1. fundamentos teÓricos -...
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Fundamentos teóricos
1
1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Introducción
En este apartado del trabajo se muestran los fundamentos teóricos en los que se ha basado el
código de MATLAB que se presenta, para la determinación de los exponentes característicos del
problema de las esquinas multimateriales bajo la hipótesis de materiales anisótropos linealmente
elásticos sometidos a un estado generalizado de deformaciones planas en donde los desplazamientos
en tres dimensiones dependen de sólo dos coordenadas cartesianas ( ),(),( 21 ruxxuu iii con i=1,2,3
or 3,,ri ).
Los exponentes k sólo dependen del problema local en el entorno del vértice de la esquina
multimaterial. Se considerará una esquina de N materiales que pueden encontrarse perfectamente
pegados, o que pueden sufrir deslizamiento o fricción, y un sistema de referencia polar (r,) centrado
en el vértice.
Para definir el problema local habrá que introducir la geometría local definida por los ángulos i
(i=0,...,N), las propiedades mecánicas de los materiales y las condiciones de contorno en las caras
extremas 0 y N.
Se denominarán respectivamente “esquinas abiertas” y “esquinas cerradas” a las configuraciones
que presenten, o no, caras externas.
x1
x2
0
i-1i
N
1
i
N
x1
x2
0
i-1i
N= 1
i N
a) b)
1-1 Esquinas abiertas y cerradas
Fundamentos teóricos
2
1.2 Formalismo de Stroh- Lekhnitskii
El formalismo de Lekhnitskii-Stroh en variable compleja es una herramienta muy poderosa y
eficiente en la resolución de problemas de elasticidad anisótropa bajo estados de deformación plana
generalizada.
Este capítulo resume los fundamentos del formalismo empleados en el análisis de los estados
singulares de tensiones en esquinas multimateriales sometidos a estados de deformación plana. Una
completa descripción del formalismo de Stroh se puede encontrar en Ting (1996)
1.2.1 Ecuaciones básicas
Sea xi (i=1,2,3) un sistema de coordenadas cartesiano, siendo ij y ui respectivamente las
tensiones y desplazamientos en un material anisótropo, las ecuaciones de equilibrio para un material
homogéneo anisótropo y linealmente elástico cuyas constantes elásticas son Cijks pueden formularse en
término de desplazamientos ui (i=1,2,3) como:
skijksij uC ,
0, sjkijksuC
(2.1)
En estados de Deformación Plana Generalizada, los desplazamientos ui (i=1,2,3) dependen
exclusivamente de x1 y x2 (entonces, 33=0), y por tanto la solución general de la ecuación depende de
una variable compleja z, que es combinación lineal de x1 y x2
zfau ii
(2.2)
21 pxxz
(2.3)
Donde:
ai es un vector complejo a determinar
f(z) función arbitraria dependiente de la variable compleja z
p es una constante compleja a determinar
Fundamentos teóricos
3
Derivando los desplazamientos dos veces con respecto a xs y xj sustituyendo en (2.1) se obtiene
dada la arbitrariedad de f(z) la siguiente expresión:
022
2
122111 kkikikiki aCpCCpC
(2.4)
Dado que las matrices Q, R y T se definen de la siguiente forma:
11kiik CQ
21kiik CR
22kiik CT
(2.5)
La ecuación (2.4) se puede escribir de forma matricial de la siguiente manera:
0aTRRQ 2pp T
(2.6)
Para una solución no trivial de a, tenemos que:
0TRRQ 2pp T
(2.7)
El sistema lineal homogéneo de la ecuación (2.7) tiene solución no trivial si y sólo si el
determinante es cero y conduce a una ecuación de grado seis en p, cuya solución son tres pares de
raíces complejas conjugadas llamadas autovalores p (=1,…6) que habitualmente se ordenan
atendiendo al signo de la parte imaginaria de p
0Im p pp 3 (=1,2,3).
