07 integrales definidas
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INTEGRAL DEFINIDA
SUMATORIA
MATEMATICA II
ANIVAL TORRE
1
INTRODUCCIÓN
ANIVAL TORRE
2
La medida de área es un problema que ha preocupado al hombre desde la antigüedad. Los egipcios (2000-1800 a.c.) conocían reglas para el cálculo de las áreas y los volúmenes de algunos objetos sencillos. Tenían formas exactas para las áreas de los rectángulos, triángulos y trapezoides y una fórmula incorrecta para el área de un cuadrilátero general daban el área aproximada de un círculo. Sabían como calcular el volumen de los cubos, cilindros, y como podía esperarse el volumen de una pirámide truncada de base cuadrada.
ANIVAL TORRE
3
Los griegos dieron derivaciones lógicas y sistemáticas de las fórmulas. De todos los griegos, Arquímedes fue el que más se acercó al concepto moderno de acotar un área por un conjunto de rectángulos situados en el interior y un conjunto que cubría justamente el área.
INTRODUCCIÓN
SUMATORIA
ANIVAL TORRE
4
ai = a1 + a2 + a3 + a4 + .............. + an
(2i+1)=(2.1+1)+(2.2+1)+(2.3+1)+(2.4+1)+(2.5 + 1)
(2i+1)= 3 + 4 + 7 + 9 + 11 = 34
1
n
i
5
1i
5
1i
Propiedades.
ANIVAL TORRE
5
1) C = C n ; 2)
3) C f(x) = C f(i) 4)
5) 6)
7) [f(i) + g(i)] = f(i) + g(i)
1
n
i
1
n
i
1
n
i
1
n
i
1
n
i
1
n
i
1
( 1)
2
n
i
n ni
2
1
( 1)(2 1)
6
n
i
n n ni
2 23
1
( 1)
4
n
i
n ni
3 24
1
( 1)(6 9 1)
30
n
i
n n n n ni
APLICACIONES
ANIVAL TORRE
6
Desarrollar y hallar el valor de las siguientes sumatorias
10
5
3
5
2
2
6
1
4
1
5
1
3
)32(.5
)2(.4
5.3
3.2
)12(.1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ANIVAL TORRE
7
50
20
25
6
3
25
15
20
10
10
5
2
10
.9
)12(.8
2.7
.6
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Desarrollar y hallar el valor de las siguientes sumatorias
APLICACIONES
INTEGRAL DEFINIDA
ANIVAL TORRE
8
Si F es una función continua en I=[a,b] y f es una antiderivada de F en I, o sea f ’(x) = F(x) , x I, entonces :
b
a
ba afbfxfdxxF )()()()(
APLICACIONES
ANIVAL TORRE
9
dxxx
dxxx
dxxx
dxx
uxx
xdx
ux
xdx
)86()6
)65()5
)23(3)4
)13()3
549)2()3(22
2)2
1221
225
)1(21
)5(21
2)1
6
0
2
4
1
2
225
1
3
4
1
2
2223
2
23
2
23
2
2225
1
25
1
ANIVAL TORRE
10
dxxx
xdx
dxx
xdx
xdx
7
1
4
12/1
3
1
2/1
7
12
10
1
)3(.11
2.10
.09
.08
.07
APLICACIONES
ANIVAL TORRE
11
dxxxx
dxxx
x
dxxx
dxe x
)1)(3(.15
)53()56(
.14
2.13
3.12
29
1
3
3
2
4
3
2
1
3
APLICACIONES
ANIVAL TORRE
12
2
2
2
1
12
1
0
2
0
2
2
1
2
)1(.20
1.19
.18
sec.17
)1(.16
dxx
dxx
dx
dxe
dxx
dxx
x
APLICACIONES
ANIVAL TORRE
13
21) Hallar el área limitada por la curva y=x2 , en eje x , y la ordenada en x= 1, x=3
22) Hallar el área comprendida entre el eje x, y la parábola y=4x - x2
23) Hallar el área comprendida entre el eje x, y la parábola y= x2+2x+1
24) Hallar el área limitada por la parábola y=x2 -7x+6, en eje x y la ordenada en la rectas x=2 ; x=6
APLICACIONES