1 referencial teórico - amazon...
Post on 25-Mar-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDOO
MMEESSTTRRAADDOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM
AADDMMIINNIISSTTRRAAÇÇÃÃOO
OO UUSSOO DDAA TTEEOORRIIAA DDEE OOPPÇÇÕÕEESS RREEAAIISS NNAA AAVVAALLIIAAÇÇÃÃOO
DDAA UUNNIIDDAADDEE DDEE NNEEGGÓÓCCIIOOSS DDEE UUMMAA EEMMPPRREESSAA DDEE
FFUUNNDDAAÇÇÕÕEESS EE GGEEOOTTEECCNNIIAA..
JJooeell AArrtthhuurr GGuuiimmaarrããeess JJuunniioorr
Orientador: Prof. Ph.D. Antônio de Araújo Freitas Jr.
RRiioo ddee JJaanneeiirroo,, 2222 ddee ddeezzeemmbbrroo ddee 22000033..
FFFAAACCCUUULLLDDDAAADDDEEESSS IIIBBBMMMEEECCC PPPRRROOOGGGRRRAAAMMMAAA DDDEEE PPPÓÓÓSSS---GGGRRRAAADDDUUUAAAÇÇÇÃÃÃOOO EEE PPPEEESSSQQQUUUIIISSSAAA EEEMMM
AAADDDMMMIIINNNIIISSSTTTRRRAAAÇÇÇÃÃÃOOO EEE EEECCCOOONNNOOOMMMIIIAAA
AAADDDMMMIIINNNIIISSSTTTRRRAAAÇÇÇÃÃÃOOO EEE EEECCCOOONNNOOOMMMIIIAAA
II
JOEL ARTHUR GUIMARÃES JUNIOR
O USO DA TEORIA DE OPÇÕES REAIS NA AVALIAÇÃO DA UNIDADE DE
NEGÓCIOS DE UMA EMPRESA DE FUNDAÇÕES E GEOTECNIA
Dissertação apresentada ao Mestrado
Profissionalizante em Administração, como
requisito para obtenção do Grau de Mestre.
Área de concentração de Finanças e
Mercado de Capitais.
Orientador: Prof. Ph.D. ANTÔNIO DE ARAÚJO FREITAS JR.
Rio de Janeiro (RJ)
Dezembro/2003
II
JOEL ARTHUR GUIMARÃES JUNIOR
O USO DA TEORIA DE OPÇÕES REAIS NA AVALIAÇÃO DA UNIDADE DE
NEGÓCIOS DE UMA EMPRESA DE FUNDAÇÕES E GEOTECNIA
Dissertação apresentada ao Mestrado
Profissionalizante em Administração, como
requisito para obtenção do Grau de Mestre.
Aprovada em dezembro de 2003.
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________________________________
Prof. Ph.D. Antônio de Araújo Freitas Jr. - Orientador
Faculdades Ibmec
_________________________________________________________________________
Prof. Ph.D. Luiz Flávio Autran de Monteiro Gomes
Faculdades Ibmec
_________________________________________________________________________
Prof. D.Sc. Luiz Perez Zotes
UFF – Universidade Federal Fluminense
Rio de Janeiro, 22 de dezembro de 2003.
2
Guimarães Jr, Joel Arthur.
O Uso da Teoria de Opções Reais na Avaliação da
Unidade de Negócios de Uma Empresa de Fundações e
Geotecnia./ Joel Arthur Guimarães Jr. Rio de Janeiro:
Faculdades Ibmec, 2003.
ix, 82p. il.
Dissertação – Faculdades Ibmec.
1. Finanças. 2. Orçamento de Capital. 3. Opções Reais. 4.
Tese (Mestr. Ibmec). I. Título.
3
A
Joel Arthur, Leila
Cristina, Leonardo Arthur,
Marcelo e Tia Catinha
a razão de tudo isso
4
AGRADECIMENTOS
Ao meu professor orientador Antônio Freitas pela orientação e apoio.
Ao meu professor co-orientador e amigo Teotônio Nascimento pela orientação e apoio
durante toda a execução deste estudo.
Aos professores Luiz Flávio Autran e Luiz Perez Zotes pela aceitação do convite para
membros da banca examinadora e seus comentários relevantes ao estudo.
A Estacas Franki Ltda – pelo suporte na pesquisa e a todos os funcionários que fazem parte
desta organização.
Aos meus amigos, Jacques Robério Gonçalves, José Accioli e Márcio Almeida, pelas
críticas e reflexões.
Aos meus colegas da Turma 2º/2000 pelos quase dois anos de excelente convívio.
A todos os funcionários e professores da Faculdades Ibmec pelo apoio nestes dois anos.
5
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 11
2 DESCRIÇÃO DO CASO 17
3 REVISÃO DA LITERATURA 22
4 METODOLOGIA E MODELAGEM 34
5 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 59
6 CONCLUSÃO 63
7 APÊNDICE 66
8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 67
6
LISTA DE TABELAS, GRÁFICOS E QUADROS
Tabela 1 – Dados da Receita Operacional Líquida e o EBITDA
da Regional 21
Gráfico 1 – Participação por Classe de Cliente 23
Gráfico 2 – Valores de uma opção de compra com mesmo preço
de exercício e de uma unidade do ativo subjacente na data de
exercício, em função do preço do ativo subjacente 25
Gráfico 3 - Valores de uma opção de venda com mesmo preço
de exercício e de uma unidade do ativo subjacente na data de
exercício, em função do preço do ativo subjacente 26
Tabela 2 – Resumo das Variáveis que afetam as calls e as puts 28
Tabela 3 – Classificação de opções reais por categoria 33
Tabela 4 – Retornos em t 38
Quadro 1 – Representação do modelo de árvore binomial por
dois períodos 37
Tabela 5 – Os valores presentes da operação para cada dado de
crescimento da receita líquida 39
Tabela 6 – Valores dos preços dos ativos considerados
como valor de saída da operação 41
Quadro 2 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$77.414 e o preço de exercício – R$220.000 42
Quadro 3 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$77.414 e o preço de exercício – R$420.000 43
7
Quadro 4 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$77.414 e o preço de exercício – R$120.000 43
Quadro 5 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$77.414 e o preço de exercício – R$320.000 44
Quadro 6 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$106.975 e o preço de exercício – R$220.000 44
Quadro 7 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$106.975 e o preço de exercício – R$420.000 45
Quadro 8 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$106.975 e o preço de exercício – R$120.000 45
Quadro 9 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$106.975 e o preço de exercício – R$320.000 46
Quadro 10 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$137.900 e o preço de exercício – R$220.000 46
Quadro 11 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$137.900 e o preço de exercício – R$420.000 47
Quadro 12 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$137.900 e o preço de exercício – R$120.000 47
Quadro 13 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$137.900 e o preço de exercício – R$320.000 48
Quadro 14 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$170.241 e o preço de exercício – R$220.000 48
Quadro 15 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$170.241 e o preço de exercício – R$420.000 49
Quadro 16 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$170.241 e o preço de exercício – R$120.000 49
Quadro 17 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$170.241 e o preço de exercício – R$320.000 50
Quadro 18 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$204.049 e o preço de exercício – R$220.000 50
Quadro 19 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$204.049 e o preço de exercício – R$420.000 51
Quadro 20 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
8
te do EBITDA – R$204.049 e o preço de exercício – R$120.000 51
Quadro 21 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$204.049 e o preço de exercício – R$320.000 52
Quadro 22 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$239.379 e o preço de exercício – R$220.000 52
Quadro 23 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$239.379 e o preço de exercício – R$420.000 53
Quadro 24 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$239.379 e o preço de exercício – R$120.000 53
Quadro 25 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor prese-
te do EBITDA – R$239.379 e o preço de exercício – R$320.000 54
Tabela 7 – Preço do Ativo Subjacente – R$77.414, = 19,60%
t = 3, rf = 9% e y = 0 com 4 diferentes preços de exercício 55
Tabela 8 – Preço do Ativo Subjacente – R$106.975, = 19,60%
t = 3, rf = 9% e y = 0 com 4 diferentes preços de exercício 55
Tabela 9 – Preço do Ativo Subjacente – R$137.900, = 19,60%
t = 3, rf = 9% e y = 0 com 4 diferentes preços de exercício 55
Tabela 10 – Preço do Ativo Subjacente – R$170.241, = 19,60%
t = 3, rf = 9% e y = 0 com 4 diferentes preços de exercício 56
Tabela 11 – Preço do Ativo Subjacente – R$204.049, = 19,60%
t = 3, rf = 9% e y = 0 com 4 diferentes preços de exercício 56
Tabela 12 – Preço do Ativo Subjacente – R$239.379, = 19,60%
t = 3, rf = 9% e y = 0 com 4 diferentes preços de exercício 56
Tabela 13 – Diferença de valor encontrado pelo método FCD
e o valor da flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$220.000 59
Gráfico 4 – Comparativo entre os valores do FCD e o FCD ex
pandido para o preço de exercício – R$ 220.000 64
Tabela 14 – Diferença de valor encontrado pelo método FCD
e o valor da flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$420.000 60
Gráfico 5 – Comparativo entre os valores do FCD e o FCD ex
pandido para o preço de exercício – R$ 420.000 65
Tabela 15 – Diferença de valor encontrado pelo método FCD
e o valor da flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$120.000 61
9
Gráfico 6 – Comparativo entre os valores do FCD e o FCD ex
pandido para o preço de exercício – R$ 120.000 66
Tabela 16 – Diferença de valor encontrado pelo método FCD
e o valor da flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$320.000 61
Gráfico 7 – Comparativo entre os valores do FCD e o FCD ex
pandido para o preço de exercício – R$ 320.000 67
10
RESUMO
Guimarães Jr., Joel Arthur. O uso da teoria de opções reais na avaliação da
unidade de negócios de uma empresa de fundações e geotecnia. Orientador:
Antônio Freitas. Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2003. Dissertação.
O presente trabalho teve por objetivo comparar dois métodos de orçamento de
capital - fluxo de caixa descontado (FCD) e a teoria de opções reais (FCD
expandido) – em um estudo aplicado na unidade regional na empresa Estacas
Franki Ltda. Foi estudada uma opção em particular: a opção de abandono da
unidade regional. O método utilizado para o cálculo desta opção fundamentou-se
no princípio de neutralidade ao risco, descrito inicialmente por Cox, Ross e
Rubinstein (1979). Os resultados geraram, à diretoria da empresa, uma variedade de opções para a tomada de decisões, além disto, mostraram-se de acordo com a
literatura. No capítulo 5, a pesquisa apresentou a análise dos diversos valores dos
prêmios obtidos no cálculo da opção de abandono para os seis cenários de valores
presentes e quatro valores de preço de liquidação dos ativos.
O estudo teve a mesma conclusão que Trigeorgis (1993) onde o FCD
tradicional não pode ser desconsiderado nas avaliações de investimento, mas sim
pode ser usado como o começo da avaliação das opções, expandindo o FCD, i.e., o
FCD expandido igual ao FCD estático mais o valor da opção de abandono de uma
gerência ativa. No final, a teoria de opções reais ajudou a diretoria da empresa em duas formas: estruturando seu processo decisório e criando valor para empresa
através da flexibilidade de abandono da operação.
Palavras-chave: Opções Reais, Orçamento de Capital, Árvore Binomial e
Opção de Abandono.
11
ABSTRACT
Guimarães Jr., Joel Arthur. O uso da teoria de opções reais na avaliação da
unidade de negócios de uma empresa de fundações e geotecnia. Chairman:
Antônio Freitas. Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2003. Dissertation.
This thesis had the intention to compare two methods of capital budget – real
options and discounted cash flow (DCF), adopting the case study a business unit of
Franki Piles Ltd. One particular option was studied: the abandonment option. The
model used for valuing this option was based on the risk neutral principle, first
described by Cox, Ross and Rubinstein (1979). The results generated several
options for decision-making to the board. Thereby, the outcome was linked with
the theory where the chapter 5 showed the analysis of the several option premia of this valuation due to six scenarios of present value and four prices of exit.
The study concluded with the same comments on Trigeorgis (1993) where the
traditional NPV should not be scrapped, but rather should be seen as crucial and
necessary input to an options-based, expanded NPV analysis, i.e., expanded
(strategic) NPV equals static (passive) NPV of expected cash flows plus the value
of abandonment option from active management. In addition, the real options
theory helped the corporate management in two ways: framing their decision better
and creating value through flexibility for the company.
Key-words: Real Options, Capital Budget, Binomial Tree and Abandonment
Option.
II
1. Introdução
Geralmente, as decisões de alocação de capital são tomadas em função do valor que
estas podem agregar à empresa, porém, com poucos recursos e limitação de
informação. A forma de estimar esse valor depende, diretamente, da metodologia de
avaliação utilizada. Os métodos de avaliação mais largamente utilizados se
fundamentam em técnicas de fluxo de caixa descontado (FCD), onde os fluxos de caixa
gerados pelo projeto são projetados ao longo de sua vida útil e descontados a valor
presente, a uma taxa que reflete os riscos ou incertezas associadas a estes fluxos.
Trigeorgis (1998) interpreta que as técnicas de FCD assumem, implicitamente, que o
futuro ocorrerá de acordo com um cenário esperado e que as decisões gerenciais ao
longo da vida do projeto estão amarradas à estratégia de ação inicialmente projetada,
muito diferente do que normalmente ocorre na realidade.
Segundo Amran e Kulatilaka (1999), as técnicas tradicionais só funcionam
corretamente quando não existem opções associadas ao projeto, ou caso existam,
quando não verifica-se qualquer tipo de incerteza.
Pyndick (1991) considera que um dos problemas dos métodos tradicionais está no
fato de estes ignorarem duas importantes características, presentes em quase todas as
oportunidades de investimento: por um lado, os investimentos são, em muitos casos,
irreversíveis, isto é, são essencialmente sunk costs e, por isso, não podem ser
recuperados; por outro lado, os investimentos podem ser adiados, o que permite à
empresa esperar por nova informação (acerca de preços, custos ou outras condições de
15
mercado) antes de realizá-los (o valor presente líquido – VPL - pressupõe que o projeto
é do tipo ‘agora ou nunca’). Para o autor, quer a regra básica do VPL (teoricamente
dever-se-á investir se, e só se, o VPL de um projeto for positivo ou igual a zero), quer o
próprio modelo, estarão errados sempre que os investimentos forem irreversíveis e a
decisão de investir poderá ser adiada. Pyndick (1991) e Dixit e Pyndick (1995)
argumentam que a capacidade de adiar um investimento poderá afetar fortemente a
decisão de investir e, simultaneamente, aumentar o valor agregado da empresa.
Por outro lado, Trigeorgis e Mason (1987) e Trigeorgis (1988) defendem que o
VPL não consegue capturar e, portanto, avaliar, todas as fontes de valor associadas a
um determinado projeto. Para esses autores, há dois aspectos, em particular, que o
VPL ignora:
1 – A flexibilidade operacional que permite ao gestor tomar decisões, no futuro,
sobre o projeto. Para otimizar de forma estratégica em cada período de tempo, e à
medida que as incertezas se vão dissipando, o gestor tem a capacidade de tomar
decisões que afetem o projeto, a fim de maximizar ganhos e minimizar perdas diante de
incertezas;
2 – Determinar o melhor valor estratégico (strategic value) do resultado das
interações futuras nos portfolios de investimentos.
