1_integracion_numerica
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Integracion numerica
1
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Contenido
Integracion de ecuaciones diferenciales ordinarias
Metodos de Euler
Metodo trapezoidal
Comparacion de los metodos de Euler ytrapezoidal
Metodo de Heun Metodo de Euler modificado
2
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INTEGRACION DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS
3
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Respuesta de un sistema lineal
La investigación del comportamiento de un sistemadinamico de tiempo continuo requiere una soluciónde ecuaciones diferenciales
Sin embargo, la solucion analitica puede ser dificilo, en algunos casos, imposible
4
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Necesidad de los metodosnumericos
Puede ser necesario encontrar la solucion paradiferentes funciones de “entrada”
Caso forzado (Solucion no homogenea)
En ocasiones, solo se dispone de valoresmuestreados de las “entradas” al sistema
La solucion analitica no existe
5
Los metodos numericos permiten
resolver el problema
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El problema estandar
Se considera resolver la ecuacion diferencial(ODE) , y condicion inicial:
Objetivo: Hallar la solucion x(t ) en un intervalo Integracion numerica: implementar un algoritmo
computacional algebraico
6
),( xt f dt
t dx 00 xt x
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Aplicación de las ODE en elmodelado
La segunda ley de Newton
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vm
cg
dt
dv
Variable dependiente
Variable independiente
Una ecuacion diferencial de orden n puede ser
reducida a ecuaciones diferenciales de primer orden
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Aplicación de las ODE en elmodelado
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Categorias de los metodos
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ODE Solver
Categories
Based on step
arrangement Based on equation
form
Single step Multi-step Explicit Implicit
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Los metodos numericos
Primero: discretizar el tiempo
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k t 1t 2t 1k t 0
t t t
Step size = h
En general, el tamaño de paso puede servariable
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Los metodos numericos
Segundo: representar x (t ) usando los valores en t k
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1t 2t 3t k t 0
3ˆ x 4
ˆ x1ˆ x
2ˆ x
ˆ ( )k
k x x t
Solucionaproximada
Solucionexacta
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Los metodos numericos
Tercero: aproximar la derivada usando los valoresdiscretos
Por ejemplo:
12
ˆk
x
1
( )
k k
k
k
dx t x xdt t
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Ejemplo
13
v0
Coeficiente viscoso = cm
F = m*a vcdt
dvm ( , )
dxax f x t dt
f(x,t) es la pendiente de x(t) en cada punto (t,x)
0(0) x x
t
x
(t,x) ( , )dx
f x t dt
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Aprox: usando Taylor
14
v0
Coeficiente viscoso = cm
F = m*a vc
dt
dvm ( , )
dxax f x t
dt
2( ) (0) (0,0) ( ) x h x f h O h
1( , )i i i i x x f x y h
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Analisis alterno
15
v0
Coeficiente viscoso = cm
F = m*a vc
dt
dvm ( , )
dxax f x t
dt
Integrar en un pequeño intervalo de tiempo, h
1 00
( ) ( , )h
x h x x f x t dt dx
dt
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Analisis alterno
16
1( ( ), )
i
i
x h
i i x
x x f x t t dt
El problema es que no conocemos x(t)
Asumiendo h pequeño, f(x,t) es aproximadamente constante.Usando el metodo de Euler explicito
h y x f y y iiii ),(1
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El proceso de la integracion
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S t a t e v s . T
i m e
1) Original Data3) Initial Condition 2) Choose Time Step4) Evaluate Derivative5) Next State = Initial Condition + Derivative * Time StepError
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Efecto del paso de integracion
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S t a t e v s .
T i m
e
S t a t e v s .
T i m
e
Nine Time StepsFour Time Steps
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METODOS DE EULER
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Euler, Léonard
1707-1783
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El metodo de Euler
Se considera resolver la ecuacion diferencial(ODE) de una sola variable, y condicion inicial:
Estrategia: aproximar la derivada
20
),( xt f dt
t dx 00 xt x
t t t
t xt t x
dt
dx
t
)(
)()(
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El metodo de Euler explicito
El valor de f ( x) se evalua en el valor conocido de
x o en xk
21
t
x x
dt
dx k k
t k
1
)( k k k x f
t
x x
1
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El metodo de Euler explicito
El valor de f ( x) se evalua y se usa para estimar el
el valor de x(t+ t )
22
)( k k k x f t x x 1
Notese que el lado derecho de la expresioncontiene valores conocidos, por lo tanto se puede
resolver explicitamente
Step size = h
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Suposiciones y simplificaciones
Se asume que la funcion f es continua ydiferenciable, es decir, existe una solucion unica.
