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Algunos sistemas de numeración y las máquinas de contar

EL INICIO DE LA CIENCIA

Se suele preguntar: ¿Cuándo comenzó la Ciencia?

Y, se suele responder que comenzó cuando y dónde los hombres trataron

de resolver los numerosos problemas de la vida cotidiana. Las primeras

soluciones fueron simples intentos, pero que significaron de alguna forma el

comienzo. Gradualmente estas soluciones serían comparadas entre sí,

generalizados, racionalizados, simplificados, interrelacionados, integrados; y la

trama de la Ciencia comenzaría lentamente a entretejerse. Esas primeras

soluciones fueron toscas e insignificantes.

Cuándo el primer matemático reconoció que había algo en común entre

tres palmeras y tres monos, reconoció que había algo más allá de lo concreto que

los unía y llegó a la noción de número, que nos lleva al mundo abstracto de la

matemática.

Cuando hablamos de amanecer de la ciencia, no estamos pensando en

términos de una escala cronológica de aplicación universal. No existe esa escala y

este amanecer ocurrió hace una decena de miles de años, o más en ciertas partes

del mundo, y puede aún hoy observarse en otros sitios. Y con total independencia

de todo lugar podemos verla, en cierta medida, en la mente de cualquier niño. Allí

está el amanecer.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA de los NÚMEROS

La aritmética, cuyo objeto es el estudio de los números, es sin duda la más antigua de

las ciencias: nuestros antepasados debieron reconocer su imperiosa necesidad desde el

momento en que empezaron a realizar intercambios.

Los dedos fueron, para nuestros antepasados, los primeros instrumentos de

cálculo, como todavía lo continúan siendo para los niños: a este hecho se debe la base

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decimal de la numeración. Este empleo de los dedos para contar era forzosamente

limitado y pronto debió reconocerse la necesidad de emplear signos materiales que

dieran permanencia a los resultados obtenidos: utilizaron entonces granos de trigo,

nudos hechos en cintas, etc.

En el pasado la Matemática era considerada como la ciencia de la cantidad,

referida a las magnitudes (como en la Geometría), a los números (como en la

Aritmética), o a la generalización de ambos (como en el Álgebra)

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su

desarrollo histórico, pensando que la misma es en cierto modo un conocimiento cultural y

debemos enfocarla desde el desarrollo de la evolución de ella, por esta razón es que

tomaremos la descripción de los sistemas de numeración y las máquinas de contar en

las diferentes etapas de la historia de la humanidad.

La Matemática en la antigüedad.

En realidad, la Matemática es tan antigua como la propia humanidad: en los

diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden

encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas.

La primera operación matemática que realizó el hombre fue, sin duda, la de

contar, o sea, asociar un símbolo a un conjunto, por lo que podemos decir que aparece

la noción de número y en este momento es importante definir

El número es el símbolo de la necesidad causal. Contiene como el concepto de

Dios el último sentido del universo. Por eso puede decirse que la existencia de los

números es un misterio, y el pensamiento religioso de todas las culturas ha afirmado

siempre esta impresión.

El concepto de número como la habilidad de contar es producto de un largo

proceso y no una facultad que el hombre trae al nacer.

Podemos decir entonces que:

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Una vez aparecida la noción de número se necesitó sistematizar este mundo

numérico y en distintas regiones de las civilizaciones antiguas se crearon diferentes

formas de sistematizar pudiendo mencionar el sumerio, el babilónico, el egipcio, el

griego, el romano, el maya, el chino, el indoarágigo y el binario. Cada uno es

radicalmente propio y único; y cada uno, es reflejo y centro de una cultura única.

Sistema de Numeración SUMERIO

Esta CIVILIZACIÓN se desarrolla entre los años 3600 y 3400 a C, la escritura

numérica era en forma cuneiforme, (en forma de cuñas), su sistema de numeración

constaba de dos símbolos:

El “uno”

El “diez”

Por ejemplo:

Solo representaban números hasta el 59, esta cultura deja así herencia a la

civilización babilónica.

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Número es una palabra una cantidad concreta, es una idea.


Sistema de Numeración BABILONIO.

El mismo consta de dos símbolos:

El “uno”

El “diez”

Para simbolizar unidades

Para simbolizar múltiplos de 10 hasta el 50

Y representaban a todos los números hasta el 59 con estos símbolos. A

continuación se muestran dos ejemplos:

Al llegar al 60 utilizaban nuevamente delante de los números correspondientes

el símbolo para simbolizar a 60 o sus múltiplos, por ejemplo:

También usaban estos símbolos para las potencias positivas y negativas del

número “sesenta”

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Los babilonios utilizaron un sistema mixto de lectura:

posicional

aditivo y multiplicativo (mixto)

con base “sesenta” y “diez” (hasta el 59)

El sistema cuya base era “sesenta” se le llamó SEXAGECIMAL, utilizado para

pesos y mediciones y es a ellos a los que se le atribuye la división de nuestro año en

doce meses, el de la hora en sesenta minutos, el del minuto en sesenta segundos y el

del círculo en trescientos sesenta grados sexagesimales.