(2.8)
Los autovectores (a) asociados se obtienen de (2.6)
aa 3 (=1,2,3)
(2.9)
Las tensiones ij derivando la expresión de los desplazamientos dada en (2.2) e insertándola en la
ecuación (2.1) obteniendo:
Fundamentos teóricos
4
)(1 zfapRQ kikiki
(2.10)
)(2 zfapTR kikkii
(2.11)
Estas expresiones de las tensiones se pueden expresar como:
)(1 zfpbii
)(2 zfbii
(2.12)
En donde en notación matricial:
aRQaTRb pp
pT 1
(2.13)
Introduciendo el vector función de tensiones:
)(zfbii o )(zfbφ en notación matricial
(2.14)
Las expresiones de las tensiones (2.12) pueden escribirse de la siguiente forma:
2,1 ii
1,2 ii
(2.14)
La solución general de la función de tensiones φ se obtiene superponiendo las seis soluciones de
(2.14) asociadas a los seis autovalores p , de manera que se obtienen las ecuaciones que constituyen
el formalismo de Stroh:
3
1
)()(
zfzf aau
3
1
)()(
zfzf bbφ
(2.15)
En donde b está relacionado con a mediante la ecuación (2.13):
Fundamentos teóricos
5
bb 3 (=1,2,3)
(2.16)
1.2.2 Relaciones de ortogonalidad y cierre
Tomando las dos igualdades en (2.13), y definiendo I como la matriz identidad (33), se puede
rescribir (2.13) en la forma:
b
a
0T
IR
b
a
IR
0Qp
T
(2.17)
Multiplicando (2.16) por la inversa de la matriz de 6x6 del lado derecho a ambos lados de la
igualdad por la derecha, queda la siguiente expresión:
b
a
b
a
RTQRRT
TRTp
T
T
11
11
ξNξ p
(2.18)
N (66) es la “Matriz de Elasticidad Fundamental”, ),( TTT baξ es el autovector por la
derecha de N (N no es simétrica) y p el autovalor asociado.
La ecuación (2.17) es válida siempre y cuando N tenga tres autovectores ξ (=1,2,3)
linealmente independientes. En el caso de que además los autovalores p sean todos distintos N se
dice que es simple, y si se repite alguno será semisimple.
Si ocurre que algunos de los autovectores es linealmente independiente entonces algunas de las
expresiones del formalismo deben ser modificadas (Ver Ref.1).
Atendiendo al número de autovalores iguales y al número de autovectores linealmente
independientes, se puede establecer, ver Ting (1999), una clasificación de la matriz N como la que se
muestra en la siguiente tabla:
Fundamentos teóricos
6
3 autovalores
diferentes 2 autovalores iguales 3 autovalores iguales
3 autovectores
linealmente
independientes
Simple (SP) Semisimple (SS) Extraordinariamente
semisimple (ES)
2 autovectores
linealmente
independientes
No-semisimple o
degenerado de 1ª
especie (D1)
No-semisimple o
degenerado de 2ª especie
(D2)
1 autovector
linealmente
independiente
Extraordinariamente
degenerado (ED)
2-1 Clasificación de la matriz N
Los autovectores ),( TTT baξ definen las matrices de orden 3x3 321 ,, aaaA y
321 ,, bbbB que se emplean en la representación de las funciones de tensiones y desplazamientos
Dado que N no es simétrica, el autovector por la izquierda cumple la relación:
ηηN pT
(2.19)
Donde:
TTabη ,
Sabiendo que los autovectores por la izquierda y por la derecha asociados a distintos autovalores
son ortogonales entre sí, tenemos:
0· ξη , para pp
(2.20)
Las relaciones de ortogonalidad y cierre se deducen despues de normalizar los autovectores de
acuerdo con ξη · :
IXXXX 11
(2.21)
Siendo I la matriz identidad de orden 6x6 y donde:
BB
AAX ,
TT
TT
AΓBΓ
ΓAΓBX
1
(2.22)
Fundamentos teóricos
7
100
010
001NDΓ ,
100
001
010DΓ ,
001
010
100EDΓ
(2.23)
Los superíndices de las matrices Γ se refieren a materiales no degenerados, degenerados y
extraordinariamente degenerados respectivamente.
