de a

• b divide a a.


con

Ejemplo

Si123 se divide por un número y el residuo es 13,

¿cuáles son los posibles divisores?

Si 123 se divide por b, entonces del algoritmo de

división tenemos que

123 = bq + 13 y b > 13.

De la definición de resta tenemos que

Solución


bq = 123 − 13,

por lo tanto bq = 110

Ejemplo (continuación)

Ahora estamos buscando dos números cuyo

producto es 110, y dónde un número es mayor que

13. 1 110

2 55

5 22

10 11

Vemos que los únicos posibles valores para b son

110, 55, y 22 ya que deben ser mayores que 13.

La tabla muestra los pares

de números cardinales

cuyo producto es 110.


Operaciones inversas: Multiplicación y

División


División por 0 y 1

Sea n cualquier cardinal diferente de cero.

Entonces,

n ÷ 0 NO está definido.

0 ÷ n = 0.

0 ÷ 0 NO está definido.


En una expresión sin paréntesis el orden es:

1. Multiplicaciones y divisiones.

– Si están consecutivas se resuelven de

izquierda a derecha.

2. Sumas y restas.

– Si están consecutivas se resuelven de

izquierda a derecha.

Orden de las Operaciones

Ejemplos

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 17 2×3 + 2

b. 4 ×10 – 8 ÷ 2

c. 16 ÷ 2 × 3÷ 8

= 13

= 36

= 3

Orden de operaciones:

Potencias

Utilizamos la notación exponencial con exponentes

naturales para representar multiplicaciones

repetidas.

Por ejemplo, la multiplicación

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

se puede representar 56, donde

• 5 se conoce como la base

• 6 se conoce como el exponente.

Notación exponencial

En general, para cualquier número real a y

cualquier natural n,

a1 = a

a2 = a·a

a3 = a·a·a

an =

En este caso decimos que an es la n-sima potencia de a o a

elevada a la n.

veces

...

n

aaaaaa a

Práctica

Evalúe.

a) 81

b) 62

c) 43

d) 25

= 8

= 4· 4· 4 = 64

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

= 6 · 6 = –81

Orden de operaciones

En una expresión sin paréntesis y con potencias,

el orden es:

1. Si hay potencias, se evalúan primero.

2. Multiplicaciones y divisiones.

• Si están consecutivas se resuelven de izquierda

a derecha.

3. Sumas y restas.

• Si están consecutivas se resuelven de izquierda

a derecha.

1ero Se evalúa la potencia

2ndo Multiplicación

3ero Suma

Ejemplo

Simplifique la expresión 2 + 5 (3)2 .

= 2 + 5 (9)

= 2 + 45

= 47

1ero Potencia

2ndo Multiplicación

3ero Resta

Ejemplo

Simplifique la expresión 2(6) 4(2)3 .

2(6) 4(2)3

= 2(6) 4(8)

= 12 ( 32)

= 12 + 32

= 20

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones:

a) 5 – 3 + 2 – 4

b) 43 – 6(8)

c) 8×20 5×33

= 2 + 2 – 4 = 0

= 64 – 6(8) = 64 – 48 = 16

= 8×20 5×27 = 160 135 = 25

= 4 – 4

Orden de operaciones:

Símbolos de agrupamiento

Si la expresión tiene símbolos de agrupación, por

ejemplo:

( ), { }, [ ], | |

se simplifica primero la expresión

agrupada siguiendo el orden de las

operaciones.

Ejemplos

Simplifique la expresión numérica.

a) 2 – (5 – 3)

b) 4(3 – 1) – 5

c) 5 × (8 – 2) – 23

= 3

= 22

= 2 – 2 = 0

= 4( 2 ) – 5 = 8 – 5

= 5 × 6 - 8 = 30 - 8

Orden de operaciones

Si los símbolos de agrupación están anidados (uno dentro de otro), se simplifica primero el que está adentro.

Ejemplo:

5 – [ 8 – (7 – 3)]

= 5 – (8 – 4)

= 5 – 4

= 1

Ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones numéricas.

a. 6[4 + 5×2]

b. 3[14 – (8 + 2)] +102

c. 2 [10–3×2] – 3(9 5) + 12

= 6 (4 +10) = 6 (14) = 84

= 3(14 –10) +100

= 8

= 112

= 2(10 – 6) – 3(4) + 12

= 2(4) – 12 +12

= 3(4) +100

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