Para Myers (1987), o FCD encerra um conjunto de dificuldades, no entanto, aquela
que é mais difícil de ser ultrapassada prende-se às ligações que poderão ser
estabelecidas entre os investimentos atuais e as oportunidades futuras. Essa dificuldade
resulta do fato dessas oportunidades serem claramente opções e o FCD não ter qualquer
capacidade para avaliar.
Caracterizado pela incerteza em relação ao futuro e por interações competitivas
entre os participantes do mercado, os fluxos de caixa gerados dificilmente se igualarão
aos projetados na realidade das corporações. À medida que novos dados forem obtidos
e as incertezas gradualmente decididas, a estratégia de ação inicialmente definida
poderá ser alterada para refletir o novo cenário encontrado. Essa flexibilidade em agir
16
de acordo com o cenário observado acarreta uma assimetria na distribuição de valores
possíveis para o projeto. Essa assimetria agrega valor ao projeto, permitindo o
aproveitamento de situações favoráveis e limitando as possíveis perdas em situações
desfavoráveis. Desta forma, observa-se uma distância entre os modelos teóricos,
normalmente utilizados em decisões de orçamento de capital, e as decisões do dia a dia.
Essa distância está relacionada ao valor da flexibilidade de ação, ao não
comprometimento com uma estratégia de ação rígida, e à opção de decidir na presença
de novas informações. Uma metodologia mais adequada seria aquela que adicionasse
ao valor obtido pelas técnicas de FCD um prêmio que refletisse a flexibilidade da
diretoria em agir de forma pró-ativa.
A teoria de opções fornece ferramentas capazes de conceituar e quantificar esse
prêmio. Nesse contexto, as alternativas encontradas durante a vida de um projeto
podem ser vistas como opções sobre ativos reais, ou simplesmente, opções reais: a
opção de crescimento em um projeto, caso seja o pioneiro no lançamento de um bem
ou serviço; a opção de reduzir a escala, ou mesmo suspender temporariamente a
produção se as condições de mercado se mostrarem desfavoráveis; a opção de
abandonar a operação em função do mercado, etc. Em seu livro, Trigeorgis (1998) faz
um paralelo entre os parâmetros determinantes do valor de opções financeiras e os seus
correspondentes em opções reais. Por exemplo, o valor atual do ativo objeto pode ser
visto como o valor presente dos fluxos de caixa líquidos do projeto. Ele coloca ainda
que mesmo não se tratando de opções financeiras, que são geralmente negociadas em
mercados líquidos e competitivos, a teoria de opções pode ser utilizada na avaliação de
opções sobre ativos reais. Segundo o autor, não significa que os métodos tradicionais,
baseados em FCD, devam ser deixados de lado. Ao contrário, os métodos de FCD são
uma ferramenta crucial e necessária na determinação de alguns parâmetros de entrada
dos métodos de avaliação de opções.
1.1 - Objetivo
Comparar dois métodos de orçamento de capital - fluxo de caixa descontado (FCD)
e a teoria de opções reais (FCD expandido) – em um estudo aplicado na unidade
regional na empresa Estacas Franki Ltda., quando esta enfrentou o problema de
17
volatilidade da rentabilidade de sua operação, no Nordeste, durante o período de 1997
até 2000. Em 2001, a empresa possuía um escritório que cuidava dos assuntos
administrativos e uma oficina onde era feita a manutenção de máquinas e peças. Além
disso, a Unidade de Negócios possuía duas equipes de operação para atender a todos os
Estados da região Nordeste do Brasil. O processo de venda era iniciado a partir de uma
carta convite (estrutura parecida com edital de licitação) feita pela construtora
ganhadora ou fazedora da obra, e as empresas convidadas enviavam seus preços e
prazos para execução do serviço de fundação do empreendimento a ser construído.
Devido à variação da rentabilidade da operação nos últimos quatro anos, os executivos
da empresa faziam a seguinte pergunta: o que fazer com a Regional Nordeste? A partir
dos métodos de orçamento de capital mencionados acima, este estudo pretende dar um
insight sobre a valoração da Unidade de Negócios ao corpo diretor da empresa.
1.2 - Motivação
Na literatura sobre opções reais, é bastante disseminada a idéia de que as técnicas
de orçamento de capital que utilizam FCD são, muitas vezes, inadequadas, dado que
são incapazes de relacionar corretamente a flexibilidade às decisões, em função de
mudanças repentinas no ambiente (Trigeorgis, 1993 e Dixit e Pindyck, 1995). Essas
técnicas incluem o valor presente líquido (VPL), a taxa interna de retorno (TIR), o
retorno do investimento (Payback) e a análise por árvores de decisão (Ross,
Westerfield e Jaffe, 1996).
A origem dessas técnicas está na avaliação de títulos de renda fixa, onde os fluxos
de caixa são fixos e conhecidos. Porém, ao serem utilizadas pelos analistas na
avaliação de projetos, assumem premissas de cenários estáticos e uma atitude passiva
por parte dos tomadores de decisão, responsáveis pela estratégia definida
anteriormente, desconhecendo qualquer tipo de flexibilidade. Há situações, no entanto,
em que esses métodos podem ser corretamente aplicados, desde que suas premissas
básicas sejam avaliadas (Hodder e Riggs, 1985 e Smith e Nau, 1995).
A flexibilidade dos tomadores de decisão em adaptar as decisões futuras em
resposta às alterações nas condições do mercado, aumenta o valor de um investimento
18
ou projeto, ao permitir o aproveitamento das situações favoráveis limitando, porém, os
prejuízos oriundos de situações desfavoráveis. Essa assimetria possibilita considerar
essa flexibilidade como uma opção nas mãos da gerência que pode decidir, a seu
critério, quando e como alterar os seus rumos estratégicos.
Fazendo um paralelo com as opções financeiras, as opções estratégicas dão ao
detentor o direito, mas não a obrigação, de vender ou comprar um determinado ativo (o
ativo subjacente) por um determinado preço (o preço de exercício) até uma
determinada data limite (a data de exercício) (Trigeorgis, 1998).
A utilização dessa visão no orçamento de capital possui a vantagem de capturar e
quantificar o valor da flexibilidade oriunda de uma gerência ativa em face às opções
estratégicas – abandono, investimento, shut-down da operação, por exemplo. Esse
valor se apresenta tipicamente como um conjunto de opções reais embutidas em
oportunidades de investimentos. Em sua forma mais simples, as opções reais têm
como ativo subjacente de fundo o valor presente dos fluxos de caixa operacionais do
projeto e como preço de exercício o valor presente (na data de exercício) de seu custo
de implementação. Outras formas de opções reais incluem a opção de adiamento, a
opção de mudança na escala de produção, a opção de troca de insumos/produtos finais
etc.1 No entanto, apesar das críticas, os métodos de FCD, quando bem aplicados,
devem chegar aos mesmos resultados obtidos pelo método de opções reais. O que se
quer ressaltar é que este último pode tornar a análise mais simples. O princípio de
neutralidade a risco (Cox, Ross e Rubinstein, 1979) permite que a análise dependa
menos da estimativa de parâmetros, como taxas de descontos e probabilidades de
cenários, ao utilizar valores facilmente observáveis.
O presente trabalho se enquadra na área de Finanças Corporativas, mais
especificamente sob o tema Orçamento de Capital, onde se utiliza técnicas de avaliação
de opções financeiras. A utilização dessas técnicas como ferramenta na avaliação de
projetos envolvendo ativos reais talvez ainda seja uma prática pouco explorada entre os
profissionais brasileiros, sobretudo, em empresas de sociedade limitada.
1 Estes diversos tipos de opções reais serão discutidos no capítulo sobre o referencial teórico.
19
Além disso, este estudo permite uma comparação entre a metodologia tradicional
de avaliação de projetos, por meio da avaliação econômico-financeira da Regional
Nordeste da Estacas Franki, e a técnica de opções reais, i.e. a flexibilidade somada à
metodologia tradicional de avaliação de projetos.
Por fim, a experiência da utilização do método poderá servir como referência para
trabalhos futuros sobre o assunto, principalmente nos seguintes aspectos: adequação ou
não do método para avaliação de projetos; e adaptações necessárias ao modelo a fim de
torná-lo utilizável na prática.
1.3 - Delimitação do estudo
As opções reais existem em quase toda decisão de negócio e tendem a aparecer em
várias formas. “A maior parte do desafio de se considerar a abordagem das opções nas
estratégias repousa na identificação da gama total de opções que se possui,
separando-as umas das outras e decidindo-se qual é a de maior valor” (Amram e
Kulatilaka, 1999).
Baseando na frase de Amram e Kulatilaka, pode-se dizer que a área de opções reais
como ferramenta de avaliação é bastante vasta e diversificada, por isso, é bastante
difícil abordar detalhadamente todas as ramificações do tema. Desta forma, será
estudada em maior profundidade a opção real associada com o caso, que é a opção de
abandono da Regional Nordeste.
Como esta pesquisa trata de um caso real, serão utilizadas apenas as informações
disponibilizadas pela Empresa Estacas Franki na época em que foi feita a avaliação
econômico-financeira da Regional Nordeste. Com isso, pretende-se obter resultados
que sejam comparáveis aos das avaliações tradicionais. Para tanto, serão consideradas
as informações acerca da receita operacional da Regional, taxa de desconto e custos em
geral até o mês de dezembro de 2001.
20
1.4 - Descrição do trabalho
Este trabalho foi organizado da maneira que se segue. No Capítulo 2, o caso da
Empresa Estacas Franki foi descrito detalhadamente. Foram fornecidos todos os
parâmetros utilizados, necessários ao desenvolvimento dos modelos de opções reais.
Em seguida, no Capítulo 3, foi feita uma vasta revisão bibliográfica, onde se analisou
os principais trabalhos de pesquisadores da área. No Capítulo 4, foi desenvolvido o
modelo para a opção real considerada: a opção de abandono. Inicialmente, fez-se um
desenvolvimento teórico visando ao embasamento do modelo e, ao final, foram
apresentadas as questões mais práticas relativas à aplicação do modelo proposto. Em
seguida, os resultados obtidos foram apresentados e comentados e foi feita uma
comparação destes resultados com os métodos de FCD. Finalmente, o Capítulo 6
conclui o trabalho e apresenta algumas sugestões para o seu prosseguimento.
21
2. Exposição do Caso
A Estacas Franki Ltda é uma empresa de construção civil fundada no Brasil em
1935. Os fundadores da Franki vieram da Bélgica, de onde trouxeram um produto
chamado de Estacas Franki, invenção do Eng.º Edgard Frankignoul que a patenteou em
1909. Com a colaboração de Armand Baar, Frankignoul fundou a sua própria
sociedade em 1910, denominada de Pieux Armés Frankignoul S.A. Já em 1911, com
uma carteira de obras que ultrapassava amplamente as fronteiras da Bélgica, os
dirigentes decidiram fundar uma nova sociedade com capital social de 1 milhão de
francos belgas - a Campagnie Internationale des Pieux Armés Frankignoul S.A - que,
no ano de 1935, viria a se constituir na matriz Estacas Franki Ltda (Estacas Franki,
2000).
O produto - estaca tipo Franki no Brasil, ganhou rapidamente espaço no mercado
construtor. É uma estaca de concreto armado moldada no solo, que usa um tubo de
revestimento cravado dinamicamente no terreno, com ponta fechada, derramando-se
dentro do mesmo mistura de brita e areia, socada energicamente com um pilão de
queda livre com peso mínimo que varia de 1 a 3 toneladas, caindo de vários metros de
altura. Sob os golpes do pilão, a mistura de brita e areia forma, na parte inferior do
tubo, uma "bucha" estanque, fortemente comprimida contra as paredes do tubo. Ao se
bater com o pilão na bucha, a mesma arrasta o tubo e, graças a ela, a água e o solo não
podem penetrar, obtendo-se, ao final de cravação, uma forma absolutamente estanque
(Estacas Franki, 1976).
22
Quando o tubo atinge a profundidade prevista, é levantado ligeiramente e mantido
fixo aos cabos do bate-estaca, expulsando-se a bucha por meio de golpes do pilão, com
o cuidado de deixar no tubo uma certa quantidade de bucha que garanta a
estanqueidade.
Nessa fase de execução, e ainda sob golpes do pilão, introduz-se concreto seco no
terreno, provocando a formação de um bulbo que constitui a base alargada da estaca.
A seguir, coloca-se a armação da estaca, constituída de barras longitudinais e
estribos soldados, passando-se, então, à fase de concretagem do fuste da estaca que
consiste em compactar com o pilão pequenas quantidades de concreto, com fator água -
cimento baixo, ao mesmo tempo em que se vai recuperando o tubo, tendo-se o cuidado
de deixar no mesmo uma quantidade suficiente de concreto a fim de impedir a entrada
de água e de solo.
Com esse produto, a Empresa se expandiu, a partir da sede do Rio de Janeiro,
alcançou as cidades de Porto Alegre, São Paulo, Recife, Curitiba, Belo Horizonte e
Salvador, criando escritórios regionais, sendo que, em alguns casos, como: Porto
Alegre, São Paulo e Recife, montou-se uma estrutura organizacional mais complexa,
abrangendo, além do Departamento Comercial, áreas de Operação, Equipamentos e
Abastecimento, Administrativa e Financeira.
A Estaca tipo Franki foi adotada nos meios acadêmicos. Os engenheiros de
construção civil com especialização em fundações e mecânica dos solos, formados na
década de 1950, necessariamente deveriam conhecer o produto. A partir de 1960, após
ter expirado a licença da patente, o método “Franki” entrou para o domínio público,
houve a oportunidade de executar algumas centenas de milhares de estacas, abrangendo
quase totalidade dos estados brasileiros, participando do avanço tecnológico dos tipos
de fundações em nosso país e criando uma série de processos executivos adaptáveis às
condições mais diversas de solo encontrado no território nacional.
A expansão da Estacas Franki Ltda. ocorreu até os idos de 1984, ocasião em que
começou a sentir os efeitos da forte concorrência no mercado brasileiro de fundações,
23
sobretudo, de pequenas empresas regionais que passaram a competir, utilizando mão de
obra e tecnologia apreendidas em vários anos de trabalho na escola de fundações
denominada Franki. Os empresários já eram reconhecidos tecnicamente no mercado
nacional.
O faturamento da Estacas Franki Ltda., em 1985, despencou para algo em torno de
US$ 15 mil, quando até o ano anterior nunca havia baixado dos US$ 40 mil. Ocorreu,
então, o primeiro empréstimo à matriz na Bélgica, o socorro veio acompanhado de
duras medidas de reengenharia. Além da sede no Rio de Janeiro, a empresa ficou
reduzida às Regionais de São Paulo e Recife.
O eixo Rio/São Paulo mantém-se, a despeito da forte concorrência dos dias atuais,
como o principal propulsor de negócios da empresa. Pela sua localização, a Regional
Recife passou a ser uma incógnita, entretanto, o baixo custo operacional conseguia
mantê-la em aparente equilíbrio. Porém, nos últimos 4 anos, a unidade suscitou alguns
questionamentos por parte da diretoria, tais como abandonar a Regional, ou continuar a
operação.