1.2.3 Condiciones de contorno y de interfaz
Se considera una esquina multimaterial elástica anisótropa compuesta por un número de
materiales cuyas caras planas se intersecan en el vértice de la esquina que coincide con el eje x3 del
sistema de coordenadads cartesiano definido en coordenadas cilíndricas (x1,x2,x3) o polares (r, ,x3)
(ver figura)
1-2 Esquina multimaterial
La esquina multimaterial está sujeta a un estado de deformaciones planas y se consideran las
condiciones de perfectamente pegado, deslizamiento y fricción entre las caras de los materiales. Se
distinguirá entre esquinas abiertas, en las que habrá dos caras externas a las que habrá que aplicar unas
determinadas condiciones de contorno, y las esquinas cerradas en las que sólo se imponen condiciones
de interface entre las caras de los materiales.
La esquina contiene un número M de materiales ( 1M ) y cada uno de los cuales (Mm) está
definido en esquina multimaterial por un ángulo comprendido entre los ángulos m-1<<m.
En el caso particular del código que se expone en este trabajo, no ocurre como en literaturas
precedentes en donde se distingue entre el número de materiales y el número de sectores W (entendido
como sector una parte de la esquina en el que los materiales están perfectamente pegados). De tal
Fundamentos teóricos
8
manera que en lo sucesivo el número de sectores y el número de materiales serán iguales (M=W), así
mismo ocurrirá con los subíndices m=w.
A la hora de definir las condiciones de interfaz, se asume un modelo de fricción isótropo en el
que el ángulo que define la velocidad de deslizamiento es igual al ángulo de fricción transversal
u y el coeficiente de fricción es independiente del ángulo de deslizamiento .
Para definir las condiciones de contorno e interfaz en una esquina multimaterial (3D) se usará los
siguientes vectores asociados a las caras de la esquina multimaterial:
))(,),(( 3 nssr
(2.24)
3s
)( Wr s
x3
)( Wn
1
W
3s
)( 0rs
)( 0n0
1
1W
W
)(rs
3s
),( k
)(m
wedge face plane at
),( k
arctan
normal plane to wedge face at
)(n
),,( n
arctan
),,( s
1-3 Sistema de coordenadas definido en una esquina multimaterial
Las componentes de los vectores definidos en el sistema de coordenadas cartesiano son:
,
0
cos
sin
)(,
1
0
0
,
0
sin
cos
)( 3
nssr
(2.25)
Cuando se definen condiciones de deslizamiento o fricción se usará el siguiente sistema de
vectores asociado a las caras de los materiales:
))(),,(),,(( nmk
))(),,(),,(( nmkuu
)),(),,,(),,,(( msn
(2.26)
En donde:
Fundamentos teóricos
9
,sin)(cos),( 3ssk r
,cos)(sin),( 3ssm r
,
1
),()(),,(
2
knn
,
1
)(),(),,(
2
nks
(2.27)
El ángulo u es el ángulo medido desde )(rs que marca la dirección de deslizamiento y
es el coeficiente de rozamiento definidos en la cara del material.
