tesistesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/10716/1/103.pdf · este trabajo de investigación...
Post on 12-Oct-2018
216 Views
Preview:
TRANSCRIPT
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS DE ESTUDIOS ELASTO-PLÁSTICOS
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN ROBÓTICA INDUSTRIAL
PRESENTA:
OSCAR MAMRE JUÁREZ CORRAL
DIRECTORES:
DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA SOSA
M. en C. BEATRIZ ROMERO ÁNGELES
México, D. F., a 11 de Marzo de 2011
CAPÍTULO I
ESTADO DEL ARTE
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
CAPÍTULO III
ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROBETA EN FLEXIÓN PURA,
CASO DE ESTUDIO ELÁSTICO LINEAL, ELASTO-PLÁSTICO PERFECTO Y COMPORTAMIENTO BILINEAL
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PROBETA EN FLEXIÓN PURA CON HISTORIA PREVIA
CONCLUSIONES
Índice General i
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Contenido
Índice General i
Resumen iv
Objetivo v
Justificación vi
Índice de figuras vii
Índice de tablas x
Introducción xi
Capítulo I
I.1.- Generalidades 2
I.2.- Breve reseña histórica 3
I.3.- Elasto-plasticidad 16
I.4.- Sumario 17
1.5.- Referencias 18
Capítulo II
II.1.- Deformación elástica y permanente 21
II.2.- Teoría de deformación 24
II.3.- Relación elástica y perfectamente plástica 25
II.4.- Método del elemento finito 27
II.4.1.- Los sistemas discretos en general 27
II.4.2.- Definición 31
II.4.3.- ¿Cómo trabaja el MEF? 31
II.4.4.- Discretización o generación de malla 32
II.4.5.- Limitaciones 34
II.4.6.- Programas comerciales con aplicación al MEF 34
II.5.- Plasticidad en flexión 36
Índice General ii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
II.5.1.- Flexión Elasto-plástica perfecta 36
II.5.1.1.- Método de superposición 38
II.5.2.- Flexión con endurecimiento superficial 39
II.6.- Sumario 40
II.7.- Referencias 40
Capítulo III
III.1.- Introducción 43
III.2.- Características del método del elemento finito 44
III.3.- Casos de análisis 45
III.4.- Aplicación de las propiedades mecánicas para el desarrollo del análisis numérico 47
III.5.- Análisis numérico 48
III.5.1.- Primer caso de estudio 48
III.5.2.- Segundo caso de estudio 51
III.5.3.- Tercer caso de estudio 56
III.6.- Desarrollo analítico sobre los casos de estudio 59
III.6.1.- Desarrollo analítico para el primer caso de estudio 59
III.6.2.- Desarrollo analítico para el segundo caso de estudio 61
III.7.- Sumario 65
III.8.- Referencias 66
Capítulo IV
IV.1.- Introducción 68
IV.2.- Endurecimiento por deformación 68
IV.2.1.- Simulación numérica de la aplicación del esfuerzo homogéneo y descarga 69
IV.3.- Inducción de esfuerzos residuales en un material con historia previa 73
IV.3.1.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta tensionada 74
IV.3.2.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta comprimida 77
IV.4.- Cálculo analítico de los esfuerzos residuales 81
Índice General iii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
IV.5.- Sumario 85
IV.6.- Referencias 85
Conclusiones y trabajos futuros 87
Resumen iv
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Una de las razones por la que el diseño mecánico es la base de casi todos los sistemas de
producción, se debe a la actual exigencia de estándares que se deben cumplir con requisitos que
primordialmente responden a solicitudes de seguridad y economía. En este mismo sentido, nace la
necesidad de poder desarrollar materiales ingenieriles más seguros y esto a su vez despierta en los
Ingenieros el interés de investigar el comportamiento de los componentes y desarrollar técnicas para
fortalecer a estos.
El uso de la cerámica junto con los metales ha permitido a la humanidad el desarrollo que se conoce
hasta la fecha, ya que permitió el desarrollo productivo y de supervivencia por el uso de
herramientas más eficaces. Un claro ejemplo de la importancia en la actualidad, es que sin el uso de
metales la transformación de energía sería inconcebible y la civilización tal como se conoce sería
una utopía, los metales únicos por su propiedad de absorber sin falla gran cantidad de energía por
unidad de área o volumen dependiendo del caso de aplicación; sin embargo a pesar de su tenacidad
o capacidad de absorber grandes cantidades de energía sin fracturarse, los componentes se rompen
de una manera instantánea, cuando están sometidos a cargas estáticas y/o dinámicas.
Hasta hace poco se pudo resolver el problema del diseño mecánico ante condiciones de carga
estáticas y a temperatura ambiente, todo esto en base a las condiciones de carga que sólo producen
deformaciones elásticas que en cierta forma garantizan una estabilidad estructural. A pesar de esto,
las fallas repentinas en algunos componentes mecánicos o estructuras no pudieron evitarse, y bajo el
mismo sentido comenzó el estudio elasto-plástico de los materiales, ahora ya considerando
deformaciones plásticas que antes se consideraban de presencia indeseable en el tiempo de servicio.
En esta tesis de investigación se realiza varios estudios numéricos de una barra prismática sometida
a deformaciones de tensión y compresión, ambas deformaciones plásticas, con la finalidad de
proveer una historia previa al material y después realizar una flexión en cuatro puntos de apoyo para
poder inducir un campo de esfuerzos residuales y de esta manera observar y decidir, si las
propiedades mecánicas del material fueron incrementadas o en su defecto aumento el riesgo de falla.
Objetivos v
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Objetivo General
Este trabajo de investigación analiza numéricamente el efecto de las condiciones de historia previa
en un material y de cómo se ve modificada la inducción de un campo de esfuerzos residuales cuando
ha sido sometido a una pre-deformación plástica homogénea, todo esto mediante un ensayo a flexión
con cuatro puntos de apoyo, con el objetivo de poder ver y analizar qué condiciones de historia
previa favorecen o perjudican al material cuando es inducido un campo de esfuerzos residuales. Por
otro lado el principal objetivo, es hacer uso del método numérico de los elementos finitos para
realizar estudios elasto-plásticos simplificando el análisis analítico y poder comparar el método
analítico con el numérico, lo anterior con el propósito de comprobar la teoría de la Mecánica
Clásica.
Objetivos particulares
Conocer las condiciones de elasto-plasticidad y comportamiento bilineal.
Obtener conocimiento de los tipos de endurecimiento por deformación para entender el
comportamiento del material ante deformaciones plásticas.
Conocer y reproducir las condiciones para el ensayo de flexión pura en el MEF.
Aplicar el ensayo de cuatro puntos de flexión para poder obtener la condición de flexión
pura.
Aplicar las condiciones iniciales de las pruebas (tensión – compresión) y posteriormente
someter una carga no homogénea en la probeta con la finalidad de inducir un campo de
esfuerzos residuales.
Comprobar la existencia de manipulación alguna, del campo de esfuerzos residuales
mediante el pre-deformado homogéneo de la viga, considerándose esta deformación como
historia previa en la probeta.
Justificación vi
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Justificación
El uso creciente de sistemas computacionales ha permitido poder realizar ejercicios ingenieriles y
ensayos mecánicos en un tiempo más corto y sobre todo más económico. Siendo el método del
elemento finito (MEF) uno de los métodos numéricos aplicados a dichos sistemas más usados para
este fin.
La caracterización de los materiales con el objeto de conocer sus propiedades mecánicas es muy
importante en el diseño mecánico, ya que comprendiendo estas características se puede realizar un
análisis más confiable; por otro lado los resultados obtenidos por MEF se consideran exactos aunque
en realidad tienen un margen de error muy próximo a cero.
Este trabajo de tesis está basado en el estudio numérico de una viga prismática sometida a flexión
pura, aplicando cargas homogéneas para establecer las condiciones iniciales del material (historia
previa), después se aplicarán cargas no homogéneas para conocer el comportamiento real mecánico
y en este mismo sentido establecer las condiciones favorables o perjudiciales del material antes y
después del análisis. La mayoría de los análisis realizados en la industria consideran al material
como libre de deformaciones y esfuerzos, y la finalidad de este trabajo de investigación es poder dar
un preámbulo al estudio de los componentes mecánicos como portadores de una historia previa, que
aunque sean nuevos dichos elementos existen casos donde la historia se genera desde la producción
de dicho componente.
Índice de figuras vii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Índice de figuras
Capítulo I
Figura I.1.- Piezas con deformación plástica considerable 2
Figura I.2.- Fallas con grandes deformaciones plásticas 3
Figura 1.3.- Caracterización del material 4
Figura I.4.- Elasticidad 5
Figura I.5.- Comportamiento elasto-plástico perfecto 6
Figura I.6.- Estudios hechos por Galileo Galilei de flexión a una viga biapoyada 8
Figura I.7.- De potentia Restitutiva, Robert Hooke, 1678 8
Figura I.8.- Boceto de estudios realizados por Galileo Galilei 9
Figura I.9.- Investigaciones de Jacob Bernoulli con respecto a la fibra neutra 10
Figura I.10.- Ecuaciones de equilibrio interno, Auguste Cauchy 11
Figura I.11.- Criterio de Tresca y Von Misses 13
Figura I.12.- Efecto Bauschinger 15
Figura I.13.- Comportamiento elasto-plástico de un material
Capítulo II
17
Figura II.1.- Curva característica de un componente elástico 22
Figura II.2.- Curva característica de descarga elástica 23
Figura II.3.- Curvas representativas de la transición del estado elástico al plástico 24
Figura II.4.- Diferente comportamiento a descarga (leyes de endurecimiento) 25
Figura II.5.- Curva esfuerzo-deformación elasto-plástico perfecto 25
Figura II.6.- Comportamiento Multi-lineal 26
Figura II.7.- Continuos 28
Figura II.8.- Modelación del sistema por medio de elementos finitos 29
Figura II.9.- Evolución del elemento finito 31
Figura II.10.- Simulación del continuo, con malla y patrón de solución 33
Figura II.11.- Carga de una viga y su descarga 36
Figura II.12.- Comportamiento elasto-plástico perfecto 37
Figura II.13.- Método de superposición 39
Figura II.14.- Endurecimiento por deformación
40
Índice de figuras viii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Capítulo III
Figura III.1.- Material elasto-plástico perfecto
44
Figura III.2.- Viga prismática 46
Figura III.3.- Elemento plano de 8 nodos
Figura III.4.- Discretización del especimen
Figura III.5.- Material elástico lineal
47
47
48
Figura III.6.- Material elástico lineal 49
Figura III.7.- Esfuerzos de carga, caso elástico por medio de simulación numérica 49
Figura III.8.- Comportamiento elástico lineal del material 50
Figura III.9.- Estado de esfuerzos para descarga en el caso elástico 51
Figura III.10.- Propiedades elasto-plástica perfectas del material 51
Figura III.11.- Cuatro puntos de flexión, segundo caso de estudio 52
Figura III.12.- Comportamiento simulado elasto-plástico perfecto 52
Figura III.13.- Viga flexionada de manera elasto-plástica perfecta 53
Figura III.14.- Esfuerzos de carga para el comportamiento elasto-plástico perfecto 53
Figura III.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido, comportamiento elasto-plástico
perfecto
Figura III.16.- Distribución de esfuerzos residuales, comportamiento elasto-plástico perfecto
Figura III.17.- Comportamiento bilineal
Figura III.18.- Comportamiento bilineal del material. a) Distribución de esfuerzos a tensión y
compresión en la viga sometida a flexión. b) Línea de carga del material (comportamiento
bilineal)
Figura III.19.- Esfuerzos residuales ante un comportamiento bilineal. a) Esfuerzos residuales
en la viga b) Distribución del campo de esfuerzos residuales
Figura III.20.- Incremento de la zona plástica en una sección rectangular
54
55
56
57
58
63
Capítulo IV
Figura IV.1.- Representación del endurecimiento por deformación
69
Figura IV.2.- Propiedades del material 69
Figura IV.3.- Discretización del espécimen y carga aplicada 70
Figura IV.4.- Esfuerzos de tensión en el espécimen a presión 70
Índice de figuras ix
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.5.- Deformación unitaria en el espécimen a presión 71
Figura IV.6.- Efecto de descarga en el esfuerzo de tensión en el espécimen a presión 72
Figura IV.7.- Valor de la deformación unitaria del espécimen al ser descargado 72
Figura IV.8.- Comportamiento bilineal simulado del material
Figura IV.9.- Configuración de la flexión con cuatro puntos de apoyo
Figura IV.10a.- Esfuerzos en plena carga del material. a) Resultado del MEF a la flexión de
cuatro puntos
Figura IV.10b.- Esfuerzos en plena carga del material. b) Curva de esfuerzos en plena carga,
nótese el endurecimiento por deformación (tensión)
Figura IV.11.- Campo de esfuerzos residuales inducido. a) Esfuerzos residuales en MEF. b)
Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga
Figura IV.12.- Compresión del especimen
Figura IV.13.- Cargas aplicadas en la configuración de cuatro puntos de apoyo
Figura IV.14a.- Curva de esfuerzos (carga)
Figura IV.14b.- Curva de esfuerzos a plena carga
Figura IV.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido. a) Esfuerzos residuales en MEF b)
Curva de esfuerzos residuales en la viga
Figura IV.16.- Representación gráfica de los esfuerzos obtenidos y su posición
Figura IV.17.- Representación gráfica de los esfuerzos con respecto a su posición
73
74
74
75
76
78
78
79
79
80
83
84
Índice de tablas x
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Índice de tablas
Capítulo III
Tabla III.1.- Propiedades mecánicas para el análisis 48
Tabla III.2.- Valores obtenidos del componente, caso elástico 50
Tabla III.3.- Valores obtenidos por MEF 54
Tabla III.4.- Distribución de los esfuerzos residuales 55
Tabla III.5.- Esfuerzos a carga
Tabla III.6.- Distribución de esfuerzos residuales
Tabla III.7.- Valores obtenidos por MEF
Tabla III.8.- Valores analíticos obtenidos para casos de estudio elasto-plástico
perfecto y elasto plástico bilineal
58
59
61
65
Capítulo IV
Tabla IV.1.- Esfuerzos y deformaciones unitarias en el espécimen por el efecto de la
presión
71
Tabla IV.2.- Esfuerzos y deformaciones en el especimen al momento de descarga
Tabla IV.3.- Esfuerzos a plena carga
Tabla IV.4.- Esfuerzos residuales
Tabla IV.5.- Esfuerzos en plena carga
Tabla IV.6.- Esfuerzos residuales
Tabla IV.7.- Cálculo de los Esfuerzos residuales para el caso de estudio con pre-
deformación a tensión
Tabla IV.8.- Esfuerzos obtenidos para el caso de estudio con pre-deformación a
compresión
72
75
77
79
81
82
83
Introducción xi
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Introducción
Es muy utilizado para propósitos ingenieriles analizar las deformaciones plásticas en componentes
de máquinas o sistemas dejando de lado las condiciones de elasticidad para poder predecir una
condición de falla llamada “falla plástica”. En todos los diseños mecánicos se involucra una relación
de cargas entre las esperadas de servicio y las máximas soportadas de los materiales llamado factor
de seguridad y por lo tanto el estudio de los esfuerzos y deformaciones, acompañados a las
deformaciones plásticas, es de gran importancia. Los materiales usados para resistir cargas
mecánicas, se conocen como ingenieriles y pueden pertenecer a muchas clases como; metales,
polímeros, cerámicos, vidrios y compuestos. Estos se ligan a los procesos de diseño a nivel
industrial o de investigación.
