25829111 apuntes regulacion y control cos
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TECNOLOGA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL
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SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL AUTOMTICOS
1.- Introduccin
Lossistemas de controlseaplicanennumerosos campos de la tecnologa y de la ciencia. Se
pueden citarejemplostales comolospilotosautomticosen barcosoaviones,el controlteledirigido de
navesespaciales, controles deposicin y velocidad enmquinas herramientas, control derobots, controldeprocesosindustriales,suspensinactiva delosautomviles, controles diversosenelectrodomsticos,
etc., en los que los sistemas de control desempean un importante papel. La lista de aplicaciones
pudiera resultar interminable ya que, debido al progresivo abaratamiento y miniaturizacin los
componenteselectrnicos, hasidoenormesuproliferacin y desarrollo.
Un sistema automtico de control es un conjunto de componentes fsicos conectados o
relacionados entre s, de manera que regulen o dirijan su actuacin por s mismos, es decir sin
intervencin deagentesexteriores (incluidoelfactor humano), corrigiendoadems losposibleserrores
quesepresentenensufuncionamiento.
La Automticao Control (automtico) de Sistemas trata deregular, con lamnima intervencin
humana,el comportamiento dinmico deunsistemamedianterdenes demando.
Los sistemas de control seempezaron a utilizar cuando surgi lanecesidad de controlar las
mquinas deuna formaprecisa. Uno de losprimeros sistemas de control fueel regulador centrfugo,
tambinllamado mquina de bolas.
Elreguladorconsisteenunparalelogramoarticulado deformable,quegira dependiente delgiro
delosejes delasruedas.Lasesferas colocadasenlosextremos delos brazosseelevanporaccin de
lafuerza centrfuga desplazandoelvrticeinferior ensentidoverticalporelmismoeje degiroenfuncin
delavelocidad. Estemovimiento desubida setransmiteaunavlvulaqueregulalaentrada devaporal
motor.
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En las aplicaciones industriales es donde ms desarrollo tiene la regulacin automtica, un
ejemploesel control de centraleselctricaso cualquierproceso industrial donde intervenganvariables
comotemperatura, caudal,etc. Controlarelsistemaproductivo hasupuesto:
y Aumentarlas cantidades, y calidad delproductofabricado.
y Reducircostes deproduccin
y Mejorarlossistemas deseguridad y control delproceso.
En los hogares, desde laautomatizacin de loselectrodomsticos hasta la implantacin de la
domtica. Enlosavances cientficos, lossistemasautomticosenlasmisionesespaciales, cuyo control
seextiendetantoal control devuelo comoal delarbita.
En losavancestecnolgicos,el campoesmuy amplio y seaplicana lavida diariaensistemas
como elsistemaantibloqueo defrenada (ABS),el control deltrfico detrenes,el control derobots,etc
2.- Conceptos
Un sistema de control se puede construir con diferentes tecnologas, mecnica, elctrica,
neumtica. A da de hoy,pararealizarel control desistemasseutilizaprincipalmenteelectrnica,o bienatravs dela construccin de circuitoso bienatravs deelementoselectrnicosprogramables.
Independientemente del tipo de tecnologa empleada en todo sistema de control podemos
identificarlossiguienteselementos.
SISTEMA DE CONTROL: Conjunto o combinacin de componentes que actanjuntos para
realizarel control.Lossistemas de controltrabajan,fundamentalmente, conlainformacinfacilitadapor
lossensores y,trassuprocesado,esutilizadapara controlarlosactuadores.
VARIABLES DEL SISTEMA O SEALES:son lasmagnitudesque se sometena vigilancia y
control y que definen el comportamiento del sistema. Representan una determinada magnitud fsica
(velocidad, caudal,intensidad,presin,temperaturaetc..)
ENTRADA O SEAL DE MANDO: Es lasealqueseaplicaaunsistema de control,mediante
distintosprocedimientos, conelfin deprovocarunarespuesta.
Para introducir una entrada al sistema se puede utilizar un mando o selector de entrada,
elementoquepermitefijarelvalordeseado deunavariable deentrada,sepuedeintroduciratravs de
un componentetansimple comounpotencimetroomssofisticado comounordenador.
SALIDA: Es la respuestaqueproporcionaelsistema de control,ejemplos, temperatura deuna
habitacin,posicin deuneje,etc.
SENSORES: elementoque captaunamagnitud delsistemaparasuprocesamiento,ejemplos,
sensordetemperatura, depresin, deluz,etc.
