proyecto bimestral

proyecto bimestrallgebra Lineal

Indice

ContenidoIndice1Taller 12Taller 27Deber 112Deber 219Deber 325Taller 333Deber 434Taller 446Deber 547Taller 548Deber 651Bibliografa56

Taller 1

Resuelva el sistema lineal dado por medio del mtodo de eliminacin

1. (1)(2)

Reemplazamos x Sol.

2. (1)(2)(3)

Reemplazo (-1)

(-3) (2)

(4) (-7)Sol.

3.

Reemplazo (-2)

Sol. t= nmero real

4.

ReemplazamosSol.5

5. Dado el sistema Lineal

a) Determinar el valor de t para que el sistema tenga una solucin.Tiene una solucin

b) Determine el valor de t para que el sistema no tenga solucin.No tiene solucinc) Cuntos valores diferentes de t pueden seleccionarse en la parte b.

6. Resuelva el sistema lineal sin utilizar mtodo de eliminacin.

DespejoReemplazoReemplazo

3(2)+5(1)-2z=11-2z=11-11Sol7. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de protena, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Por su parte cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protena 3 unidades de grasa y dos unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de protena, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos. Cuntas onzas de cada tipo de alimento debe utilizarse?Nombremos la cantidad de alimentos A, B y C de la siguiente manera:

Ahora las siguientes ecuaciones:

Representan la cantidad deprotenas, grasa y carbohidratos respectivamente que contiene la dieta.Tenemos entonces el sistema:

Multiplicando la primeraecuacinpor -1 ysumndolaa la segunda se tiene:Multiplicando la segundaecuacinpor -2 , la tercera por 3 y sumando se tiene:Ahoratenemos el sistema:

Multiplicando la quintaecuacinpor -1 ysumndolaa la cuarta:Al despejarobtenemos:

Ahora se despejade la cuartaecuaciny seremplazael valor de:

De esta manera la cantidad de onzas de cada alimento A, B y C son:

8. Una herencia de $24,000 se dividi en tres fideicomisos; el segundo fideicomiso recibi el doble del primero. Los tres fideicomisos pagan una tasa de inters de 9, 10 y 6% anual, respectivamente; al final del primer ao, el rendimiento total fue de $2,210. Cunto se invirti en cada fideicomiso?

Taller 2

9. Sean:

A= (2x3)B= (3x1)C=

1. Cules son los valores de a11, a22, a23?

a11= -3 a22= -5 a23=4

1. Cules son los valores de b11, b31?

b11= 4b31= 5

1. Cules son los valores de c13, c31, c33?

c13 = 2 c31= 6 c33= -1

10. Si =

Determine a, b, c, d1. 1. 1. 1.

1. y 4)Reemplazo a en 1)

1. y 3)Reemplazo a en 2)

11. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indica en cada caso

A= B=C= D=

E= F= O=

1. 3D + 2F

3D =2F=

3D + 2F =

1. 3(2A) y 6A

2A = 3(2A)=

6A =

1. 3A + 2A y 5A

3A =2A =

3A + 2A =

5A =

1. 2(D+F) y 2D + 2F

D + F = 2(D+F) =

2D = 2F = 2D+2F =

1. (2+3)D y 2D+3D

(2+3)D = 5D =

2D= 3D= 2D + 3D=

1. 3 (B + D)

B=D= no se pueden sumar porque su tamao no es igual

12. De ser posible, calcule:

1. AT y (AT)T

A= AT = (AT)T=

1. (C + E)T y CT+ ET

C+E = (C + E)T=

CT =ET = CT+ ET=

1. (2D +3F)T

2D= 3F = 2D + 3F =

(2D +3F)T =

1. D DT

D= DT= D DT =

1. (2 A)T + B

2A = (2A)T =

B=(2A)T + B =

1. (3D 2F )T

3D= 2F =

3D 2F = (3D 2F) T =

13. La matriz es una combinacin lineal de las matrices y .

Justifique su respuesta

= +

+ = 14. Sea

A = I3 =

Deber 1

15. En los ejercicios 1 y 2 calcule a.b

1. a= (1x2)b= (2x1)

a . b= a . b=

1. a= (1x2)b= (2x1)

a . b= a . b=

1. a= (1x3)b= (3x1)

a . b= a . b= 1. a= (1x3)b= (3x1)

a . b= a . b=

16. Sean a= (1x3)b= (3x1) . Si a . b =17, determine x.

a . b= a . b=

17. Sea w= (2x1) . Calcule w .w

w= (2x1) w= (2x1)