Como indica la teoría mecánica, cuando el material es sometido a deformaciones elásticas, los
enlaces atómicos son “estirados” (en algunos casos son “comprimidos”) y esto da como resultado
una relación constante entre el esfuerzo y la deformación (módulo de Young, E), la cual, tiene un
valor muy elevado en materiales sólidos covalentes (que poseen un enlace covalente), un valor
intermedio en los metales y en los polímeros generalmente tienen un valor muy bajo.
Por otro lado, un material que contiene las mismas características en todos los puntos del sólido, se
dice que es homogéneo y si las propiedades son las mismas en todas las direcciones, el material es
isotrópico y para que obedezca a este tipo de idealizaciones es necesario discretizarlo en partes
diferenciales, ya bajo estas consideraciones los resultados son verdaderos o muy próximos para
muchos materiales y cerámicos. Por todo lo anterior, se expresa que un material es elástico cuando
las deformaciones tienen una relación lineal con el esfuerzo o con la carga aplicada y si la carga es
retirada a cero, la deformación también se restaura a cero, como un resorte. La deformación plástica,
es una deformación que no depende del tiempo y no es recuperada después de retirar la carga en el
material, esto es por el desequilibrio entre los planos de los átomos de los granos del material, la
cual incrementa en manera de que aumenta el movimiento de dislocación del material.
Lo anterior puede ser considerado como preámbulo a los esfuerzos residuales; considerados como el
efecto de cargar del material más allá de su punto de cedencia y después de retirar la carga,
provocando que en el material aparezcan esfuerzos auto-equilibrantes que tratan de contrarrestar el
Introducción xii
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
efecto de la deformación plástica que fue sometido el material. Es por esto, que las deformaciones
plásticas sometidas intencionalmente, son las estudiadas para hacer el manejo idóneo de los campos
de esfuerzos residuales.
Capítulo I 2
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
I.1.- Generalidades
La plataforma de inicio sobre la moderna teoría de la Plasticidad fue asentada en el siglo XIX. Esta
moderna consideración sobre Plasticidad fue desarrollada con trabajos pioneros de Tresca, Saint-
Venant, Lévy y Bauschinger [I.1]. Posteriormente, a principios del siglo XX se realizaron algunos
avances en la comprensión de este fenómeno por parte de Prandtl, Von Misses y Reuss [I.1]. En esta
primera fase se introdujo el concepto de deformación irreversible, criterios de falla, endurecimiento
por deformación y plasticidad perfecta. Además de la forma incremental de las ecuaciones
constitutivas de la deformación plástica [I.2].
Justo después de la Segunda Guerra Mundial, aparecieron los trabajos de Prager, Drucker y Hill.
Donde se logró una mayor claridad de la formulación y se estableció la convexidad de las
superficies de fluencia [I.3]. Poco después, a partir de 1960, se produjeron ciertos avances
matemáticos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y las desigualdades variacionales que
resultarían ser particularmente provechosos para la teoría de la Plasticidad. Esos avances probaron
que el marco natural para resolver los problemás de valor incial en sólidos elastoplásticos eran las
desigualdades variacionales [I.4]. La confluencia de ciertos avances en el terreno de la mecánica de
sólidos y las matemáticas dieron lugar a nuevos desarrollos teóricos, de los cuales son un ejemplo
los artículos de Moreau, las monografías de Duvaut y Lions, y Temam [I.5].
Figura I.1.- Piezas con deformación plástica considerable
Capítulo I 3
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
I.2.- Breve reseña histórica
En el estudio de Mecánica, es de vital importancia clasificar los materiales con base en sus
propiedades. Es por esto, que una de las razones más prácticas e importantes para trabajar al material
es determinar la resistencia mecánica del componente, mediante la identificación del tipo y
magnitud de los esfuerzos a los que se encuentran sometidos. Lo anterior se realiza con el fin de
identificar el tipo de deformación que sufrirá, si se deformará excesivamente o en el peor de los
casos si se producirá una falla o fractura que podría desarrollarse brusca y progresivamente (Figura
I.2) [I.6].
Figura I.2.- Fallas con grandes deformaciones plásticas
Por ejemplo, si se efectúan ensayos de tensión en dos barras, ambas de sección recta. Mientras que
una de las barras tiene el doble de espesor que la otra. Por lo que se puede esperar, que la barra con
doble sección recta soporte lo doble que la barra más delgada. Es probable que este fuera el primer
pensamiento que llevó al desarrollo de la evaluación de la resistencia mecánica del material. De ahí
parte la relación existente entre las fuerzas que actúan sobre el material y el área transversal del
Capítulo I 4
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
elemento o componente estructural. Esta puede expresarse como el coeficiente entre la fuerza y el
área de la sección transversal (Figura I.3) [I.7].
Figura I.3.- Caracterización del material
Conociendo los esfuerzos que puede alcanzar y ser sometido el material, el diseñador es capáz de
proporcionar o desarrollar miembros de tamaño lo suficientemente resistentes para los agentes
externos a los que será sometido. En general, el esfuerzo tendrá valores distintos en diferentes
puntos. Además, al variar el área de la sección transversal se puede variar de forma directa el valor
del esfuerzo, Asimismo, si se disminuye los valores de la carga aplicada se obtiene, en
consecuencia, esfuerzos menores. Por lo regular, en el área de la Ingeniería Mecánica se tiene una
relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación producida, a este comportamiento del
material se le conoce como lineal o elástico, ya que si se grafican los valores correspondientes de
fuerza y área de la sección transversal se obtiene un linea recta, donde la pendiente de este
comportamiento se le conoce como módulo de Young (Figura I.4) [I.8].
Cedencia
Máximo
Ruptura
Capítulo I 5
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura I.4.- Elasticidad
En los materiales elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, un esfuerzo de tracción
pequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la
tensión se comporta con pequeños incrementos en la deformación. Es decir, se tiene una
deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que
existe un límite, llamado límite elástico o punto de cedencia [I.9].
De tal manera que si cierta función homogénea de las tensiones supera dicho límite, entonces al
desaparecer la carga quedan deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su
forma. Es decir, aparecen deformaciones no-reversibles. Este tipo de comportamiento elasto-
plástico, es el que se encuentra en la mayoría de metales conocidos, y también en muchos otros
materiales.
Por otro lado, el comportamiento perfectamente plástico es algo menos frecuente, e implica la
aparición de deformaciones irreversibles por pequeña que sea la tensión. Materiales que presentan
similitud con este tipo de comportamiento es la arcilla de modelar y la plastilina (Figura I.5) [I.10].
E = /
Capítulo I 6
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura I.5.- Comportamiento elasto plástico perfecto
Otros materiales, además presentan plasticidad con endurecimiento y necesitan esfuerzos
progresivamente más grandes para aumentar su deformación plástica total. Incluso los
comportamientos anteriores, pueden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las
tensiones sean mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se
conoce con el nombre de visco-plasticidad [I.11].
La plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en estos materiales. A
diferencia del comportamiento elástico que es termodinámicamente reversible, un cuerpo que se
deforma plásticamente experimenta cambios de entropía, como desplazamientos de las
dislocaciones. En el comportamiento plástico, parte de la energía mecánica se disipa internamente,
en lugar de transformarse en energía potencial elástica [I.12].
Microscópicamente, en la escala de la red cristalina de los metales, la plasticidad es una
consecuencia de la existencia de ciertas imperfecciones en la red llamadas dislocaciones [I.13]. En
1934, Egon Orowan, Michael Polanyi y Geoffrey Ingram Taylor, más o menos simultaneamente
llegaron a la conclusión de que la deformación plástica de materiales dúctiles podía ser explicada en
términos de la teoría de dislocaciones [I.14].
E = /
Capítulo I 7
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Para describir la plasticidad usualmente se usa un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales y
no integrables que describen los cambios en las componentes del tensor deformación y el tensor
tensión con respecto al estado de deformación-tensión previo y el incremento de deformación en
cada instante. Asimismo, antiguamente no estaban muy preocupados por el precio de los materiales
de construcción, pero si era de importancia sus características. Es decir, que tuvieran una calidad
especificada. Todo esto más la experiencia empírica pudo hacer posible que se construyeran
construcciones duraderas.
Los primeros estudios sobre Mecánica de Materiales fueron realizados por el astrónomo, filósofo,
matemático y físico Galileo Galilei. Los estudios que realizó, este destacado científico, fueron del
funcionamiento de la palanca, como se compone la fuerza y los esfuerzos, y el comportamiento de
los cables y vigas (Figura I.6) [I.15]. Galileo Galilei escribe en el año de 1638 el primer tratado en
donde se habla por primera vez de una forma seria y científica sobre el comportamiento de las vigas
y las columnas.
Mientras que muchos años después, Robert Hooke que realiza experimentos en la conocida
institución científica inglesa llamada Royal Society, en donde se engendra una de las bases de la
Mecánica de sólidos. En el escrito llamado De Potentia restitutiva realizado en 1678, se establece la
proporcionalidad entre las cargas o fuerzas aplicadas y sus deformaciones o alargamientos en los
cuerpos elásticos, conocida esta como la ley de Hooke (Figura I.7) [I.16].
Capítulo I 8
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura I.6.- Estudios hechos por Galileo Galilei de flexión a una viga biapoyada
Figura I.7.- De Potentia Restitutiva, Robert Hooke, 1678
Capítulo I 9
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En los primeros años de estudio, se tenían dos problemás fundamentales:
No se podía tener una expresión matemática que represente la resistencia máxima de una
viga en cantiléver sometida a una fuerza en su extremo.
¿Como se determina el eje de rotación de la viga?, cuando esta se rompe; que era el
problema principal de Galileo.
Galileo efectuó los estudios correspondientes y estableció que la resistencia de la ménsula (viga en
cantiléver) es idéntica a la de la pieza sometida exclusivamente a tensión y se distribuye sobre la
sección transversal. También se define que el eje de rotación de la viga en el momento de que se
rompe está situado en la arista inferior de la sección de donde se empotra (Figura I.8). Años después
es denominado como fibra neutra.
Figura I.8.- Boceto de estudios realizados por Galileo Galilei
En el siglo XV, Mariotte después de hacer unos estudios a los trabajos previos de Galileo y llevando
inicialmente la hipótesis que formuló Galileo que se refería al eje de rotación de la viga llegó a la
conclusión de que la resistencia que presenta la ménsula (viga empotrada) es la mitad de la
resistencia de la misma pieza fraccionada [I.17].
Capítulo I 10
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En el año de 1713, Parent realizó los mismos estudios y corrigió los errores que Mariotte cometió y
colocó la fibra neutra en el centro de la sección de una viga hecha por ménsulas de sección
simétrica. El trabajo de Parent introdujo la idea de una distribución de fuerzas interiores actuando
sobre las fibras que forman parte de la sección. El problema de Galileo respecto a sus estudios fue
resuelto finalmente por Coulomb, incluso introdujo las leyes de comportamiento para sistemas no
lineales, esto fue escrito de forma matemática en las ecuaciones de equilibrio estático [I.17].
Posteriormente, Jacob Bernoulli estableció la proporcionalidad entre el momento flector que actúa
sobre cada sección de la viga y el radio de curvatura que une los ejes de rotación de las secciones
(Figura I.9). Después Leonhard Euler resolvió el problema de la elástica minimizando el funcional
que representa la energía potencial de flexión y esta se dedujo a partir de la relación momento-
curvatura que fue propuesta por Bernoulli [I.18].
Figura I.9.- Investigaciones de Jacob Bernoulli con respecto a la fibra neutra
Euler dedujo la ecuación diferencial de la elástica por medio del cálculo de variaciones, y estudió las
soluciones de la ecuación, entre las que se encuentra la de la inestabilidad de una columna
Capítulo I 11
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
comprimida (que se conoce como el pandeo de Euler) [I.17]. Augustus Love en 1927, en su tratado
sobre la elasticidad retoma los trabajos de Euler el trabajo es llamado A Treatise on the
Mathematical Theory of Elasticity [I.19].
Los fundamentos de la teoría de la elasticidad fueron establecidos en 1822 por Auguste Cauchy.
Cauchy fue quién introdujo en una forma axiomática el concepto de tensión actuando sobre un plano
y dedujo la expresión de esa tensión en función de la orientación del plano [I.20]. También
desarrolló las ecuaciones de equilibrio en la forma que hoy las conocemos y expresó el cambio de la
forma de un punto con respecto a los seis componentes de la deformación (Figura I.10).
Figura I.10.- Ecuaciones de Equilibrio interno, Auguste Cauchy.
En el siglo XIX, la teoría de la elasticidad tuvo un desarrollo muy rápido, principalmente por las
investigaciones realizadas en Francia por Saint-Venant y Clapeyron, en Alemania por Kirchhoff,
Capítulo I 12
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Clebsch y Mohr, y en Gran Bretaña por Maxwell, Green y Love entre otros grandes investigadores
de la época [I.21].
El avance se frena a principios del siglo XX, porque en esa época era difícil disponer de cálculos sin
herramientas que proporcionen resultados confiables y prácticos. A pesar de que no se contaba con
herramientas que se usen con facilidad, el desarrollo tecnológico no se vio impulsado sino hasta la
segunda guerra mundial y se desarrolla principalmente en Estados Unidos y Gran Bretaña. En estas
fechas se impulsa mucho el desarrollo del diseño mecánico y es un parte aguas en la primera mitad
del siglo.
La necesidad básica en la Segunda Guerra Mundial fue el mejoramiento de armamento y máquinas
de ataque, que sean más durables y económicos para los países involucrados en el conflicto. Además
de que dio inicio del desarrollo de la computadora u ordenador. Bajo el contexto del desarrollo de
los computadores o máquinas capaces de realizar una gran cantidad de operaciones en un tiempo
muy reducido fueron capaces de desarrollar herramientas de análisis confiables y prácticos. Es
entonces que surge la aplicación real del método de elementos finitos que permite la aplicación de
los resultados teóricos de la Mecánica de sólidos a la resolución de problemas aplicados, ideado
principalmente al mismo tiempo por dos grupos de investigación liderados por Argyris y por Clough
[I.21].
Truesdell fue el investigador que durante la década de 1960 revisó y formuló los fundamentos de la
Mecánica del Continuo a partir del material generado hasta el momento [I.22]. El libro de
Timoshenko es una referencia clave en lo referente a la historia de la Mecánica de los Sólidos [I.23].
Por otro lado, la teoría de la plasticidad fue desarrollada a partir de 1930, pero sus estudios y
pruebas tienen un poco mas de historia y ésta empieza cuando Tresca empieza sus estudios en los
materiales y en la propiedad de fluir de los mismos. Inicialmente fue para tratar con metales aunque
años después fue aplicada a todos los materiales conocidos. Como ya se había mencionado Tresca,
Saint-Venant, Lévy y Bauschinger fueron los pioneros en este campo de estudio [I.24].