A ellos también se le adjudica la “edición” de tablas de operaciones para

multiplicaciones, inversos, cuadrados, cubos, etc. Y la observación de ciertas

regularidades en las tablas los llevó al descubrimiento de propiedades numéricas.

También ellos fueron los primeros en utilizar un símbolo que representaba al “cero”

y era:

·

Sistema de Numeración EGIPCIO

En el año 3.000 a.C. en Egipto había ciudades con mercados y con un gobierno

establecido sobre todo el país y llevar los registros comerciales y gubernamentales que

requería el uso de grandes números, es por eso que ellos establecieron un conjunto de

numerales para expresar números de valores diferentes, a saber:

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Se muestra que era un sistema de escribir los números en base diez ya que

cada símbolo toma una de las potencias de estos números.

Para escribir un número colocaban consecutivamente los signos cuyos valores

sumados daban el número deseado, preferentemente se escribía de derecha a

izquierda.

Por ejemplo:

I I ∩∩ 22

I I I ף ף ף 20.303

I I I ∩∩ ף ף Δ 1.223

I I I 3

La multiplicación y la adición se reducen a una serie de adiciones y sustracciones.

En general, el único multiplicador que utilizaban fue el “2 (dos)”. Ejemplo de una

multiplicación:

12 . 12

I I ∩ I I ∩ = 12 . 2 = 24 24 . 2 = 48 I I ∩ I I ∩ = 12 . 2 = 24

I I ∩ I I ∩ = 12 . 2 = 24 24 . 2 = 48 48 + 96 = 144 I I ∩ I I ∩ = 12 . 2 = 24 48 . 2 = 96 y 12 .12 = 144 I I ∩ I I ∩ = 12 . 2 = 24 24 . 2 = 48 I I ∩ I I ∩ = 12 . 2 = 24

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EL PAPIRO RHIND es un manual práctico de Matemática egipcia, escrito

por Ahmés entre 1788 y 1580 a. C. No se lo puede definir como un tratado, sino

que es una colección de ejercicios matemáticos y ejemplos prácticos,

desarrollados en un estilo no muy claro.

La primera sección presenta una tabla de dividir por dos, desde 2/3 hasta 2/101.

Esta conversión era necesaria porque los egipcios sabían operar con fracciones de la

unidad y cada fracción debía tener numerador uno “1(uno)”.

Ejemplo:

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3 1 1 = +

4 4 2 nota: aunque nosotros utilizamos el “+”, ellos no lo hacían, sumaban

directamente.

Con respecto a la división, reducían los números a fracciones, pero nadie ha

encontrado todavía una regla específica para obtener el resultado. Los cocientes que

ellos encontraban podían ser una mezcla de métodos experimental y de proporción

aritmética.

Este Papiro demuestra que los egipcios poseían tenacidad para resolver problemas

de aritmética, imaginación para construir rompecabezas algebraicos y habilidad para

manejar sus incómodos métodos.

Características del sistema de numeración egipcio:

Es aditivo, se suman los valores de los símbolos colocados

consecutivamente.

Es decimal, o sea de base diez.

Sistema de Numeración GRIEGO

Si bien los egipcios y babilonios dieron gran impulso a la Matemática, la verdad es

que tales pueblos sólo se interesaron por su aspecto práctico, con los cálculos

necesarios para el vivir cotidiano, la construcción de edificios, la navegación y el

comercio; la aplicaron a problemas específicos. pensando muy poco o nada en las

teorías básicas.

Fueron los griegos quienes dieron el paso gigantesco desde lo práctico a lo

teórico.

Tuvieron dos sistemas de numeración:

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El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 a.C.

Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para

representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario

según el principio de las numeraciones aditivas.

número nombre Letra

1000 Kilo X, nuestra “K”

100 Hekto H

10 Deka , nuestra “D”

5 Penta ┌ , nuestra “P”

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos

verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra

cinco (penta), diez (deka) y mil (kilo). Por este motivo se llama a este sistema

acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10,

100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo.

Por ejemplo: X X г HHHH г г II = 2977

2000 500 400 50 27

Algunos escritos encontrados

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El segundo sistema de numeración griego fue llamado jónico y empleaba las 24

letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla

siguiente:

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y

a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que

corresponden a las letras que las componen.