No se puede realizar la multiplicacin

18. Determine todos los valores de x tales que v .v = 1, donde:v= (3x1)No se puede realizar la multiplicacin por tener diferente nmero de columnas que de filas

19. De ser posible calcule:

1. AB

A= (2x3)B=(3x2)

A . B = A . B =

1. BA

B=(3x2)A= (2x3)

B. A =

B. A =

1. CB + D

C =(3x3)B=(3x2)D=

C. B =(3x2) + D= (2x2)

No se puede sumar no tienen el mismo nmero de filas y columnas

1. AB + DF

A= (2x3)B=(3x2)D= (2x2)

F= (2x2)

AB= (2x2)+ DF=(2x2)

AB + DF =(2x2)

1. BA + FD

BA= (3x3)+FD= (2x2)

No se puede sumar no tienen el mismo nmero de filas y columnas

20. Sean A=(3x2) y B= (2x3). Calcule las siguientes entradas de AB

AB= (3x3)

1. La entrada (1,2) =41. La entrada (2,3) =131. La entrada (3,1) =31. La entrada (3,3) =12

21. Si I2= (2x2) y D= (2x2), calcule DI2 e I2D

DI2 = (2x2)I2D =

22. Sean:

A= (2x2) y B=(2x2)

Demostrar que AB BA

AB= (2x2) BA=(2x2)

23. Considere el siguiente sistema lineal.

1. Determine la matriz de coeficientes

A =

1. Escriba el sistema lineal en forma matricial

A = =

1. Determine la matriz aumentada

A=

24. Costos de produccin. Un fabricante de muebles produce sillas y mesas que deben pasar por un proceso de armado y uno de acabado. Los tiempos necesarios para estos procesos estn dados (en horas) por la matriz.Proceso de armadoProceso de acabado

22Silla

34Mesa

A=

El fabricante tiene una planta en Salt Lake City y otra en Chicago. Las tarifas por hora de cada proceso estn dados (en dlares) por matriz.

Salt Lake CityChicago

910Proceso de armado

1012Proceso de acabado

B=

Qu interpretacin puede dar el fabricante a las entradas del producto de matrices AB?

AB=

Esta matriz representa los costos de produccin de armado y acabado de las sillas y las mesas en cada ciudad.

ProtenasGrasaCarbohidratos

202020Adultos

102030Nios

25. (Medicina) Un proyecto de investigacin nutricional tiene como base de estudio a adultos y nios de ambos sexos. La composicin de los participantes est dada por la matriz.

A=

El nmero de gramos diarios de protenas, grasa y carbohidratos que consume cada nio y adulto est dado por la matriz.AdultosNios

80120Hombres

100200Mujeres

B=

AB=

En esta matriz se muestra los consumos de totales en adultos y nios

1. Cuntos gramos de protenas ingiere diariamente todos los hombres (nios y adultos)?68001. Cuntos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres (nias y adultas)?10000

Deber 2

Demostrar:

A = (3x3)B = (3x3)C = (3x3)

26. (A.B)C=A(B.C)

A.B . C = A (B.C)

(A.B)C = A(B.C)

27. A(B-C)=AB-AC

A. (B- C) = AB AC

A(B-C) =(AB)-(AC)

28. (AB)T=BT AT

(AB) = BT.AT

(AB)T = BT AT

AT BTAT.BT

AT BTAT BT BT AT

29. En los ejercicios 8 y 9, sean

A= (2x3)B=(3x2) C= (3x3)

D= (2x2)E= (3x3)F= (2x2)30. De ser posible, calcule:

1. (AB)T

A= (2x3)B=(3x2)

AB= (2x2)

(AB)T= (2x2)

1. BT.AT

A= (2x3)B=(3x2)

AT=(3x2)BT= (2x3)

BT.AT= (2x2)

1. AT.BT

AT=(3x2)BT= (2x3)

AT. BT=(3x3)

1. BBTT

BTT= BBBTT=B.B

B=(3x2) B=(3x2)

No se puede multiplicar, el nmero de columnas es diferente al nmero de columnas.