1.2.4 Matriz de condiciones de contorno
Con las definiciones anteriores las condiciones de contorno homogéneas más habituales, se
pueden expresar en forma compacta (Mantič et al. 1997) para las dos caras externas
0DuD ),()(),()( wwwwu rr
(2.28)
En donde )( wu D y )( wD son matrices 3x3 de coeficientes reales que cumplen las
condiciones de ortogonalidad siguientes:
0DDDD )()()()( w
T
uww
T
wu
(2.29)
Las matrices )( wu D y )( wD para distintas condiciones de contorno homogéneas se muestran
en la siguiente tabla:
Fundamentos teóricos
10
Boundary condition Boundary matrix definition
)(uD
)(D
Free 330 33I
Fixed 33I 330
Symmetry (only u restricted) T00n ,),( Tr 3),(, ss0
Antisymmetry(only u allowed) Tr 0ss ,),( 3
T)(,, n00
Only ur restricted Tr 00s ,),( T3),(, sn0
Only ur allowed T0sn ,),( 3
Tr )(,, s00
Only u3 restricted T00s ,,3
Tr )(),(, ns0
Only u3 allowed Tr 0ns ),(),( T
3,, s00
1-2 Matrices de condiciones de contorno homogéneas
La matriz de condiciones de contorno homogéneas BCD se define como una matriz de 6x6
ortogonal:
)()(
)()(
)(~)(
~)()(
)(wuw
wwu
wwu
wwu
wBC
DD
DD
DD
DDD
(2.30)
En el caso de que las condiciones de contorno sean no lineales y se imponga fricción, las
condiciones de contorno en la cara inicial y final se podrán expresar de la forma lineal:
0DuD ),())(,,(),())(,,( wwwwwww
u
wwwu rr
(2.31)
En donde ))(,,( w
u
wwwu D y
))(,,( wwww D son matrices reales de 4x3 que no son
cuadradas sino, rectangulares:
Tuu
u 0m0nD ),,(,),(),,(
T),(,),,,(,),,( m0s0D
Tuu
u ),(,),,(~ k0D
T0nD ),,,(),,(
~
1-3 Matrices de condiciones de contorno no lineales (fricción)
Se ha supuesto que en la cara en donde ocurre la fricción, se desliza con el mismo ángulo de
fricción, que el coeficiente de fricción es constante en toda la cara y se han adoptado las siguientes
simplificaciones para las caras iniciales y finales:
Fundamentos teóricos
11
w ,
w
)( w
u
w
u
)( ww
La matriz de condiciones de contorno no lineales BCD se define como una matriz de 6x6
ortogonal:
),,(~),,(
~),,(),,(
))(),(,,(www
u
wwwu
www
u
wwwu
w
u
wwwwwBC
DD
DDD
(2.32)
En donde ),,(
~ u
wwwu D y
),,(~
www D son matrices reales de 2x3.
1.2.5 Matriz de interfaz
Las condiciones de interfaz para los casos de deslizamiento y fricción pueden expresarse de
forma compacta respectivamente:
0wDwD ),()(),()( 121 wwwwww rr
(2.33)
0wDwD ),())(),(,,(),())(),(,,( 121 www
u
wwwwwwww
u
wwwww rr
(2.34)
En donde las matrices de interfaz para el caso de deslizamiento )( wi D son matrices reales de 6x6
definidas en la siguiente tabla teniendo en cuenta que w y 11 Ww :
T
r
33313
133313
1)(
)(
2
1)(
sIs0
000nD
T
r
33313
133313
2)(
)(
2
1)(
sIs0
000nD
T
r
1313131313
13313131
)(
2)(2)(
2
1)(
~
0000n0
0s0s0nD
Fundamentos teóricos
12
T
r
1313131313
31313132
)(
2)(2)(
2
1)(
~
0000n0
s0s00nD
Ta 2-4 matrices de transferencia para deslizamiento
En el caso de deslizamiento con fricción las matrices ),,,( uwwwwi D son matrices reales de
7x6 definidas en la siguiente tabla teniendo en cuenta que w , w , )( w
u
w
u , )( ww
y 11 Ww :
Tu
u
),(),,(
),()(
2
1),,,(
133313
1333131
m0Is0
0m00nD
T
uu
),(),,(
),()(
2
1),,,(
133313
1333132
m0Is0
0m00nD
Tuu
u
13131313
13131
),,(
),(),(2)(
2
1),,,(
~
000n0
m0k0nD
Tuu
u
13131313
13132
),,(
),(),(2)(
2
1),,,(
~
000n0
mk00nD
2-5 matrices de transferencia para deslizamiento con fricción
La matriz de condiciones de interfaz ID se define como una matriz de 12x12 ortogonal que
tendrá la siguiente expresión para deslizamiento y fricción respectivamente:
)(~
)(~
)()()(
21
21
ww
ww
wI
DD
DDD
(2.35)
),,,(~),,,(
~),,,(),,,(
))(),(,,(
21
21uwwww
uwwww
uwwww
uwwww
wuwwwwwI
DD
DDD
(2.36)
Donde )(~
wi D (i=1,2), son matrices reales de 6x6 y ))(),(,,(~
wuwwwwwi D (i=1,2), son
matrices reales de 5x6.