Por simplicidad se considera el caso lineal,
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00 )(
)(
)(
xt x
t Axdt
t dx
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Aproximacion con el metodo deEuler explicito
24
lt 1l
t t
x
1( ) ( )slope l l
x t x t
t
slope ( )l
d x t
dt
1( ) ( ) ( )l l l
x t x t t A x t
1
1
( ) ( )( ) ( )
or
( ) ( ) ( )
l l
l l
l l l
x t x t d x t A x t
dt t
x t x t t A x t
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Aproximacion con el metodo deEuler explicito
25
1t
2t t
x
(0)tAx
3t
1ˆtAx
11
112
2
1
1
ˆ)(
ˆ
)(
)0()0(ˆ)(
L L L
L tAx x xt x
tAx x xt x
tAx x xt x
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Metodo de Euler implicito
Este metodo difiere del metodo implicito en que el
valor de f ( x) se evalua en el valor desconocido de
x en xk +1
26
)( 11
k
k k x f t
x x )(11 k k k x f t x x
La ecuacion is implicita in xk+1 . Dependiendo
de la no linealidad de f ( x), puede requerirse una
solucion iterativa
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Aproximacion con el metodo deEuler implicito
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lt 1l
t t
x1slope ( )
l
d x t
dt
1( ) ( )slope l l
x t x t
t
1 1( ) ( ) ( )l l l
x t x t t A x t
11 1
1 1
( ) ( )( ) ( )
or
( ) ( ) ( )
l l
l l
l l l
x t x t d x t A x t
dt t
x t x t t A x t
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Aproximacion con el metodo deEuler implicito
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1t 2t t
x
1ˆ
tAx
2ˆtAx
Resolver con eliminacion Gausiana
11
112
2
1
11
1
][ˆ)(
][ˆ)(
)0(ˆ][
)0(ˆ)(
L L
L xtA I xt x
xtA I xt x
x xtA I
tAx x xt x
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Ejemplo: y´ = – y + 1
Use el metodo de Euler para resolver
En este caso, el metodo de Euler explicito da:
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1 y
dt
dy0)0( y
)1(1 nnn yt y y
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Ejemplo: y´ = – y + 1
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n tn yn fn= - yn+1 yn+1= yn+t fn
0 0 0.000 1.000 0.100
1 0.1 0.100 0.900 0.190
2 0.2 0.190 0.810 0.271
3 0.3 0.271 0.729 0.344
4 0.4 0.344 0.656 0.410
5 0.5 0.410 0.590 0.469
6 0.6 0.469 0.531 0.522
7 0.7 0.522 0.478 0.570
8 0.8 0.570 0.430 0.613
9 0.9 0.613 0.387 0.651
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Ejemplo: y´ = – y + 1
31
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0 . 2
5
0 . 5
0 . 7
5 1
1 . 2
5
t
Exact
Numerical
y
t e y 1
Solucion analitica
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Ejercicio
Usando el metodo de Euler resolver:
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t
edt
dx
Para 0 < x < 10, con x (0) = 0;
a) t = 2 b) t = 1
c) t = 0.5 d) t = 0.1
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Solucion
330 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Solucion exacta x(t ) = 1- e-t
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t = 2
t = 1
t = 0.5 t = 0.1
Solucion aproximada usando Euler
x(t)
t
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METODO TRAPEZOIDAL
34
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Metodo trapezoidal
35
0 1( ) ( ) ( )
2
b
a
h f t dt f t f t
t 0 t 1 t
f (t )
L(t)
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Aproximacion trapezoidal
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t
x
1( ) ( )slope l l
x t x t
t
slope ( )l
d x t
dt
1slope ( )l
d x t
dt
1 1
1 1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
2 2l l l l
x t tAx t x t tAx t
))()((21)()(
)()(
))()((21
))()((2
1
11
1
1
1
llll
ll
ll
ll
t xt xtAt xt x
t
t xt x
t Axt Ax
t xdt
d t x
dt
d
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Aproximacion trapezoidal
37
1t 2t t
x
Resolver con eliminacion Gausiana
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
211
1
][][ˆ)(
][][ˆ)(
)0(][ˆ][
))0(()0(ˆ)(
Lt t L
L
t t
t t
x A I A I xt x
x A I A I xt x
x A I x A I
Ax Axt x xt x
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Modelo trapezoidal de un capacitor
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2( ) ( ) ( ( ) ( ))t
C v t t v t i t i t t
+
C
-
+
-
( )v t t
( )i t t
( )i t t
2C eq
t
G
( )v t t
+
-
2 ( ) ( )C
eq t I v t i t
2 2( ) ( ) ( ) ( )C C t t
i t t v t t v t i t
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Modelo trapezoidal de unainductancia
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2( ) ( ) ( ( ) ( ))t
Li t t i t v t v t t
+
L
-
+
-
( )v t t
( )i t t
( )i t t
2 Leq t
R
( )v t t
+
-2 ( ) ( ) L
eq t V i t v t