Los griegos tomaron elementos de la aritmética de los babilonios y de los

egipcios pero la innovación más importante fue la invención de una matemática abstracta

basada en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los

cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI antes de Cristo con Tales de

Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los

números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes

descubrimientos sobre la teoría de números y la Geometría, que se atribuyen al propio

Pitágoras.

Euclides escribió trece libros, “Los Elementos” y los mismos contienen la mayor

parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV antes de Cristo, en

áreas tan diversas como la Geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la

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teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y

volúmenes.

Sistema de Numeración ROMANO

Utilizaban tres métodos para calcular:

a) Los dedos.

b) El ábaco

c) Las tablas

Estamos familiarizados con sus símbolos: I, II, III, IV ó IIII, en total son siete los

caracteres que se utilizan actualmente para enumerar los volúmenes de los libros, en

algunos relojes, etc.

Numerales romanos: 1 5 10 50 100 500 1000

I V X L C D M

El “uno” era “I” representando un trazo vertical.

El “cinco” era “V” representando una mano.

El “diez” era “X” representando dos “V” es decir dos cinco y también se utilizó la “u”

para representar el cinco.

El “cincuenta” se representaba de dos diversas maneras pero la “L” fue la más

utilizada.

El “cien” es decir la “C” proviene de la palabra romana “centum”.

El “mil” es decir la “M” proviene de la palabra romana “mille”.

Una cosa interesante es saber que los romanos a menudo al cuatro lo escribían con

IIII y no como lo hacemos nosotros IV . Al nueve lo escribían VIIII y no como nosotros IX.

Al “diecinueve” lo escribían XVIIII pero se han encontrado indicios de que también lo

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hacían de la forma: IXX y no como ahora XIX. Y al “dieciocho” lo escribían: XVIII o bien

IIXX . Estos cambios aparecieron en los inicios de la imprenta.

Actualmente las sencillas reglas a seguir son las siguientes:

Los símbolos I, X, C y M se pueden repetir hasta tres veces.

Los símbolos V, L y D no pueden repetirse.

Los símbolos I, X y C se suman si están a la derecha de otro mayor o igual.

Los símbolos I, X y C se restan si están a la izquierda de otro mayor y

solamente pueden anteponerse a los dos símbolos que le siguen en la

sucesión:

I se resta de V y X , X se resta de L y C

C se resta de D y M

Los símbolos V, L y D no pueden colocarse a la izquierda de otro mayor.

Una raya escrita sobre un grupo de símbolos aumenta su valor en mil veces.

Dos rayas escritas sobre un grupo de símbolos aumentan su valor en un millón

de veces.

A la adición la hacían:

DCCLXXVII 777 V+V = X

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+ +

CC XVI 216

DCCCCLXXXXIII 993

A la Sustracción:

DCCLXXVII 777

- -

CC X VI 216

D L X I 561

Diversos argumentos han permitido que la enseñanza del sistema de numeración

romano ocupe demasiado tiempo en los planes de estudio de la escuela primaria y el

más fuerte es el de la “cultura histórica” pero es menester recordar que los símbolos y

las reglas que habitualmente se utilizan no son rígidamente los que ellos utilizaban.

El Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500

A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y las

distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los

números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el

principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace

fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75

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Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a

derecha como en el ejemplo de la figura.

No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los

ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de

10.

Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los

documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar

falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún

se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las

variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema

posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en

s. VIII en nada se diferencia de este.

Si bien este sistema aportó grandes avances, el tema tenía serias dificultades ya que las

cantidades grandes requerían muchos símbolos. Además las operaciones eran difíciles

de llevar a cabo; solo unos pocos eruditos conocían el arte de llevarlas a cabo.

El Sistema de Numeración Maya

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Sin lugar a dudas, la civilización de los mayas fue una de las mas avanzadas del

continente americano, tenían un calendario muy exacto y conocimientos astronómicos

asombrosos, pese a no poseer los instrumentos de observación y medición como los que

poseemos hasta hoy. Este pueblo logró avances notables en la construcción del sistema

de numeración.

Idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se

representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una

raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9.

Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro

rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base cinco aditivo, pero en realidad,

considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un

sistema de base veinte, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20,

20 x 20, 20 x 20 x 20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto

un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de

magnitud mayor.

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Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo

para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace

imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto

de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de

otro número.

Pero los “científicos” mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación

astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas

unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer

lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima

a la duración de un año.

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Al año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de veinte días. Se

añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que

una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario

solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.

Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque

los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron

una matemática más allá del calendario

Antes de seguir con el siguiente sistema de numeración nos parece pertinente hacer una

pequeña definición del concepto de base Cuando los hombres empezaron a contar

usaron los dedos, guijarros, marcan en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras

formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se

hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución,

cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los

representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta

que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de

la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente

del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las

decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente

Sistema de Numeración Arábigo

Nuestros numerales europeos y americanos se denominan a menudo arábigos

pero los árabes no lo utilizaron nunca. Llegaron a nosotros a través de un libro de

Aritmética que aparentemente, fue escrito en la India hace unos 1200 años y fue

traducido poco tiempo después al árabe. Por azar, este libro fue llevado a Europa por

unos mercaderes y allí fue traducido del árabe al latín, conociéndose solamente en la

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forma de manuscrito y como había sido traducido del árabe se supuso que eran los

numerales que utilizaban los árabe pero no era así y sería correcto indicar que es “Indo

arábigo” aunque la mejor forma sería denominarlo “europeo o moderno”.

La mayoría de los pueblos antiguos utilizaron un numeral parecido a nuestro “uno”

para representar al número “uno” que provino de un dedo extendido y que al parecer es

la forma más simple y natural de señalar lo que queremos decir con “uno”.

El “dos “se representaban generalmente por dos dedos “II” o bien dos líneas

horizontales “=” que si se las une es “z” y de allí el símbolo.

El “tres” era tres líneas “III” o bien “ “ que si se las une es “” y de allí el

símbolo del tres.

El “cuatro” así como lo escribimos no es de la forma antigua y hace unos 700 años

atrás que apareció en Europa pero su origen se desconoce.

Los nombres de los números mayores también han cambiado. La palabra “millón”

no se utilizó antes del siglo XIII y significa “un gran mil”, proviene de “mille” (del latín

“mil”) y de “on” (del italiano “grande”).

El “billón” es una palabra nueva que proviene del italiano “billone” o “bimillón” o

“byllón! Que significa un millón de millones.

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Tabla Pitagórica Hindú- árabe; el sistema hindú requiere 10 símbolos diferentes y

su valor práctico reside en el hecho de que adapta el método del ábaco a la escritura de

una manera más profunda que el egipcio.

Sistema de Numeración Binario

Este sistema (con base dos) no puede considerarse un concepto nuevo, ya que se

aludía a él en un libro chino posiblemente escrito cerca del 3.000 a. C Pero tuvieron que

transcurrir 46 siglos antes de que Leibniz redescubriese las virtudes del sistema binario,

asombrándose del prodigioso descubrimiento como si fuera algo nuevo y original. Quiso

ver en la utilización de dos únicos signos del sistema binario, una significación de

carácter religioso y místico: la “unidad” podría ser la representación de Dios, y el “cero” la

representación de la Nada. Puesto que ellos creían que Dios había creado las cosas de

la Nada es decir de la combinación del “Cero” y el “Uno” y de allí es que podría llegar a

caracterizar al mundo entero solo con emplear estos dos símbolos.

A la adición:

1110111 recordar: 0 +0 = 0; 0 + 1 = 1; 1+ 1= 10; + 1111011

11110010

A la Sustracción:

1100010000 - 111011111 100110001

A la Multiplicación:

110101 . 101

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110101 1101010

100001001

A la división:

111011 11 00101 10011 101 10

La bibliografía utilizada en la confección de este apunte es:

Rey Pastor, Julio; Babini, José. HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. (volumen I y II).

Edit. Gedisa. Bs As. 2002. ISBN: 84-7432-807-1

Ifrah, Georges. HISTORIA UNIVERSAL DE LAS CIFRAS. Edit. Espasa Calpe.

S.A. España. 2002. ISBN: 84-239-9730-8.

Sartor, George. HISTORIA de la CIENCIA. Tomos: I, II, III, IV. Eudeba. Bs. As.

1965.

Monografía : Los sistemas de numeración. Autoras: Petruzzi, Noris y Di Pietro,

Rosa.

Monografía : Algunos sistemas de numeración. Autores: Cuello, Carolina; Chiatti,

Aldo; Brandt, Mónica y Stralla, Gisela.

Salvat, Juan. ENCICLOPEDIA de la CIENCIA y TECNICA. Volumen I. Fascículo

7, 8 y 9. Barcelona. 1985. ISBN. 84-345-6140-9

Monografía: Contando con los aborígenes. Autores: Balmaceda, Estela; Ré,

Miguel y Rochaix, Paola.

Klimovsky, Gregorio. LAS DESVENTURAS DEL CONOCIMIENTO CIENTIFICO

(Una introducción a la Epistemología).A-Z Editora. Bs. As.1997. I.S.B.N. 950-534-

Página nº 21


275-6

Pochettino, Valentina R Basualdo, Petrona N.

Página nº 22

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