En el caso particular de condición de pegado las matrices tienen la forma:
21
21~~DD
DDDI
(2.37)
Fundamentos teóricos
13
Donde
6612
1 ID
6622
1 ID
6612
1~ ID
6622
1)(
~ ID
2-6 matrices de transferencia para pegado
1.3 Matriz de transferencia
Los deplazamientos y vectores función de tensiones en una cara de contacto entre dos materiales
dentro de una esquina multimaterial ),( 1mrw y
),( mrw se relacionan mediante lo que se denomina
matriz de transferencia mE.
1.3.1 Materiales no degenerados
En el caso de un material no degenerado los desplazamientos y vector función de tensiones se
pueden escribir de la siguiente manera
vXZw )(),( rr ,
),(
),(),(
r
rr
φ
uw
,
q
qv ~
(2.38)
Donde X está definida por (2.22) y )(Z es una matriz diagonal de la forma:
)(0
0)()(
*
*
Z
(2.39)
)(),(),(diag)( 321*
)(),(),(diag)( 321*
Fundamentos teóricos
14
sincos)( p
sincos)( p
La matriz de transferencia se obtiene particularizando en un material (material m) la
representación de desplazamientos y función de tensiones (2.38) en las dos caras extremas del mismo y
eliminando v
),(),,(),()(),(
)(),(11
11
mmmmmmm
mmm
mmm rrrr
rr
wEwvXZw
vXZw
(2.40)
Donde
11
11 )()(),,(
XZXZE mmmmm
(2.41)
),,( 1mmm E es la matriz de transferencia del material m, es compleja de 6x6 y depende de las
características del material, de los autovalores p, geometría (dada por 1m y m ) y del exponente
característico
),(
),(),()()(
1*
1*
1
1
1
mm
mm
mmmm
0
0ZZZ
(2.42)
)},(),,(),,(diag{),( 1312111* mmmmmmmm
(2.43)
)(sin)()(cos)(
)(),( 111
1
1
mmmmm
m
mmm p
(2.44)
)(cos)(sin
)(sin)(cos)(
11
111
mm
mmm
p
pp
(2.45)
1.3.2 Materiales degenerados
Fundamentos teóricos
15
En el caso de un material no degenerado los desplazamientos y vector función de tensiones se
pueden escribir de la siguiente manera
vXZw ),(),( rr ,
),(
),(),(
r
rr
φ
uw
,
q
qv ~
(2.46)
Donde X está definida por (2.22) y ),( Z se define como:
),,(
),,(),(
*
*
p
p
Ψ0
0ΨZ
(2.47)
)(00
0)(0
0)(),,()(
),,(
3
1
111
*
pK
pΨ
(2.48)
)(
)sin(),,(
1
1
pK
(2.49)
Aplicando el mismo procedimiento que en la sección anterior se tiene:
),(),,(),( 11 mmmmmm rr wEw
(2.50)
Donde :
11
11 ),(),(),,(
XZXZE mmmmm es la matriz de transferencia para un
material degenerado.
(2.51)
),,,(
),,,(),(),(
1*
1*1
1
mm
mm
mmp
p
Ψ0
0ΨZZ
(2.52)
),(00
0),(0
0),(),,,(),(
),,,(
13
11
111111
1*
mm
mm
mmmmmm
mm
pK
p
Ψ
Fundamentos teóricos
16
(2.53)
)()(
)sin(),,,(
111
111
mm
mmmmpK
(2.54)
La expresión de ),( 1mm viene dada en (2.44).