Capítulo I 13
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Henri Éduard Tresca fue un Ingeniero Mecánico y profesor en el Conservatoire National des Arts et
Métiers en París. Es considerado como el padre del campo de la plasticidad o deformaciones que no
siguen la ley de elasticidad (no-recuperables), sus estudios empezaron en el año de 1864 con una
serie de experimentos considerados a la fecha, brillantes por los resultados y las aportaciones que
hizo al estudio de la mecánica. Su mayor aporte fue el criterio de Tresca, que en realidad es un
criterio de falla propuesta en 1868, el cual predice cuando un material va a fluir a cualquier tipo de
carga. También llamada Teoría del esfuerzo cortante máximo indica que la fluencia del material se
inicia cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en el material, llega al esfuerzo cortante máximo
que hace que fluya el mismo material. Por lo consiguiente el esfuerzo máximo cortante que se le
puede aplicar, según esta teoría tiene que mantener un valor de mucho menos que la mitad del
absoluto soportado por el material [I.24].
El criterio de Tresca es uno de los dos más usados actualmente, el segundo criterio más usado es el
de Von Misses, véase la siguiente figura para una comparativa entre los criterios, Figura I.11.
Figura 1.11.- Criterio de Tresca y Von Misses
Tresca también ayudó a construir la torre Eiffel y su nombre ocupa el tercer lugar de las personas
que intervinieron en el proyecto. Participó en la creación de Metro Standard, el diseño los perfiles de
los metros estándar y de los cuales se seleccionó uno para designarlo como patrón universal. En el
Criterio de Tresca
Criterio de Von Misses
Capítulo I 14
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
año de 1882, Tresca fue nombrado como miembro honorario de la Asociación Americana de
Ingenieros Mecánicos (ASME por sus siglas en inglés) [I.24].
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1876) fue un mecánico y matemático que
contribuyo tempranamente al análisis de esfuerzos. También desarrollo el flujo unidimensional no
estacionario del agua o ecuaciones de Saint-Venant. El desarrollo de la Elasticidad y Resistencia de
Materiales le debe mucho a Saint-Venant, quién realizó un trabajo teórico muy importante en la
fecha sobre el campo de análisis estáticos, dinámico y plástico (estableciendo las ecuaciones
fundamentales de la plasticidad). Su trabajo lo presenta en forma de tablas y diagramas para que
pueda ser entendido [I.25]. También editó el libro de Navier al cual le introdujo muchas ideas y
anotaciones propias de Saint-Venant. Estudió la torsión en probetas prismáticas y estudios
relacionados a la torsión y flexión de cilindros de pared delgada y gruesa.
Maurice Lévy (1838-1910) fue un Ingeniero francés y miembro del Institute de France. Lévy cambio
la hipótesis de la Teoría de la Deformación total propuesta por Saint-Venant y propuso Las
direcciones de las deformación principales coinciden con aquellas de los esfuerzos principales y esa
fue el primer intento de usar una ecuación de flujo incremental. Considerando la deformación de los
materiales como un flujo, es por eso que Saint-Venant considera que el material fluye. [I.26].
John Bauschinger fue un Ingeniero alemán que fue el pionero en estudiar el comportamiento de
endurecimiento por deformación en el año de 1881 a 1886. En sus trabajos habló sobre el
comportamiento anisotrópico del material cuando es presentada una pre-deformación uniaxial, el
comportamiento del material ante la pre-deformación uniaxial se le conoce como efecto
Bauschinger, Figura 1.12 [I.27].
Capítulo I 15
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura 1.12.- Efecto Bauschinger
Bauschinger realizó sus pruebas con acero dulce y dedujo que, si una probeta es cargada a tensión y
se pasa el límite elástico, se descarga la misma probeta y de nuevo se carga en la misma dirección
que se hizo anteriormente, el límite elástico de la probeta se mueve y aumenta de valor [I.27].
Existen algunos casos en lo que la carga se produce en sentido contrario, el límite de cedencia
reduce y esto trae consigo que el material pierda propiedades como ductilidad [I.7].
Aunque en la época no se contaba con equipo de alta precisión para las pruebas que realizó
Bauschinger los avances en el campo de la plasticidad fueron muy fructuosos, ya que personalidades
como Wilson, Ashby, Gould, Hirsch y Humphreys por mencionar algunos, obtuvieron similares
resultados en sus respectivas pruebas y se pudo comprobar gran parte de los estudios realizados por
Bauschinger.
Recientemente Takeda y Nasu en el año de 1989, realizaron una serie de pruebas de flexión para
poder determinar las propiedades de tensión y compresión en placas, en esos mismos resultados
fueron estudiados el efecto Bauschinger y la anisotropía planar de los materiales [I.28].
σmax
σy
-σmax
-σy
2σy
Capítulo I 16
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
I.3.- Elasto-plasticidad
Para poder definir lo que significa elasto-plasticidad, o bien poder definir un comportamiento elasto-
plástico de un material, es importante señalar las propiedades elásticas y plásticas de un material.
Pero como es el caso de la mayoría de los materiales en la Ingeniería, existen diferentes propiedades
que caracterizan a cada uno de ellos, es por eso que se hace uso de una gráfica muy útil para el caso
de caracterizar a los materiales [I.29].
Este tipo de curvas es obtenida de una simple prueba de tensión, la cual indica puntos muy
importantes, en otras palabras indica las propiedades del material ensayado. En los materiales
elásticos, en específico en materiales que fluyen o son muy dúctiles, un esfuerzo de tensión pequeño
lleva consigo un comportamiento elástico del material. Esto significa que pequeño incrementos de
tensión provoca pequeños incrementos de deformación; si la carga se devuelve a cero el cuerpo
recupera su forma original, dicho de otra forma, la deformación que se presenta es completamente
reversible [I.30]. Se ha comprobado muchas veces que los materiales tienen un límite, llamado
límite elástico o punto de cedencia, tal que si bajo ciertas cargas homogéneas supera el dicho límite
existen deformaciones remanentes y el cuerpo no recupera su forma original, es decir, aparecen
deformaciones no-reversibles. Este tipo de comportamiento se le conoce como elasto-plástico y se
presenta en la mayoría de los metales conocidos y también en muchos otros metales usados en la
Ingeniería.
El comportamiento plástico perfecto es mucho menos frecuente que se presente en los materiales,
porque induce la presencia de deformaciones no reversibles aun por más insignificante que sea el
agente externo. En la Figura I.13, se puede observar en una curva esfuerzo-deformación las
propiedades elasto-plásticas de un material, estas propiedades son obtenidas de un ensayo de tensión
[I.31].
Capítulo I 17
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura 1.13.- Comportamiento elasto-plástico de un material
Aparte de las propiedades elasto-plásticas también se presentan otro tipo de propiedades, como se
mencionó anteriormente algunos materiales presentan propiedades de plasticidad con
endurecimiento (Efecto Bauschinger) y necesitan esfuerzos progresivamente más grandes para poder
alcanzar una deformación plástica total o máxima. Hablando termodinámicamente la energía
mecánica se disipa internamente, y no se transforma en energía potencial elástica [I.31].
I.4.- Sumario
En éste capítulo se presento de forma general, una reseña histórica de los estudios que iniciaron el
estudio de las propiedades de los materiales. Desde Da Vinci hasta Takeda y Nasu actuales
desarrolladores de conocimiento científico de esta rama de la física. Se presentaron las
características de las propiedades más representativas para este tipo de análisis, la elasticidad como
parte fundamental en el estudio de la plasticidad.
Deformación elástica
Deformación plástica
Esfuerzo de cedencia
Esfuerzo último
Deformación
Esfuerzo
Capítulo I 18
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En el próximo capítulo se presentará de manera más explicita los conceptos fundamentales para los
estudios elasto-plásticos, así como los teoremas desarrollados por grandes investigadores
mencionados en el actual capitulo. Se usará el método de elemento finito para poder comprobar que
la teoría es correcta, ya que como se mencionará este método nos proporciona resultados muy
cercanos a la realidad, es por esto que es un método aceptado mundialmente para el análisis de la
respuesta de los materiales ante agentes externos.
I.5.- Referencias
1.- Hill, R., The mathematical theory of plascity, Ed. Oxford Press University, pp 1-8, 1950.
2.- Alcalá-Cabreles, J. y Llanes-Pitarch, L. M., Fractura de materiales, Ed. Politext, pp 215, 2002.
3.- Prager, W., An Introduction of plasticity, Ed. Thomson, 1959.
4.- Ciarlet, P. G., Basic Error estimates for elliptic problems - Handbook of numerical Analysis Vol.
II, Ed. North-Holland, Amsterdam, 1991.
5.- Krieg, R. D. y Key, S. W., Implementation of a time dependent plasticity theory into structural
computer programs, Constitutive Equations in Viscoplasticity; Computational and Engineering
Aspects, Ed. AMD-20 ASEM, New York, pp 125-137, 1995.
6.- Hernández-Albañil, H. y Espejo-Mora, E., Mecánica de la fractura y análisis de falla, Ed. Sede,
pp 14-15, 2002.
7.- Urriolagoitia-Sosa, G., Analysis of prior strain history effect on mechanical properties and
residual stresses in beams, Ph D Thesis, Oxford Brookes University, pp 52-57, 2005.
8.- Gere, J. M., Mecánica de materiales, Ed. Thomson, pp 2-29, 2005.
9.- Shigley, J. E. y Mitchell, L. D., Diseño en Ingeniería Mecánica, Ed. McGraw-Hill, pp 2-18,
1985.
10.- Alarcón-Álvarez, E., Modelos matemáticos en Ingeniería moderna, Ed. Consejo de Desarrollo
Científico y Humanístico, pp 198-200, 2000.
11.- Zienkiewics, O., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 551, 1964.
12.- Timoshenko, S. y Gere, J. M., Mecánica de Materiales. Ed. Cengage Learning, pp 25-27, 2001.
13.- Landau, L. D. Lifshitz, F., Teoría de la elasticidad, Ed. Reverté, pp 188, 1982.
14.-Kittel, C., Introducción a la física del estado sólido, Ed. Reverté, pp 667, 1997.
15.- Flores, F. y Aguirre, M. E., Educación en Física, Ed. UNAM, pp 45, 2003.
16.- San Juan, F. J., Historia de la ciencia y de la técnica; Vol. 50, Ed. Akal, pp 42-44, 1993.
Capítulo I 19
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
17.- Heyman, J., La ciencia de las estructuras, Ed. Imperial College Press, pp 70, 1999.
18.- Cervera-Ruíz, M., Mecánica de estructuras, pp 155, 2001.
19.- Love, A. E. H., A treatise on the mathematical theory of elasticity, Ed. Dover Publications,
1944.
20.- López-Cela, J. J., Mecánica de los medios continuos, Ed. DCLU, pp 40-43, 1999.
21.- Michavila, F. y Gavete, L., Programación y cálculo numérico, Ed. Reverté, pp 274, 1985.
22.- Wang, C. C. y Truesdell, C., Introduction to rational elasticity, Ed. NIP, 1973.
23.- Timoshenko, S., History of Strenght of Materials, Ed. McGraw Hill, 1983.
24.- Tresca, H. E., Tresca yield condition, Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, Vol. 59, 1864.
25.- Sanchis-Sabatar, A., Fundamentos físicos para Ingenieros, Ed. Universidad Politécnica de
Valencia, pp 374-375, 1999.
26.- Levy, E., Diccionario Akal de Física, Ed. Akal, pp 263, 1999.
27.- Bauschinger, J., On the changes of the elastic limit and strength of iron and steel, by drawing
out, by heating and cooling, and by repetition of loading, Mittheilungen aus dem mechanischen
technischen laboratoriumder k, Hochschule in Munchen, pp 463-465, 1886.
29.- Takeda, T. y Nasu, Y., Determination of the Bauschinger effect and planar anisotropy from
bending test, Bull. Yamagata Univ. Eng., Vol. 20, No. 2, pp 169-177, 1989.
30.- Friedel, J., Dislocations Interactions and Internal Strains, Internal Stress and Fatigue in
Metals, Elsevier, Amsterdam, 1959.
31.- Euler, L., Additamentum I di Curvis Elastics , Methodus Inveniendi Lineas curvas Maximi
Manimivi Proprietate Gaudentes, Opera Omnia, Vol. 24. Zürich: Füssli, 1960.
32.- Ciarlet, P. G., The Finite Element Method for Elliptic problems. North-Holland: Ámsterdam.
1978.
Capítulo II 21
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
II.1.- Deformación elástica y permanente
Los ensayos mecánicos tienen por finalidad proveer información que permita predecir la respuesta
de los materiales frente a solicitaciones mecánicas externas (fuerzas o momentos). Estas
solicitaciones pueden originarse en el uso de los materiales como componentes o partes de una
estructura o mecanismo. En cuyo caso es necesario conocer los valores límite que pueden soportar
sin fallar a fin de determinar valores de diseño. Asimismo, el control de calidad también es un
motivo que lleva la realización de ensayos para la verificación de las propiedades previstas para un
dado material. La finalidad del ensayo es, entonces caracterizar la respuesta mecánica de un material
frente a una solicitación externa [II.1].
Los diagramas de esfuerzo-deformación unitario presentan el comportamiento de los materiales
ingenieriles cuando están axialmente tensionado o a compresión. Para ir un paso más allá si se
considera que sucede cuando la carga se remueve y el material se descarga [II.2]. Por ejemplo, si se
supone que una carga de tensión es aplicada a una muestra tal que el esfuerzo y la deformación van
incrementando poco a poco y parten del origen (que es cero, 0) hacia el punto A (Figura II.1).
También se debe suponer que cuando la carga se remueve, el material sigue exactamente la misma
curva de regreso al origen. Esta propiedad de un material, mediante la cual regresa a sus
dimensiones originales durante la descarga, se denomina elasticidad y se dice que el propio material
es elástico. Sin embargo, existen materiales que su característica principal es no contar con un
comportamiento lineal, esto quiere decir que la curva de 0 a A no es lineal.
Capítulo II 22
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura II.1.- Curva característica de un componente elástico
Ahora, si se supone que se carga el mismo material hasta un nivel mayor que el punto A y se llega a
un punto B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (Figura II.2). Cuando se descarga, lo que
sucede es que a partir del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta es la línea de
descarga y es paralela a la parte inicial de la curva de carga. En otras palabras la línea BC es paralela
a la línea AB. Cuando se llega al punto C, la carga se ha removido por completo, pero en el material
permanece una deformación unitaria permanente, representada por la línea 0C. Como consecuencia,
la barra ensayada es más larga ahora que antes de la aplicación de la carga. Este alargamiento de la
barra se denomina deformación permanente. De la deformación total 0D desarrollada durante la
carga de 0 a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado elásticamente y la deformación unitaria
0C permanece como una deformación unitaria permanente.
Descarga
Carga A
E
F
Elástico Plástico
0 Límite
Capítulo II 23
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura II.2.- Curva característica de descarga elástica
El proceso de carga y descarga del material se puede efectuar varias veces y verificar en la pieza la
deformación unitaria permanente. Cuando la probeta comienza a tener una deformación permanente
ya sea la mínima posible, ese punto en la curva se denomina límite elástico [II.3].
