07 integrales definidas

INTEGRAL DEFINIDA

SUMATORIA

MATEMATICA II

ANIVAL TORRE

1

INTRODUCCIÓN

ANIVAL TORRE

2

La medida de área es un problema que ha preocupado al hombre desde la antigüedad. Los egipcios (2000-1800 a.c.) conocían reglas para el cálculo de las áreas y los volúmenes de algunos objetos sencillos. Tenían formas exactas para las áreas de los rectángulos, triángulos y trapezoides y una fórmula incorrecta para el área de un cuadrilátero general daban el área aproximada de un círculo. Sabían como calcular el volumen de los cubos, cilindros, y como podía esperarse el volumen de una pirámide truncada de base cuadrada.

ANIVAL TORRE

3

Los griegos dieron derivaciones lógicas y sistemáticas de las fórmulas. De todos los griegos, Arquímedes fue el que más se acercó al concepto moderno de acotar un área por un conjunto de rectángulos situados en el interior y un conjunto que cubría justamente el área.

INTRODUCCIÓN

SUMATORIA

ANIVAL TORRE

4

ai = a1 + a2 + a3 + a4 + .............. + an

(2i+1)=(2.1+1)+(2.2+1)+(2.3+1)+(2.4+1)+(2.5 + 1)

(2i+1)= 3 + 4 + 7 + 9 + 11 = 34

1

n

i

5

1i

5

1i

Propiedades.

ANIVAL TORRE

5

1) C = C n ; 2)

3) C f(x) = C f(i) 4)

5) 6)

7) [f(i) + g(i)] = f(i) + g(i)

1

n

i

1

n

i

1

n

i

1

n

i

1

n

i

1

n

i

1

( 1)

2

n

i

n ni

2

1

( 1)(2 1)

6

n

i

n n ni

2 23

1

( 1)

4

n

i

n ni

3 24

1

( 1)(6 9 1)

30

n

i

n n n n ni

APLICACIONES

ANIVAL TORRE

6

Desarrollar y hallar el valor de las siguientes sumatorias

10

5

3

5

2

2

6

1

4

1

5

1

3

)32(.5

)2(.4

5.3

3.2

)12(.1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ANIVAL TORRE

7

50

20

25

6

3

25

15

20

10

10

5

2

10

.9

)12(.8

2.7

.6

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Desarrollar y hallar el valor de las siguientes sumatorias

APLICACIONES

INTEGRAL DEFINIDA

ANIVAL TORRE

8

Si F es una función continua en I=[a,b] y f es una antiderivada de F en I, o sea f ’(x) = F(x) , x I, entonces :

b

a

ba afbfxfdxxF )()()()(

APLICACIONES

ANIVAL TORRE

9

dxxx

dxxx

dxxx

dxx

uxx

xdx

ux

xdx

)86()6

)65()5

)23(3)4

)13()3

549)2()3(22

2)2

1221

225

)1(21

)5(21

2)1

6

0

2

4

1

2

225

1

3

4

1

2

2223

2

23

2

23

2

2225

1

25

1

ANIVAL TORRE

10

dxxx

xdx

dxx

xdx

xdx

7

1

4

12/1

3

1

2/1

7

12

10

1

)3(.11

2.10

.09

.08

.07

APLICACIONES

ANIVAL TORRE

11

dxxxx

dxxx

x

dxxx

dxe x

)1)(3(.15

)53()56(

.14

2.13

3.12

29

1

3

3

2

4

3

2

1

3

APLICACIONES

ANIVAL TORRE

12

2

2

2

1

12

1

0

2

0

2

2

1

2

)1(.20

1.19

.18

sec.17

)1(.16

dxx

dxx

dx

dxe

dxx

dxx

x

APLICACIONES

ANIVAL TORRE

13

21) Hallar el área limitada por la curva y=x2 , en eje x , y la ordenada en x= 1, x=3

22) Hallar el área comprendida entre el eje x, y la parábola y=4x - x2

23) Hallar el área comprendida entre el eje x, y la parábola y= x2+2x+1

24) Hallar el área limitada por la parábola y=x2 -7x+6, en eje x y la ordenada en la rectas x=2 ; x=6

APLICACIONES