algunas demostraciones de física y química de 1º de...

Departamento de Física y Química IES “Rey Fernando VI”

Algunas demostraciones de

Física y química

de 1º de bachillerato

Aquí se presentan unos resúmenes de física y química y después unos problemas tipo o

desarrollo de conceptos matemáticos.

Indice: A. RESÚMENES ........................................................................................................................................ 2

1. LEYES PONDERALES Y VOLUMÉTRICAS ............................................................................... 2

2. CONCEPTO DE MOL. LEYES DE LOS GASES .......................................................................... 3

3. DISOLUCIONES. Expresiones de la concentración ....................................................................... 4

4. CINEMÁTICA ................................................................................................................................... 5

B. APLICACIONES ................................................................................................................................... 6

1. PLANO INCLINADO ........................................................................................................................ 6

2. MOVIMIENTO DE MASAS ENLAZADAS ................................................................................... 7

3. PERALTES ......................................................................................................................................... 8

4. CONCEPTO DE DERIVADA ......................................................................................................... 9

5. TRIGONOMETRÍA ........................................................................................................................ 10

6. CALCULO VECTORIAL ............................................................................................................... 13

7. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS ......................................................... 15


A. RESÚMENES

1. LEYES PONDERALES Y VOLUMÉTRICAS

Ley de Lavoisier o ley de conservación de la masa

En una reacción química, la masa de los reactivos es igual a la masa de los productos

de reacción.

Esto equivale a decir que el número de átomos de cada elemento es el mismo en el

primer miembro y en el segundo miembro.

Ley de Proust o ley de las proporciones definidas

Cuando dos o más elementos se combinan para formar un compuesto lo hacen siempre

en una proporción constante, fija o definida.

Ley de Dalton o ley de las proporciones múltiples

Cuando dos elementos se combinan de forma diferente para formar distintos

compuestos, la cantidad de uno de ellos que se combina con una cantidad fija del otro

están en relación de números enteros y sencillos.

Ley de Richter o ley de las proporciones recíprocas

Cuando dos elementos se combinan con un tercero, la cantidad de estos elementos que

se combinan con una cantidad fija del tercero son las mismas, múltiplos o submúltiplos

que cuando estos se combinan entre sí.

Ley de Gay-Lussac o ley de los volúmenes de combinación

En una reacción en la que intervienen gases, los volúmenes de los gases reaccionantes

y de los productos de reacción guardan una relación numérica sencilla, ed las mismas

condiciones de P y T.

Hipótesis de Avogadro

Volúmenes iguales de distintos gases en las mismas condiciones de P y T contienen el

mismo número de moléculas.


2. CONCEPTO DE MOL. LEYES DE LOS GASES

Unidad de masa atómica: u

Es la masa correspondiente a la doceava parte de la masa del isótopo de carbono 12.

Número de Avogadro NA = 6,022 1023

Concepto de mol

Es un número de Avogadro de moléculas (o de cualquier partícula)

La masa de un mol es la masa molecular expresada en gramos (en lugar de u)

El volumen que ocupa un mol de cualquier gas en c.n. es de 22,4 litros

Leyes de los gases ideales

Ley de Boyle Mariotte (transformación a temperatura constante)

Si se mantiene la temperatura constante, el producto de la

presión por el volumen de un gas se mantiene constante

Ley de Charles (transformación a presión constante)

Si se mantiene contante la presión, el volumen varía en relación

directa con la temperatura. (a mayor temperatura mayor volumen)

Ley de Gay-Lussac (transformación a volumen constante)

Si el volumen se mantiene contante, la presión varia en relación

directa con la temperatura (a mayor temperatura mayor presión)

Ecuación de estado de los gases

Ecuación de Klapeyron o de los gases ideales

Donde n es el número de moles de gas

R es la constante de los gases ideales

R = 0,082 atm l/K mol = 8,31 J/K mol = 1,98 cal/K mol

Ley de Dalton o de las presiones parciales

cteVPVP 2211

cteT

V

T

V

2

2

1

1

cteT

P

T

P

2

2

1

1

cteT

VP

T

VP

2

22

1

11

nRTPV

...CBA

PPPP PXP AA


3. DISOLUCIONES. Expresiones de la concentración

Tanto por ciento en masa

Número de gramos de soluto

en 100 gramos de disolución

Tanto por ciento en volumen

Número de cm3 de soluto por 100 cm3

de disolución

Gramos por litro

Número de gramos de soluto por litro de

disolución.

Molaridad

Número de moles de soluto por litro de

disolución

Normalidad

Número de equivalentes de soluto por litro

de disolución

Molalidad

Número de moles de soluto por kilogramo de

disolvente

Fracción molar

Número de moles de soluto respecto al número total de moles

Concepto de peso equivalente o Equivalente-gramo

Peso en gramos de una sustancia que reacciona o se combina con 1 gramo de hidrógeno.

Es la unidad de masa reaccionante de una sustancia. Las sustancias reaccionan

equivalente a equivalente.