ACTUADORES: elementos que a travs de su funcionamiento modifican las variables del
sistema,ejemplos,motores, cilindrosneumticos,vlvulaspara control delquidos,resistencias,etc.
PERTURBACIN: Son las seales no deseadas que influyen de forma adversa en el
funcionamiento delsistema. Ejemplosi controlamos la temperatura deuna habitacin, los cambios de
temperaturaenelexteriorseranlasperturbaciones.
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UNIDAD DE CONTROL: Eslaparteencargada degobernarelsistema controladoparaproducir
lasalida deseadasin laaccin deloperador. Ejemplo,unsistemamuy simple de unidad de controllo
constituyeeltermostatoquetenemosennuestra casa y que controlaelfuncionamiento de la caldera
segnla entradaseleccionada y latemperaturamedidaporelaparato.
PLANTA o PROCESO: Puedeserunaparte deunequipooun conjunto deelementos deuna
mquinaquefuncionanjuntos, y cuyoobjetivoesrealizarunaoperacinparticular. Ejemplo,enel caso
del control de temperatura de una habitacin, la planta sera la misma habitacin con todos los
elementosque hay dentro.
Nosotros llamaremos planta a cualquier objeto fsico que se va a controlar (motor, horno,
caldera,..)
REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. DIAGRAMA DE BLOQUES
Lossistemas de controlsesuelenrepresentarcon diagramas de bloques,en losqueseofrece
unaexpresinvisualsimplificada delasrelacionesentrelaentrada y salida deunsistemafsico.
El diagrama de bloquesmassencilloesel Bloquesimpleque consta deunasolaentrada y una
solasalida:
La interaccinentre los bloquesse representapormedio de flechasque indicanelsentido del
flujo delainformacin.
3.- Tipos de sistemas de control
Lossistemas de controlpuedenser:
SISTEMAS DE LAZO (O BUCLE) ABIERTO. Sonaquellosen losque laaccin de controles
independiente delasalida.
SISTEMAS DE LAZO (O BUCLE) CERRADO. Enellos,laaccin de control depende delasalida
obtenida delsistema.
3.1.- Sistemas de control en lazo abierto
Son lossistemasen los cuales lasalidanoafecta laaccin de control. Enunsistemaen lazo
abiertonosemidelasalidaniserealimentapara compararla conlaentrada.
En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de
referencia. Por tanto a cada entrada de referencia le corresponde una condicin operativa fija; como
resultado, laprecisin delsistema depende de la calibracin. Ante lapresencia deperturbaciones,un
sistema de controlen lazoabiertonorealiza latarea deseada. En laprctica,el controlenlazoabierto
sloseutilizasise conocelarelacinentrelaentrada y lasalida y sino hay perturbacionesinternasni
externas. Esevidentequeestossistemasnoson de controlrealimentado.
ELEMENTOS BSICOS
SalidaEntrada
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1. Elemento de controlocontrolador: Esteelemento determinaquaccinsevaatomardada
unaentradaalsistema de control.
2. Elemento de correccin,actuadoroaccionador: Esteelemento respondea laentradaque
viene delelemento de controleinicialaaccinparaproducirel cambioenlavariable controladaalvalor
requerido.
3. Proceso: Elprocesooplantaeselsistemaenelquesevaa controlarlavariable.
3.2.- Sistemas de control en lazo cerrado. Sistemas realimentados
En la prctica, los trminos control realimentado y control en lazo cerrado se usan
indistintamente.
Enunsistema de controlen lazo cerrado,sealimentaal controlador con laseal deerror de
actuacin,queesla diferenciaentrelaseal deentrada y lasalida derealimentacin (quepuedeserla
seal desalidamismaounafuncin delaseal desalida y sus derivadas y/ointegrales)afin dereducir
elerrory llevarlasalida delsistemaaunvalorconveniente. Eltrmino controlenlazo cerradosiempre
implicaeluso deunaaccin de controlrealimentandoparareducirelerrordelsistema.
A larealimentacintambinsele denomina,retroalimentacinofeedback.
ELEMENTOS BSICOS
Entrelasvariables de Entrada y Salidatenemos distintoselementos. Normalmentelasvariables
deentradaosalida deben deadaptarseparasu comparacinatravs deuntransductor.