Tabela 1: Dados da Receita Operacional Líquida e o EBITDA da Regional.
Ano 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Rec Op2 1.221.156 1.592.746 425.053 296.052 340.689 579.524 266.290
EBITDA3 88.510 531.651 (48.830) 4.800 (147.228) 115.876 (111.305)
Fonte: Depto. Financeiro – Estacas Franki
A Regional Recife estava fundamentada sobre os seguintes recursos em dezembro
de 2001: Recursos Humanos - 1 engenheiro operacional, 1 engenheiro comercial (não
faz parte do quadro funcional), 2 equipes completas de bate-estacas envolvendo 10
especialistas e 2 serventes, 1 encarregado de oficina e 1 mecânico, 2 vigias e 1
secretária; Recursos de Máquinas - 1 bate-estaca Franki auto propulsor, tipo XVII -E,
com deslocamento hidráulico sobre platô e capacidade de executar estacas até 20
2 Receita Operacional Líquida em moeda corrente (R$).
3 EBITDA – Geração Operacional de Caixa da Unidade Regional em moeda corrente (R$)
24
metros de comprimento (Фmáx = 520 mm), 1 bate-estaca Franki auto propulsor, tipo
XIII, com deslocamento sobre rolos e capacidade de executar estacas até 28 metros de
comprimento (Фmáx = 700 mm), diversos equipamentos e acessórios para execução de
estacas Franki ou estacas pré-fabricadas em aço ou concreto, tais como: betoneiras,
grupos de solda, dumpers, tubos de cravação, bombas, martelos de queda livre, martelo
Kobe (K35) a diesel e pilões; Instalações da Regional - 1 escritório situado na Rua
Carlos Porto Carreiro, 190 - Centro – Recife, nas salas 401, 403, 404, 405, 501 a 505, 1
depósito/oficina situado na Rua São Matheus, 890 Iputinga - Recife.
Os serviços oferecidos pela Regional Nordeste eram: execução de estacas tipo
Franki em qualquer diâmetro e cravação de estacas pré-moldadas de concreto, perfis
metálicos e trilhos.
Cabe registrar que nos grandes centros, em terrenos confinados, esses tipos de
estacas vêm sendo, pouco a pouco, substituídos por produtos com baixo nível de
vibração, estacas que não representam ameaça aos prédios vizinhos, sobretudo, àqueles
mais antigos.
No Nordeste, os principais concorrentes da Estacas Franki eram, por ordem de
importância, os seguintes: Fundações Rossi (Recife), Pellegrino (Recife), Fundações
(Fortaleza), Solos (Recife) e outras de menor porte.
As estacas mais utilizadas na região eram as pré-moldadas e as tipo Franki. Aos
poucos, vinha sendo introduzida no Nordeste a estaca hélice contínua, que é um
produto quase isento de vibrações.
São pontos fortes da Estacas Franki no Nordeste: a marca, o pessoal capacitado e
com vasta experiência, prazo de execução das obras menor do que o dos concorrentes.
Por outro lado, os pontos fracos que sobressaíam eram os preços, a falta de
equipamento para alternativa de fundações que não fosse a estaca tipo Franki e a
demora para a instalação (montagem) do equipamento na obra.
25
O mercado imobiliário e as obras públicas como pontes, viadutos e termelétricas
eram os grandes fatores a influenciar obras de fundação na Região Nordeste.
Gráfico 1: Participação por classe de cliente na Região Nordeste, nas Obras de
Construção Civil – Período entre 1995 à 2001.
Fonte: Depto. Comercial – Estacas Franki Ltda.
Dada a perda de rentabilidade da Unidade de Negócios no Nordeste, a decisão de
encerramento da operação foi enfrentada pela diretoria da Estacas Franki no ano de
2001. A quantidade (metros de estacas) e o custo operacional são as variáveis de
incerteza do negócio. Nem sempre havia obras suficientes, isto é, produtividade que
pudesse atingir o ponto de equilíbrio da Unidade de Negócios. Além disso, a
mobilização de máquinas no canteiro da obra e a tecnologia superior exigida pelos
contratantes faziam encarecer o preço e reduziam a participação de obras residenciais
que exigem pouca tecnologia em estaqueamento, as quais representavam 58% das
obras da região em 2001. Entretanto, os segmentos de obras públicas – 23% e
industrial – 8% representam o nicho de mercado da empresa. Desta forma, o problema
da empresa era definir quando seria melhor abandonar a operação, já que havia uma
forte volatilidade na rentabilidade da Unidade de Negócios.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Ano
Pe
rce
ntu
al
(%)
Residencial
Comercial
Industrial
Obras Públicas
26
3. Referencial Teórico
3.1 - Teoria das Opções Financeiras
A opção é um instrumento que dá a seu comprador (titular) um direito futuro sobre
algo, mas não uma obrigação; e a seu vendedor, uma obrigação futura, caso solicitado
pelo comprador da opção. A opção está relacionada a um ativo subjacente e dá
liberdade para o seu titular comprá-la ou vendê-la por um preço fixo chamado preço de
exercício antes ou na mesma data de vencimento dela. Desde que o titular da opção
possua um direito, ele(a) pode escolher em não exercer o seu direito e permitir que a
opção se expira. Existem dois tipos de opções: opções de compra (call options) e
opções de venda (put options) (Hull, 1997).
Nas opções de compra, o detentor do direito (titular ou comprador da opção) tem o
direito de comprar algo (objeto da negociação) por determinado preço (ou preço de
exercício). As pessoas que querem possuir um bem no futuro comprarão essa opção,
garantindo assim o preço máximo de compra do bem. Quem possuir o bem hoje,
poderá dispor do mesmo em data futura, é o vendedor dessa opção que adquire a
obrigação futura de entregar o bem, ao valor acordado (ou preço de exercício),
mediante o recebimento presente do prêmio. Se até o prazo de vencimento da opção, o
valor do ativo objeto for menor do que o preço de exercício, a opção não será exercida,
expirará sem valor. Se, por um outro lado, o valor do ativo objeto for maior do que o
preço de exercício, a opção será exercida – o titular da opção compra a ação pelo preço
de exercício e a diferença entre o valor do ativo e o preço de exercício representará o
27
lucro bruto do investimento. O lucro líquido do investimento será a diferença entre o
lucro bruto e o preço pago pela call inicialmente.
O resultado da operação com a opção de compra é ilustrado no diagrama abaixo.
(1) Opção de compra: Máximo (Valor do ativo – preço de exercício, 0)
Gráfico 2: Valores de opção de compra com mesmo preço de exercício e de uma
unidade do ativo subjacente na data de exercício, em função do preço do ativo objeto.
Nas opções de venda, o comprador da opção tem o direito de vender algo por
determinado preço. As pessoas que possuem o bem e o negócio em data futura
comprarão a opção de venda sobre este bem, garantindo, desta forma, o preço mínimo
de venda da mercadoria. O vendedor da opção terá a obrigação de comprar o ativo, se
assim solicitado pelo titular da put. Se o preço do ativo subjacente for maior do que o
preço de exercício, a opção não será exercida, expirará sem valor. Se, por um outro
lado, o preço do ativo subjacente for menor do que o preço de exercício, o titular da
opção put exercerá a opção e venderá a ação pelo preço de exercício, realizando o lucro
bruto pela diferença entre o preço de exercício e o valor de mercado do ativo
subjacente. Novamente, o lucro líquido será a diferença entre o lucro bruto e o preço
pago pela put.
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Ativo-objeto Opção de compra
28
O resultado da operação com a opção de venda é ilustrado no diagrama abaixo.
(2) Opção de venda: Máximo (Preço de exercício – valor do ativo, 0)
Gráfico 3: Valores de opção de venda com mesmo preço de exercício e de uma
unidade do ativo subjacente na data de exercício, em função do preço do ativo subjacente.
O desenvolvimento da teoria de opções financeiras teve como base o estudo
mostrado por Black and Scholes (1973), que desenvolveram uma fórmula matemática
para avaliação da opção européia 4. A contribuição desse trabalho para a área de
finanças foi a metodologia proposta. A elaboração de uma carteira dinâmica,
independente das preferências ao risco de seu detentor, permitiu que fosse utilizada
uma taxa livre de risco para descontar as remunerações futuras da opção.
Após a apresentação dessa metodologia, surgiram vários estudos que generalizaram
os conceitos ora apresentados. Uma das generalizações realizadas foi o estudo
comparativo entre uma opção call européia, onde o ativo objeto paga dividendos, e
uma opção call americana5, onde o ativo subjacente não paga dividendos (Merton,
4 Opção que dá o direito ao titular do exercício somente na data de vencimento.
5 Opção que dá o direito ao titular do exercício até a data de vencimento.
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Ativo-objeto Opção de venda
29
1973). O resultado dessa pesquisa mostrou que os dois tipos de opção possuem o
mesmo valor, sugerindo que não será ótimo exercer antecipadamente uma opção de
compra americana quando o ativo subjacente não pagar dividendos.
O valor de uma opção é determinado pelo número de variáveis relacionadas com o
ativo subjacente e o mercado financeiro (Damodaran, 1994).
1 – Valor Atual do Ativo Subjacente: Opções são ativos cujo valor deriva de um
ativo subjacente. Conseqüentemente, as mudanças do valor do ativo objeto afetam o
valor da opção atrelada a este ativo. Por exemplo, as calls oferecem o direito à compra
do ativo objeto por um preço fixo, portanto, um crescimento no valor do ativo
aumentará o valor da opção de compra. Por um outro lado, as puts tornam-se menos
valiosas quando o valor do ativo aumenta.
2 – Variância do Valor do Ativo Subjacente: O titular de uma opção adquire o
direito de comprar ou vender o ativo subjacente por um preço fixo. Quanto mais alta
for a variância no valor do ativo subjacente, maior será o valor da opção. Isso ocorre
tanto para as opções de compra quanto para as opções de venda. Enquanto esse fato
pode parecer contra intuitivo que um crescimento na mensuração do risco (variância)
deveria aumentar o valor, as opções são diferentes de outros títulos (tal como ação em
bolsa de valores) já que os titulares das opções podem nunca perder mais que o valor
de aquisição da opção. De fato, eles têm um enorme potencial para ganhar expressivos
retornos devido ao grande movimento dos preços do ativo objeto.
3 – Dividendos Pagos pelo Ativo Subjacente: O valor do ativo subjacente pode ter
expectativa de baixa caso os pagamentos dos dividendos sejam feitos durante o ‘tempo
de vida’ da opção. Conseqüentemente, o valor de uma opção de compra diminui
quando aumenta a expectativa de pagamento de dividendos. Por um outro lado, o valor
da opção de venda aumenta.
4 – Preço de Exercício da Opção: Uma característica usada para descrever uma
opção é o preço de exercício. No caso da call, onde o titular adquire o direito de
comprar por um preço fixo, o valor diminuirá quando o preço de exercício aumentar.
30
No caso da put, onde o titular adquire o direito de vender por um preço fixo, o valor
aumentará quando o preço de exercício aumentar.
5 – Tempo de Vencimento da Opção: Ambos os tipos de opções - compra e venda -
se valorizam quanto maior for o tempo de vencimento. Isso se deve ao fato de que um
período maior de vencimento resulta em um tempo maior para que o valor do ativo
possa se mover, aumentando o valor de ambas as opções. Adicionalmente, no caso da
opção de compra, o valor presente do preço fixo da data de exercício decresce quando
o ‘tempo de vida’ da opção aumenta, elevando o valor da opção de compra.
6 – Taxa Livre de Risco Correspondente à Vida Opção6: Quando o investidor
adquire a opção, um custo de oportunidade está envolvido na transação. Esse custo
dependerá do nível das taxas de desconto e do prazo de vencimento da opção. A taxa
de desconto livre de risco também entra na avaliação da opção quando o valor presente
do preço de exercício é calculado, desde que o preço de exercício não tenha sido pago
(recebido) antes da expiração da call ou da put. O aumento da taxa de desconto
aumenta o valor da opção de compra e diminui o valor da opção de venda.
A tabela abaixo resume as variáveis e os efeitos previstos na call e na put.
Tabela 2 - Resumo das Variáveis que afetam as Calls e as Puts
Fator Valor da Call Valor da Put
Aumento do valor do ativo objeto Cresce Decresce
Aumento do preço de exercício Decresce Cresce
Aumento da variância
(volatilidade) do ativo objeto
Cresce Cresce
Aumento do prazo de vencimento Cresce Cresce
Aumento da taxa de desconto Cresce Decresce
Aumento dos dividendos pagos Decresce Cresce
6 Haverá um comentário maior sobre este conceito no tópico sobre Taxa Livre de Risco
31
3.2 – Arbitragem
É um dos principais conceitos da teoria de avaliação de ativos derivativos. O
primeiro trabalho a utilizar esse conceito foi Black e Scholes (1973). A definição de
arbitragem é bastante simples, significa tomar posições simultâneas em diferentes
ativos, de tal forma que um deles garanta um retorno livre de risco maior do que o
retorno do ativo livre de risco do mercado. Se existir lucro, então, há uma
oportunidade de arbitragem no mercado.
Os conceitos de arbitragem são utilizados para definir o preço justo de um ativo
financeiro, como contratos a termo, contratos futuros, opções e swaps. O preço justo
de um ativo é aquele obtido em um ambiente livre de oportunidades de arbitragem.
3.3 - Mercado Completo
Um mercado se diz completo quando existem ativos suficientes para reproduzir a
remuneração de um título derivativo, como por exemplo, uma opção. Já um mercado
incompleto é aquele onde a remuneração de um título derivativo não pode ser replicada
utilizando-se os ativos existentes.
A completude é uma característica altamente desejável para a avaliação de direitos
contingenciais. Se um mercado é completo, então, uma opção pode ser avaliada
utilizando-se argumento de ausência de arbitragem, ou seja, o valor da opção é dado
pelo valor esperado no vencimento, descontado por uma taxa de juros livre de risco.
Caso o mercado não seja completo, a taxa de juros livre de risco não pode ser utilizada
como taxa de desconto dos fluxos de caixa futuros (Castro, 2000).
3.4 – Taxa Livre de Risco
O processo de investimento pode ser definido como a aplicação de recursos em
algo que não proporciona satisfação imediata, na expectativa de que esta satisfação
ocorra no futuro (Archer e Dambrosio, 1969). Essa satisfação, que deverá ocorrer no
futuro, em detrimento da satisfação presente, é vista pelo investidor como uma troca.