La característica de un material por la cual presenta deformaciones unitarias permanentes
inelásticas, más allá de la deformación unitaria en el límite elástico, se conoce como plasticidad. Por
tanto, en la curva esfuerzo-deformación unitaria se tiene una región elástica seguida de una región
plástica.
La transición del límite elástico a la ramificación que corresponde a la zona plástica, puede ocurrir
después de presentarse un pico y un decremento de la magnitud de la carga como es mostrado en la
Figura II.3(a) o bien puede ser gradual como lo muestra la misma figura (b).
Descarga
Carga A
E
F
ElásticoRecuperación
Elástica
B
D C
Capítulo II 24
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura II.3 a y b.- Curvas representativas de la transición del estado elástico al plástico
II.2.- Teoría de deformación
Existen dos reglas que considera esta teoría, Endurecimiento Cinemático e Isotrópico y están
ilustradas en la Figura II.4. El endurecimiento cinemático predice que para que ocurra la cedencia en
la dirección contraria (compresión) a la dirección de carga inicial debe de ser, desde el momento que
comienza la descarga hasta que ocurre la cedencia igual a Δσ=2σ0. Por otro lado, el endurecimiento
isotrópico predice la cedencia a compresión o en el sentido contrario que la carga inicial como
Δσ=2σ’, en donde σ’ es el esfuerzo máximo alcanzado o el punto en donde empieza la descarga del
material. En conclusión el endurecimiento cinemático predice el efecto Bauschinger y el isotrópico
un aumento a la zona elástica tanto en compresión como en tensión
σ σ
Δl Δl 0 0
a) b)
Capítulo II 25
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura II.4.- Diferente comportamiento a descarga (leyes de endurecimiento)
II.3.- Relación elástica y perfectamente plástica
Una relación elasto-plástica perfecta es mostrada en la Figura II.5 y tiene las propiedades siguientes:
σ=Eε (σ≤σ0) II.1
σ=σ0 (σ≥σ0/E) II.2
Figura II.5.- Curva esfuerzo-deformación elasto-plástico perfecto
σ0
E
σ'
2σ0
2σ’
Cinemático
Isotrópico
σ0
0
E
σ
ε
σ
ε
Capítulo II 26
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Donde σ0 es el esfuerzo de cedencia, esta forma de análisis es razonablemente cercano al
comportamiento de algunos metales y materiales ingenieriles, también es usado como aproximación
para algunos materiales en los cuales las curva esfuerzo-deformación tiene algo de complejidad.
Después del punto de cedencia de un material la deformación total se puede expresar de la siguiente
forma:
ε = εe+εp =
EE p0
II.3
Donde:
ε es la deformación total
εe es la deformación elástica del material
εp es la deformación plástica del material
El comportamiento de endurecimiento lineal, bilineal o en algunos casos multi-lineal (Figura II.6) es
usado generalmente para aproximar de manera súbita la curva esfuerzo-deformación que
aparentemente tienen una inclinación después de la cedencia, como es considerada una relación
matemática con respecto a la línea inicial de la carga que esta denominado por el módulo de Young
(E), éste va acompañado por otro factor llamado factor de reducción δ, en otras palabras; el valor de
la línea después del punto de cedencia tiene un valor de δE.
Figura II.6.- Comportamiento multi-lineal
E
δ2E
δ3E δ4E
ε
σ
0
Capítulo II 27
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
El valor de δ puede variar desde 0 hasta la unidad, tiene el valor de 1 cuando es la línea elástica del
material y de ahí va disminuyendo su valor conforme aumentan las líneas (pendientes) de
endurecimiento lineal, todo esto después de la cedencia del material. Cuando δ tiene un valor de 0,
está haciendo referencia a un comportamiento elasto-plástico perfecto.
Para poder obtener una ecuación de las pendientes subsecuentes al punto de cedencia se toma en
cuenta cualquier punto de esta curva y el punto de cedencia, quedando la expresión como sigue:
0
0
E II.4
Por la curva se sabe que
E0
0
II.5
Resolviendo para los esfuerzos, se obtiene
E 01 II.6
Y la deformación total está dada por la deformación elástica y plástica, se obtiene:
02
0
1
EE
II.7
Donde 21 EyE corresponden al módulo de Young de la primera pendiente y la pendiente a calcular.
II.4.- Método del elemento finito
Los métodos numéricos son técnicas ingenieriles mediante los cuales es posible resolver problemas
muy complejos matemáticos de integración, diferenciación y sistemas de ecuaciones no lineales que
si se resuelven de la forma tradicional se tienen que desarrollar algoritmos muy complicados que
involucraría mucho tiempo, es por esto que el método del elemento finito es muy usado en la
investigación científica.
II.4.1.- Los sistemas discretos en general
Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del complejo
mundo que la rodea en una sola operación global [II.4]. Es por eso que una forma natural de
proceder del Ingeniero, científico e incluso los Economistas, consiste en separar los sistemas en
componentes individuales o elementos, cuyo comportamiento se puede conocer sin mucha dificultad
Capítulo II 28
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
y a partir de ahí, se puede reconstruir el sistema general para estudiarlo a partir del componente
conocido. En la mayoría de los casos ingenieriles, se obtiene un modelo adecuado utilizando un
número finito de partes o componentes. Sin embargo, estos componentes o partes deben estar muy
bien definidos, a estos elementos se les conoce como elementos discretos [II.5]. En algunos sistemas
se puede llegar a tener una división del sistema indefinidamente pequeños y solo se puede
solucionar haciendo uso de la ficción matemática infinitésimo. Lo anterior involucra el uso de
ecuaciones diferenciales o expresiones que equivalen a un número infinito de elementos o partes
involucrado en el sistema en general y este tipo de sistemas se llaman continuos, Figura II.7 [II.6].
Figura II.7.- Continuos
Con el arribo y establecimiento de las computadoras digitales, los problemas discretos pueden ser
resueltos sin mucha dificultad. Aún cuando el número de elementos discretos sea muy elevado.
Como la capacidad de las computadoras es finita, los sistemas continuos sólo se pueden resolver con
la manipulación matemática. En este aspecto las técnicas matemáticas limitan las posibilidades de
solución a casos extremadamente simplificados. Para vencer esta barrera entre los sistemas
continuos reales y poder obtener un resultado confiable, los Ingenieros y Matemáticos han ido
Capítulo II 29
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
proponiendo métodos de discretización, con el fin de aproximar el resultado de tal manera que el
resultado se aproxime lo suficiente al resultado del sistema continuo o que la solución continúe
verdadera conforme el número de variables discretas aumente [II.7] (Figura II.8).
Figura II.8.- Modelación del sistema por medio de elementos finitos
La discretización de sistemas continuos ha sido estudiada de distintas formas por Ingenieros y
Matemáticos. Los matemáticos han desarrollado técnicas generales aplicables directamente a las
ecuaciones diferenciales que rigen el problema, una de ellas son las aproximaciones por
diferenciales finitas, métodos de residuos ponderados o técnicas aproximadas para determinar
puntos en funciones definidas de forma apropiada. Mientras los Ingenieros, hacen cara al problema
de una forma más intuitiva y crean una analogía entre elementos discretos reales y porciones finitas
de un dominio continuo [II.8]. Por ejemplo; Argyris y Turnery entre otros, demostraron que se
pueden sustituir las propiedades del continuo de un modo más directo, y no menos intuitivo,
supusieron que las porciones más pequeñas del sistema se comportan de una manera más
simplificada [II.9].
Capítulo II 30
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Fue la posición de analogía directa, adoptada por los Ingenieros, de donde nació la expresión de
elemento finito. Parece que fue Clough el primero en usar este nombre que supone el uso de la
metodología general aplicable a los sistemas discretos. Esto es de gran importancia porque permite
una mayor comprensión del problema y el otro consiste en un criterio unificado para abordar una
gran cantidad de problemas y desarrollar procedimientos generales de cálculo.
Desde la década de 1950 hasta hoy en día, se ha avanzado mucho en las dos vertientes. Actualmente
las dos vertientes se dividen en meramente matemática y la analógica. Ambas clasificaciones están
en completo acuerdo en el procedimiento a seguir y los pasos que se deben de desarrollar. Como
ejemplo se tiene al Ingeniero civil, que trabaja con estructuras, este realiza primero el cálculo de las
relaciones entre fuerza y desplazamiento para cada miembro de la estructura, para después procede
al ensamblaje del conjunto siguiendo un procedimiento bien definido que consiste en establecer las
ecuaciones de equilibrio en cada nodo o intersección de la estructura, a partir de las ecuaciones de
pueden conocer los desplazamientos desconocidos. Por otro lado el Ingeniero hidráulico o eléctrico
que trabajan en tuberías con fuerzas dinámicas o con redes de sistemas eléctricos (resistencias,
condensadores) establecen primeramente una relación entre los flujos y la pérdida de potencia de
cada uno de los elementos aislados, después se unen para poder imponer de cierta manera el
comportamiento y continuidad de los flujos.
Todos los análisis siguen un patrón general que puede adaptarse a todos los sistemas discretos-
continuos, es por eso que es posible definir un sistema discreto tipo [II.10]. La existencia de una
manera universal para abordar estos sistemas o problemas discretos, permite poder definir el método
de los elementos finitos como procedimiento de aproximación de problemas continuos. Los que se
explican a continuación [II.10]:
(a) El continuo se divide en un número finito de partes (elementos), cuyo comportamiento
se especifica mediante un número finito de parámetros.
(b) La solución del sistema completo como ensamblaje de los elementos sigue
precisamente las mismas reglas que se aplican a los problemas discretos-continuos.
Capítulo II 31
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Esto indica que después de que tanto Matemáticos e Ingenieros hicieron sus estudios aparte, todos
llegaron a un acuerdo que aplica unos métodos de discretización y métodos de ecuaciones
diferenciales finitas (Figura II.9).
Figura II.9.- Evolución del elemento finito
II.4.2.- Definición
El método de los elementos finitos (MEF), es un método numérico que se usa para la aproximación
de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y es muy utilizado en diversos problemas de
Ingeniería y Física aplicada [II.11].
II.4.3.- ¿Cómo trabaja el MEF?
El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por
MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un número finito de puntos
llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene
interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo
aproximada debido a este último paso [II.12].
Ingeniero
Sustitución Analógica de Estructuras
Funciones de Interpolación
Diferencias Finitas Matemático
Diferencias Finitas Variacionales
Residuos Ponderados y Métodos Variacionales
Elementos Directos de Continuo
Funciones de Interpolación Cuasi Continuos.
Estado Actual del Método de
los Elementos
Finitos
Capítulo II 32
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema de
forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número finito de puntos e interpola
posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente sólo una solución
aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto de nodos.
Dicho conjunto de nodos forman una red, denominada malla y la cual está formada por retículos.
Cada uno de estos contenidos en la malla es un elemento finito. El conjunto de nodos se obtiene
dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada.
Mediante el punto de vista de la programación algorítmica las tareas necesarias para llevar a cabo un
cálculo mediante un programa MEF se divide en:
Preproceso, que es donde se denomina las propiedades del material, geometría, se genera
la malla, condiciones de frontera y otro tipo de propiedades. En la mayoría de los casos
ingenieriles es necesario diseñar la malla o el proceso de discretización muy preciso para
garantizar la convergencia de los resultados más óptima.
Cálculo, el resultado del preproceso, es un problema simple no dependiente del tiempo
generalmente se obtienen ecuaciones lineales y son fáciles de resolver; pero cuando el
sistema es dependiente del tiempo se producen una serie de ecuaciones no-lineales que
corresponden a un lapso determinado de tiempo, entonces la solución se complica más y
el resultado de una gama de ecuaciones diferenciales depende de la pasada.
Post-proceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos
de la malla que define la discretización, en este periodo se obtienen valores derivados de
las valores obtenidos en los nodos, y en ocasiones se aplican métodos de interpolación o
determinación de errores de aproximación.
II.4.4.- Discretización o generación de malla
La malla para la aplicación del MEF se genera y consta de miles de puntos (nodos). La información
sobre las propiedades del material y otras características del problema se almacena junto con la
información que describe la malla (Figura II.10). Por otro lado las fuerzas, los flujos térmicos o las
Capítulo II 33
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una
densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensión mecánica y otra propiedad.
Figura II.10.- Simulación del continuo, con malla y patrón de solución
Las regiones que recibirán gran cantidad de tensión tienen normalmente una mayor densidad de
nodos que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en; puntos de
fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y áreas de
elevada tensión, esto es para tener una mayor precisión en los resultados que nos arroja el método
[II.13].
La malla actúa como la red de una araña en la que desde cada nodo se extiende un elemento de
malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es que lleva las propiedades del material
objeto, creando varios elementos.
Es por esto que la discretización del material (malla) es muy importante en el proceso de pre-
proceso del MEF. Para poder obtener resultados aceptables y muy aproximados a la realidad.
Capítulo II 34
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
II.4.5.- Limitaciones
Se puede poner un apartado muy amplio de los beneficios que trajo consigo el MEF. Por lo que es
preciso especificar las limitaciones en la aplicación del MEF:
El MEF calcula soluciones numéricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de
entrada. No puede realizar un análisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como
variará la solución si alguno de los parámetros se altera ligeramente. Es decir,
proporciona sólo respuestas numéricas cuantitativas concretas no relaciones cualitativas
generales.
El MEF proporciona una solución aproximada cuyo margen de error en general es
desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error en la solución,
debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el método, los problemas no
lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error.
En el MEF la mayoría de las aplicaciones prácticas requieren mucho tiempo para ajustar
detalles de la geometría, existiendo frecuentemente problemas de más
condicionamientos de las mallas, desigual grado de convergencia de la solución
aproximada hacia la solución exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulación
requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometrías simplificadas o casos
menos generales que el que final pretende simularse, antes de empezar a lograr
resultados satisfactorios.
II.4.6.- Programas comerciales con aplicación al MEF
En la actualidad existen diferentes programas comerciales para la aplicación del MEF y a
continuación se citan los más importantes:
Flux
Cosmos
Staad.pro
Catia v5
Capítulo II 35
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Cype
Dlubal RFEM
Sap2000
Algor
HKS/Abaqus/Simulia
ANSYS
CAELinux
Elmer
FEAP
Phase2
Nastran
I-deas
Femap
Pro/ENGINEER Mechanica
Elas2D
Comsol
Castem
SALOME-Code Aster
FreeFem
OpenFEM
OpenFlower
OpenFOAM
Calculix
Tochnog
Gmsh-GetDP
Z88
De igual forma existen programas para diferentes plataformas de sistemas operativos y también
existen los denominados open source (que son usados bajo comunidades de Linux y de personas que
le agregan funciones según las necesidades de particulares).
Capítulo II 36
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
II.5.- Plasticidad en flexión
El estudio de la flexión en vigas que se deforman de una manera elástica-lineal ha sido estudiado en
demasiados textos de Mecánica de Materiales, la flexión plástica es pocas veces mencionada o en
caso contrario es limitada a casos elasto-plásticos perfectos.