1. BT.B

B=(3x2) BT.B= (2x2)

31. De ser posible calcule:

1. (3C 2E)T.B

3C = (3x3)2E = (3x3)B=(3x2)

3C 2E=(3x3)(3C 2E)T= (3x3)

(3C 2E)T.B=(3x2)

1. AT(D+F)

AT= (3x2)D= (2x2)F= (2x2)

D + F=(2x2)

AT(D+F)= (3x2)

1. BTC + A

BT= (2x3)C= (3x3)A= (2x3)BTC = (2x3)BTC + A =(2x3)

1. (2E) AT

2E = (3x3)AT= (3x2)

(2E) AT=AT= (3x2)

1. (BT+A) C

BT= (2x3) A= (2x3) C= (3x3)

BT+A= (2x3)

(BT+A) C = (2x3)

32. Si A= (2x2)B= (2x2)Demuestre que AB = 0AB = (2x2)AB = (2x2)

33. SiA= (2x2)B= (2x2)C= (2x2)Demuestre que AB = ACAB = (2x2)AC= (2x2) AB = AC

34. Si A= (2x2)Demuestre que A2 = I2A2 = A.A = (2x2) (2x2) =(2x2)I2 = (2x2) A2 = I2

35. Sea A= (2x2). Determine:1. A2+3A

A2 = A.A = (2x2)3A = (2x2)

A2+3A= (2x2)1. 2A3+3A2+4A+5I2

A= (2x2)I2= (2x2)

2A3= (2x2) 3A2=(2x2)(2x2)

5I2=(2x2)

2A3+3A2+4A+5I2=(2x2)

36. Determine una constante k, tal que (k.A)T(k.A) =1, donde

A= Hay ms de un valor de k qu se puede utilizar?

AT =(1x3)(k.A)T= (1x3)

kA= (3x1)

(k.A)T(k.A)=

(k.A)T(k.A)= =1

; S hay ms de una solucinDeber 3

Resolver por el mtodo de eliminacin Gauss Jordn37.

R3 1/4R3R 1/2R2

R3 3/2R2 R3R2 2/3R2 R3

R2 6/13R24/13R3

R3 R2+R3

R1 R1 - R3

*

*

*

38.

R1 1/2R1

R2 R2+2R1R3 4R2+R3

R2 1/7R2R3 3R2 - R3

x1= 0 x2= 0 x3= 0 Solucin trivial

39.

R1 R3

R1 1/6 R1

R2 R1 - 2R2

R2 -1/6 R2 R3 3R3 - R2

R1 R1 - R2

El sistema no tiene solucin.

40.

R1 1/3 R1

R4 R4 + 2R3R3 3R2 - 5R3R2 5R3 - 3R2

R2 1/3R4 + R1

R2 1/3R4 + R1

Solucin trivial

41.

R1 R1

R3 2 R3 + R1R2 - 1/6 R2

x1= 0 x2= 0 Solucin trivial42.

R1 R2

R1 -1/2 R1

R2 R2 5R1

R2 2 R2

R1 R1 + R2

Solucin trivial43. Determinar que el siguiente sistema de ecuaciones Homogneo sin trivialesa)

R1 R2

R2 R2 R1

R2 R3

R3 3R2+R3

R3 1/6 R3

R1 R1 - 2R2

R2 R2 R3

R1 R1 + 2R3

x1= 0 x2= 0 x3= 0 Solucin trivial

b)

R1 5R1 3 R2

R2 3R2 5 R1

R1 1/8 R1

R2 R2 +R1

Solucin trivial. Varias soluciones

c)

R4 R4 + 2R3R3 R3 R2R2 R3 - R2

R4 3R3 - 2R4R3 R3 R2R2 R2 R3

R4 1/3R4

R1 R1 + 2R4

Solucin trivial. Varias soluciones

Determine el polinomio que interpola estos puntos

44. ;

(1,3)(2,4)(3,7)

R2 9R2 4R3R3 4R3 9R2

R2 -1/2R2

R3 6R2 +R1R1 -1R2 +R1

R3 -3/2R3 +R1R1 1/2R3+R1

Taller 3

45. Hallar D-1

D =

R1 R1

R2 3R1 R2R3 2R1 R3

R2 2R2

R3 R3R1 R1 R2

R1 R1 7 R3R3 11 R3 + R2

D-1 =

La matriz D es no singular.

Deber 4

46. Demuestre que (2x2) es no singular

A=(2x2)

Como el Det A 0, la matriz es no singular.

47. Demuestre que (2x2) es singular

A=(2x2)Como el det A = 0, la matriz es singular.