32
Segundo Jensen e Meckling (1994), os indivíduos são maximizadores de sua função
utilidade, e para maximizá-la realizam trocas e substituições tanto de produtos físicos
como de recursos intangíveis, como tempo e a segurança, por outros recursos que
proporcionem maior satisfação. A capacidade de avaliar ativos tangíveis e intangíveis
permite, por exemplo, que um esportista amador troque seus recursos financeiros pelo
equipamento necessário à prática de seus esportes favoritos (recursos tangíveis) e que
troque o conforto e segurança de casa pelo prazer proporcionado pela prática de um
esporte de risco (recursos intangíveis). A única constante na decisão do investidor
parece ser a utilidade marginal proporcionada pela troca, e enquanto esta utilidade
marginal for percebida como maior do que zero, o investidor tende a realizar a
substituição. Seguindo essa lógica, o investimento financeiro pode ser considerado,
então, uma troca de moeda presente por uma quantidade maior de moeda no futuro,
sendo a diferença entre ambos os juros da aplicação, que corresponde ao pagamento (i)
pelo risco presente de perda da aplicação e (ii) pela postergação do consumo ou
satisfação do investidor. Caso seja desconsiderado a variável risco no investimento
realizado, a diferença entre o montante investido e o montante recebido ao final da
aplicação deverá se constituir unicamente no pagamento pela postergação do consumo,
correspondendo à taxa livre de risco. Investimento dessa natureza acontecerá sempre
que a satisfação marginal, proporcionada pelo montante recebido a mais no futuro,
superar a insatisfação decorrente de se postergar o consumo, somado à insatisfação
pelo próprio processo de investimento.
A existência de uma taxa livre de risco na economia foi discutida por Fisher (1954),
para quem a impaciência do investidor deveria ser remunerada7. Segundo o autor, a
taxa livre de risco é a taxa sobre empréstimos praticamente destituídos de risco. A
melhor aproximação para essa taxa seria dada pelas taxas dos títulos sem risco, de
prazos fixos e não passíveis de serem transferidos freqüentemente antes do vencimento.
Esse enfoque eliminaria da análise tanto o risco do título quanto a possibilidade de uso
do mesmo como dinheiro efetivo, de modo que o “preço por esperar” poderia ser
mensurado adequadamente.
7 Ao se falar da remuneração da taxa livre de riscos, tem-se de levar em conta o efeito da inflação, de modo
que esta taxa também livre o investidor do efeito da corrosão do poder de compra de seus recursos.
33
Para explicar o preço do tempo, Fisher (1954:64) recorre ao conceito de enjoyment
income, segundo o qual:
“... the consumers prefers the service of milling flour in the present to milling flour
in the future because the enjoyment of the resulting bread is avaiable earlier in one
case than in the other. The manufacturer prefers present weaving to future weaving
because the earlier the weaving takes place the sooner will be able to sell the cloth and
realize his enjoyment income”.
A taxa livre de risco é regida unicamente pela impaciência de consumo dos
aplicadores, sendo este grau de impaciência, em parte, função do fluxo de renda total,
tanto no presente quanto da renda esperada no futuro. Segundo Fisher (1954), pode-se
afirmar que, em geral, quanto menor a renda, maior a preferência pela renda presente
ao invés da futura. Por exemplo, esse conceito torna a análise de risco de economias
emergentes mais complexo por elas apresentarem, de modo geral, baixos níveis de
poupança e renda per capta, ambos associados ao alto risco, possuindo tendência a
apresentar níveis elevados de taxas de juros. Entretanto, sendo difícil a separação entre
os dois efeitos e a conseqüente observação de taxa livre de riscos na economia.
3.4 - Teoria das Opções Reais
Nos métodos tradicionais de orçamento de capital, um projeto ou investimento
deveria ser aceito somente se o retorno do projeto superasse a taxa de barreira; no
contexto de fluxos de caixa e taxas de desconto, isto seria traduzido em projetos com
valor presente líquido positivo. As limitações desses modelos são comentadas por
Brennan e Schawartz (1990) que apontam dois fatores importantes: o primeiro se refere
à estimação dos fluxos de caixa futuros onde não são levadas em conta modificações
que podem ser feitas em função da atuação da gerência; e o segundo se refere à taxa de
desconto utilizada, que reflete o risco do projeto - é considerada fixa - mesmo que esta
atuação modifique de forma substancial o risco. Em relação à taxa de desconto, há
ainda muita discussão sobre como determiná-la de forma adequada. Diversos autores
apresentam formas distintas de determinação da taxa de desconto (Copeland, Koler e
Murrin, 1996; Ross, Westerfield e Jaffe, 1996; Brealey e Myers, 2000), havendo, no
34
entanto, duas formas mais comuns. Quando o investimento ou projeto apresentar risco
semelhante ao da empresa, será sugerida a utilização do custo médio ponderado de
capital - WACC (Weighted Average Cost of Capital), enquanto a utilização do modelo
CAPM (Capital Asset Pricing Model) será aconselhada quando os riscos não podem
ser considerados equivalentes.
Nos anos 80, as limitações dos métodos tradicionais de orçamento de capital e
técnicas de FCD vinham se tornando cada vez mais aparentes. Trigeorgis (1998)
comenta em seu livro que alguns especialistas propunham técnicas de análise
alternativas, havendo inclusive aqueles que propunham o abandono de técnicas
quantitativas na avaliação de grandes investimentos. No entanto, os trabalhos clássicos
de Black e Scholes (1973) e Merton (1973) contribuíram decisivamente para o
desenvolvimento de uma metodologia quantitativa para a avaliação de projetos com
opções estratégicas embutidas. Desta forma, os primeiros trabalhos sobre opções reais
avaliavam projetos de investimento na indústria do petróleo mundial (Paddock,, Siegel,
Smith, 1988; Brennan e Schwartz, 1990), consideravam a oportunidade de
investimento uma opção e não uma obrigação.
Segundo Trigeorgis (1998), as opções reais podem ser apresentadas de diversas
formas no decorrer de um projeto-ver Tabela 3. Muitos trabalhos oferecem uma visão
geral do método, apresentando as razões para o seu desenvolvimento e suas principais
aplicações (Luehrman, 1997, 1998; Dixit e Pindyck, 1995; Kulatilaka e Marcus, 1988).
Por exemplo, Kulatilaka e Marcus (1988) apresentam uma formulação geral para
opções reais. Esses autores aconselham que as opções reais presentes em ambientes
corporativos devem ser vistas como casos particulares de uma definição mais geral.
Nessa definição, cada caso é analisado como uma opção de mudança em um
determinado estado de operação para outro, como, por exemplo, operar ou suspender,
abandonar agora ou esperar etc. Segundo os autores, se os modos de operação e os
custos de mudança fossem interpretados de maneira apropriada, todas as opções reais
se tornariam casos especiais de uma formulação mais geral, uma opção de
flexibilidade.
35
Tabela 3 – Classificação de Opções Reais por Categoria8
Categoria Descrição Importância
Opção de
adiamento do
início do projeto
A empresa possui um arrendamento (que pode
ser visto como uma opção de compra) de x anos
sobre um terreno ou recurso. Ela pode esperar e
ver se as condições de mercado serão
favoráveis ao desenvolvimento do projeto.
Indústrias de extração de recursos
naturais; projetos imobiliários;
agropecuária; indústrias de papel.
Opção de
escalonamento das
etapas de um
projeto
O escalonamento dos desembolsos cria a opção
de abandono no meio de um empreendimento
se a situação não for favorável. Cada estágio do
investimento pode ser visto como uma opção
sobre o valor dos estágios seguintes.
Indústrias intensivas em P&D;
Projetos longos e intensivos em
capital.
Opção de alteração
na escala de
produção(expandir;
retrair; parar e
recomeçar)
Se as condições de mercado forem mais
favoráveis/desfavoráveis do que o previsto, a
escala de produção poderá ser
expandida/retraída. Em casos extremos, a
produção pode ser interrompida e retomada em
um momento futuro.
Indústrias de recursos naturais;
planejamento e construção de
indústrias em mercados cíclicos.
Opção de abandono Se as condições de mercado se deteriorarem
severamente, a gerência terá a opção de
encerrar o negócio pelo valor de liquidação dos
ativos.
Indústrias intensivas em capital
(ferrovias, empresas aéreas);
Introdução de novos produtos em
mercados incertos; serviços
financeiros.
Opção de troca
(insumos ou
produtos finais)
Se a demanda ou os preços mudarem, a
gerência terá a opção de alterar o mix de
produtos finais (flexibilidade de produção). Por
outro lado, os mesmos produtos finais podem
ser produzidos com a utilização de insumos
distintos (flexibilidade de processo), em função
dos preços destes.
Bens produzidos em pequenos
lotes ou sujeitos a uma demanda
volátil; eletrônicos de consumo;
brinquedos; Indústria química;
plantas de geração de energia
elétrica.
Opção de
crescimento
Um investimento inicial (P&D, concessões,
aquisição estratégica) é um pré-requisito em
uma cadeia de projetos inter-relacionados,
abrindo oportunidades de crescimento futuro
(novo produto ou processo, acesso a novos
mercados, reservas de recursos naturais etc.).
Empresas com operações
internacionais; indústrias de alta
tecnologia; P&D; aquisições
estratégicas.
Opções múltiplas
correlacionadas
Projetos reais normalmente envolvem um
conjunto de opções. Devido à possível sinergia
entre os diversos projetos, o valor combinado
destes projetos pode diferir da soma de seus
valores separados.
Projetos reais na maioria das
indústrias listadas acima.
Fonte: Trigeorgis (1998), pp.2 e 3.
3.5 - Aplicação das Opções Reais
Uma importante fonte de valor para projetos é a possibilidade de abandono caso as
condições se tornem desfavoráveis. Essa possibilidade se assemelha a uma opção de
venda com o preço atual do ativo subjacente igual ao valor presente do projeto e preço
8 Tradução Livre
36
de exercício e igual ao valor residual de abandono do projeto (Berger, Ofek e Swary,
1996). A opção deverá ser exercida quando estiver “dentro do dinheiro”.9 Esse tipo
particular de opção real é analisado por Kemna (1993) em cujo trabalho apresenta uma
situação real envolvendo uma planta de refino de petróleo. As análises baseadas em
FCD apontam para o abandono do projeto em função da oferta saturada no mercado e
das baixas margens de lucro. No entanto, quando é feita a análise do projeto como uma
opção real, são definidas faixas (em função da volatilidade dos preços) onde não é
ótimo abandonar o projeto.
A opção de adiamento de um investimento capturará os benefícios decorrentes da
resolução progressiva das incertezas e é equivalente a uma opção de compra americana.
Bronstein (2000) avalia, em sua dissertação de mestrado, a opção de adiamento da
operação de um dado investimento. Kemna (1993) apresenta também um caso real de
opção de adiamento envolvendo um arrendamento de uma jazida petrolífera. O autor
utiliza o modelo de Black-Scholes adaptado para o pagamento de dividendos (Merton,
1973), representados pelos fluxos de caixa que a empresa deixa de receber caso o início
da exploração seja adiada. O autor conclui que mesmo quando o valor presente líquido
do projeto é menor do que os custos de implementação, a opção de adiamento tem
valor. Adicionalmente, Copeland e Antikarov (2001) analisam uma opção de
adiamento como uma opção de aprendizado. Essas opções aparecem quando a empresa
se dispõe a investir na aquisição de conhecimentos (por exemplo, reduzir a incerteza
em P&D) e a utilizá-los como forma de otimizar decisões futuras, ou seja, aumentar o
valor da opção.
A opção de alteração da escala de produção pode também aumentar o valor de um
projeto. Por exemplo, a administração pode optar por construir capacidade superior ao
nível previsto de produção a fim de fabricar mais, caso o produto tenha mais sucesso
do que o esperado. Por outro lado, quando as condições de mercado não são favoráveis
para a produção, a administração pode decidir suspender temporariamente a produção,
até que o mercado dê sinais de retomada da produção (quando o preço de um produto
supera seu custo de produção). Dixit (1989) estuda uma forma de desativar
9 Diz-se que uma opção de venda está “dentro do dinheiro” quando o seu preço de exercício é superior ao
valor atual do ativo subjacente.
37
temporariamente e recomeçar a produção em função do preço do produto. Nesse artigo,
a firma inativa e a firma ativa são vistas como ativos que detêm uma opção de compra
sobre a firma no estado alternativo, tendo a inclusão no modelo dos custos de
desativação, reativação e variáveis de produção. A fonte de incerteza está no preço de
mercado do produto, e não nos custos. O autor conclui que não há um preço único
determinando a mudança de estado, mas sim dois preços distintos, em um fenômeno
conhecido como histerese10
. O preço em que é ótimo para a empresa inativa iniciar as
suas atividades excede aos custos variáveis de produção por um valor proporcional aos
custos de entrada. Da mesma forma, o preço em que é ótimo para a empresa suspender
temporariamente suas atividades é inferior aos custos variáveis por um valor
proporcional aos custos de parada. Kemna (1993) analisa um caso real com uma opção
de alteração da escala de produção. O autor relata o investimento em um
empreendimento pioneiro que daria à empresa a possibilidade de expandir a escala de
produção em até cinco vezes. Embora apresentando fluxos de caixa negativos durante
o desenvolvimento do protótipo, esse empreendimento, se bem sucedido, ofereceria à
empresa uma vantagem competitiva sobre os seus possíveis concorrentes. O autor
contribui com um ponto importante na teoria de opções reais: o prazo da opção. Como
era esperada uma forte entrada da concorrência, a data de exercício foi definida como
sendo a data mais próxima (do ponto de vista tecnológico) para o início da construção
da planta industrial.
A opção de troca (insumos ou produtos finais) oferece à empresa uma vantagem
sobre competidores que não possuem tal flexibilidade. A empresa tem em mãos uma
opção que poderá ser exercida, a seu critério, em função da variação dos preços de
mercado de insumos ou produtos finais. No entanto, diferentemente do caso de opções
financeiras, o exercício dessa opção (de trocar) dá não só a posse do ativo subjacente (o
novo modo de operação), mas também uma nova opção de troca (para o modo de
operação anterior). Kulatilaka (1993) desenvolve um modelo simples, utilizando
programação dinâmica, que procura avaliar a opção de troca de insumos presente em
projetos com opções embutidas, ilustrado por um aquecedor industrial que pode utilizar
gás ou óleo como combustível. Em verdade, o autor deseja ressaltar que deve a análise
10
Conceito desenvolvido no campo da Física e discutido com a aplicação em opções de investimento e
abandono por Dixit e Pindyck (1994).
38
de opções embutidas ser utilizada com taxas de desconto que alterem de acordo com a
evolução do projeto (avesso das técnicas tradicionais que determinam esta taxa a
priori) e que a gestão ativa deve ser incluída explicitamente na avaliação.
No artigo de Pindyck (1993), é considerada a avaliação de investimentos
irreversíveis11
que demandam tempo até a sua conclusão e que estão sujeitos a duas
fontes de incerteza de custos12
: incertezas quanto a custos técnicos (dificuldades
encontradas durante a fase de implementação) e incertezas ligadas aos preços e/ou
regulamentações que afetam diretamente estes preços. O que o autor coloca é que
muitos trabalhos anteriores se concentraram nas incertezas dos fluxos de caixa futuros
e, em alguns casos, as incertezas relacionadas aos custos superam as relacionadas aos
fluxos de caixa. Ele conclui que as duas fontes de incerteza de custos podem ter efeitos
bastante distintos nas decisões de investimento, dependendo do tipo de projeto
considerado.