En el presente trabajo, se consideraran dos casos de flexión plástica:
1. Elasto-plástica perfecta.
2. Endurecimiento por deformación.
II.5.1.- Flexión elasto-plástica perfecta
En esta sección se considera una viga deformada plásticamente por un momento (M’) y después el
momento es removido como se muestra en la Figura II.11, después de descargar el material las
deformaciones disminuyen pero no llegan a cero, por lo tanto quedan deformaciones en la viga y a
su vez esfuerzos residuales también existirán.
Figura II.11.- Carga de una viga y su descarga
Sucede lo siguiente, cuando la viga se carga se producen dos tipos de esfuerzos, a tensión y
compresión que corresponden a la carga máxima producida por el momento, después como
respuesta del material, es tratar de equilibrar esos esfuerzos produciendo unos de igual magnitud
Momento flexionante
M’
Tiempo
Capítulo II 37
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
pero en sentido contrario. Al descargarse la viga los esfuerzos producidos son contrarios al momento
máximo flector, entonces la suma algebraica de estos esfuerzos dependiendo de la posición en la
sección recta de la viga varía, y algunos esfuerzos quedan atrapados en las fibras del material, estos
son llamados esfuerzos residuales y pueden ser manipulados para cambiar las propiedades del
material según se requiera.
Para efectos de estudio, consideremos una viga de material elasto-plástico perfecto con sección
transversal rectangular y ha sido flexionada más allá del punto de cedencia. El ejemplo es mostrado
en la Figura II.12. En el diagrama se puede observar que cuando el momento máximo de flexión M
alcanza su punto máximo M’ el comportamiento de los esfuerzos es como el mostrado; esto a su vez
está relacionado con una deformación ε’c (Deformación producida por el momento flector M’).
Figura II.12.- Comportamiento elasto-plástico perfecto, obsérvese los esfuerzos para tensión y
compresión.
El valor de M’ puede ser calculado con la ecuación:
2
00
2
'3
11'
cEtcM
II.8
Donde:
t = espesor de la viga.
c = distancia del eje neutro a la fibra más lejana.
M = M’
σ0
-c
c
0 σ -σ
Capítulo II 38
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
0 = Esfuerzo de cedencia
La ecuación pasada es uno de los muchos métodos para poder hacer el cálculo del momento máximo
que la viga soporta, pero generalmente cuando se hacen este tipo de ensayos se conocen las
condiciones iniciales de carga, es decir el momento máximo que se le aplicará a la viga, y como
variables son las deformaciones.
Y calculando la deformación en cualquier punto de la sección transversal, se obtiene:
cc
y II.9
Donde:
c = Deformación máxima provocada por M’
y = Distancia del eje neutro a un punto en la sección transversal de la viga
Si la deformación es sólo elástica, la deformación responde al Módulo de Young. Como se había
mencionado, el principal objetivo es el uso del elemento finito para hacer estudios elasto-plásticos,
para poder simplificar el análisis analítico y poder compararlo con el numérico, se hará uso de un
método del cálculo de esfuerzos residuales llamado de superposición y se podrá comprobar que la
teoría se aplica directamente en el método numérico.
II.5.1.1.- Método de superposición
El método de superposición se usa para sumar algebraicamente los esfuerzos producidos por un
momento plástico y el efecto de la descarga del material, La descarga del material se considera
lineal y corresponde al Módulo Young del material, tal como se muestra en la Figura II.13.
Capítulo II 39
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura II.13.- Método de superposición
Se puede observar que para cada punto que se requiere analizar desde el eje neutro de la sección
transversal hasta cualquier punto, se puede obtener un valor de los esfuerzos residuales sólo
sumando algebraicamente los valores de los esfuerzos.
II.5.2.- Flexión con endurecimiento superficial
Si un material es ensayado más allá de su límite elástico sin sobrepasar el punto último de la gráfica
esfuerzo-deformación y después es descargado, en otras palabras el incremento en la zona de tensión
es proporcional a la disminución en la zona de compresión (endurecimiento cinemático) esta
condición es llamada endurecimiento por deformación, de igual forma la curva de descarga es lineal
y está en función de la constante del material, el Módulo de Young. El nuevo punto formado al
instante que se descarga la probeta se le conoce como nuevo punto de cedencia, es decir; cuando el
material se vuelva a ensayar con algún tipo de agente externo tiene que pasar este punto de cedencia
para que empiece a ceder el material. No se debe olvidar que al pasar el punto de cedencia del
material se provocó deformaciones permanentes en el material y estarán presentes en las nuevas
propiedades del material. Todo lo anterior se puede observar en la Figura II.14.
y
-y
y
-y
y
-y
σ
-σ -σ
+σ
+σ +σ
Capítulo II 40
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura II.14.- Endurecimiento por deformación
La línea de descarga que pasa el punto de cedencia, será la nueva línea de carga para el nuevo punto
de cedencia. Esta condición aplica para puntos que se encuentran abajo del último esfuerzo del
material, pasando éste punto el material falla.
II.6.- Sumario
Es importante mencionar los principios de la elasticidad y plasticidad, así como los diferentes
fenómenos que se presentan ante diferentes condiciones de trabajo para el material, todo esto para
poder entender los resultados del método numérico. En el próximo capítulo se presentará la
metodología que se usó, tanto para poder hacer el modelo matemático en MEF como para
resolverlo, entender los resultados y también el análisis de estos.
II.7.- Referencias
1.- Autillo, J., Utilización del ensayo miniatura de punzonamientos en la caracterización mecánica
de aceros, Anales de Mecánica de la Fractura Vol. 1, pp 1-5, 2006.
2.- Bravo-Diez, P.M., Efecto de la deformación plástica inicial en el comportamiento frente a
deformaciones cíclicas de un acero inoxidable endurecido por precipitación, VIII Congreso
Nacional de Propiedades Mecánicas de Sólidos, pp 235 – 241, 2002.
3.- Timoshenko, S. y Gere, J. M., Mecánica de Materiales. Ed. Cengage Learning, pp 25-27, 2001.
σ
ε
Línea de carga
Línea de descarga y carga
Nuevo punto de cedencia σY’
Deformación permanente
Capítulo II 41
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
4.- Prevost, J. H., Mechanics of Continuous Porous Media, Int. J. Engineering Science, Vol. 18, pp
787-800, 1980.
5.- Zienkiewicz, O. C., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 1-4, 2007.
6.- Sonzogni, V. E., Uso de una malla compuesta para estimar errores de discretización y mejorar
la solución en elementos finitos, Mecánica Computacional Vol. XVI, pp 123-124, 1996.
7.- Kosteski, L., Aplicación del método de los elementos discretos para la determinación del factor
de intensidad de tensiones estático y dinámico, Mecánica Computacional Vol. XXV, pp 2109-2123,
2006.
8.- Batista, R. G., Aplicación del método de los elementos discretos al estudio del mecanismo de
fractura por crecimiento y coalescencia de vacíos, Mecánica Computacional Vol. XXV, pp 2125-
2142, 2006.
9.- Zienkiewicz, O. C., El método de los elementos finitos, Ed. Reverté, pp 26-37, 2007.
10.- Casanova, J., Un elemento finito 3D para el análisis cinemáticamente no lineal de láminas
elastoplásticas, Revista internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería
Vol. 5, pp 60-62, 1989.
11.- Azevedo, A. F. M., Método dos elementos finitos, Facultadade de Engenharia da Universidade
do Porto-Portugal, pp 1-6, 2003.
12.- Moreno, P. A., et al, Método de los Elementos Finitos Introducción a Ansys, Universidad de
Sevilla, pp 2-3, 2004.
13.- Torrano, S., Alternativas de discretización para la integración numérica de tensiones en
secciones de hormigón armado, Métodos Computacionais em Engenharia, pp 2-5, 2004.
Capítulo III 43
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
III.1.- Introducción
En esta parte del trabajo se presenta el análisis numérico de diferentes casos de estudio donde el
material se considera elástico (para corroboración de la exactitud del programa comercial del
método de elemento finito) y elasto-plásticos. Los ejercicios que aquí se consideran son vigas
sometidas a cargas de flexión (cuatro puntos). El someter al material a la carga de flexión en cuatro
puntos para los casos donde se considera al material elasto-plástico, es debido al efecto que la carga
no homogénea producirá sobre el componente al rebasar el esfuerzo de cedencia del material y ser
liberado de la acción del agente externo (descargarlo). El efecto que se producirá es la inducción de
un campo de esfuerzos residuales, lo cual se desea corroborar por medio de un desarrollo analítico
(Mecánica clásica) y evaluar la exactitud de trabajo del programa computacional del método de
elemento finito que se está utilizando.
El uso de sistema CAE (Computer Aided Engineering, por sus siglas en inglés), se extiende cada vez
más en la industria y como principales ventajas se puede citar la interactividad y la facilidad con la
que se pueden desarrollar nuevos diseños. Asimismo, la posibilidad de poder simular el
comportamiento del sistema antes de la construcción del respectivo prototipo. Además de tener la
capacidad de generar los planos necesarios para obtener las vistas, detalles y perspectivas que se
necesite [III.1].
En este trabajo se evalúa numéricamente un ensayo a flexión pura por cuatro puntos, así como,
principalmente la introducción de un campo de esfuerzos residuales. Para efecto del desarrollo de
este tipo de análisis numéricos, se utilizó el método de elementos finitos (MEF) a través de un
paquete computacional comercial muy conocido en el medio ingenieril.
En un inicio se decidió desarrollar el caso de flexión en cuatro puntos de manera elástica y
corroborar la similitud en los resultados que se pueden obtener entre la Mecánica clásica y el estudio
numérico. Asimismo, se propone un caso simple de flexión inelástica en cuatro puntos,
considerando un material elasto-plástico perfecto para inducir un campo de esfuerzos residuales, lo
cual ocurre cuando el material de la viga esta bajo el efecto de un agente no homogéneo por encima
de su esfuerzo de cedencia y es descargado. Dicho material sigue la ley de Hooke hasta el punto de
cedencia y después cede plásticamente bajo la acción de esfuerzo constante [III.2]. Es muy
Capítulo III 44
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
importante considerar que la descarga del material se considera lineal (bajo la hipotesis de
Timoshenko)
En este sentido, la curva esfuerzo-deformación para un material elasto-plástico perfecto es
considerado con el mismo punto de cedencia y el mismo módulo de elasticidad E en ambas zonas
(tensión y compresión, concepto de isotropía). En la Figura III.1, se muestra el comportamiento
mecánico del material que se desea analizar.
Figura III.1.- Material elasto-plástico perfecto
En la simulación del comportamiento mecánico del material que se propone se puede observar que
existe una región de elástica lineal, seguido de una entre la región perfectamente plástica. El
comportamiento plástico no presenta un incremento del esfuerzo en la zona plástica y un incremento
de la deformación unitaria plástica. Es por esta razón, que se usa el término de material elasto-
plástico perfecto [III.1].
III.2.- Características del método de elemento finito
Los sistemas CAE que permiten el diseño de objetos tridimensionales y a su vez la posible
simulación del sistema, se componen de tres etapas principales en el diseño [III.3]:
a. Pre-proceso.- Es la zona del proceso numérico donde se define de forma interactiva la
forma y geometría del componente en estudio. En esta parte del análisis numérico el
computador almacena un modelo (que puede ser en una dimensión, dos dimensiones o
Tensión
Compresión
σ
ε
Capítulo III 45
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
tres dimensiones dependiendo las necesidades del análisis). Así como, permite la
generación de cualquier vista, secciones, detalles y planos. También el modelo de
representación contiene la información necesaria para el cálculo de las propiedades
geométricas del objeto que se está diseñando, superficie, peso, centro de gravedad,
momentos de inercia, etc. En está parte del estudio también se realiza la discretización
del sistema (mallado) y se definen los agentes externos (restricciones de movimiento y
cargas) de los cuales dependerá directamente el análisis numérico.
b. Proceso.- En esta zona del paquete numérico, se utiliza el modelo obtenido para realizar
cálculos y simulaciones más complejos. Como pueden ser el cálculo de esfuerzos o la
simulación del comportamiento aerodinámico en el caso del diseño de carrocerías,
perfiles de avión, etc. En otras palabras, es en el procesador que se realiza la solución de
la configuración numérica estipulada.
c. Post-proceso.- En esta tercera fase y última se pueden visualizar gráfica y numericamente
todo los tipos de resultados obtenidos por el programa de cálculo. Si no son correctos, el
usuario podrá cambiar la forma del objeto, cambiar los valores de los agentes externos y
repetir el proceso, sin en cambio ya son aceptables (muy aproximados a la solución) se
interpretan y se analizan. Es muy importante mencionar que el programa del método de
elemento finito no proporciona resultados reales, sino aproximaciones matemáticas a la
posible realidad del comportamiento mecánico.
III.3.- Casos de análisis
Se tienen tres casos de estudio:
Elástico lineal.
Elasto-plástico perfecto.
Elasto-plástico bilineal.
La principal problemática en el desarrollo de esta parte del trabajo, es que el métdo de elemento
finito realiza las simulaciones numéricas en condiciones ideales y bajo condiciones consideradas por
Capítulo III 46
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
la Mecáncia clásica, lo cual en realidad no es real, pero son consideraciones que se han utilizado por
varios años y alrededor del mundo en la solución de problemas ingenieriles.
Para todos los casos de estudio, la caracterización del material se lleva acabo mediante una
configuración de flexión por cuatro puntos de apoyo. Para los casos de flexíon por encima del punto
de cedencia fue necesario especificar en la simulación el esfuerzo de cedencia a tensión y
compresión que tiene considerado en material. Además, por medio de este tipo de configuración del
material es posible que se evaluen los campos de esfuerzos residuales que originaron la aplicación
de cargas no homogéneas en el espécimen.
La geometría del espécimen que se utilizó para el desarrollo del trabajo de simulación numérica de
este trabajo de investigación se muestra en la Figura III.2 y tiene una sección transversal rectangular
de 1 mm por 10 mm. Asimismo, todo el análisis numérico desarrollado fue realizado a una escala de
milimetros, lo que obliga a considerar a los agentes externos también el milimetros.
Figura III.2.- Viga prismática
Se decidió realizar el análisis del caso de estudio en 2D y el elemento que se utilizó para efectuar el
mallado del modelo del componente fue el elemento Plano 183. El cual se define como un elemento
plano, con una conducta de desplazamiento cuadrático y es ajustable en mallas con formas o
geometrías irregulares. Este elemento esta definido por 8 nodos (4 nodos en las esquinas y 4 nodos
intermedios, Figura III.3), cuenta con tres grados de libertad para cada uno de los nodos, traslación
en x y y, permitiendo su rotación sobre el eje z.
200 mm 1 mm
10 mm
Capítulo III 47
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura III.3.- Elemento plano de 8 nodos
La discretización del componente se realizó de la manera siguiente; en donde no son de importancia
los resultados que produce el agente externo, se aplicó una malla de forma no detallada, pero
controlada. Por el contrario de donde se necesitan obtener los valores aproximados a la realidad la
malla es mas detallada, esto es en la parte central de la viga. La parte central de la viga es de suma
importancia, ya que según la Mecánica clásica, es en esta zona donde al activar el agente externo se
pueden visualizar la acción de esfuerzos a tensión y compresión, además, de que no se produce el
efecto de un efecto cortante.