48. La matriz siguiente es singular o no singular

B=(2x2)

Como el det A 0, la matriz es no singular.

49. La matriz siguiente es singular o no singular

A= R3 R3 - 2R1R2 R2 - 3R1

A= R2 R2 R3 2R3 R2

A= R1 R1 2 R2

A=

A . A-1= , la matriz A es singular.

En los ejercicios del 5 al 10, determine la inversa de las matrices dadas, si esto es posible

50.

1. A=

A= R2 R2 + 2 R1

A= R1 4R1 R2

R1 R1

A= R1 1/12 R2

A=

A-1=

1. B=

B= R2 R1 R2

B= R3 R3 R2

B= R1 R1 2 R2

B= R1 R1 R3

B= R2 R2 R3

B=

B-1=

1.

C=

C= R4 R4 R1R3 R3 R1R2 R2 - R1

C= R4 R4 2R2R3 R3 + 2 R2R1 R1 R2

C= R2 3R2 - 2 R3R4 R4 + 2R3R1 R1 + R3

R1 R1 - 2R4

C= R2 R2 + R4R3 R3 - 2R4

C= R3 -1/3 R3R2 1/3 R2

C=

C-1 =

1. A=

A= R2 R2 - 2 R1

A=

La matriz A no es invertible.

1. B=

B= R3 R3 R1

R2 R2

B= R1 R1 R2

B= R2 R2 3/2 R3

B=

B-1=

1.

C=

R2 R2 + R3

C= R4 R4 R1R3 3R2 + 2R3

C= R4 R4 R1R1 R1 R4R3 R3

R1 R1 R4

C= R4 R4 R1R3 R3

C= R4 -2/5 R4

C= R3 R3 -1/2 R4

C= R3 R3 -1/2 R4

C-1=

51. 1. A=

A= R2 R2 - 2 R1

A= R2 - R2

A= R2 R1 - 3R2

A=

A-1=

1.

B = R2 R2 - R3

B= R4 R4 5R1R3 R2 - R3

R1 R1 R2

B= R4 R4 4R3R3 R2 - R3

B=

B-1 B no es invertible.

1. C=

R2 R2 R1

C= R3 R3 R1

R1 R1 2R2

C= R3 R3 3R2

C= R3 -1/2R3

C= R2 R2 - R3 R1 R1 + R3

C=

C-1=

52. 1. A=

A= R2 R2 R1

A= R3 R2 R3R1 R1 R2

A= R2 R2 2 R3

A=

A-1=

1. B=

B= R3 R3 R1R2 R2 R1

B= R3 R3 R2R1 R1 2R2

B= R2 R3 + R2R1 R1 4R3

B=

B-1=

1.

C=

C= R2 R1 R2

C= R3 R2 R3R1 R1 2R2

C=

C-1 la matriz C no es invertible

53.

A =

R2 R1 + R2

A= R3 R3 - 2R1R4 R4 3R1

R2 R2 + R3

A= R3 5 R3 + 4R2R4 R4 +R2

R1 R1 - 2 R2

A= R3 1/11 R3

A= R4 R3 - R4

A=

A-1 la matriz A no es invertible

Taller 4Calcular el determinante de las siguientes matrices54.

A = Propiedad mA, triangular superior det (A) = a11*a22*a33..*amm

55.

B = Propiedad det (B) = b11*b22*b33..*bmm

56.

C = Propiedad det (C) = c11*c22*c33..*cmm

57.

D=

Deber 5Encontrar la determinante de las siguientes matrices

58. det (I3 D) D=

(I3 D)= -

(I3 D)= -

(I3 D)=

det (I3 D)=

det (I3 D)=

det (I3 D)=

det (I3 D)=

det (I3 D)=

59. det

det =

det =

det =

det =

Taller 5

Resolver por cofactores.60.

A = (4x4)

61. A = (4x4)

62. C = (4x4)

63. D = (4x4)

Deber 6En los ejercicios 3,4y 5 encontrar el determinante mediante cofactores64. a)A=

b)

A=

c)A=

65. a)

A=

b)A=

c)A=

66. b)

A=

b)A=

c)A=

67. En el ejercicio demuestre si las matrices son No singulares mediante el teorema 2 dado en clasea)A=

b)A=

c)A=

BibliografaBernard Kolman. (2006). Algebra lineal. Mxico: Pearson.

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