Copeland e Keenam (1998) analisam investimentos escalonados com uma opção
real composta por um estudo de caso. O exercício de cada opção fornece à empresa
não só os fluxos de caixa correspondentes, mas também uma opção sobre a etapa
seguinte. Isto é, a cada estágio, o projeto pode ter continuidade por meio do
investimento de uma nova soma em dinheiro (o preço de exercício). Alternativamente,
pode ser abandonado em troca do valor que se puder obter por ele. Essa abordagem
pode conduzir a resultados significativamente diferentes daqueles obtidos pelos
métodos tradicionais de avaliação, como FCD e árvores de decisão.
11
Não há a possibilidade de recuperação dos custos de implantação caso estes apresentem uma rentabilidade
abaixo da esperada. Em geral, são de investimentos em projetos muito específicos, como em usinas nucleares
e desenvolvimento de um novo modelo de avião.
12 Opções onde há mais de uma fonte de incerteza é chamada de rainbow options(opções arco-íris). Uma
discussão mais detalhada sobre essas opções encontra-se em Copeland e Antikarov (2001), onde eles dão o
exemplo dos programas de P&D, dado que há incertezas tecnológica e de produto-mercado.
39
4. Metodologia e Modelagem
4.1- Métodos de Avaliação de Opções Reais
A teoria de precificação de opções começou a evoluir a partir do artigo clássico de
Black e Scholes (1973), onde é criado um modelo para a avaliação de opções européias
protegidas por dividendos. Eles utilizam um portfolio que replica o comportamento
dessas opções ao longo do tempo e que está inserido em um mercado competitivo
ideal, sem ganhos de arbitragem. Os autores também assumem que os preços do ativo
subjacente seguem uma distribuição log-normal e mostram como obter um portfolio
livre de risco a partir do ajuste contínuo da posição no ativo objeto. A fim de obter uma
fórmula matemática para a avaliação da opção – neste caso uma equação diferencial de
2º ordem – eles determinam outras hipóteses do modelo: não há impostos nem custos
de transação; a taxa corresponde a uma taxa de juros livre de risco; a volatilidade dos
retornos do ativo subjacente é constante ao longo do tempo da opção; o ativo
subjacente não paga dividendos; e o ativo subjacente pode ser vendido a descoberto.
(3) Vc = Ps . N(d1) – EX . e-rt
. N(d2)
(4) ( )
tσ
t)σ0,5+r(+EXP
ln=d
2s
1
(5) tσ-d=d 12
40
Ps – preço atual do ativo subjacente; r – taxa de juros livre de risco; t – número de
períodos até a data de exercício (anos); EX – preço de exercício da opção; - desvio-
padrão dos retornos anuais do ativo subjacente, compostos continuamente; Vc – valor
hoje da opção call e N(d) – função de densidade de probabilidade normal acumulada.
O valor da opção de venda pode ser derivado da opção de compra com o mesmo
preço de exercício e tempo de exercício, por uma relação de arbitragem que especifica
que:
(6) Vc – Vp = Ps - EX . e-rt
, onde Vp é o valor hoje da opção de venda
Esse relacionamento de arbitragem é denominado de paridade put-call de opções.
Para que ela seja verdadeira, considere a seguinte carteira: venda de uma opção de
compra e compra de uma opção de venda com preço de exercício EX e compra da ação
ao preço atual de Ps . O resultado decorrente da posição é livre de risco e sempre rende
EX no vencimento t. Supondo que o preço da ação no vencimento t seja Ps *, então, os
retornos em t são:
Tabela 4 – Retornos em t
Posição Retornos em t se Ps * > EX Retornos em t se Ps * <
EX
Vender a opção de compra - (Ps * - EX) 0
Comprar opção de venda 0 EX - Ps *
Comprar ação Ps * Ps *
Total EX EX
Fonte: Damodaran (1997) p.457
Como a posição sempre rende EX, sem qualquer risco, seu valor deverá ser igual ao
valor presente de EX a uma taxa livre de risco (EX . e-rt
), onde a fórmula 6 expressa a
41
relação. Esse relacionamento pode ser substituído na fórmula (3) pelo o valor de uma
opção de compra semelhante13
:
(7) Vp = Ps .e-yt
(N(d1) – 1) - EX . e-rt
(N(d2) – 1), onde
(8) ( )
tσ
t)σ0,5+y-r(+EXP
ln=d
2s
1
(9) tσ-d=d 12
Segundo Trigeorgis (1993), existem duas principais categorias de métodos
numéricos para a avaliação de opções reais: aqueles que aproximam a solução por
equações diferenciais parciais e aqueles que aproximam a solução por programação
dinâmica14
, oferecendo uma visão mais intuitiva aos tomadores de decisão. A primeira
categoria inclui integração numérica e modelos explícitos e implícitos usados por
Brennan (1979), Brennan e Schwartz (1978), e Majd e Pindyck (1987). Além disso, há
um número de aproximações analíticas desenvolvidas por Geske e Johnson (1984) e
Barone-Adesi e Whaley (1987). A segunda categoria inclui a simulação de Monte
Carlo proposto por Boyle (1977)15
. Esse método pode ser facilmente modificado a fim
de suportar diferentes processos de formação de preços de ativos, simulados no
computador. Os outros métodos são desenvolvidos por Cox, Ross e Rubisntein
(1979)16
pela árvore binomial e standard e Trigeorgis (1991) pelo método de
transformação log-normal.
4.1.1 – Direitos Contingenciais
13
A variável y significa o rendimento dos dividendos (y = dividendos/valor atual do ativo) do ativo
subjacente onde ele deve se manter inalterado durante a vida opção. O modelo Black-Scholes pode ser
modificado para levar em conta os dividendos.
14 Trigeorgis (1993) considera a simulação como um método dentro da categoria de programação dinâmica.
Neste trabalho, a simulação será explicada à parte.
15 Esse método é particularmente atraente quando o processo de geração de preços ou o padrão de dividendos
é complexo e para opções cujo valor terminal depende do caminho, seguido pelo ativo objeto (path
dependent options).
16 Esse método será utilizado na avaliação da opção de abandono da Unidade Regional.
42
A primeira técnica de avaliação por opções reais é a análise de direitos
contingenciais. Se os investidores forem considerados neutros ao risco, então, o valor
da opção pode ser obtido montando-se uma carteira dinâmica, neutra ao risco, que
replique o valor do ativo real. Utilizando ferramentas do cálculo estocástico, obtém-se
uma equação diferencial parcial que pode ser resolvida analiticamente ou por métodos
numéricos. Essa técnica é muito limitada, pois à medida que as incertezas sobre as
variáveis subjacentes tornam-se mais complexas, o processo de avaliação pode tornar-
se oneroso em termos de computação, ou intratável algebricamente.
Durante os últimos vinte anos, as metodologias de avaliação de ativos financeiros e
reais têm avançado bastante. Estão sendo desenvolvidas teorias sofisticadas que
descrevem as decisões dos investidores, o equilíbrio do mercado resultante da
agregação dessas decisões e o preço de equilíbrio de um ativo. A existência de um
mercado completo, a ausência de oportunidades de arbitragem e a existência de um
processo estocástico para o retorno dos ativos são suposições básicas inerente a este
modelo.
Dependendo da negociação do ativo objeto - primeiro é negociado no mercado, ou
seja, é uma commodity e o segundo não é negociado no mercado –, o processo de
avaliação pode ter duas formas de análise.
No caso dos ativos negociados no mercado, o preço do ativo objeto, ao longo do
tempo, segue um processo estocástico, de acordo com a evolução histórica de seus
preços negociados no mercado à vista ou no mercado futuro. A grande maioria dos
estudos de avaliação de ativos reais supõe que o preço do ativo siga um processo
conhecido como movimento geométrico browniano (Dixit e Pyndick, 1994; Lund e
Oksendal, 1991; Trigeorgis, 1995), definido pela equação (10) dada a seguir:
(10) dS = Sdt + Sdz
onde S é o preço do ativo objeto, é a taxa de crescimento do preço do ativo, dt é o
intervalo de tempo estudado, é a variância proporcional e dz é um incremento do
processo estocástico de Wiener, definido pela equação a seguir:
43
(11) dtε=dz
onde segue uma distribuição normal padrão.
Esse processo foi utilizado em (5) para modelar o preço do ativo financeiro, a fim
de avaliar uma opção de compra Européia. Para a avaliação de opções reais, esse
modelo apresenta algumas restrições. Alguns estudos mostraram que a reversão para a
média e a reversão para média com jump são processos estocásticos mais indicados
para alguns tipos de commodities, como o petróleo. Gibson e Schwartz (1990) e
Schwartz (1997).
No caso dos ativos que não são negociados no mercado, é difícil a suposição de um
processo estocástico dos seus preços. Devem-se utilizar ativos negociados no mercado
para tentar reproduzir as incertezas no preço do produto17
.
Como o ativo subjacente de fundo da avaliação não possui um ativo similar no
mercado, o método de avaliação de opções reais não será usado pelo presente estudo.
4.1.2 – Simulação
Monte Carlo é uma ferramenta de simulação estatística que utiliza métodos de
amostragem para resolver problemas de natureza estocástica ou determinística.
Normalmente, quantidades que podem ser escritas sob a forma de valor esperado de
uma variável aleatória, definida sob um espaço de probabilidades, podem ser estimadas
por esses métodos.
Em finanças, a simulação de Monte Carlo é muito utilizada para avaliação de
opções financeiras, principalmente, do tipo Européia Boyle (1977). Nesse caso, a
17
Ativos negociados podem ser ativos simples, como contrato futuro, ou carteiras dinâmicas de ativos
simples cujas posições são negociadas continuamente, de modo que o valor da carteira seja perfeitamente
correlacionado com o processo para o preço do produto.
44
decisão de exercício somente será tomada no vencimento do título e o valor da opção
não será influenciado pelas decisões do proprietário, ao longo da sua vida útil.
4.1.3 – Programação Dinâmica
A teoria de programação dinâmica foi desenvolvida por Bellman e outros na década
de 50. Antes disso, em 1949, o físico Feynman obteve resultados análogos à
programação dinâmica com suas técnicas de soma de probabilidades sobre todos os
possíveis caminhos de uma partícula (Bellman, 1957).
A fim de exemplificar a programação dinâmica, suponhamos um problema
discreto, simples de dois períodos em que se pode investir I em um projeto, resultando
em um VPL = V-I, ou esperar um período e, então, escolher entre investir ou não. O
valor da oportunidade de investimento (F), em uma ótica de maximização de riqueza
do investidor, seria equacionado da seguinte forma, onde os subscritos zero e um
representam os dois instantes de tempo:
(12) F0 = { }]F[EI,-Vmax 10ρ+11
0 , onde ρ é a taxa de desconto
De outra forma, é calculado o valor da opção de investimento em um projeto Dixit
e Pyndick (1994) da seguinte maneira:
(13) { })E[F(VI),,(VΩmax=)F(V tΔ+tρ+11
tt , onde:
F(Vt) – valor da oportunidade de investimento em t; E[F(Vt+Δt)] – valor esperado da
oportunidade de investimento em t+Δt; Ω(Vt,I) – remuneração do investimento em t; ρ
– taxa de desconto especificada exogenamente.
A equação (13) acima diz que o valor da opção de investimento é o máximo entre o
imediato exercício e o valor esperado desta oportunidade, caso se espere um período
(chamado de valor de continuação). A idéia essencial da programação dinâmica é
dividir a seqüência de decisões em duas partes, a imediata escolha e as subseqüentes
decisões.
45
Sendo assim, a programação dinâmica é uma ferramenta genérica para otimização
dinâmica, utilizada para avaliação de ativos não replicáveis e que devide toda a
seqüência de decisões em apenas duas: decisão imediata e uma função de valoração
que engloba as conseqüências de todas as decisões subseqüentes.
Se o horizonte de planejamento for finito, então, a última decisão não terá nenhuma
outra decisão subseqüente e, portanto, poderá ser definida utilizando os métodos
tradicionais de otimização estática. Essa solução encontrada fornece a função de
valoração apropriada para a penúltima decisão. Para achar a ótima seqüência de
decisões, é preciso trabalhar de trás para frente (backwards). No caso da equação, (13)
se determina F1 primeiro, que seria o máximo entre zero e a diferença entre o valor
esperado de (V1-I). O segundo termo seria comparado com o imediato investimento,
sendo, então, escolhido o máximo entre os dois. Para vários períodos, o raciocínio é
análogo e para o caso de horizonte infinito, deve-se usar um processo iterativo (Dixit e
Pindyck, 1994).
A Programação Dinâmica é uma ferramenta matemática bastante utilizada para
avaliar opções do tipo Americana, onde a decisão do exercício pode ser tomada antes
da data de vencimento do título.
Cox, Ross e Rubinstein (1979) apresentam a construção de uma árvore binomial
onde procuram representar todos os possíveis caminhos pelos quais o valor do ativo
subjacente pode percorrer durante o tempo de vida. É assumida a hipótese de que em
cada instante de tempo futuro, o preço do ativo subjacente só poderá ter dois valores
distintos, e que não haverá oportunidades para arbitragem. Além disso, o modelo
estabelecerá o preço do derivativo por um portfolio que replique os seus fluxos de
caixa. Essa técnica de avaliação de opções utiliza um princípio importante, conhecido
como avaliação com neutralidade ao risco (Cox, Ross e Rubinstein, 1979; Hull, 1997).
O princípio de neutralidade ao risco determina as condições a partir de cálculos de
probabilidades modificadas, onde os investidores não requerem um pagamento de
prêmio por risco, conseqüentemente, todos os ativos podem ser avaliados utilizando-se
a taxa de retorno livre de risco. Embora simples, o modelo binomial é uma ferramenta
46
poderosa e genérica para avaliação de opções. A hipótese do preço do ativo subjacente
só assumir dois valores no futuro pode parecer restritiva, mas quando o intervalo de
tempo entre dois níveis da árvore binomial se torna pequeno o suficiente, o modelo
adere bem à realidade. Cox, Ross e Rubinstein (1979) também demonstraram que a
fórmula obtida por Black e Scholes (1973) é um caso limite do modelo binomial,
quando as premissas assumidas são as mesmas.
Figura 1 – Representação do Modelo de Árvore Binomial18
por 2 períodos
p2 Vu
2
p Vu p(1-p)
V Vud
1-p Vd p(1-p)
(1-p)2 Vd
2
T=0 T=1 T=2
V representa o preço atual do ativo subjacente e o preço se desloca para cima, até
Vu, com probabilidade p e para baixo, até Vd, com probabilidade 1-p a qualquer
momento do tempo.
Os movimentos para cima e para baixo, representados na árvore binomial, são
determinados pelas seguintes fórmulas:
(12) Movimento para cima = tσe=u
(13) Movimento para baixo = d = 1/u
As fórmulas da probabilidade ajustadas pelo risco – probalidade risco-neutras - na
árvore binomial são:
(12) p = [(1+rf) – d] / (u-d)
18
Essa representação se refere à árvore binomial geométrica que apresentam movimentos multiplicadores
para cima e para baixo, simulando uma distribuição log-normal dos resultados (Copeland, 2002).