La Figura III.4 muestra en detalle de cómo se realizó la discretización del componente y claramente
se puede visualizar las zonas de interés para el análisis. Donde es posible observar que la zona
central de la viga es de suma importancia y por medio de la teoría de flexión pura se sabe que en
esta zona el efecto del momento es constante.
Figura III.4.- Discretización del espécimen
III.4.- Aplicación de las propiedades mecánicas para el desarrollo del análisis numérico
Para efectos del análisis numérico se seleccionó el comportamiento mecánico de un acero inoxidable
AISI 316L. El módulo de elasticidad para este tipo de acero es de 200 GPa, pero como se
consideran en milímetros el valor del módulo que se utilizará es de 200 000 N/mm2. Para la
consideración de un material con propiedades elasto-plásticas, el acero inoxidable AISI 316L (el
Capítulo III 48
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
cual por su aplicación en la biomecánica se considera como el material idóneo para este tipo de
análisis) tiene unas propiedades como las que se describen en la Tabla III.1.
Tabla III.1.- Propiedades mecánicas para el análisis Propiedades Mecánicas Sistema Métrico
Esfuerzo de cedencia (y) 400 MPa
Módulo Elástico (E) 200 GPa
Relación de Poisson () 0.28
III.5.- Análisis numérico
III.5.1.- Primer caso de estudio
En el primer caso de estudio que se realiza en esta tesis es por medio de la simulación del
comportamiento elástico del material AISI 316L. Las características utilizadas en el análisis se
muestran en la Figura III.5.
Figura III.5.- Material elástico lineal
El procedimiento de la aplicación del agente externo no homogéneo y la secuencia de descarga de la
probeta se realizó en dos pasos. En la probeta se aplicó una carga puntual de la manera que se
muestra en la Figura III.6 y está restringido de manera nodal en los extremos. Todos los casos de
y= 400 N/mm2
y = 0.002
E= 200 000 N/mm2
σ
ε
y= 400 N/mm2
y = 0.002
Capítulo III 49
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
estudio fueron cargados de la misma manera, con la única diferencia en la magnitud de la carga
aplicada para cada caso de estudio.
Figura III.6.- Material elástico lineal
En la Figura III.7 se puede observar el efecto de la secuencia de carga sobre la probeta por medio de
la aplicación de una flexión pura en la parte central del componente. Asimismo es posible observar
la distribución de esfuerzos a lo largo de la altura de la viga.
Figura III.7.- Esfuerzos de carga, caso elástico por medio de simulación numérica
La distribución de esfuerzos se presenta en la Figura III.8 y es posible observar el comportamiento
elástico lineal del material. Es decir, se aprecia que la relación entre el esfuerzo-deformación que es
linealmente proporcional conforme aumenta su valor y el punto máximo alcanzado es el
correspondiente al punto de cedencia del material. Cabe aclarar que en este caso de estudio, más allá
del punto de cedencia no se considera, ya que se puede dejar en el material al descargar algún tipo
de esfuerzo y deformación remanente.
P = 133.33 N P = 133.33 N
50 mm 100 mm
Capítulo III 50
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
σ
Figura III.8.-Comportamiento elástico lineal del material
En la Tabla III.2 se puede observar los valores obtenidos en el MEF.
Tabla III.2.- Valores obtenidos del componente, caso elástico
Altura (mm)
Esfuerzo de carga (MPa)
5 -400 4 -320 3 -240 2 -160 1 -80 0 0 -1 80 -2 160 -3 240 -4 320 -5 400
En el presente caso de estudio, no se presenta la descarga del material de la carga no homogénea, ya
que como lo establecido por Timoshenko, la descarga es lineal elástica y los esfuerzos se igualan a
cero. Sin embargo en la Figura III.9 se presenta la distribución de esfuerzos obtenidos después de
realizar la descarga. Para este caso, como era de esperarse es cero.
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
Capítulo III 51
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura III.9.-Estado de esfuerzos para descarga en el caso elástico
III.5.2.- Segundo caso de estudio
Para realizar el análisis del segundo caso de estudio, se utilizará un material elasto-plástico perfecto,
con las siguientes características (Figura III.10).
Figura III.10.- Propiedades elasto-plástica perfectas del material
El procedimiento que se realizó fue nuevamente de carga y descarga de la probeta por medio de una
carga no homogénea y mediante una configuración llamada flexión de cuatro puntos. La fuerza
aplicada será lo suficientemente grande como para poder rebasar el punto de cedencia y poder
apreciar el comportamiento elasto-plástico perfecto del componente. Posteriormente, el sistema se
descarga (segundo etapa) y es inducido el campo de esfuerzos residuales. Para poder comprobar la
eficiencia del método, es posible calcular este campo de esfuerzos de forma analítica y corroborar
los resultados de análisis numérico [III.4].
Para los siguientes dos casos de estudio, la configuración del caso de estudio es el mismo que la
simulación numérica anterior. La flexión por cuatro puntos de flexión inducirá un campo de
y= 400 N/mm2
y = 0.002
E= 200 000 N/mm2
σ
u = 400 N/mm2
u = 0.01
ε
Capítulo III 52
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
esfuerzos residuales, esto es por medio de una carga homogénea, Asimismo, en las condiciones
iniciales para el análisis numérico el componente sufrirá un cambio en sus propiedades mecánicas en
la etapa de pre-proceso. Las condiciones de frontera que se dispuso en la viga, se localizan en los
nodos del extremo izquierdo inferior, impidiendo el desplazamiento en el eje x y y. Mientras que en
el nodo del extremo derecho se restringió sólo en un eje y (Figura III.6). En la Figura III.11 se puede
observar el valor de la carga utilizado y las restricciones de frontera. Mientras que en la Figura III.12
se presenta la simulación del comportamiento elasto-plástico perfecto del material.
Figura III.11.- Cuatro puntos de flexión, segundo caso de estudio
Figura III.12.- Comportamiento simulado elasto-plástico perfecto
Los esfuerzos obtenidos por la simulación del ensayo a cuatro puntos de flexión se puede observar
en la Figura III.13 y como era de esperarse los esfuerzos máximo y mínimo de tensión y compresión
se encuentra en la parte central de la viga y sobre las respectivas superficies. También es posible
observar, que en la parte media de la altura de la viga se encuentra el eje neutro del componente,
donde los valores de los esfuerzos son cero.
166.66 N 166.66 N
Capítulo III 53
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura III.13.- Viga flexionada de manera elasto-plástica perfecta
En la Figura III.14, se presenta el primer paso de la simulación numérica, que es la carga del
espécimen.
Figura III.14.- Esfuerzos de carga para el comportamiento elasto-plástico perfecto
En la figura anterior también se puede observar el comportamiento elasto-plástico perfecto al que
está sometido el material. Después del punto de cedencia se observa que el esfuerzo se mantiene
constante a lo largo de la altura de la viga. La Tabla III.3 contiene los valores obtenidos en el MEF y
tabulados con respecto a la posición del eje neutro en el eje de la sección transversal.
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
Capítulo III 54
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Tabla III.3.- Valores obtenidos por MEF
Altura (mm)
Esfuerzo de carga (MPa)
5 -400 4 -400 3 -388.87 2 -251.83 1 -125.91 0 0 -1 125.91 -2 251.83 -3 388.87 -4 400 -5 400
La siguiente parte del análisis, es la descarga del sistema y la inducción del campo de esfuerzos
residuales. Se elimina la carga y se desarrolla la solución del sistema, posteriormente se observa que
después de haber deformado la viga plásticamente es inducido un campo de esfuerzos residuales
debido a la carga no homogénea (Figura III.15).
Figura III.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido, comportamiento elasto-plástico perfecto
En la Figura III.16 se presenta de manera gráfica, la distribución del campo de esfuerzos residuales
en la viga a lo largo de la altura.
Capítulo III 55
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura III.16.- Distribución de esfuerzos residuales, comportamiento elasto-plástico perfecto
La Tabla III.4 representa la distribución del campo de esfuerzos residuales a lo largo de la altura de
la viga después del análisis realizado.
Tabla III.4.- Distribución de los esfuerzos residuales
Altura (mm)
Esfuerzos residuales
(MPa) 5 98.01 4 15.99 3 -65.89 2 -43.833 1 -21.916 0 0 -1 21.916 -2 43.833 -3 65.89 -4 -15.99 -5 -98.01
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
Capítulo III 56
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
III.5.3.- Tercer caso de estudio
El comportamiento bilineal en los materiales, es más común en su utilización científica que la
consideración elasto-plástica perfecta. La consideración bilineal se fundamenta en la determinación
de dos puntos; el esfuerzo de cedencia (que establece la zona elástica) que en la mayoría de los
materiales se describe la relación lineal entre el esfuerzos y la deformación unitaria o conocido
como módulo de Young y el segundo punto, el establecimiento del esfuerzo máximo, que
claramente establece la zona plástica del material. Las características anteriores son introducidas en
el programa computacional de MEF para realizar la simulación numérica (Figura III.17). De igual
forma que en el caso de estudio pasado, el material se considera sin historia previa y se somete a
flexión por cuatro puntos.
Figura III.17- Comportamiento bilineal
En la Figura III.18 se presentan los resultados del análisis después de haber sometido a la viga a una
carga no homogénea y que es capaz de producir una deformación plástica permanente en el
componente. Por lo que es posible la inducción del campo de esfuerzos residuales al descargar el
sistema. En las siguientes figuras se demostrará como el comportamiento mecánico del material
influye mucho en la distribución de los esfuerzos residuales en la probeta. Así como, la curva de
Capítulo III 57
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
carga del material. Además, se puede observar la línea de carga, la cual describe el comportamiento
bilineal de la viga sometida al ensayo antes descrito.
a)
Figura III.18.- Comportamiento bilineal del material. a) Distribución de esfuerzos a tensión y compresión en la viga sometido a flexión.
b) Línea de carga del material (comportamiento bilineal).
En la Tabla III.5 se encuentran tabulados los valores de los esfuerzos a plena carga a lo largo de la
altura de la viga. Mientras que en la Figura III.19, se ilustra el comportamiento de los esfuerzos
residuales en la viga sometida a la flexión. Obsérvese la distribución de los esfuerzos residuales que
dependen principalmente de la posición con respecto al eje neutro.
a)
Esf
uerz
o (M
Pa)
b)
Altura (mm)
Capítulo III 58
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Tabla III.5.- Esfuerzos a carga
Altura (mm)
Esfuerzo a Carga (MPa)
5 -457.17 4 -439.27 3 -416.48 2 -369.44 1 -175.45 0 0 -1 175.45 -2 369.44 -3 416.48 -4 439.27 -5 457.17
Figura III.19.- Esfuerzos residuales ante un comportamiento bilineal. a) Esfuerzos residuales en la viga. b) Distribución del campo de esfuerzos residuales.
a)
b)
Altura (mm)
Esf
uerz
o (M
Pa)
Capítulo III 59
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En la Figura III.19a se observa la viga con esfuerzos residuales, después de retirar la carga en la
simulación numérica, donde es posible observar el campo de esfuerzos residuales denotado por los
distintos colores que son ploteados por el análisis numérico. En la curva de la Figura III.12b se
observa la distribución de los esfuerzos residuales en la viga, que como se había explicado
anteriormente cambia con respecto a la altura de viga.
En la Tabla III.6 se observan los esfuerzos obtenidos por MEF correspondientes a cada sección de la
altura de la sección transversal de la viga.
Tabla III.6.- Distribución de esfuerzos residuales
Altura (mm)
Esfuerzos Residuales
(MPa) 5 117.47 4 40.733 3 -56.479 2 -116.76 1 -55.45 0 0 -1 55.45 -2 116.76 -3 56.479 -4 -40.733 -5 -117.47
III.6.- Desarrollo analítico sobre los casos de estudio
III.6.1.- Desarrollo analítico para el primer caso de estudio
Como el primer caso de estudio, corresponde a un comportamiento elástico lineal para una viga
deformada por flexión en cuatro puntos. La ecuación utilizada para el desarrollo de este tipo de
sistema se establece a continuación [III.5]:
I
Mc III.1
Capítulo III 60
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Donde es el esfuerzo localizado en la altura de la sección transversal, PlM es el momento
alcanzado por la carga aplicada P y l es la distancia del punto de apoyo a la carga, c es la distancia
del eje neutro a la fibra más lejana e I es el momento de inercia de la sección transversal (que en
este caso es una sección rectangular y se calcula por la fórmula 12/3bhI ), de donde se
desprenden otras dos variables, b es la base de la sección transversal y h es la altura de la sección
transversal.
Teniendo los datos arriba descritos, se obtienen los valores para cada altura de la sección transversal.
Se obtiene de la Ecuación III.1:
MPaI
Plc005.400
33.83
5.33332
12
101
55033.1333
El valor arriba obtenido son para la fibra más alejada del eje neutro. A continuación se determinan
los valores de los esfuerzos para cada punto de la altura de la sección transversal de la viga.
Para la altura o posición 4c :
MPaI
Plc004.320
33.83
5.33332
12
101
45033.1333
Para 3c ,
MPaI
Plc003.240
33.83
5.19999
12
101
35033.1333
Para 2c ,
MPaI
Plc002.160
33.83
13333
12
101
25033.1333
Capítulo III 61
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Para 1c
MPaI
Plc001.80
33.83
5.6666
12
101
15033.1333
Para 0c el esfuerzo localizado es nulo. Para el caso de la zona de compresión, los valores son los
mismos que en la zona de tensión, ya que se considera la condición de isotropía del material y el
componente no considera historia previa. En la Tabla III.7 se presentan los valores obtenidos de
manera tabular.
Tabla III.7.- Valores obtenidos por MEF
Altura (mm)
Esfuerzo de carga (MPa)
5 -400.005 4 -320.004 3 -240.003 2 -160.002 1 -80.001 0 0 -1 80.001 -2 160.002 -3 240.003 -4 320.004 -5 400.005
III.6.2.- Desarrollo analítico para el segundo caso de estudio
Para el desarrollo analítico de los casos de estudio descritos en este trabajo, se considera la barra
prismática antes descrita, flexionada por dos pares iguales en magnitud y en dirección opuesta en
cada uno de los extremos. El esfuerzo producido por los momentos está definido por la fórmula:
l
M
R
E yy III.2
Capítulo III 62
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Donde E es el módulo de Young del material, R radio de curvatura, I momento de inercia de la
sección transversal y h es la distancia del eje neutro al extremo de la viga. Para este caso de sección
transversal rectangular, se tiene que el momento de inercia es 33/2 bhI , siendo el valor de b la base
de la sección transversal de la viga. La cedencia plástica sucede inicialmente en la zona hy
cuando el momento plástico flexionante alcanza el siguiente valor:
ye bhM 23
2 III.3
La Ecuación III.3 corresponde al comportamiento totalmente elástico de la barra, esta parte es
importante, porque de ahí se fundamenta el estudio elasto-plástico de los casos de estudio.