Un transductores un dispositivo capaz de transformar o convertir un determinado tipo de energa de entrada, en otra de
diferente a la salida. Es un dispositivo usado principalmente en la industria, en la medicina, en la agricultura, en robtica, en
aeronutica, etc. para obtener la informacin de entornos fsicos y qumicos y conseguir (a partir de esta informacin) seales o
impulsos elctricos o viceversa.
1. Elemento de comparacin, comparador: Este elemento compara el valor requerido o de
referencia delavariableporcontrolarconelvalormedido deloqueseobtienealasalida, y produceunaseal de errorla cualindicala diferencia delvalorobtenidoalasalida y elvalorrequerido.
2. Elemento de controlocontroladoro regulador: Este elemento decidequaccin tomar
cuandoserecibeunaseal deerror.Laseal deerrorserla diferenciaentrelaseal de entrada y la
seal de salida. Ambasseales han deserdelamismanaturalezaparalo cuallavariable de salidase
hacepasarporunelemento demedicinocaptador.
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3. Elemento de correccin,actuadoroaccionador: Esteelementoseutilizaparaproducirun
cambioenelprocesoaleliminarelerror.
4. Elprocesooplanta,eselsistema dondesevaa controlarlavariable.
5. Elemento de medicin o captador: Este elemento produce una seal relacionada con la
condicin delavariable controlada, y proporcionalaseal derealimentacinalelemento de comparacin
para determinarsi hay onoerror. A los captadorestambinseles denominasensores, y si conviertenuna magnitud fsica, temperatura, luz, etc, en otro tipo de seal, electrnica, se les considera
transductores.
Sistemas de control en lazo cerrado contra los sistemas de control en lazo abierto:
Las ventajas de tener una trayectoria de realimentacin y, por lo tanto, un sistema en lazo
cerradoenlugardeunsistemaenlazoabiertoson:
1. Msexactoenlaigualacin delosvaloresreal y requeridoparalavariable.
2. Menossensiblealasperturbaciones.
3. Menossensiblea cambiosenlas caractersticas delos componentes.
Pero hay algunas desventajas:
1. Existe posibilidad deinestabilidad.
2. Elsistemaesms complejo,ms caro y mspropensoaaveras.
Ejemplode unsistemade Control en lazoabierto
CONTROL DE CAUDAL MEDIANTE UNA VLVULA
1. ELoperadoractasobrelaseal demando (a). El caudal deseado.
2. Untransductorseencarga detransformarlamagnitud deentradaenunaseal desalidams
aptaparasumanipulacin denominada seal dereferencia .
3.Laseal dereferenciaseamplifica,setrata y seaplicaalactuador, lavlvula
4. La vlvula regula el caudal del fluido; nuestro proceso o planta Los elementos c, d, e y f
constituyenlaunidad de controloregulacin
Proceso
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1.Posicin delmando delselector= Entrada 2.Potencimetro = Transductor3.Elementos c, d,e= Regulador 4.Vlvula = Actuador 5. Caudalfluido = Plantao Proceso
Ejemplo de un sistema de Control en lazo cerrado
Sialsistemaanteriorle dotamos derealimentacin conseguimos unaregulacin del caudalms
precisa.
Completael diagrama de bloques delsistema.
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Completa los bloques de un sistema de regulacin en lazo cerrado con los posibles
nombres que podemos encontrar.
Representa mediante diagramas de bloques el control que se realiza en los siguientes
sistemas, identifica qu componentes realizan cada funcin:
y Sistema de regulacin de temperatura sin termostato.
y Sistema de regulacin de temperatura con termostato.
y Lavadora.
y Sistema de direccin conductor-coche.
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y Sistema de regulacin de temperatura del cuerpo.
y Sistema de aprendizaje profesor-alumnos.
Disea un sistema de control para que a la hora de cocinar con una olla a presin el sistema
redujera el nivel de la placa de forma automtica.
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4.- MODELIZACIN DE SISTEMAS
El primer paso para establecer el estudio de un sistema, es modelizarlo. Se pueden
desarrollardistintostipos demodelos:
Modelosfsicos (maqueta deunavin).
Modelosmatemticos, se utilizan las ecuaciones matemticas que describen el
funcionamiento delsistema.
La llamada teora de control clsica utilizamodelos matemticos para determinar el
comportamiento dinmico (en el tiempo) de un sistema. Mediante este recurso se puede analizar el
comportamiento desistemassimples,querespondana ecuaciones diferencialeslineales.
