1 un modelo de depredación del tipo leslie con respuesta funcional no-monotónica betsabé...
TRANSCRIPT
1
Un modelo de depredación del tipo Leslie con respuesta funcional no-monotónica
Betsabé González YañezEduardo González Olivares Grupo de Ecología Matemática Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile
2
La interacción depredador-presa es descrita por el sistema de ecuaciones diferenciales del tipo Kolmogorov:
ynxy
bdtdy
xax
qyKx
rdtdx
X
)1(
))1((
:2
Las singularidades del campo vectorial son (K,0) y los X
axKx
qr
ynxy
21y
puntos determinados por la intersección de las isoclinas:
3
la función 2xa
xqy
es la respuesta funcional (función de consumo) Holling tipo IV
cuya representación gráfica es:
4
Los parámetros tienen los siguientes significados:
r : Es la tasa intrínseca de crecimiento de las presas.
K : Es la capacidad de soporte del medio ambiente.
q : Es la tasa de consumo de los depredadores.
a1/2: Cantidad de presas para el cual el efecto de depredación es máximo
b : Es la tasa intrínseca de crecimiento de los depredadores.
n : Es la medida de la calidad del alimento que provee la presa para la conversión de nacimientos de nuevos depredadores.
5
),,(),,(),,(
:2
2
22
tyxuKa
ru
KnvKuvu
Quedando un sistema equivalente definido por el sistema:Y
Para simplificar los cálculos hacemos cambios de variable y reescalamos el tiempo según la función :
donde
02 0,0/, yxyx
002 0,0/, vuvu y
6
Los puntos de equilibrio son : O(0,0) ; P1(1,0) ; Pe1 y Pe2
estos dos últimos están sobre las isoclinas
uvyuAuQ
v ))(1(1 2
La abscisa de dichos puntos satisfacen la siguiente ecuación :
0)(23 AuQAuu
vuAvuBd
dv
uQvuAud
du
Y
))((
)))(1((
:
2
22
7
Para las soluciones de la ecuación se tiene gráficamente:
8
))(2()32(),(
22
211
uAuvBuAuvBv
QuzvuDY
La matriz Jacobiana del campo vectorial es:
QuvuAuuAuz 22453 34211
donde :
9
RESULTADOS PRINCIPALES
Lema 1.- El conjunto 0;10/),( vuvu es región de invarianza.
Lema 2.- Para todo las 2[1,0]),,( QBA
singularidades O y P1 son puntos sillas.
10
3.1) Existe un único punto de equilibro, Pe=(H,H) ssi T < 0 , siendo este:
Teorema 3.- Dada la expresión AHHT 4)1( 2
diremos que:
3.11) Foco repulsor , rodeado de un cíclo límite si
H(A+3H2-2H)+B(H2+A) < 0
3.12) Atractor global si H(A+3H2-2H)+B(H2+A) > 0
.Hue Sea la solución que siempre existe en
11
12
Además, computacionalmente hemos obtenido que para cierta condición de parámetros, el punto es atractor local, rodeado de dos ciclos límites, el interior inestable y el exterior estable.
13
3.2) En particular si A =y Q = , 271
278
interior de la región siendo este:
existe un único punto P = en el ),( 31
31
Teorema de Poicaré - Bendixon
3.21) Nodo atractor si B > 32
3.22) Nodo repulsor , rodeado de un cíclo
32 límite , si B < debido al
14
Pe= ( H , H ) y Pe2 = )2
1,
21
(HH
3.3) Asumiendo que T = 0, entonces existen dos singularidades
En este caso definiremos los siguientes subconjuntos de]0,1[x2+ :
2
1y
)1(
)107(/),( 2
2
1
HB
H
HHHBBHR
I : Región R1 definida por
15
A=0.032 , B=1 , Q=0.288 Pe= ( 0.2 , 0.2 ) y Pe2 = ( 0.4 , 0.4)
16
4.2 ) Pe= ( H , H ) es:
4.1 ) Pe2= es nodo atractor.)2
1,
21
(HH
Teorema 4.-
2
23
)1(
113)1(2258
H
HHHHHHB
4.21) Foco atractor si
2
23
)1(
113)1(2258
H
HHHHHHB
4.22) Nodo atractor si
Además existe una curva separatriz y, dependiendo de las C.I. , los
-limite de las trayectorias serán 2o ePeP
17
21
)1()107(
/),( 2
2
2
HBy
HHHH
BBHR
II. Región R2 definida por :
18
En esta región tenemos que :
)2
1,
21
(HH
5.1) Pe2 = es nodo repulsor.
5.2) Pe = ( H , H ) es foco atractor si2
23
)1(
113)1(2258
H
HHHHHHB
5.3) Pe= ( H , H ) es nodo atractor si: 2
23
)1(
113)1(2258
H
HHHHHHB
Más aún, existen valores de parámetros para los cuáles aparecen dos ciclos límites.
Teorema 5
19
20
21
21
)1()107(
/),( 2
2
3
HBy
HHHH
BBHR
III. Región R3 definida por :
22
En esta región tenemos que:
Ambas singularidades estan rodeadas de un cíclo límite atractor
Teorema 6
( Poincaré – Bendixon )
6.2) Pe = es foco repulsor si .),( HH2
23
)1(
113)1(2258
H
HHHHHHB
)2
1,
21
(HH 6.1) Pe2 = es nodo repulsor.
6.3) Pe= es nodo repulsor si .2
23
)1(
113)1(2258
H
HHHHHHB
),( HH
23
24
21
y)1(
)107(/),( 2
2
4
HB
HHHH
BBHR
IV. Región R4 definida por :
25
En esta región tenemos que:
7.1) Pe= ( H , H ) es foco repulsor.
7.2) Pe2 = es nodo atractor.)2
1,
21
(HH
Teorema 7
Ambos rodeados por un único ciclo límite
26
27
CONCLUSIONES
En este modelo se han analizado solamente dos casos, cuando existe único o dos puntos de equilibrio al interior del primer cuadrante.
En el segundo caso surge la existencia de separatrices, curva heteroclínica y cíclos limites que encierran a ambos puntos de equilibrio.
Un resultado biológico importante es que para todo valor de parámetro ambas poblaciones siempre coexisten pues el (0,0) es siempre punto silla
28
Las poblaciones exhiben el fenómeno de biestabilidad porque pueden coexistir un cíclo límite estable (atractor) con un punto de equilibrio también estable.
Sin embargo, para cierto valores de parámetros, el modelo es altamente sensible a las condiciones iniciales, lo que sucede cuando se tienen dos puntos de equilibrio atractores.( existencia de separatriz).
Esto implica la alta dependencia en el modelo respecto a los tamaños iniciales de ambas poblaciones, para un cierto conjunto de parámetros.
Para otro conjunto de parámetros existe un cíclo límite inestable que divide el comportamiento de las trayectorias , alguna de las cuales tienen como – límite el punto de equilibrio ( H,H) y otras tienden a un cíclo límite estable que rodea a ambos puntos de equilibrio.
29
Muchas Gracias
Valparaíso saluda a Valdivia