1.3.3 Materiales extraordinariamente degenerados
En el caso de un material extraordinariamente degenerado los desplazamientos y vector función
de tensiones se pueden escribir de la siguiente manera
vXZw )(),( rr ,
),(
),(),(
r
rr
φ
uw
,
q
qv ~
(2.55)
Donde:
),,(
),,(),(
p
p
Ψ0
0ΨZ
(2.56)
100
),,(10
),,(1),,(1
)(),,(
21
21
pK
pKpK
pΨ
(2.57)
)(
)sin(),,(
pK
(2.58)
Repitiendo los procesos anteriores se llega a las expresiones:
),,,(
),,,(),(),(
1
11
1
mm
mm
mmp
p
Ψ0
0ΨZZ
(2.59)
Fundamentos teóricos
17
100
),,,(10
),,,(),,,(),,,(1
),(),,,( 1
111
11
mm
mmmmmm
mmmm pK
pZpKpK
pΨ
(2.60)
Donde
)(
sin
)(
sin),,,(
2
1),,,(
1
111
m
m
m
mmmmm pKpZ
(2.61)
La expresión de ),( 1mm viene dada en (2.44) y
),,,( 1 mmpK en (2.54)
1.4 Planteamiento del problema en una esquina multimaterial
En este capítulo las matrices de transferencia de cada uno de los materiales que componen la
esquina se usarán para montar el correspondiente sistema característico de la esquina multimaterial con
sus correspondientes condiciones de contorno e interfaz. La solución de este sistema proporciona los
exponentes característicos del problema de la esquina.
Se considera que la esquina está formada por un número finito de materiales que entre ellos
pueden estar pegados o en contacto con deslizamiento o fricción, y en el caso de las esquinas abiertas,
que tienen unas condiciones de contorno en sus extremos determinadas.
El siguiente sistema recoge todas las relaciones de transferencia entre materiales de la esquina
16.corner_ext.corner_ext)( W0wK
(2.62)
En donde la matriz compleja de transferencia puede expresarse de la siguiente manera:
6666666666
666626666
666666661
.corner_ext
)(
)(
)(
)(
IK0000
0IK00
000IK
K
W
(2.63)
Dicha matriz tiene unas dimensiones de 6Wx12W siendo (recordemos) W=M.
Y el vector de variables elásticas del material tiene unas dimensiones 12Wx1:
Fundamentos teóricos
18
),(
),(
),(
),(
),(
),.(
1
22
12
11
01
.corner_ext
WW
WW
r
r
r
r
r
r
w
w
w
w
w
w
w
(2.64)
Siendo :
),,,( 110 WW el vector de los ángulos polares de las caras de los materiales de
la esquina multimaterial
1.4.1 Esquina multimaterial abierta
La siguiente expresión de la matriz de condiciones de contorno e interface de una esquina
multimaterial abierta es compatible con la definición de variables elásticas dada en (2.57).
)(
)(
)(
)](,),(),([diag_blocked),,,(
BC12612666
61212121I612
661261260BC
BC1I0BC.corner_ext
W
W
u
D000
00D0
000D
DDDωμωD
(2.65)
Reordenando el vector de variables elásticas en subvectores, por un lado los que se desconocen y
por otro los impuestos por condiciones de contorno e interfaz se obtiene el vector corner_PUw de
dimensiones 12Wx1 que se reduce a el vector corner_Uw de dimensiones 6(W-F)x1 eliminando los
valores impuestos y que son iguales a 0 (siendo F el número de condiciones de contorno o interfaz no
homogéneas).
),(
),(
),(
,
),(
),(
),(
),(
),(
),(
1
0
corner_U1
1
0
0
corner_PU
WU
U
U
WU
WP
U
P
U
P
r
r
r
r
r
r
r
r
r
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
(2.66)
Fundamentos teóricos
19
De tal forma, el sistema característico para el análisis de una esquina multimaterial abierta se
puede expresar de la forma:
16corner_Ucorner),( W0wωK
(2.67)
En donde los valores de y ω se toman como argumentos de la matriz característica de una
esquina multimaterial
)(~
)(~
)(~
)(~)(
~)(
~
),(
12666
66211226
6661101
corner
210
10
12
W
T
BCW
T
Wnnn
nn
TT
n
nnn
TT
BC
WW
WW
DDK000
00DDK0
000DDK
ωK
(2.68)
En donde nw=3 para w=0=W y nw= 6 para w=1,...,W+1 siempre y cuando no se impongan
condiciones de fricción, en cuyo caso nw = 2 y nw = 5 respectivamente.