Qu esunsistema lineal?Sabemos que la ley de Ohm viene determinada por la expresin
V=I.R, si voltaje e intensidad son variables podemos expresar la ley como: v(t)=R.i(t). Hemos visto que
para un conductor el valor de resistencia es constante, tendramos un ejemplo de sistema lineal. Sin
embargo hay materiales como los semiconductores, en los que el valor de resistencia no es constante
sino que vara en funcin del voltaje, sera un ejemplo de sistema no lineal, para su estudio podemos
suponerlo lineal en un rango determinado.
Quesunadiferencial lineal?sistema de suspensin de un automvil
)()()(
)(
)()()()(
2
2
2
2
tkzdt
tdzb
dt
tzdmtf
dttzdm
dttdzbtkztf
maF
!
!
!
Sistemas lineales
Unsistema conunaentradax(t) y unasalida y(t),eslinealsientrelaentrada y susprimerasn
derivadas y lasalida y susmprimeras derivadasesposibleestablecerunarelacinfuncional detipo
ecuacinlineal diferencialinvariableeneltiempo.
La ecuacin es lineal si los coeficientes an ... a1 y bm ...b1 por los que semultiplican las
derivadas delasvariablessonvalores constantes.
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4.1.- TRANSFORMADA DE LAPLACE
Elmtodo de latransformada deLaplaceaportamuchasventajas cuandoseusapararesolver
ecuaciones diferencialeslineales,mediantesuusoesposible convertirfuncionestales comosenoidales,
exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s compleja. Las operaciones como la
integracin y la diferenciacinsesustituyenporoperacionesalgebraicasenelplano complejo.
Latransformada deLaplaceesunmtodo que transforma una ecuacin diferencial en unaecuacin algebraica ms fcil de resolver.
F(t):unafuncin deltiempottalquef(t) = 0 parat
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? A
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
!
!
!
!
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero)aigualinicialesscondicionendo(considera
trminocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando
)()()()(
4.2.- FUNCIN DE TRANSFERENCIA
Enla teora clsica de controlserepresentanloselementos deunsistemamediante bloques.
Un bloque comoelanteriorrepresentaque dadaunaentradar(t)el Elemento devuelve lasalida
c(t). Siendor(t) y c(t)funciones conlavariabletiempo.
Comose haexplicadoanteriormente, dadoque lossistemasse describenmedianteecuaciones
diferenciales y lasmismasse transformanmediante la transformada deLaplace,podemos describirel
bloqueanteriormediantelatransformada deLaplace delaentrada y lasalida:
Se define comofuncin de transferenciaa larelacinentre latransformada deLaplace de la
salidapartidoporlatransformada deLaplace delaentrada.
La funcin de transferencia ser:)(
)()(
sR
sCsG !
Pormedio delafuncin detransferenciasepuede conocer:
y Cmovaa comportarseelsistemaen cadasituacin,segnlaentradaqueseproduzca
enelsistemasabremos culsersurespuestaosalida.
y La estabilidad del mismo: es importante saber si la respuesta del sistema se va a
mantenersiempre dentro deunoslmites determinados.
y Quvaloressepuedenaplicara determinadosparmetros delsistema demaneraquesteseaestable.
Tomemoselejemplo delasuspensin deunvehculo:
Habamos visto que la descripcin fsica del sistema se realiza a travs de una ecuacin
diferencialquerelacionafuerzaf(t) con desplazamientoz(t).
Mediante el concepto de Transformada deLaplace transformamos laecuacin diferencialen
otra conlavariable complejas.
ElementoR(s) C(s)
kbsmssG
!
2
1)(
F(s) Z(s)
Elementor(t) c(t)
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Las caractersticas de la funcin de transferencia dependen nicamente de las propiedades
fsicas delos componentes delsistema,no delaseal deentradaaplicada.Lafuncin detransferencia
nospermiteestudiarel comportamiento deunsistemaa diferentesentradassinnecesidad de resolver
ecuaciones diferenciales.
Engeneralunafuncin detransferenciatendrlaforma
n
nn
m
mm
asasa
bsbsbsG
!
...
...
)(1
10
1
10
El denominadordelafuncin detransferencia,se conoce comofuncincaracterstica,pues
determina,atravs de losvalores desus coeficientes, las caractersticasfsicas de loselementosque
componenelsistema.
n
nn asasa
...
1
10
Estafuncinigualadaa cerose conoce comoecuacin caracterstica del sistema.Las races de la ecuacin caracterstica (o valores para los cuales sta se hace nula) se
denominanpolos delsistema.