47
(13) 1-p = [u – (1+rf)] / (u-d)
4.2 - Modelagem da Avaliação da Unidade de Negócios
Por ser mais intuitivo e simples de explicar para a diretoria da Estacas Franki Ltda,
foi escolhido o método de avaliação desenvolvido por Cox, Ross e Rubinstein (1979).
Embora a metodologia de opções reais tenha surgido como uma alternativa à utilização
das técnicas de FCD, muitas vezes, estas últimas são utilizadas na obtenção de alguns
de seus parâmetros de entrada. Na modelagem da opção real deste trabalho, o valor do
abandono (preço de exercício) foi considerado por quatro valores e abrangeu os
imóveis, as máquinas e a implicação dos custos de indenização para os trabalhadores
demitidos nos valores dos preços de liquidação dos ativos. O valor presente da
operação foi calculado pelo fluxo de caixa da geração operacional de caixa (EBITDA)
onde se pressupôs nenhuma despesa de capital, nenhum capital de giro e foi utilizado o
custo de capital antes dos impostos, como taxa de desconto (Damodaran, 1997).
Quadro 2 – Informações provenientes do demonstrativo de resultado (DRE) para o
cálculo do EBITDA.
(+) Receita Operacional Líquida
(-) Custos de Serviços Vendidos
= Lucro Bruto
(-) Despesas Operacionais (com Vendas e Administrativa)
= EBITDA ou LAJIDA (Lucro Anterior a Juros, Impostos, Depreciação e Amortização)
Receita Operacional Líquida – Fundamentado nas estimativas do Depto.
Comercial, na avaliação econômica-financeira, foi considerado um crescimento
(discreto) de 5%, 6%, 7%, 8%, 9% e 10%. Na perpetuidade haverá o crescimento zero.
Custos Variáveis – Fundamentados nas estimativas do Depto. Comercial, foi
considerado 90% da Receita Operacional Líquida.
48
Despesas Administrativas e Vendas - Fundamentado nas estimativas do Depto.
Comercial, foi considerado um valor fixo durante o período analisado.
Taxa de Desconto Antes dos Impostos – Fundamentado no cálculo do Depto.
Financeiro, foi utilizado um valor de 17%.
Investimento – Não houve investimento na operação durante o período analisado.
Tempo da Avaliação – Foi considerada uma projeção até 2006 e uma perpetuidade
a partir do ano 2007.
Deduções da Receita Operacional Bruta – Na avaliação econômico-financeira,
foi considerado uma alíquota de 8,65% proveniente dos dados contábeis da empresa.
Tabela 5 – Os Valores Presentes da Operação para cada dado de Crescimento da
Receita Líquida19
Valor Presente (2001) - R$ Crescimento da Receita Líquida
77.414 5%
106.975 6%
137.900 7%
170.241 8%
204.049 9%
239.379 10%
Diferentemente do método de FCD, a avaliação econômica-financeira pelo método
de opções reais deve analisar as incertezas que afetam o valor do ativo subjacente.
Segundo Copeland e Antikarov (2001), a incerteza pode ser calculada baseando-se em
dados históricos ou informações fornecidas pelos os executivos da empresa. No
19
A memória de cálculo da avaliação do fluxo de caixa é de propriedade da empresa, assim como os valores
unitários dos preços e custo variável, além da quantidade. Não houve permissão para liberação dos dados no
presente trabalho por parte da Estacas Franki Ltda.
49
modelo da avaliação da Unidade de Negócios do Nordeste, a diretoria determinou as
incertezas do modelo: custo variável unitário (R$/m) e quantidade (metros). Por meio
das estimativas dessas duas variáveis de incerteza, foi montada a simulação da
volatilidade20
do valor presente da operação, usando o método de Monte Carlo.
Preço do metro por estaca – Baseado nas informações do Depto. Comercial, na
avaliação econômico-financeira foi considerado o preço constante. O preço foi
considerado constante porque a competição na região Nordeste é maior na faixa de
pequenas obras que envolvem a cravação de estacas pré-moldadas, não exigindo
equipamentos de corte. Neste segmento, a Estacas Franki não é competitiva. Nas obras
onde a taxa de carregamento da fundação é alta (> 40 ton. /estaca) o preço é constante,
a concorrência se resume a três concorrentes e a disputa pelas obras se dá na tecnologia
a ser aplicada na obra em termos de prazo e confiabilidade.
Custo Variável Unitário – Verificou-se que o custo variável de produção do
estaqueamento se assemelha a uma distribuição triangular. O custo variável unitário
foi considerado uma incerteza devido aos prazos estipulados em contrato nem sempre
serem cumpridos. Portanto, a mobilização de uma obra incorre custos diários, podendo
alcançar um valor acima do preço contratado.
Quantidade – A quantidade de metros de estaqueamento foi considerado uma
distribuição log-normal, admitindo que esta variável não assume valores negativos. A
quantidade foi considerada uma variável de incerteza já que a empresa não tem
controle sobre qual será a quantidade de cartas convite de obras que ela ganhará em um
determinado ano.
A volatilidade encontrada no modelo com esses parâmetros foi de 19,60%. Os
outros parâmetros para a avaliação da opção de abandono foram:
20
A volatilidade usada na árvore binomial foi ln(VPt/VPo), levando-se em consideração a auto-regressão das
variáveis de incerteza e a correlação entre elas. O cálculo utilizado levou em consideração o método
proposto por Copeland e Antikarov (2001) no capítulo 9.
50
Preço de Exercício - Foram considerados quatro valores de exercício da opção de
abandono para que houvesse uma análise melhor se os equipamentos deveriam ser
reaproveitados em outras regionais da empresa e as despesas de rompimento de
contrato da equipe da regional deveria ser feito.
Prazo de Vencimento da Opção – Foi auscultada a diretoria da empresa e ela
determinou que levasse em consideração 3 anos.
Risco livre de mercado – Foi considerado uma taxa de 9% ao ano a para a
captação de recursos na Bélgica.
Valor Presente do Ativo Subjacente – Foi considerado os valores encontrados na
tabela XX usando a metodologia de fluxo de caixa descontado para o EBITDA.
Tabela 6 – Valores do Preço de Exercício a serem considerados na avaliação:
Classificação Valores em R$
Imóveis 220.000
Imóveis + Máquinas 420.000
Imóveis – Custo de Indenização dos Funcionários 120.000
(Imóveis + Máquinas) – Custo de Indenização dos
Funcionários
320.000
Fonte: Deptos. Financeiro e Jurídico da Estacas Franki
Avaliando que o valor do preço de exercício não seria alterado e como os imóveis
estão localizados em bairros na cidade do Recife, onde não há volatilidade dos preços,
logo, não foi considerado uma possível desvalorização dos ativos durante o período
analisado. Caso isso ocorresse, seria analisada essa desvalorização como dividendos
(Damodaran, 2000). O preço de exercício dos imóveis foi o primeiro analisado com os
valores do ativo subjacente, isto é, os valores presentes do EBITDA da unidade
regional. Depois, foi adicionado só o valor das máquinas e, finalmente, o valor dos
imóveis e soma dos ativos foram subtraídos dos custos de indenização dos
51
funcionários. Isso se deve ao planejamento da diretoria na alocação dos equipamentos
e à equipe em outra regional, na região Sudeste ou Sul do Brasil.
Em resumo, as hipóteses do modelo para a construção da árvore binomial foram: os
movimentos para cima – up – e os movimentos para baixo – down – multiplicativos; o
ativo subjacente não pagou dividendos; a taxa livre de risco foi constante no período
analisado e o preço de exercício da opção foi fixo.
Seguindo a construção do modelo da árvore binomial em uma planilha eletrônica
proposto por Copeland e Antikarov (2001), serão apresentados os cálculos21
a seguir:
Quadro 2 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$77.414 e o preço de exercício – R$220.000:
Anos 0 1 2 3
0 0,7741 0,9418 1,1457 1,3937
1 0 0,6364 0,7741 0,9418
2 0 0 0,5231 0,6364
3 0 0 0 0,43
Anos 0 1 2 3
0 1,4259 1,2582 1,0543 0,8063
1 0 1,5636 1,4259 1,2582
2 0 0 1,6769 1,5636
3 0 0 0 1,77
Parâmetros Calculados:
1.Tx Livre de Risco: 9% aa Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção: 3 anos
Quadro 3 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$77.414 e o preço de exercício – R$420.000:
21
Nestes cálculos foram utilizados os recursos do software MatLab 6.0, tendo alguns aproximações acima
dos valores.
52
Anos 0 1 2 3
0 0,7741 0,9418 1,1457 1,3937
1 0,6364 0,7741 0,9418
2 0,5231 0,6364
3 0,43
Anos 0 1 2 3
0 3,4259 3,2582 3,0543 2,8063
1 3,5636 3,4259 3,2582
2 3,6769 3,5636
3 3,77
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
2.Vida da Opção: 3 anos
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Parâmetros Calculados:
1.Tx Livre de Risco: 9% aa Movimento para cima: 1,2165
Outros Parâmetros de Entrada:
Quadro 4 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$77.414 e o preço de exercício – R$120.000:
Anos 0 1 2 3
0 0,7741 0,9418 1,1457 1,3937
1 0,6364 0,7741 0,9418
2 0,5231 0,6364
3 0,43
Anos 0 1 2 3
0 4,2586 2,5824 0,732 0
1 5,6365 4,2586 2,5824
2 6,7691 5,6365
3 7,7001
Outros Parâmetros de
Entrada
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+4)
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 5 - Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$77.414 e o preço de exercício – R$320.000:
53
Anos 0 1 2 3
0 0,7741 0,9418 1,1457 1,3937
1 0,6364 0,7741 0,9418
2 0,5231 0,6364
3 0,43
Anos 0 1 2 3
0 2,4259 2,2582 2,0543 1,8063
1 2,5636 2,4259 2,2582
2 2,6769 2,5636
3 2,77
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
2.Vida da Opção em anos: 3
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+5)
Quadro 6 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$106.975 e o preço de exercício – R$220.000:
Anos 0 1 2 3
0 1,0698 1,3014 1,5832 1,926
1 0 0,8793 1,0698 1,3014
2 0 0 0,7228 0,8793
3 0 0 0 0,5942
Anos 0 1 2 3
0 1,1303 0,8986 0,6168 0,274
1 0 1,3207 1,1303 0,8986
2 0 0 1,4772 1,3207
3 0 0 0 1,6058
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 7 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$106.975 e o preço de exercício – R$420.000:
54
Anos 0 1 2 3
0 1,0698 1,3014 1,5832 1,926
1 0 0,8793 1,0698 1,3014
2 0 0 0,7228 0,8793
3 0 0 0 0,5942
Anos 0 1 2 3
0 3,1303 2,8986 2,6168 2,274
1 0 3,3207 3,1303 2,8986
2 0 0 3,4772 3,3207
3 0 0 0 3,6058
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 8 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$106.975 e o preço de exercício – R$120.000:
Anos 0 1 2 3
0 1,0698 1,3014 1,5832 1,926
1 0 0,8793 1,0698 1,3014
2 0 0 0,7228 0,8793
3 0 0 0 0,5942
Anos 0 1 2 3
0 1,3025 0,3692 0 0
1 0 3,2065 1,3025 0
2 0 0 4,7717 3,2065
3 0 0 0 6,0582
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+4)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 9 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$106.975 e o preço de exercício – R$320.000:
55
Anos 0 1 2 3
0 1,0698 1,3014 1,5832 1,926
1 0 0,8793 1,0698 1,3014
2 0 0 0,7228 0,8793
3 0 0 0 0,5942
Anos 0 1 2 3
0 2,1303 1,8986 1,6168 1,274
1 0 2,3207 2,1303 1,8986
2 0 0 2,4772 2,3207
3 0 0 0 2,6058
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
2.Vida da Opção em anos: 3
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+5)
Quadro 10 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$137.900 e o preço de exercício – R$220.000:
Anos 0 1 2 3
0 1,379 1,6776 2,0408 2,4827
1 0 1,1336 1,379 1,6776
2 0 0 0,9318 1,1336
3 0 0 0 0,7659
Anos 0 1 2 3
0 0,821 0,5224 0,1592 0
1 0 1,0664 0,821 0,5224
2 0 0 1,2682 1,0664
3 0 0 0 1,4341
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
4.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 11 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$137.900 e o preço de exercício – R$420.000:
56
Anos 0 1 2 3
0 1,379 1,6776 2,0408 2,4827
1 0 1,1336 1,379 1,6776
2 0 0 0,9318 1,1336
3 0 0 0 0,7659
Anos 0 1 2 3
0 2,83 2,5334 2,1725 1,7335
1 0 3,0738 2,83 2,5334
2 0 0 3,2743 3,0738
3 0 0 0 3,4391
Parâmetros
Calculados:1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
2.Vida da Opção em anos: 3
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+5)
Quadro 12 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$137.900 e o preço de exercício – R$120.000:
Anos 0 1 2 3
0 1,379 1,6776 2,0408 2,4827
1 0 1,1336 1,379 1,6776
2 0 0 0,9318 1,1336
3 0 0 0 0,7659
Anos 0 1 2 3
0 0.2828 0.0534 0 0
1 0 0,8789 0,1883 0
2 0 0 2,682 0,6645
3 0 0 0 4,3405
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
2.Vida da Opção em anos: 3
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+4)
Quadro 13 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$137.900 e o preço de exercício – R$320.000:
57
Anos 0 1 2 3
0 1,379 1,6776 2,0408 2,4827
1 0 1,1336 1,379 1,6776
2 0 0 0,9318 1,1336
3 0 0 0 0,7659
Anos 0 1 2 3
0 1,821 1,5224 1,1592 0,7173
1 0 2,0664 1,821 1,5224
2 0 0 2,2682 2,0664
3 0 0 0 2,4341
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
2.Vida da Opção em anos: 3
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+5)
Quadro 14 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$170.241 e o preço de exercício – R$220.000:
Anos 0 1 2 3
0 1,7024 2,071 2,5195 3,065
1 0 1,3994 1,7024 2,071
2 0 0 1,1503 1,3994
3 0 0 0 0,9456
Anos 0 1 2 3
0 0,4976 0,1641 0,0366 0
1 0 0,8006 0,4976 0,129
2 0 0 1,0497 0,8006
3 0 0 0 1,2544
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 15 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$170.241 e o preço de exercício – R$420.000:
58
Anos 0 1 2 3
0 1,7024 2,071 2,5195 3,065
1 0 1,3994 1,7024 2,071
2 0 0 1,1503 1,3994
3 0 0 0 0,9456
Anos 0 1 2 3
0 2,4976 2,129 1,6805 1,135
1 0 2,8006 2,4976 2,129
2 0 0 3,0497 2,8006
3 0 0 0 3,2544
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 16 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$170.241 e o preço de exercício – R$120.000:
Anos 0 1 2 3
0 1,7024 2,071 2,5195 3,065
1 0 1,3994 1,7024 2,071
2 0 0 1,1503 1,3994
3 0 0 0 0,9456
Anos 0 1 2 3
0 0,0579 0 0 0
1 0 0,2044 0 0
2 0 0 0,7211 0
3 0 0 0 2,5442
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+4)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 17 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$170.241 e o preço de exercício – R$320.000:
59
Anos 0 1 2 3
0 1,7024 2,071 2,5195 3,065
1 0 1,3994 1,7024 2,071
2 0 0 1,1503 1,3994
3 0 0 0 0,9456
Anos 0 1 2 3
0 1,4976 1,129 0,6805 0,135
1 0 1,8006 1,4976 1,129
2 0 0 2,0497 1,8006
3 0 0 0 2,2544
