1 un modelo de depredación del tipo leslie con respuesta funcional no-monotónica betsabé...

1

Un modelo de depredación del tipo Leslie con respuesta funcional no-monotónica

Betsabé González YañezEduardo González Olivares Grupo de Ecología Matemática Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile

2

La interacción depredador-presa es descrita por el sistema de ecuaciones diferenciales del tipo Kolmogorov:

ynxy

bdtdy

xax

qyKx

rdtdx

X

)1(

))1((

:2

Las singularidades del campo vectorial son (K,0) y los X

axKx

qr

ynxy

21y

puntos determinados por la intersección de las isoclinas:

3

la función 2xa

xqy

es la respuesta funcional (función de consumo) Holling tipo IV

cuya representación gráfica es:

4

Los parámetros tienen los siguientes significados:

r : Es la tasa intrínseca de crecimiento de las presas.

K : Es la capacidad de soporte del medio ambiente.

q : Es la tasa de consumo de los depredadores.

a1/2: Cantidad de presas para el cual el efecto de depredación es máximo

b : Es la tasa intrínseca de crecimiento de los depredadores.

n : Es la medida de la calidad del alimento que provee la presa para la conversión de nacimientos de nuevos depredadores.

5

),,(),,(),,(

:2

2

22

tyxuKa

ru

KnvKuvu

Quedando un sistema equivalente definido por el sistema:Y

Para simplificar los cálculos hacemos cambios de variable y reescalamos el tiempo según la función :

donde

02 0,0/, yxyx

002 0,0/, vuvu y

6

Los puntos de equilibrio son : O(0,0) ; P1(1,0) ; Pe1 y Pe2

estos dos últimos están sobre las isoclinas

uvyuAuQ

v ))(1(1 2

La abscisa de dichos puntos satisfacen la siguiente ecuación :

0)(23 AuQAuu

vuAvuBd

dv

uQvuAud

du

Y

))((

)))(1((

:

2

22

7

Para las soluciones de la ecuación se tiene gráficamente:

8

))(2()32(),(

22

211

uAuvBuAuvBv

QuzvuDY

La matriz Jacobiana del campo vectorial es:

QuvuAuuAuz 22453 34211

donde :

9

RESULTADOS PRINCIPALES

Lema 1.- El conjunto 0;10/),( vuvu es región de invarianza.

Lema 2.- Para todo las 2[1,0]),,( QBA

singularidades O y P1 son puntos sillas.

10

3.1) Existe un único punto de equilibro, Pe=(H,H) ssi T < 0 , siendo este:

Teorema 3.- Dada la expresión AHHT 4)1( 2

diremos que:

3.11) Foco repulsor , rodeado de un cíclo límite si

H(A+3H2-2H)+B(H2+A) < 0

3.12) Atractor global si H(A+3H2-2H)+B(H2+A) > 0

.Hue Sea la solución que siempre existe en

11

12

Además, computacionalmente hemos obtenido que para cierta condición de parámetros, el punto es atractor local, rodeado de dos ciclos límites, el interior inestable y el exterior estable.

13

3.2) En particular si A =y Q = , 271

278

interior de la región siendo este:

existe un único punto P = en el ),( 31

31

Teorema de Poicaré - Bendixon

3.21) Nodo atractor si B > 32

3.22) Nodo repulsor , rodeado de un cíclo

32 límite , si B < debido al

14

Pe= ( H , H ) y Pe2 = )2

1,

21

(HH

3.3) Asumiendo que T = 0, entonces existen dos singularidades

En este caso definiremos los siguientes subconjuntos de]0,1[x2+ :

2

1y

)1(

)107(/),( 2

2

1

HB

H

HHHBBHR

I : Región R1 definida por

15

A=0.032 , B=1 , Q=0.288 Pe= ( 0.2 , 0.2 ) y Pe2 = ( 0.4 , 0.4)

16

4.2 ) Pe= ( H , H ) es:

4.1 ) Pe2= es nodo atractor.)2

1,

21

(HH

Teorema 4.-

2

23

)1(

113)1(2258

H

HHHHHHB

4.21) Foco atractor si

2

23

)1(

113)1(2258

H

HHHHHHB

4.22) Nodo atractor si

Además existe una curva separatriz y, dependiendo de las C.I. , los

-limite de las trayectorias serán 2o ePeP

17

21

)1()107(

/),( 2

2

2

HBy

HHHH

BBHR

II. Región R2 definida por :

18

En esta región tenemos que :

)2

1,

21

(HH

5.1) Pe2 = es nodo repulsor.

5.2) Pe = ( H , H ) es foco atractor si2

23

)1(

113)1(2258

H

HHHHHHB

5.3) Pe= ( H , H ) es nodo atractor si: 2

23

)1(

113)1(2258

H

HHHHHHB

Más aún, existen valores de parámetros para los cuáles aparecen dos ciclos límites.

Teorema 5

19

20

21

21

)1()107(

/),( 2

2

3

HBy

HHHH

BBHR

III. Región R3 definida por :

22

En esta región tenemos que:

Ambas singularidades estan rodeadas de un cíclo límite atractor

Teorema 6

( Poincaré – Bendixon )

6.2) Pe = es foco repulsor si .),( HH2

23

)1(

113)1(2258

H

HHHHHHB

)2

1,

21

(HH 6.1) Pe2 = es nodo repulsor.

6.3) Pe= es nodo repulsor si .2

23

)1(

113)1(2258

H

HHHHHHB

),( HH

23

24

21

y)1(

)107(/),( 2

2

4

HB

HHHH

BBHR

IV. Región R4 definida por :

25

En esta región tenemos que:

7.1) Pe= ( H , H ) es foco repulsor.

7.2) Pe2 = es nodo atractor.)2

1,

21

(HH

Teorema 7

Ambos rodeados por un único ciclo límite

26

27

CONCLUSIONES

En este modelo se han analizado solamente dos casos, cuando existe único o dos puntos de equilibrio al interior del primer cuadrante.

En el segundo caso surge la existencia de separatrices, curva heteroclínica y cíclos limites que encierran a ambos puntos de equilibrio.

Un resultado biológico importante es que para todo valor de parámetro ambas poblaciones siempre coexisten pues el (0,0) es siempre punto silla

28

Las poblaciones exhiben el fenómeno de biestabilidad porque pueden coexistir un cíclo límite estable (atractor) con un punto de equilibrio también estable.

Sin embargo, para cierto valores de parámetros, el modelo es altamente sensible a las condiciones iniciales, lo que sucede cuando se tienen dos puntos de equilibrio atractores.( existencia de separatriz).

Esto implica la alta dependencia en el modelo respecto a los tamaños iniciales de ambas poblaciones, para un cierto conjunto de parámetros.

Para otro conjunto de parámetros existe un cíclo límite inestable que divide el comportamiento de las trayectorias , alguna de las cuales tienen como – límite el punto de equilibrio ( H,H) y otras tienden a un cíclo límite estable que rodea a ambos puntos de equilibrio.

29

Muchas Gracias

Valparaíso saluda a Valdivia