0...1
10 !
n
nn asasa
A lasraces delnumeradorseles denominaceros.
Un sistema fsico es realizable si ai y bi son nmeros reales y mn u
(tieneigualomayornmero depolosque de ceros).
Ejemplo deregulacin delatemperatura deun horno.
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TECNOLOGA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL
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5.- OPERACIONES DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
Comenzamoseltemarepresentandoatravs de diagramas de bloqueselfuncionamiento deun
sistema. Cuandoseanalizaelfuncionamiento deunsistema de controlesnecesario conocerlafuncin
querealiza cada bloque delsistema,o cmomodificalavariable deentradaparaobtenerunasalida.
Comose havistoenelpuntoanterior, larelacinentresalida y entrada deunelementoviene
determinadaporsufuncin de transferencia. Enesteapartadoveremos cmorealizaroperaciones con
los diagramas de bloquesparareducirlosaotrosequivalentespero demsfcilmanejo.
5.1.- Bloques en serie
Lafuncin detransferencia deunsistema devarios bloquesenserieesigualalproducto delas
funciones detransferencia.
G(s)=G1(s).G2(s).G3(s)
5.2.- Bloques en paralelo
La funcin de transferencia den bloquesenparaleloes iguala la suma de las funciones de
transferencia.
G(s)=G1(s)+G2(s)+G3(s)
5.3.- Transposicin de sumadores y puntos de bifurcacin
R(s)
G2(s)
G3(s)
C(s)
G1(s)
+
+
+
X1(s)
G(s)[X1(s)+ X2(s)]
+
+
G(s)
X2(s)
G(s)X1(s)+ G(s)X2(s)+
+X2(s)
G(s)
G(s)
X1(s)
G1(s)R(s)
G2(s) G3(s)C(s)
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TECNOLOGA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL
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Transposicin depuntos de bifurcacin
5.4.- Sistema realimentado
Veamos cmopodemos simplificarunsistema de regulacinen lazo cerradoporotroen lazo
abierto y cuyoresultadoseaelmismo.
Dadounsistemaenlazo cerrado con G(s) comofuncin detransferenciaentrelaseal deerror
y lasalida, y H(s)lafuncin detransferenciaentrelasalida y el comparador,podemossustituirloporotro
en lazo abierto cuya funcin de
transferenciasea)(
)(
sX
sY:
E(s) = X(s) Y(s).H(s)
Y(s) = E(s).G(s)
)().(1
)(
)().().()(
)().(
)().()(
)().(
)(
)(
sHsG
sG
sHsGsEsE
sGsE
sHsYsE
sGsE
sX
sY
!
!
!
G s
X(s)X(s)G(s)
X(s)G(s)
G s X(s)X(s)G(s)
X(s)G(s)G(s)
X(s)G(s)
G s X(s)
X1(s)
X(s)G(s)
1/G s
X(s)
X1(s)
X(s)G(s)
G s
G(s)X1(s)+ X2(s) G(s)X1(s)+ X2(s)+
+X2(s)1/G(s)
X1(s)
+
+X2(s)
G(s)X1(s)
G(s)
+
-
Y(s)G(s)
X(s)
H(s)
E(s)
Y(s)X(s)
-
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TECNOLOGA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL
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Ejercicios
Obtenerlafuncin detransferencia del diagrama de bloques delafigura
H1
+
G1X(s)
G2
G3
Z(s)+
-
+ +
- -
1
2
3
4
5
6G1
X(s)G2
H2
Z(s)+
-
+ +
+
H3
7
-
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? A
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
!
!
!
!
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero)aigualinicialesscondicionendo(consideratrminocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando
)()()()(
PARA NO PERDERSE!
Losmodelosmatemticospuedenobtenerseenformaexperimentaloanaltica, yengeneral,enlaprctica,medianteuna combinacin deambosmtodos.
Normalmenteunsistemase describeatravs deecuaciones diferenciales.
MODELIZAR. Parapoderestudiarunsistema de controlesnecesario disponerdeunmodelo desufuncionamiento
Siestasecuaciones diferenciales sonlineales selespuedeaplicarlatransformada deLaplaceloquepermite convertirestasecuacionesenotras dondelavariabletiemposesustituyeporlavariable squerepresentaunnmero complejo. Estatransformacinpermiteestudiarelsistemademaneramssencilla.