2 2( ) ( ) ( ) ( ) L Lt t
v t t i t t i t v t
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Ejercicio
Usando el metodo Trapezoidal resolver:
40
2t dx
edt
Para 0 < x < 10, con x (0) = 0;
a) t = 2 b) t = 1
c) t = 0.5 d) t = 0.1
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COMPARACION DE LOS METODOSDE EULER Y TRAPEZOIDAL
41
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Comparacion de los metodos
42
1
1( ) (( ) )) )( (
l
l
t
l lt
d x t x t x t A d x t x A
dt
lt 1lt
1
( )l
l
t
t
Ax d
1( )
ltAx t E imp
( )l
tAx t E exp
1( ) ( )
2l l
t Ax t Ax t
Trap
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Resumen de conceptos basicos
Los metodos de Euler y trapezoidal son todosmetodos de un solo paso:
El metodo de Euler explicito es el mas simple
El metodo trapezoidal puede ser mas preciso
43
1 2 3 4
se calcula usando solo , no , , , etc.l l l l l
x x x x x
La solucion de la ecuacion en cada pasousa un metodo implicito
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METODO DE HEUN
44
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Limitacion del metodo de Euler
El metodo de Euler es popular en gran medidadebido a su simplicidad. Asume que la derivadapermanece constante en el intervalo de
integracion:
Al principio, en el metodo explicito
Al final, en el metodo implicito
Si el estado cambia rapidamente esta suposicionno es valida
45
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Limitacion del metodo de Euler
La limitacion propia de los metodos de Euler puedeenfrentarse simplemente disminuyendo el paso deintegracion (step size).
Esto puede no ser practico (mas tiempo decomputo)
El metodo de Heun usa el promedio de la derivadaen el intervalo de integracion
46
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Ilustracion del metodo de Heun
47
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Metodo de Heun
Es un metodo predictor-corrector
48
Predictor
Corrector
1
1
,
ˆ 1
A
A A
L f x n u n
x n x n h L
2
1 2
ˆ 1 , 1
12
A
A A
L f x n u n
h x n x n L L
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Metodo de Heun con iteracion delcorrector
Iterar el corrector del metodo de Heun paraobtener un mejor estimado
49
1 22
A
h x n L L 1
j
A x n
1
2ˆ 1 , 1
j
A L f x n u n
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Comparacion de los metodos
50
Euler’s
Heun’s
with 5
iterations
Exact
Heun’s
method
10 y t y dt
dy)(;)sin(
t
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METODO DE EULER MODIFICADO
51
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Limitacion del metodo de Euler
El metodo de Euler es popular en gran medidadebido a su simplicidad. Asume que la derivadapermanece constante en el intervalo de
integracion:
A menudo es mejor usar la pendiente en otrospuntos de la curva.
52
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Metodo de Euler modificado
53
x(t)
t t i t i+1
t
Line with
slope f ( xi,t i)
Predicted value of x(t i+1)
Actual value of x(t i+1)
Error in
Euler’s method
El metodo de Euler modificado predice el valor de xi 1 con la
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54
El metodo de Euler modificado predice el valor de xi+1 con la
pendiente en el punto (t i+1/2 , xi+1/2 ) , esto es , el punto medio
entre (t i , xi ) y (t i+1 , xi+1 )
Predicted value of x(t i+1) usingEuler’s method
x(t)
t t i t i+1
t/ 2
Actual value of x(t i+1)
t/ 2
Line withslope f ( xi,t i)
t i+1/2
Predicted value of xi+1/2
Predicted value of x(t i+1) using
Midpoint method
Line with
slope f ( xi+1/2,t i+1/2)
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Metodo de Euler modificado o del punto medio
En el metodo del punto medio:
Predecir el valor de xi+1/2 usando el metoo de Euler
Predecir el valor de xi+1 con la pendiente f (t i+1/2 , xi+1/2). El
valor de xi+1/2 se obtiene del paso anterior
55
2),(2 / 1 t xt f x x iiii
t xt f x x iiii ),( 2 / 12 / 11
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Ejercicio
Usando el metodo de Euler modificado resolver:
56
Para 0 < x < 10, con x (0) = 0;
a) t = 2 b) t = 1
c) t = 0.5 d) t = 0.1
t e x
dt
dx 21
Comparar con el metodo de Euler
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Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback
Control . Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003.
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Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.University of Birmingham. 2003.
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