Para el comportamiento elasto-plástico de la barra al ser cargada, se tiene que analizar cada uno de
los momentos presentes; esto es, bajo un momento intermediario (no totalmente plástico, ni
elástico), por otro lado la zona plástica ha penetrado una cierta distancia de h por ambas caras de la
barra, por lo tanto el momento en cualquier punto de la sección transversal está compuesto de un
componente elástico y uno plástico [III.2], como se muestra en la Ecuación III.4:
Fsy
MMM ypeep
2 III.4
Donde s = d - h es la distancia entre las fuerzas resultantes de la zona plástica como se puede
apreciar en la Figura III.13. Donde bhF y en cada zona donde hay deformación plástica y la
dimensión 2/)2( hdy indica la distancia que está ocupando la zona elástica del material desde el
eje neutro, por último el momento de inercia de la zona elástica es 12/)2( 3hdbI . Entonces el
momento elasto-plástico puede quedar expresado de la siguiente manera:
))(()2(12
)2(2 2
hdbhhd
hdbM yep
III.5
Reduciendo y factorizando (III.4) se tiene:
Capítulo III 63
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
y
Eje Neutro
F
F Fult
sult
+y
-y
Fult
+y +y
-y -y
s
d
h
d
hMM eep 1
21 III.6
Figura III.20.- Incremento de la zona plástica en una sección rectangular
Para el caso de cuando el momento sea totalmente plástico, como se puede apreciar en la Figura
III.14, la zona plástica se hace totalmente presente en ambas zonas, tanto a tensión como a
compresión, tomando como referencia el eje neutro. Por lo tanto, el momento en la zona totalmente
plástica está dado por la Ecuación III.7.
422
2yy
ultultult
bddbdsFM
III.7
Los esfuerzos residuales en flexión ocurren cuando una viga elasto-plástica es descargada totalmente
y el momento epM vale cero, esto produce un estado o campo de esfuerzos residuales R que
quedaran en toda la sección transversal siguiendo lo establecido por Timoshenko, cuando todo
material al ser sometido a una carga mecánica y posteriormente al ser descargado, la curva de
descarga sigue la pendiente del Módulo Young o en otras palabras la descarga es lineal. Para el caso
de estudio se considera que la descarga es puramente elástica desde el estado de esfuerzos elasto-
plástico al que fue sometido el material bajo el momento epM .
Capítulo III 64
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Por definición, se obtiene:
EepR III.8
Donde ep son los esfuerzos alcanzados bajo el momento epM . La fórmula que define la descarga en
función de la posición de la sección transversal, se define como:
I
yM epE III.9
Desarrollando con (III.2) y (III.5), se obtiene:
yd
h
d
h
dy
E
1
21
2 III.10
Donde es igual a 2/)2/( dyhd , es decir para la zona plástica la ecuación quedaría como:
yd
h
d
h
dy
yR
1
21
2 III.11
Dentro de la zona elástica los esfuerzos residuales son:
yd
h
d
h
dI
yM yeR
1
21
2 III.12
Y en dentro de la zona plástica los esfuerzos residuales son:
EultR III.13
Escribiéndolo de otra forma, quedaría como sigue:
Capítulo III 65
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
yd
h
d
h
d
bd yyR
1
21
2
4
2 III.14
Se puede observar que el cálculo de los esfuerzos residuales involucra el cálculo por separado de las
secciones en las curvas y después haciendo el uso del método de superposición (suma y resta
algebraica) se calcula el valor final de los esfuerzos residuales. En la Tabla III.8 se presentan los
resultados analíticos para los casos de estudio elasto-plástico perfecto y elasto-plástico bilineal.
Tabla III.8.- Valores analíticos obtenidos para casos de estudio elasto-plástico perfecto y elasto plástico bilineal
Altura (mm)
Caso elasto-plástico perfecto
Caso elasto-plástico bilineal
Esfuerzo de carga (MPa)
Esfuerzos residuales
(MPa)
Esfuerzo de carga (MPa)
Esfuerzos residuales
(MPa) 5 -400 98.56 -458.25 118.27
4 -400 16.5 -440.27 41.233
3 -387.25 -66.1 -416.42 -57.11
2 -250.9 -44.12 -370.44 -116.46
1 -125.1 -22.45 -175.95 -55.95
0 0 0 0 0
-1 125.1 22.45 175.95 55.95
-2 250.9 44.12 370.44 116.46
-3 387.25 66.1 416.42 57.11
-4 400 -16.5 440.27 -41.233
-5 400 -98.56 458.25 -118.27
III.7.- Sumario
En este capítulo se analizó el comportamiento elasto-plástico y bilineal de un material al ser
inducida una deformación plástica y a su vez provocar un campo de esfuerzos residuales en el
interior de la viga flexionada.
Se usó una configuración de cuatro puntos de flexión en el ensayo para poder demostrar los
esfuerzos de compresión y tensión; el uso de esta configuración es para poder reproducir en cierta
forma una condición ideal en la ingeniería mecánica, la flexión pura.
Capítulo III 66
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Se demostró la forma de comprobar lo que se obtuvo por MEF, el cálculo de los esfuerzos
residuales. En el siguiente capítulo se analizará el último caso de estudio, comportamiento bilineal
con endurecimiento por deformación, explicando dos casos de pre-deformado (tensión y
compresión).
III.8.- Referencias
1.- Clough, R., The finite element method after twenty-five years: a personal view, Computers and
structures, Vol. 12, No. 4, pp 361, 1980.
2.- Timoshenko, G., Mechanics of materials, Ed. PWS Pub Co., pp 139-140, 1997.
3.- Moaveni, S., Finite element analysis theory and application with ANSYS, Ed. Pearson Prentice
Hall, pp 6, 2008.
4.- Urriolagoitia-Sosa, G., Analysis of prior strain history effect on mechanical properties and
residual stress in beams, Thesis Ph D, Oxford Brookes University, pp 129-142, 2005.
5.- Craig R. R., Mecánica de materiales, Ed. CECSA, pp 338-350, 2003.
Capítulo IV 68
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
IV.1- Introducción
Según la literatura mundial uno de los métodos más comunes para manipular y enriquecer la
resistencia del material es la aplicación de cargas homogéneas en tensión, comúnmente conocido
como endurecimiento por deformación. Además, la aplicación del endurecimiento por deformación
puede ser aplicada previamente a la introducción de un campo de esfuerzos residuales y fortalecer
aún más la resistencia del material. El endurecimiento por deformación, prácticamente se realiza por
medio de un estirado o compresión homogénea del material.
En este sentido, ya sea que el material fue inducido con endurecimiento por deformación o un
campo de esfuerzos residuales no siempre es benéfico para el componente. A estos dos tipos de
respuesta que son dejados en el componente se les conoce como historia previa y varía dependiendo
del tipo carga al que haya sido sometido el componente en cuestión. En otras palabras; si una viga es
pre-jalada el campo de esfuerzos residuales se verá afectado de una forma, mientras que si es
comprimida la distribución de esfuerzos residuales cambia de magnitud y orientación, se
demostrarán los dos casos más adelante.
IV.2.- Endurecimiento por deformación
Como ya se mencionó en la sección anterior, el endurecimiento por deformación enriquece la
resistencia del material, ya que el punto de cedencia se incrementa por medio de un proceso
mecánico homogéneo. En este sentido, la consideración elasto-plástica perfecta no es eficiente al
tratar de demostrar la manera que el endurecimiento por deformación funciona. En la Figura IV.1 se
presenta de manera esquemática el enriquecimiento de la resistencia del material por medio de este
método mecánico.
En la Figura IV.1 se puede observar que el material al ser tensionado axialmente de manera
homogénea por primera vez hasta el punto A, sufre de una deformación plástica. Posteriormente al
descargar el material hasta el punto B, se puede claramente observar que el material se encuentra
libre de esfuerzos, sin embargo, se pude visualizar que existen deformaciones unitarias permanentes
[IV.1]. Si el material es cargado nuevamente en la misma dirección de tensión, se puede observar en
la grafica que el nuevo punto de tensión quedará ubicado en donde se aplicó la primera carga
Capítulo IV 69
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
homogénea que deformó plásticamente al material. A este efecto mecánico se le conoce como
endurecimiento por deformación [IV.2].
Figura IV.1.- Representación del endurecimiento por deformación
IV.2.1.- Simulación numérica de la aplicación del esfuerzo homogéneo y descarga
En esta sección se presenta la corroboración numérica de la aplicación de una carga homogénea en
tensión para visualizar el efecto de una deformación unitaria existente sin la acción presente de un
esfuerzo. Las propiedades del material que se utilizarán para la simulación numérica están descritas
en la Figura IV. 2.
Figura IV.2.- Propiedades del material
01.0
600
MPa
002.0
400
MPa
A
B
y
yII
y (Punto de cedencia original)
yII (Punto de cedencia mejorado)
Capítulo IV 70
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En la Figura IV.2 se puede observar claramente la definición de los puntos de cedencia y esfuerzo
máximo del comportamiento bilineal que se utilizará para esta simulación.
Mientras en la Figura IV.3 se presenta la geometría del espécimen que se utilizará, que es similar a
los casos anteriores. El agente externo que se aplicará en este caso, es una presión homogénea sobre
una de las caras de la viga. Las consideraciones de frontera para este ejercicio son restricción de
movimiento en dirección del eje x y en la cara opuesta con respecta a donde se aplicó la carga. Tal
como se había mencionado anteriormente, la probeta será tensada más allá del punto de cedencia del
material.
Figura IV.3.- Discretización del espécimen y carga aplicada
En la Figura IV.4 se puede observar los esfuerzos localizados y homogéneamente distribuidos en el
espécimen por el efecto de la presión. Como antes se había mencionado y como lo fundamenta la
Mecánica Clásica, al aplicar un agente homogéneo genera un esfuerzo homogéneo a lo largo de todo
el componente que es igual a la presión aplicada [IV.3]. Asimismo, en la Figura IV.4 se puede
visualizar la distribución del esfuerzo que es de 500 MPa. Mientras que la Figura IV.5 se presenta el
valor de la deformación unitaria obtenida. Además, que al ser descargado y cargado nuevamente en
la misma dirección el sistema se generará un nuevo punto de cedencia en el material.
Figura IV.4.- Esfuerzos de tensión en el espécimen a presión
P = 500 MPa
= 500 MPa
Capítulo IV 71
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.5.- Deformación unitaria en el espécimen a presión
Además, en la Tabla IV.1 se presentan los resultados obtenidos de diferentes puntos a lo largo de la
altura de la viga. Así como, la deformación unitaria producida en el componente.
Tabla IV.1.- Esfuerzos y deformaciones unitarias en el espécimen por el efecto de la presión Altura
(mm)
Esfuerzo
(MPa)
Deformación
unitaria
5 500 0.006
4 500 0.006
3 500 0.006
2 500 0.006
1 500 0.006
0 500 0.006
-1 500 0.006
-2 500 0.006
-3 500 0.006
-4 500 0.006
-5 500 0.006
Posteriormente, en el segundo paso de este análisis numérico, se descarga la probeta del efecto del
agente externo (presión de 500 MPa), como se aprecia en la Figura IV.6. En esta figura se puede ver
que el efecto del esfuerzo es equivalente a cero. Además, en la Figura IV.7 se presenta el valor de la
deformación unitaria que se produce por el efecto de plasticidad que sufrió el material. La
deformación unitaria existente en el material es consecuencia del efecto de plasticidad efectuado por
la acción del agente externo y existe sin la colaboración de un esfuerzo actuante.
= 0.006
Capítulo IV 72
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.6.- Efecto de descarga en el esfuerzo de tensión en el espécimen a presión
Figura IV.7.- Valor de la deformación unitaria del espécimen al ser descargado
En la Tabla IV.2 se puede apreciar los valores obtenidos al descargar el sistema y no se encuentran
esfuerzos localizados en el espécimen. Sin embargo, como el agente externo rebasó el esfuerzo de
cedencia del material existen deformaciones unitarias permanentes en el componente.
Tabla IV.2.- Esfuerzos y deformaciones en el espécimen al momento de descarga Altura
(mm)
Esfuerzo
(MPa)
Deformación
unitaria
5 0 0.0035
4 0 0.0035
3 0 0.0035
2 0 0.0035
1 0 0.0035
0 0 0.0035
-1 0 0.0035
-2 0 0.0035
-3 0 0.0035
-4 0 0.0035
-5 0 0.0035
= 0 MPa
= 0.0035
Capítulo IV 73
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
IV.3.- Inducción de esfuerzos residuales en un material con historia previa
En esta sección de la tesis se evaluará el caso de la introducción de un campo de esfuerzos residuales
en un componente bajo una condición de historia previa. La condición de historia previa será
considerada por el efecto de la aplicación de una presión homogénea sobre la viga (idéntica al caso
anterior).
Posteriormente se inducirá un campo de esfuerzos residuales, por medio de cuatro puntos de flexión
y se observará el efecto de la acción de la historia previa en la magnitud y distribución del campo de
esfuerzos residuales inducido.
Nuevamente, en este ejercicio se aplicarán las propiedades bilineales que se utilizaron anteriormente
en esta sección de la tesis (Figura IV.2). Las propiedades utilizadas por el paquete computacional
comercial de MEF que son representadas en la simulación se pueden observar en la Figura IV.8.
Figura IV.8.- Comportamiento bilineal simulado del material
Capítulo IV 74
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
IV.3.1.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta tensionada
La inducción de esfuerzos residuales se hace por medio de una carga no homogénea aplicada en la
configuración de flexión por cuatro puntos de apoyo, como se puede apreciar en la Figura IV.9. El
valor de las cargas fue calculado para poder generar un momento plástico constante en el espécimen.
Figura IV.9.- Configuración de la flexión con cuatro puntos de apoyo
En la Figura IV.10a se puede observar la viga flexionada, como se puede apreciar en la parte de en
medio es donde se encuentran los esfuerzos máximos, lo que corresponde a los colores azul
(compresión) y rojo (tensión). En la Figura IV.10b, se puede observar la gráfica de esfuerzos en
plena carga, se observa el comportamiento bilineal así como el endurecimiento por deformación
provocado por la carga homogénea a tensión aplicada en el inicio del análisis de este caso de
estudio. En la Tabla IV.3, se tabulan los esfuerzos localizados con respecto a la altura de la sección
transversal.
Figura IV.10a.- Esfuerzos en plena carga del material a) Resultado del MEF a la flexión de cuatro puntos
P = 183.33 N P = 183.33 N
50 mm 100 mm
a)
Capítulo IV 75
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.10b.- Esfuerzos en plena carga del material b) Curva de esfuerzos en plena carga, nótese el endurecimiento por deformación (tensión)
Tabla IV.3.- Esfuerzos a plena carga
Altura (mm)
Esfuerzo de carga (MPa)
5 -396.828 4 -351.14 3 -330.82 2 -310.39 1 -228.05 0 -73.125 -1 81.805 -2 236.73 -3 391.66 -4 506.01 -5 522.238
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
b)
Capítulo IV 76
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Al ser descargado el espécimen después de haber pasado el punto de cedencia nuevo, se induce un
campo de esfuerzos auto-equilibrantes, que tratan de compensar las deformaciones plásticas
provocadas por la acción de un agente externo. En la Figura IV.11a, se puede observar el espécimen
descargado y con esfuerzos aún localizados en el cuerpo a lo largo de la sección transversal. En la
Figura IV.11b, se puede observar el campo de esfuerzos residuales que quedó en el espécimen
después de haber retirado la carga no homogénea.