? A
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
!
!
!
!
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
igualinicialesscondicionendo(considera
caaLaplacedeadatransformlaAplicando
)()()()(
En un sistema de control cada elemento tendr su funcin de transferencia. A una
entrada el sistema dar un salida que depende de las funciones de todos los elementos.
Dado un esquema que describe un sistema de control conviene reducirlo a un nico
bloque equivalente para analizar cmo reacciona el sistema ante distintas entradas.
La funcin de transferencia nos da la relacin entre la salida y la entrada de un
elemento o de un sistema.
kbsmssG
!
2
1)( F(s) Z(s)
X(s)
43241
41
....1
.
PPPPP
PP
Z(s)
-
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6.- RESPUESTA DE UN SISTEMA A UNA ENTRADA. ESTABILIDAD DE UN SISTEMA
Ante lamodificacin deunaseal deentradaunsistema reacciona deunamaneraquenoes
instantnea.Las caractersticas bsicas deunarespuestatransitoriason:
y Mp:sobreoscilacinmxima
y Tr:tiempo desubida.
y Tp Tiempo depico.
y Ts Tiempo deestablecimiento,tiemponecesariopara
alcanzarelrgimenpermanente.
Estabilidad de un sistema
Laestabilidad deunsistemase determinaporsurespuestaalasentradasoperturbaciones.
Un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por una
fuente externa y,ental caso,volveralreposounavezque desaparezcanlasexcitaciones.Laestabilidad sepuede definirdelassiguientesformas:
y Unsistemaesestablesiunaentradalimitadaproduceunasalidalimitada.
Aplicandounaentradaenescaln,lassiguientesgrficasnosrepresentanlarespuestaen
sistemas con distintafuncin detransferencia.
Sistemainestable
Sistemainestable
Sistemaestable
Sistemaestable
-
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6.1. Estudio de la estabilidad de un sistema a partir de su funcin de transferencia
Paraqueun sistema de regulacinseaestable, las races de su
ecuacin caracterstica (polos), han deestarsituadasenlapartenegativa
delplano complejo deLaplace.
Ejercicio: Determinar el margen de valores de K para que el sistema representado en el
esquema sea estable.
)2)(1( ss
K
X(s) Z(s)+
-
-
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6.2.- Criterio de estabilidad de Routh
El criterio deestabilidad de Routh indicasi hay onoracespositivasenunaecuacinpolnmica
de cualquiergradosintenerqueresolverla:
Secuencia:
1. Escribimos el polinomio de la forma indicada, donde los coeficientes son cantidades reales
(suponemosquean0)
2.- Si cualquiercoeficienteesnuloonegativo y hay algn coeficientepositivo,elsistemanoesestable.
3. Sitodoslos coeficientessonpositivos,se colocanenfilas y columnas comoseindica:
Trminos
1
30211
..
a
aaaab
!
1
50412
..
a
aaaab
!
1
70613
..
a
aaaab
!
sn a0 a2 a4 a6
sn- a1 a3 a5 a7
sn-2 b1 b2 b3
. . .
. . .
s2 e1 e2
s1 f1
s0 g1
4. Unafila completasepuedemultiplicarporunnmeropositivoparasimplificar los clculos
siguientes.
5.EL SISTEMA SER ESTABLE SI EN LA PRIMERA COLUMNA NO EXISTEN CAMBIOS DESIGNO, YA QUE EL NMERO DE CAMBIOS QUE EXISTAN ES IGUAL A LAS RAICES DE LAECUACIN CON PARTES REALES POSITIVAS.
Las siguientes funciones son la funcin caracterstica de distintos sistemas, analiza su
estabilidad medianteel criterio de Routh.
13323
sss 123 sss 44234 23456 ssssss
-
7/31/2019 25829111 Apuntes Regulacion y Control cos
20/20
TECNOLOGA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL
20
Ejercicios
Determinarlosvalores de K paralosqueelsistemaesestable.
Determinarlosvalores de K paralosqueelsistemaesestable.
Aplicarel criterio de Routh para determinarsielsistemaesestable
Determinarelvalorde K paraqueelsistemaseaestable.
8
X(s) Z(s)+
- )2).(1.(2
ssss
K
9
X(s) Z(s)+
-3)1(
1
sK
10
X(s) Z(s)
23.5.2
13
2345
3
sssss
s
11
X(s) Z(s)+
- 6
1
sK
2.2
12
ss
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