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 18 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$204.049 e preço de exercício de R$220.000:
Anos 0 1 2 3
0 2,0405 2,4823 3,0198 3,6737
1 0 1,6773 2,0405 2,4823
2 0 0 1,3788 1,6773
3 0 0 0 1,1334
Anos 0 1 2 3
0 0,1767 0,0452 0 0
1 0 0,5227 0,1595 0
2 0 0 0,8212 0,5227
3 0 0 0 1,0666
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
Valor da Opção(1*E+5)
Outros Parâmetros de Entrada:
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 19 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$204.049 e preço de exercício de R$420.000:
60
Anos 0 1 2 3
0 2,0405 2,4823 3,0198 3,6737
1 0 1,6773 2,0405 2,4823
2 0 0 1,3788 1,6773
3 0 0 0 1,1334
Anos 0 1 2 3
0 2,1595 1,7177 1,1802 0,5263
1 0 2,5227 2,1595 1,7177
2 0 0 2,8212 2,5227
3 0 0 0 3,0666
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+5)
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 20 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$204.049 e preço de exercício de R$120.000:
Anos 0 1 2 3
0 2,0405 2,4823 3,0198 3,6737
1 0 1,6773 2,0405 2,4823
2 0 0 1,3788 1,6773
3 0 0 0 1,1334
Anos 0 1 2 3
0 0,1517 0 0 0
1 0 0,5354 0 0
2 0 0 1,8887 0
3 0 0 0 6,6636
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+3)
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
4.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 21 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$204.049 e preço de exercício de R$320.000:
61
Anos 0 1 2 3
0 2,0405 2,4823 3,0198 3,6737
1 0 1,6773 2,0405 2,4823
2 0 0 1,3788 1,6773
3 0 0 0 1,1334
Anos 0 1 2 3
0 1,1595 0,7177 0,2034 0
1 0 1,5227 1,1595 0,7177
2 0 0 1,8212 1,5227
3 0 0 0 2,0666
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+5)
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
4.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 22 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$239.379 e o preço de exercício – R$220.000:
Anos 0 1 2 3
0 2,3938 2,9121 3,5427 4,3097
1 0 1,9677 2,3938 2,9121
2 0 0 1,6175 1,9677
3 0 0 0 1,3296
Anos 0 1 2 3
0 0,776 0,1866 0 0
1 0 2,3228 0,6584 0
2 0 0 5,8251 2,3228
3 0 0 0 8,704
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+4)
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
4.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 23 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$239.379 e o preço de exercício – R$420.000:
62
Anos 0 1 2 3
0 2,3938 2,9121 3,5427 4,3097
1 0 1,9677 2,3938 2,9121
2 0 0 1,6175 1,9677
3 0 0 0 1,3296
Anos 0 1 2 3
0 1,8062 1,2879 0,6573 0
1 0 2,2323 1,8062 1,2879
2 0 0 2,5825 2,2323
3 0 0 0 2,8704
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+4)
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
4.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 24 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$239.379 e o preço de exercício – R$120.000:
Anos 0 1 2 3
0 2,3938 2,9121 3,5427 4,3097
1 0 1,9677 2,3938 2,9121
2 0 0 1,6175 1,9677
3 0 0 0 1,3296
Anos 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
3.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção
4.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
2.Vida da Opção em anos: 3
Quadro 25 – Valor da Opção de Abandono, tendo o valor presente do EBITDA –
R$239.379 e o preço de exercício – R$320.000:
63
Anos 0 1 2 3
0 2,3938 2,9121 3,5427 4,3097
1 0 1,9677 2,3938 2,9121
2 0 0 1,6175 1,9677
3 0 0 0 1,3296
Anos 0 1 2 3
0 0,8062 0,2879 0,0816 0
1 0 1,2323 0,8062 0,2879
2 0 0 1,5825 1,2323
3 0 0 0 1,8704
Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima: 1,2165
Prob.Risco-neutra (para cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960
Prob.Risco-neutra (para baixo):0,3207
Movimento para baixo: 0,8220
Taxa Livre de Risco: 0,09
Outros Parâmetros de Entrada:
Valor da Opção(1*E+4)
6.Número de degraus por ano: 1
Preços(1*E+5)
4.Vida da Opção em anos: 3
4.3 – Limitações e Simplificações do Modelo
Na tentativa de modelagem da realidade, incorre-se, geralmente, em algumas
simplificações a fim de tornar o modelo tratável do ponto de vista prático. Algumas
dessas simplificações acarretam limitações aos modelos propostos. A taxa de juros
livre de risco (rf) foi considerada constante ao longo dos 3 anos de vida da operação e
usou-se o valor da captação de recursos da empresa no mercado belga. No entanto, as
análises foram efetuadas em moeda local (R$), fatores como inflação e risco cambial
não foram minimizados, implicando em uma taxa de juros livre de risco menos estável
e mais volátil. Isso se deve ao impacto do valor dos insumos na operação onde a
variação cambial não exerce grande influência. Uma alternativa seria a utilização do
modelo de Merton (1973), que procura resolver esta questão ao considerar rf como
sendo estocástica. No entanto, o custo a ser pago seria um aumento na complexidade
do modelo sem que se pudesse avaliar o efeito desta simplificação no valor das opções.
Outro ponto que cabe ser ressaltado foi a utilização de técnicas de FCD, como o VPL,
na determinação de alguns parâmetros de entrada da metodologia de avaliação de
opções utilizada.
Ambas modelagens da opção de abandono consideraram que a diretoria poderia
tomar quatro tipos de decisões em relação ao valor do preço de exercício. No entanto,
64
esses valores não se alteram durante o tempo de vida da opção, isto é, foi considerado
cada preço de exercício como mutuamente exclusivo. A limitação dos modelos usados
é a premissa que o valor da liquidação dos ativos não se altera ao longo do tempo.
Em relação ao preço dos imóveis, foi considerado que não há perda de valor ao
longo do tempo de vida da opção, devido à baixa volatilidade de preços de venda.
Caso fosse comprovado que os imóveis perderiam seus valores de venda ao longo do
tempo em bases anuais, estes poderiam ser considerados como rendimento dos
dividendos e seriam usados para a avaliação da opção de abandono (Damodaran,
2000). Além disso, devido a esta baixa volatilidade dos preços dos imóveis, a demora
da venda dos mesmos poderia se tornar uma barreira para que a diretoria da Estacas
Franki pudesse abandonar a operação. Em ambas as modelagens, os ativos de
liquidação possuíam liquidez.
65
5. Análise dos Resultados
As simulações da opção de abandono da unidade regional da Estacas Franki foram
conduzidas a replicar todas as situações apresentadas pelos departamentos Financeiro,
Comercial e Jurídico da Estacas Franki. Dentro do cenário esperado, foram feitas
simulações para 6 diferentes valores presentes do FCD da unidade regional e 4
diferentes valores de liquidação dos ativos da operação, resultando em 24 diferentes
valores pelo método de árvore binomial. As variáveis da volatilidade, taxa livre de
risco e o tempo permaneceram constantes em todas as simulações.
Comparando os valores encontrados nos dois modelos – FCD e opção de abandono
pela árvore binomial (valor da flexibilidade) para cada valor do ativo subjacente, tem-
se:
Tabela 13 – Diferença de valor encontrado pelo método FCD e o valor da
flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$220.000:
Crescimento da
Receita
Valor do projeto Diferença
FCD Opção VF FCD %
5% 77.414 142.590 220.000 - 184,18
66
6% 106.975 113.030 220.000 - 105,65
7% 137.900 82.100 220.000 - 59,54
8% 170.241 49.760 220.000 - 29,22
9% 204.049 17.670 221.719 - 8,65
10% 239.379 7.760 247.139 - 3,24
Gráfico 4 – Comparativo entre os valores do FCD com o FCD expandido para o
preço de exercício de R$ 220.000
Para os valores presentes onde o crescimento da receita varia entre 5% a 8%, a
diretoria da Estacas Franki deveria abandonar a operação. Embora o crescimento seja
de 7% e 8%, há uma possibilidade de continuar a operação caso ocorra um cenário
mais otimista – u³. Além disso, pode-se notar que a flexibilidade advinda da opção de
abandono é maior quando o valor presente da unidade regional é menor.
Tabela 14 - Diferença de valor encontrado pelo método FCD e o valor da
flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$420.000:
Crescimento da Valor do projeto Diferença
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
R $
5% 6% 7% 8% 9% 10%
C rescimento da R eceita
FCD + Opção = FCD Expandido
Opção
FCD
67
Receita FCD Opção VF FCD %
5% 77.414 342.590 420.000 - 442,54
6% 106.975 313.030 420.000 - 292,62
7% 137.900 283.000 420.000 - 204,57
8% 170.241 249.760 420.000 - 146,71
9% 204.049 215.950 420.000 - 105,83
10% 239.379 180.611 420.000 - 75,45
Gráfico 5 – Comparativo entre os valores do FCD com o FCD expandido para o
preço de exercício de R$ 420.000
Em todas as faixas de crescimento da receita para esse preço de exercício, a
diretoria da Estacas Franki praticamente encontraria uma opção de abandono
totalmente dentro do dinheiro, isto é, ela poderia ter saído da operação no início do ano
de 2002. Entretanto, no caso do crescimento da ordem de 10% é possível haver uma
continuidade na operação em 2004 quando a árvore binomial apresentará sua forma
mais otimista – u³.
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
350.000
400.000
450.000
R$
5% 6% 7% 8% 9% 10%
C rescimento da R eceita
FCD + Opção = FCD Expandido
Opção
FCD
68
Tabela 15 - Diferença de valor encontrado pelo método FCD e o valor da
flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$120.000:
Crescimento da
Receita
Valor do projeto Diferença
FCD Opção VF FCD %
5% 77.414 42.586 120.000 - 55
6% 106.975 13.025 120.000 - 12,18
7% 137.900 2.828 140.728 - 2,05
8% 170.241 579 170.820 - 0,34
9% 204.049 152 204.201 - 0,075
10% 239.379 0 239.379 - 0
Gráfico 6 – Comparativo entre os valores do FCD com o FCD expandido para o
preço de exercício de R$ 120.000
Nas faixas de crescimento da receita entre 5% e 6%, a diretoria tomaria a decisão
de abandono da operação. Entretanto, caso atingisse o crescimento de 10%, a
avaliação mostra que a operação estaria fora do dinheiro, isto é, nunca seria exercida a
opção de abandono nesta hipótese. Além disso, nas faixas entre 7% e 9%, haveria um
valor da flexibilidade mostrado na tabela 5.3, onde a diretoria poderia tomar a decisão
de abandono durante a vida útil da opção.
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
R $
5% 6% 7% 8% 9% 10%
C rescimento da R eceita
FCD + Opção = FCD Expandido
Opção
FCD
69
Tabela 16 - Diferença de valor encontrado pelo método FCD e o valor da
flexibilidade (VF) – no preço de exercício R$320.000:
Crescimento da
Receita
Valor do projeto Diferença
FCD Opção VF FCD %
5% 77.414 242.590 320.000 - 313,36
6% 106.975 213.030 320.000 - 199,14
7% 137.900 182.100 320.000 - 132
8% 170.241 149.760 320.000 - 87,97
9% 204.049 115.950 320.000 - 56,83
10% 239.379 80.620 320.000 - 33,68
Gráfico 7 - Comparativo entre os valores do FCD com o FCD expandido para o
preço de exercício de R$ 320.000
Do mesmo modo, quando o preço de exercício atinge o valor de R$420.000, a
avaliação do ativo subjacente está dentro do dinheiro em quaisquer faixas de
crescimento de receita, tendo o preço de exercício igual a R$320.000.
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
350.000
R $
5% 6% 7% 8% 9% 10%
C rescimento da R eceita
FCD + Opção = FCD Expandido
Opção
FCD
70
6. Conclusões e Sugestões de Novas Pesquisas
O presente estudo teve como principal objetivo a aplicação prática da metodologia
de opções reais na avaliação de projetos, crescente em diversos setores industriais.
Desta forma, foi utilizado um caso real, o da diretoria da Estacas Franki Ltda, que
estava enfrentando um dilema - abandono ou continuação - da unidade regional
localizada na região Nordeste do Brasil em dezembro de 2001.
A principal mensagem do trabalho é que o método de FCD mais o método de
opções reais formatam uma estrutura de tomada de decisão melhor do que somente
utilizando o primeiro método. Embora, o objetivo do trabalho fosse a comparação
entre os dois métodos supra citados, a conclusão foi que se forem usados
conjuntamente, eles podem gerar valor à empresa.
Nos três primeiros capítulos, foi descrita a importância do estudo, a empresa e uma
revisão teórica sobre o assunto de opções reais. Por se tratar de uma literatura muito
ampla, este trabalho se ateve a alguns aspectos importantes de diversos autores, a fim
de que houvesse uma compreensão melhor do objeto de estudo: comparar os valores
encontrados entre o método de FCD e opção real (abandono) em uma unidade regional.
Para o cálculo desta opção, foram utilizados duas variáveis de incerteza (opção arco-
71
íris) e o método de árvore binomial multiplicativa proposto por Cox, Ross e Rubinstein
(1979), onde o princípio de neutralidade ao risco é o grande direcionador da avaliação.
Com quatro valores diferentes de preço de exercício e seis valores do preço do ativo
subjacente (Valor Presente do EBITDA) da unidade regional, foi feita uma análise de
sensibilidade destes valores em termos da flexibilidade, isto é, o valor presente
calculado pelo FCD e o valor da opção de abandono pelo método da árvore binomial.
O resultado mostrou que em algumas situações, caso se confirmassem, a diretoria
de empresa abandonaria a operação no imediatamente. Em outros casos, a diretoria
exerceria a opção caso houvesse resultados adversos ao que foi planejado. Para o preço
de exercício de R$220.000, as faixas de crescimento da receita entre 5% a 8% possuem
valores de flexibilidade igual ao valor de liquidação dos ativos. Já no caso das faixas
de 9% e 10% de crescimento da receita, os valores da flexibilidade geram um prêmio
superior aos valores encontrados pelo método de FCD em 8,65% e 3,24%,
respectivamente. Para os preços de exercícios de R$320.000 e R$420.000, todas as
faixas previstas para o crescimento da receita possuem os valores da flexibilidade igual
aos valores de liquidação dos ativos. Para o preço de exercício de R$120.000, as faixas
de crescimento de receita de 5% e 6% possuem valores de flexibilidade igual ao preço
de exercício. Já nas faixas de crescimento entre 7% a 9%, os prêmios gerados pela
opção são 2,05%, 0,34% e 0,075%, respectivamente. No entanto, para o crescimento
de 10%, não há prêmio a ser pago já que este cenário está fora do dinheiro, tendo este
preço de exercício.