Figura IV.11.- Campo de esfuerzos residuales inducido a) Esfuerzos residuales en MEF
b) Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga
a)
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
b)
Capítulo IV 77
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En la Tabla IV.4 se encuentran tabulados los esfuerzos residuales localizados en el espécimen.
Tabla IV.4.- Esfuerzos residuales
Altura (mm)
Esfuerzo de carga (MPa)
5 159.65 4 88.855 3 -0.82544 2 -90.395 1 -118.06 0 -73.125 -1 -28.193 -2 16.738 -3 61.67 -4 66.67 -5 -5.0127
Para el siguiente caso de estudio sólo es presentado la parte de inducción de esfuerzos residuales, ya
que como se había mencionado antes, son presentados dos casos de estudio con comportamiento
mecánico bilineal; el primero es presentado con una pre-deformación a tensión y el segundo es con
una pre-deformación a compresión y en el inicio del presente capítulo se demostró la forma
numérica en que se realiza el pre-deformado a tensión, lo que para el siguiente caso sólo cambia la
orientación de la presión homogénea siendo de compresión en lugar de tensión.
IV.3.2.- Inducción de campo de esfuerzos residuales en probeta comprimida
En este caso de estudio se considera el espécimen con una pre-deformación a compresión, similar al
caso anterior en propiedades y procedimiento, pero con el cambio en la dirección de la aplicación de
la carga de historia previa. La simulación numérica de este caso de estudio se muestra en la Figura
IV.12, la carga a compresión es homogénea y tiene un valor numérico de 500 MPa. Es muy
importante que mencionar que la viga fue discretizada de la misma manera que los casos de estudio
anteriores, lo cual se realizó de una forma contralada y cuidando de manera muy especial la parte
central del componente. Ya que ahí es donde se concentran los resultados más relevantes del trabajo
y se determinarán la manera en que se comporta el material bajo el efecto del agente externo.
Capítulo IV 78
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.12.- Compresión del espécimen
Después de haber incrementado el valor del nuevo punto de cedencia por medio del endurecimiento
por deformación en compresión, se aplica la carga no homogénea en flexión hasta provocar un
momento plástico constante en el centro de la viga. En la Figura IV.13 se puede observar la
configuración de cuatro puntos y el valor de las cargas aplicadas.
Figura IV.13.- Cargas aplicadas en la configuración de cuatro puntos de apoyo
Mientras que en la Figura IV.14a, se puede observar la simulación numérica de la viga en plena
carga plástica. Asimismo, se observa por medio de diferentes colores la correspondencia de los
diferentes valores de esfuerzos localizados alcanzados a lo largo de la altura de la sección
transversal del espécimen. Los esfuerzos localizados, se encuentran en la gráfica de la Figura
IV.14b, se puede observar el endurecimiento por deformación, siendo en este caso en la zona de
compresión. En la Tabla IV.5 se encuentran tabulados los valores de la gráfica de esfuerzos en plena
carga.
500 MPa
P = 183.33 N P = 183.33 N
Capítulo IV 79
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Figura IV.14a.- Curva de esfuerzos (carga)
Figura IV.14b.- Curva de esfuerzos a plena carga
Tabla IV.5.- Esfuerzos en plena carga
Altura (mm)
Esfuerzo de carga (MPa)
5 -553.194 4 -506.01 3 -391.66 2 -236.73 1 -81.805 0 73.125
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
a)
Capítulo IV 80
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
-1 228.05 -2 310.39 -3 330.82 -4 351.14 -5 368.003
Al retirar la carga no homogénea del espécimen, se induce un campo de esfuerzos residuales, tal
como se ilustra en la Figura IV.15. Los colores ploteados corresponden a esfuerzos auto-
equilibrantes localizados a lo largo de la sección transversal de la viga.
Figura IV.15.- Campo de esfuerzos residuales inducido a) Esfuerzos residuales en MEF. b) Curva del campo de esfuerzos residuales en la viga
a)
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
b)
Capítulo IV 81
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
En la Tabla IV.6 se puede observar los valores de los esfuerzos residuales que quedaron después de
retirar la carga no homogénea en el material.
Tabla IV.6.- Esfuerzos residuales
Altura (mm)
Esfuerzos Residuales
(MPa) 5 5.0127 4 -66.014 3 -61.67 2 -16.738 1 28.193 0 73.125 -1 118.06 -2 90.395 -3 0.82544 -4 -88.855 -5 -159.65
Para el caso de comportamiento bilineal con pre-deformación (compresión) el campo resultante de
los esfuerzos residuales indica que en las dos superficies hay esfuerzos, uno a tensión y otro de
compresión, siendo el último de mas valor en una de las caras.
IV.4.- Cálculo analítico de los esfuerzos residuales
El cálculo analítico de los esfuerzos residuales, corresponde directamente al cálculo de cada una de
las partes mas importantes de las curvas, esto es, en otras palabras que para cada punto de la altura
se debe obtener el momento elasto-plástico o totalmente plástico y bajo los fundamentos de
Timoshenko, considerando una descarga totalmente lineal, se usa el método de superposición para su
obtención.
Para el caso de la zona elasto-plástica se tiene:
EepR IV.1
Capítulo IV 82
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Para el caso de la zona totalmente plástica, se tiene:
EultR IV.2
Desarrollando la ecuación IV.1 y la ecuación IV.2, se obtiene para los dos casos respectivamente:
yd
h
d
h
dI
yM yeR
1
21
2 IV.3
yd
h
d
h
d
bd yyR
1
21
2
4
2 IV.4
Partiendo de la ecuación IV.1 y IV.2 se obtienen los esfuerzos residuales para los casos de estudio
antes presentados, para el caso de tensión se obtiene la siguiente tabla:
Tabla IV.7.- Cálculo de los esfuerzos residuales para el caso de estudio con pre-deformación a
tensión
Altura
(mm)
Esfuerzos
de carga (MPa)Descarga (MPa) adescacER argarg
Esfuerzos Residuales (MPa)5 -396.828 -556.478 159.65
4 -351.14 -439,995 88.855
3 -330.82 -329,99456 -0.82544
2 -310.39 -219,995 -90.395
1 -228.05 -109,99 -118.06
0 -73.125 0 -73.125
-1 81.805 109,998 -28.193
-2 236.73 219,992 16.738
-3 391.66 329,99 61.67
-4 506.01 439,34 66.67
-5 522.238 527,2507 -5.0127
Capítulo IV 83
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
De la tabla antes mencionada, se grafican las curvas superpuestas, para tener una idea más clara de
cómo funciona el método de superposición para estos casos. En la Figura IV.16 se puede observar
los esfuerzos localizados para la mayoría de los puntos calculados, la línea verde representa la
descarga lineal del material, la línea roja los esfuerzos residuales y la línea azul representa la línea
de carga del material.
Figura IV.16.- Representación gráfica de los esfuerzos obtenidos y su posición
Para el caso en donde la pre-deformación fue de compresión se tiene la Tabla IV.8 con los esfuerzos
calculados.
Tabla IV.8.- Esfuerzos obtenidos para el caso de estudio con pre-deformación a compresión
Altura
(mm)
Esfuerzos
de carga (MPa)Descarga (MPa) adescacER argarg
Esfuerzos Residuales (MPa)5 -553.194 -556.478 5.0127
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm)
396.828
556.478
159.65
-0.825
-330.82
-329.99
-228.05
-118.06
-109.99 -28.193
81.80
109.99 61.67
329.99
391.66
-5.0127
522.238
527.25
Capítulo IV 84
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
4 -506.01 -439,995 -66.014
3 -391.66 -329,99456 -61.67
2 -236.73 -219,995 -16.738
1 -81.805 -109,99 28.193
0 -73.125 0 73.125
-1 228.05 109,998 118.06
-2 310.39 219,992 90.395
-3 330.82 329,99 0.8254
-4 351.14 439,34 -88.855
-5 368.003 527,2507 -159.65
En la Figura IV.17 se observan los valores de los esfuerzos y su posición respecto a la sección
transversal.
Figura IV.17.- Representación gráfica de los esfuerzos con respecto a su posición
Esf
uerz
o (M
Pa)
Altura (mm) 5.0127
553.194
556.478
-329.99
-391.66
-61.67 28.193
-81.805
-109.99
228.05
118.06
109.99
0.8254
330.82
329.99
-159.65
527.25
368.003
Capítulo IV 85
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
IV.5.- Sumario
En el presente capítulo se hizo el análisis numérico del efecto de endurecimiento por deformación
aplicando una presión homogénea en el espécimen elevando su punto de cedencia y descargandolo,
cabe señalar que se indujeron deformaciones plásticas cuando se carga el material y cuando se
descarga quedaron deformaciones remanentes en el mismo por el efecto de la presión homogénea a
la que fue sometida (Figura IV.6 y Figura IV.7).
Por otro lado, también se presentó el análisis numérico de dos casos de estudio con una pre-
deformación plástica homogénea a tensión y compresión, se observó que los campos de esfuerzos
residuales se ven afectados dependiendo de la historia previa que puede tener o que se le puede
inducir al material. Se presenta la forma de obtener analíticamente los esfuerzos residuales, y se
presenta una tabla de esfuerzos obtenidos para cada caso de estudio, presentando el método de
superposición como la forma mas rápida y confiable de obtener los esfuerzos.
Todo lo anterior con la finalidad si de alguna manera se puede manipular el campo de los esfuerzos
residuales para obtener un beneficio en la resistencia mecánica del material. En el siguiente apartado
se concluirá con las respectivas conclusiones de los casos de estudio.
IV.6.- Referencias
1.- Urriolagoitia-Sosa, G, Durodola J. F., Fellows, N. A., Determination of Residual Stress in Beams
under Baushinger Effect Using Surface Strain Measurements, Strain, Vol. 39, pp 177-185, 2003
2.- Urriolagoitia-Sosa, G, Durodola, J. F., Fellows, N. A., Effect of strain hardening on residual
stress distribution in beams determined using the crack compliance method, The Journal of Strain
Analysis for Engineering Design, Vol. 42, pp 115-121, 2007.
3.- Sandoval-Pineda, J. M., Urriolagoitia-Sosa, G., Urriolagoitia-Calderón, G., Hernández-Gómez,
L. H., García-Lira, J., Beltrán-Fernández, J. A. y Rodríguez-Martínez, R., Numerical and
experimental evaluation of the residual stress relaxation and the influence zone due to application
of the crack compliance method, Journal of Physics: Conference Series, Vol. 181, 2009.
Conclusiones y trabajos futuros 87
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
Conclusiones
Al término del desarrollo de este trabajo de tesis, pueden exponerse las conclusiones que se
derivaron del mismo, teniendo en cuenta su objetivo principal: analizar numéricamente de cómo se
ve modificada la inducción de un campo de esfuerzos residuales cuando ha sido sometido a una pre-
deformación plástica homogénea, los casos de estudio son los siguientes:
Elástico Lineal
Elasto-Plástico perfecto
Elasto-Plástico Bilineal sin historia previa
Elasto-Plástico Bilineal con historia previa a tensión
Elasto-plástico Bilineal con historia previa a compresión
En los diferentes casos de estudio mencionados anteriormente, el material se considera elástico,
elasto-plástico y elasto-plástico bilineal, esto con la finalidad de realizar la corroboración de la
exactitud del programa comercial del método de elemento finito. En las vigas sometidas a cargas de
flexión pura (cuatro puntos de apoyo), en donde la carga no homogénea produce en el espécimen
deformaciones plásticas y posteriormente al ser liberado de la acción del agente externo
(descargarlo), un campo de esfuerzos residuales al pasar el esfuerzo de cedencia del material.
En los primeros tres casos de estudio se comprobó la teoría establecida por Timoshenko, la cual
establece que cuando un material es cargado antes o más allá de su punto de cedencia, la descarga
del dicho material es lineal elástica siguiendo el Módulo de Young. Y el campo de esfuerzos
residuales es calculado por el método de superposición, realizando una suma y resta algebraica de
los esfuerzos alcanzados en plena carga y los esfuerzos de la descarga lineal del material a lo largo
de la altura de la sección transversal de la viga.
En los últimos dos casos de estudio, fue inducido un nuevo punto de cedencia en el material tanto
para tensión y para compresión, después aplicando flexión pura (cuatro puntos de apoyo) se indujo
el campo de esfuerzos residuales, siendo este afectado por la historia previa del material,
demostrando que al inducir una historia previa a tensión se presentan esfuerzos residuales a tensión
en las superficies del material, siendo estos causantes a la nucleación y propagación de grietas en el
Conclusiones y trabajos futuros 88
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
material. Por otro lado, cuando se induce historia previa a compresión se presentan esfuerzos
residuales a compresión en las superficies del material, demostrando con esto que aumenta la
resistencia mecánica del material, debido a que, para que exista el riesgo de nucleación de grieta y
su propagación los esfuerzos localizados tienen que equilibrar los esfuerzos residuales de
compresión y provocar la tensión necesaria para la nucleación.
Fue determinado, que para poder fortalecer el material en este caso de estudio es necesario aplicar
una historia previa a compresión, que como se observó en el caso con historia previa a tensión
aumenta el riesgo de falla del material o del componente mecánico. Es importante mencionar que el
uso del ensayo de flexión pura (cuatro puntos de apoyo) fue de gran ayuda, ya que permite ver
gráficamente la isotropía del material y con esto disminuye el tiempo para realizar el análisis a
compresión y tensión por separado.
Por otro lado, el uso del método numérico MEF agiliza por mucho el análisis disminuyendo el
tiempo de investigación, traduciéndose en menores costos de producción y elimina el tiempo de
experimentación. Este tipo de análisis ayuda al investigador a proyectar un tiempo de vida útil y
seguro del componente mecánico y poder predecir fallas catastróficas, que de igual forma se traduce
en la disminución de costos de mantenimiento e inspección.
La inducción de historia previa en el material se puede considerar como un método de mejora en las
propiedades mecánicas del material, aunque sólo en éste caso con la pre-deformación a compresión
se induce un campo de esfuerzos residuales benéfico para el material.
Trabajos Futuros
Lograr deducir las condiciones optimas de diseño para un material con comportamiento mecánico
bilineal, lo anterior por medio de la manipulación de los esfuerzos residuales. Partiendo de los
resultados obtenidos de esta tesis, es de importancia mencionar que se pretende continuar con el
estudio de la manipulación de los campos de esfuerzos residuales ante diferentes condiciones de
carga que inducen deformaciones plásticas en el material. El trabajo que se deriva de esta tesis de
investigación es, analizar las condiciones de historia previa favorables para el material ante la
presencia de grietas en la superficie del material, ya que como se conoce de la teoría de la Mecánica
Conclusiones y trabajos futuros 89
Aplicación del método de elemento finito en el análisis de estudios elasto-plásticos
de la Fractura, la superficie de todos los materiales contienen agrietamientos e imperfecciones que
bajo ciertas condiciones de carga pueden provocar la nucleación y propagación de grietas en el
material, provocando que el material falle irremediablemente aún cuando las condiciones de carga
no son las máximas soportadas.
top related