1.4.2 Esquina multimaterial cerrada
La siguiente expresión de la matriz de condiciones de contorno e interface de una esquina
multimaterial cerrada es compatible con la definición de variables elásticas dada en (2.57).
6121I12121212612
612121212121I612
112612612602
112612612602
.corner_ext
)(
)(
)(~
)(~
)()(
),,,(
0D000
000D0
D000D
D000D
ωμωD
W
W
W
u
(2.69)
Ordenando el vector de variables elásticas en subvectores, por un lado los que se desconocen y
por otro los impuestos por condiciones de contorno e interfaz se obtiene el vector corner_PUw de
dimensiones 12Wx1 que se reduce a el vector corner_Uw de dimensiones 6(W-F)x1 eliminando los
valores impuestos y que son iguales a 0 (siendo F el número de interfaz no homogéneas).
Fundamentos teóricos
20
),(
),(
),(
,
),(
),(
),(
),(
),(
),(
1
1
0
corner_U
1
1
1
1
0
0
corner_PU
WU
U
U
WU
WP
U
P
U
P
r
r
r
r
r
r
r
r
r
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
(2.70)
Este vector tiene algunas diferencias con su homólogo en esquinas abiertas (2.59). En particular
los vectores )( 0Pw y )( 0Uw que para el caso de esquinas abiertas representaban las condiciones de
contorno y tenían unas dimensiones de 3x1, ahora representan las condiciones de interface y tienen
unas dimensiones de 6x1 (para el caso de deslizamiento 7x1 y 5x1 respectivamente).
Una vez ordenado el vector, el sistema característico para el análisis de una esquina
multimaterial cerrada se puede expresar de la forma:
16corner_Ucorner),( W0wωK
(2.71)
En donde los valores de y ω se toman como argumentos de la matriz característica de una
esquina multimaterial
)(~
)(~
)(~
)(~
)(~
)(~)(
~)(
~
),(
1266601
11221666
66211226
66611021
corner
221
210
120
122
W
T
Wnnn
T
W
T
W
T
Wnnn
nn
TT
n
nnn
TT
W
WW
WW
DK000D
DDK000
00DDK0
000DDK
ωK
(2.72)
1.4.3 Solución del sistema
Sistemas con condiciones de contorno e interfaz homogéneas
Lo que se está buscado en una solución no trivial del sistema lineal homogéneo (2.59 y 2.63) que
define las soluciones singulares de la esquina cumpliendo las condiciones de contorno e interfaz
impuestas. Cualquier solución no trivial de 0w corner_U ej 2.59 o 2.63 es un vector nulo de la matriz
),(corner ωK y por tanto hay que determinar los valores singulares de y ω .
16corner_Ucorner)( W0wK
Fundamentos teóricos
21
(2.73)
Para ello la forma más común de proceder es resolver el problema no lineal de autovalores
buscando las raíces del determinante:
0)(detcornerK
(2.74)
Los ceros de la ecuación característica representan para cualquier esquina multimaterial los
exponentes característicos, y por tanto, los órdenes de singularidad del estado tensional asintótico de la
esquina.
Sistemas con alguna condicion de contorno o interfaz no lineal
En el caso de que se defina alguna condición de fricción 1F en sistema lineal (2.71) la matriz
es rectangular de 6Wx6(W-F) lo que representa un sistema homogéneo sobre determinado.
Una forma eficiente de determinar si existen soluciones no triviales para unos determinados
valores de y ω es obtener los SVD (Singular Value Decomposition) de la matriz ),(corner ωK y
evaluar los 0i )6,,1( FWi . En el caso de que el valor mínimo de
0i sea cero o muy
próximo, existirá solución para la combinación de y ω dados.
Por tanto la solución del sistema viene determinada por la siguiente ecuación:
0),(cornermin ωK
(2.75)
Los ceros de la ecuación característica representan para cualquier esquina multimaterial los
exponentes característicos, y por tanto, los órdenes de singularidad del estado tensional asintótico de la
esquina
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