A utilização da teoria de opções na avaliação de projetos mostrou-se simples e
robusta. Os modelos e algoritmos desenvolvidos são simples e de forte apelo intuitivo.
O princípio de neutralidade a risco utilizado neste trabalho é uma ferramenta poderosa
que permite a superação de dois importantes problemas presentes nas técnicas
tradicionais de FCD, muito criticados por pesquisadores e profissionais da área: a
determinação da taxa de desconto adequada e a estimação das probabilidades dos
diversos cenários futuros. Em um mundo com neutralidade a risco, o retorno esperado
para os ativos é a taxa de juros livre de risco, facilmente observável no mercado.
72
Ex-Post (2002/2003)
A empresa ainda mantém a Unidade Regional no Nordeste em funcionamento,
acreditando, sobretudo, na expansão das plantas petroquímicas e termoelétricas. Além
disso, a comercialização das obras na UN começou a ser realizada pela própria sede da
empresa, aumentando a taxa de sucesso na obtenção de contratos e redução de custo
operacional. Devido a algumas medidas tomadas pela gerência, a produtividade da
equipe cresceu em 10% comparada ao ano de 2001, e o faturamento cresceu na ordem
de 90,47% no período de janeiro de 2002 até junho de 2003, e o lucro operacional
cresceu na ordem de 1.169% no mesmo período.
Sugestões de Novas Pesquisas
Como acontece na maioria dos estudos que tentam modelar o mudo real, há uma
série de limitações tanto na ordem das premissas do modelo em si quanto na
divulgação de informações. A respeito da segunda, como se trata de informações
confidenciais, no entanto, alguns dados foram omitidos a fim de preservar os interesses
da empresa, sem mudar a característica básica de opção do caso em análise. No que
tange ao primeiro grupo, existem quatro possíveis valores do preço de exercício.
Sugere-se uma aplicação da função utilidade multiatributo na análise dos diferentes
preços de exercícios a fim de que haja uma estruturação de qual seria o melhor valor de
saída da operação (Keeney, 1992). Sobre o ativo subjacente - os imóveis - considerou-
se que não há valorização ou desvalorização dos mesmos. Sugere-se uma análise
aprofundada do mercado imobiliário na cidade do Recife, onde pode haver flutuações
dos preços destes ativos durante o período analisado. Finalmente, o uso do método de
árvore binomial teve um apelo intuitivo muito forte a fim de mostrar a diretoria à
técnica de opções reais. Sugere-se a aplicação de outros métodos de análise de opções
reais, como Black e Scholes e modelos de interações numéricas para que possam ser
comparados com o método utilizado no presente estudo.
73
7. Apêndice
7.1 – Taxas de Crescimento da Unidade Regional – 1996 à 2001
Taxa de
Crescimen
to (%)
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Receita 26,10 -73,06 -31,6 15,72 66,41 -51,58
EBITDA 500,6 -109,18 109,83 -1951,4 230,38 -196,06
Fat Líq 30,39 -73,31 -30,35 16,83 67,55 -54,05
Fonte: Depto Financeiro da Estacas Franki Ltda.
7.2 – Memória de cálculo
Para o cálculo das opções, foi utilizado o software MatLab® 6.0. A fim de
evidenciar como é feito este cálculo no software, será mostrado abaixo a forma como
foi encontrada o valor da opção de abandono pelo método da árvore binomial
geométrica quando o valor presente do EBITDA é R$239.379 e o preço de exercício é
R$220.000.
Outros Parâmetros:
74
Taxa livre de risco - rf = 9% a.a; tempo da opção = 3 anos; σ (desvio-padrão) =
19,6%; u (movimento para cima) = 1,2165; d (movimento para baixo) = 0,8220.
Cálculo das probabilidades risco-neutra:
(1) q = [u – (1 + rf)] / (u –d ), onde q = [1,2165 – (1+0,09)] / (1,2165 – 0,8220) =
0,3207
(2) p = 1 – q, donde p = 1 – 0,32 = 0,6793
Parâmetros de Entrada Parâmetros Calculados:
1.Taxa Anual Livre de Risco: 9% Movimento para cima:
1,2165
2.Valor Atual do Ativo Subjacente: R$239.379 Movimento para baixo: 0,8220
3.Preço de Exercício: R$220.000 Taxa Livre de Risco: 0,09
4.Vida da Opção em anos: 3 Prob.Risco-neutra (para
cima):0,6793
5.Desvio-Padrão Anual: 0,1960 Prob.Risco-neutra (para
baixo):0,3207
6.Número de degraus por ano: 1
Valor do Ativo Subjacente:
O cálculo da opção em cada nódulo:
No nódulo u3V, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(3) MAX[0;EX – u3V] donde MAX [0;220.000-430.946] = 0
u3V
u2V 430.946
uV 354.250 u2dV
291.205 291.194
239.379 239.370
V 196.770 udV 196.762
dV 161.745 d2uV
d2V 132.954
d3V
T = 0 T = 1 T = 2 T = 3
75
No nódulo u2dV, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(4) MAX [0;EX – u2dV] donde MAX[0;220.000-291.124] = 0
No nódulo d2uV, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(5) MAX [0;EX – d2uV] donde MAX [0;220.000-196.762] = 23.238
No nódulo d3V, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(6) MAX [0;EX – d³V] donde MAX [0;220.000-132.954] = 87.046
No nódulo d2V, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(7) Pdd = [qPddu + pPddd] / (1+rf), donde Pdd = [0,6793*23.238 + 0,3207*87.046] /
(1,09) = 40.092
(8) MAX [40.092;220.000 – 161.745] = 58.255
No nódulo udV, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(9) Pdu = [qPuud + pPddu] / (1+rf), donde Pdu = [0,6793*0 + 0,3207*23.238] / (1,09) =
6.837
(10) MAX [6.837; 220.000 – 239.370] = 6.837
No nódulo u2V, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(11) Puu = [qPuuu + pPuud] / (1+rf), donde Puu = [0,6793*0 + 0,3207*0] / (1,09) = 0
76
(12) MAX [0; 220.000 – 354.250] = 0
No nódulo uV, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(13) Pu = [qPuu + pPud] / (1+rf), donde Pu = [0,6793*0 + 0,3207*6.837] / (1,09) =
2.011
(14) MAX [2.011; 220.000 – 291.205] = 2.011
No nódulo dV, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(15) Pd = [qPud + pPdd] / (1+rf), donde Pd = [0,6793*6837 + 0,3207*58.255] / (1,09)
= 21.400
(16) MAX [21.400; 220.000 – 196.770] = 23.230
No nódulo V, é calculada a opção de abandono da seguinte forma:
(17) P0 = [qPu + pPd] / (1+rf), donde P0 = [0,6793*2.011 + 0,3207*21.400] / (1,09)
= 7.549
O esquema abaixo mostra como ficam os valores da opção na árvore binomial
geométrica.
Os valores em verde mostram que a operação pode ser abandonada nestas
situações. Os valores em amarelo mostram que a operação deve continuar.
Puuu
Puu 0
Pu 0 Puud
2.011 0
7.549 6.837
P0 23.230 Pud 23.238
Pd 58.255 Pudd
Pdd 87.046
Pddd
77
8. Referências Bibliográficas
AMRAM, M., KULATILAKA, N. (1999) Real options: managing strategic investment
in an uncertain world. Boston: Harvard Business School Press.
ARCHER, S., DAMBROSIO, C. A. (1967) The theory of business finance: a book of
readings. Nova Iorque: Macmillan.
BARONE-ADESI, G., WHALEY, R. (1987) Efficient analytic approximation of american
option values, Journal of Finance,vol.42, nº.2, pp. 301-320, June.
BELLMAN, R. S. (1957) Dynamic Programming. Princeton: Princeton University Press.
BERGER, P. G., OFEK, E., SWARY, I. (1996) Investor valuation of the abandonment
option, Journal of Financial Economics, vol. 42, nº.2, pp. 257-287.
BLACK, F., SCHOLES, M. (1973) The pricing of options and corporate liabilities,
Journal of Political Economy, vol. 81, nº.3, pp. 637-659, May-June.
BOYLE, P. (1977) Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics,
vol.4, nº.3, pp. 323-338.
78
BREALEY, R. A., MYERS, S. C. (2000) Principles of corporate finance. Nova Iorque:
McGraw Hill, cap. 22.
BRENNAN, M., SCHWARTZ, E. (1978) Finite difference methods and jump processes
arising in the pricing of contingent claims: a synthesis. Journal of Financial and
Quantitative Analysis, vol.13, nº.1, pp. 461-474, September.
BRENNAN, M. (1979) The pricing of contingent claims in discrete time models. Journal
of Finance, vol.34, nº. 1, pp. 53-68 March.
BRENNAN, M. J., SCHWARTZ, E. S. (1990) A new approach to evaluating natural
resource investments. In: STERN, J. M., CHEW, D. H. The revolution in
corporate finance. Cambridge: Blackwell, pp. 78-88.
BRONSTEIN, G. (2000) A utilização da teoria de opções na avaliação de ativos reais:
o caso da Arafértil Fertilizantes S.A. Rio de Janeiro: COPPEAD/UFRJ, 69p.
Dissertação (Mestrado).
CASTRO, A. L. (2000) Avaliação de investimentos de capital em projetos de geração
termoeléctrica no setor elétrico brasileiro usando teoria de opções reais. Rio de
Janeiro, Depto. de Engenharia Industrial/PUC-RJ, 113p. Dissertação (Mestrado).
COPELAND, T., KOLLER, T., MURRIN, J. (1996) Valuation: measuring and
managing the values of companies. Nova Iorque: John Wiley & Sons, cap. 15.
COPELAND, T. E., KEENAM, P. T. (1998) How much is flexibility worth. McKinsey
Quarterly, nº. 2, p. 38-49.
COPELAND, T. E., ANTIKAROV, V. (2001) Real Options. Londres: Texere, caps: 8 e 9.
COX, J., ROSS, S., RUBINSTEIN, M. (1979) Option pricing: a simplified approach,
Journal of Financial Economics, vol.7, nº.3, pp. 229-264, September.
79
DAMODARAN, A. (1994) Damodaran on valuation: security analysis for investments
and corporate finance. Nova Iorque: J. Wiley, caps. 15 e 16.
DAMODARAN, A. (2000) The promise of real options. Journal of Applied Corporate
Finance, vol. 13, nº. 2, Summer, pp. 29-44.
DIXIT, A. K. (1989) Entry and exit decisions under uncertainty. Journal of Political
Economy, vol.97, nº.3, pp. 105-115.
DIXIT, A. K., PINDYCK, R. S. (1994) Investments under uncertainty. Nova Jersey:
Princeton University Press.
DIXIT, A. K., PINDYCK, R. S. (1995) The options approach to capital investment.
Harvard Business Review, vol.73, nº.3, pp. 105-115, May/June.
ESTACAS FRANKI LTDA (1976) Manual Técnico, Rio de Janeiro.
ESTACAS FRANKI LTDA (2000) Catálogo de Divulgação dos Serviços, Rio de
Janeiro.
FISHER, I. (1954) The theory of interested as determined by impatience to spread
income and opportunity to invest it. Nova Iorque: Kelley & Millman.
GESKE, R., JOHNSON, H. (1984) The American Put Option Valued Analytically.
Journal of Finance, vol.39, nº.5, pp. 1511-1524, December.
GIBSON, R., SCHWARTZ, E. (1990) Stochastic Convenience Yield and the Pricing of
Oil Contingent Claims, Journal of Finance, vol.45, nº.3, 959-976.
HODDER J. E., RIGGS, H. E. (1985) Pitfalls in evaluating risky projects. Harvard
Business Review, vol.63, nº.1, pp. 128-135, Jan/Feb.
80
HULL, J. (1997) Options, futures and other derivative securities. Nova Jersey:
Prentice-Hall.
JENSEN, M. C., MECKLING, W.H. (1994) The Nature of Man. Journal of Applied
Corporate Finance, vol.7, nº.2, pp. 4-19.
KEMNA, A. G. Z. (1993) Case studies on real options, Financial Management, vol.22,
nº.3, p. 259-270, Autumn.
KEENEY, R. (1992) Value Focused Thinking a Path Creative Decision Making.
Boston: Harvard University Press.
KULATILAKA, N. (1993) The value of flexibility: the case of a dual-fuel industrial steam
boiler, Financial Management, vol.22, nº.3, pp. 259-270, Autumn.
KULATILAKA, N., MARCUS, A.J. (1988) General formulation of corporate real options,
Research in Finance, vol.7, pp. 183-199.
LUEHRMAN, T. A. (1997) What’s worth: a general manager’s guide to valuation.
Harvard Business Review, vol.75, nº.3, pp. 132-142, May/June.
LUEHRMAN, T. A. (1998) Investments opportunities as real options: getting started on
the numbers. Harvard Business Review, vol.76, nº.4, pp. 51-67, July/August.
LUND,D., OKSENDAL, B. (1991) Stochastic Models and Option Values: With
Applications to Resources, Environment, and Investement Problems.
Amsterdam: North Holland.
MAJD, S., PYNDICK, R. (1987) Time to build, option value, and investment decisions.
Journal of Financial Economics, vol.18, nº.1, pp. 7-27 March.
MERTON, R. C. (1973) Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics
and Management Sciences, vol.4, nº.1, pp. 141-183, Spring.
81
MYERS, S.(1987) Finance Theory and Financial Strategy, Midland Corporate Finance
Journal, vol.5, nº 1, pp 6-13.
PADDOCK, J. L., SIEGEL, D. R., SMITH, J. L. (1988) Option valuation of claims on real
assets: the case of offshore petroleum leases, Quarterly Journal of Economics,
vol. 103, nº.3, pp. 479-508.
PYNDICK, R. (1991) Irreversibility, Uncertainty and Investement, Journal of Economic
Literature, vol.29, nº.3, pp. 1110-1148.
PINDYCK, R. S. (1993) Investment of uncertain cost, Journal of Financial Economics,
vol.34, nº.1, pp. 53-76.
ROSS, S. A., WESTERFIELD, R. W., JAFFE, J. (1996) Corporate Finance, Boston:
Irwin, 4a ed.
SCHWARTZ, E. (1997) The Stochastic Behaviour of Commodity Prices: Implications for
Pricing and Hedging, Journal of Finance, vol.52, nº.3, 923-973.
SMITH, J. E., NAU, R. F. (1995) Valuing risk projects: option pricing theory and decision
analysis. Management Science, vol.41, nº. 5, pp. 795-816, May.
TRIGEORGIS, L e MASON, S. (1987) Valuing Managerial Flexibility, Midland
Corporate Finance Journal, vol.5, nº. 1, pp. 14-21.
TRIGEORGIS, L. (1988) A conceptual options framework for capital budgeting,
Advances in Futures and Options Research, vol. 3, pp. 145-167.
TRIGEORGIS, L. (1996) Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in
Resource Allocation, Cambridge: MIT Press.
TRIGEORGIS, L. (1993) Real options and interactions with financial flexibility, Financial
Management, vol. 22, nº. 3, pp. 202-224, Autumn.
82
TRIGEORGIS, L. (1998) Real options: managerial flexibility and strategy in resource
allocation. Cambridge: MIT Press.
top related