)disolución de (litros

soluto) de (moles

V

nM


soluto) de tes(equivalen

V

nN

)disolvente de (kg

soluto) de (moles

M

nm

ds

s

s

nn

nX

100)disolución de (cm

soluto) de (cm vol%

3

3

V

v

100)disolución de (gramos

soluto) de (gramos peso %

Disolm

m


soluto) de (gramos /

V

mlg

valencia

PMPeq

MvalNvalenciann · · moles de ºesequivalent de º


4. CINEMÁTICA

Leyes del MRU Leyes de la Caída libre

Leyes del MRUA

Tiro oblicuo

Tiro horizontal

Relación entre magnitudes

lineales y angulares

Coordenadas de la aceleración

MCU MCUA

tve

ctev

eavv

tatvee

tavv

ctea

2

2

1

2

0

2

2

00

0

hgvv

tgtvhh

tgvv

ga

2

2

1

2

0

2

2

00

0

tvx

vvx

0

0

2

2

1tgy

tgvy

tvx

vvx

cos

cos

0

0

2

0

0

2

1tgtsenvy

tgsenvvy

g

senvx

máx

)2(

0)y cuando(x :máximo Alcance2

0

t

cte

2

2

1

2

0

2

2

00

0

tt

t

cte

g

senvy

máx2

0)Vy cuando(y :máxima Altura22

0

ra

rv

rs

NT

NT

ur

vu

dt

dva

aaa

2


B. APLICACIONES

1. PLANO INCLINADO

Calcular la aceleración del sistema formado por dos cuerpos de masas 2 y 5 kg que se

deslizan por sendas vertientes de 30º y 60º de inclinación. El coeficiente de rozamiento

entre los cuerpos y los planos inclinados es de 0,15. Determinar la aceleración del

sistema y la tensión de la cuerda.

Ecuaciones para el cuerpo m2

Ecuaciones para el cuerpo m1

Sumando la ecuación (1) y (2) se calcula la aceleración y la tensión de la cuerda.

22

22

222

NF

NP

amTFP

R

y

Rx

)1(cos

cos

222

222

222

222

222

amTgmsengm

amTPsenP

amTPP

amTNP

amTFP

yx

x

Rx

11

11

111

NF

NP

amFPT

R

y

Rx

)2(cos

cos

111

111

111

111

111

amgmsengmT

amPsenPT

amPPT

amNPT

amFPT

yx

x

Rx

agsengmT

mm

gmsenmmsenma

cos

)(

coscos

1

21

1122

P1y

T

P2xFr1

P1

P2

Fr2

P2y

N2N1

a = 3,773 m/s2

T = 19,89 N


2. MOVIMIENTO DE MASAS ENLAZADAS

Movimiento de masas enlazadas

Supongamos dos masas m y m’ enlazadas por un hilo de masa despreciable, que pasa

por la garganta de una polea de masa también despreciable en comparación con m y m’.

Si m > m’ el sistema se pondrá en movimiento con aceleración a.

P

T

P

T

)(

)'(

)'(

)'('

:sexpresione ambas sumando también o

''

agmT

mm

gmma

ammPP

amPT

amTP


3. PERALTES

Peralte sin rozamiento:

Un motorista da vueltas alrededor de una pista circular de 100 m de diámetro y que

posee un peralte de 30º. Calcula la velocidad de la motocicleta en km/h, para que el

sistema se mantenga en posición perpendicular a la pista.

Peralte con rozamiento:

1. Deducir la ecuación que nos dé el valor mínimos del radio que puede tener una curva de la carretera

para que un automóvil que la recorre a la velocidad v km/h, no se deslice hacia el exterior suponiendo que

el coeficiente de rozamiento es = 0,5.

2. Deducir la ecuación anterior en el supuesto de que la curva tenga un peralte de grados.

Soluciones:

1.

2.

hkmsmv

tggRv

gR

vtg

R

vmN

mgN

amN

PN

cx

y

/6,57/8,16

sen

cos

2

2

N

PFR

cR amF

PN

R

vmN

mgN

2

mg

vR

2

N

P

Nx

Fry

Frx

cRxx

Ryy

amFN

FPN

R

vmNsenN

senNmgN

2

cos

cos

R

v

sen

gsen

sen

g

mgsenN

2

cos)(cos)(cos

)(cos

tg

tg

g

vR

12


4. CONCEPTO DE DERIVADA

A lo largo de las explicaciones nos henos encontrado a menudo con el concepto de derivada de una

función.

Decimos que y es una función de x y escribimos y = f(x), cuando la y (que llamamos variable

dependiente) toma valores que dependen de x (que llamamos variable independiente). En física nos

encontramos con que la posición, la velocidad o la aceleración son función del tiempo, dependen del

tiempo.

Si deseamos saber como varía una función y(x) en un determinado intervalo de x, haremos: x

y

.

Pero si x es extremadamente pequeño, estamos analizando dicha variación en el límite en que x es

igual a cero, en un instante. En este caso escribimos lo siguiente:x

y

x

0

lim .

Este valor límite es lo que se conoce como derivada de y con respecto a x. En física, al tratar con

funciones contínuas, lo escribimos del siguiente modo: dx

dy .

Desarrollando lo que hemos dicho hasta ahora:

x

xyxxy

x

y

dx

dy

xx

)()(limlim

00

Calculo de la derivada de la función y = xn

Aplicando la definición anterior, escribimos:

x

xxx

x

y

dx

dy nn

xx

)(limlim

00

Teniendo en cuenta el desarrollo del binomio de Newton:

...2

)1(

...3210

)(

221

33221

xxnn

xnxx

xxn

xxn

xxn

xn

xx

nnn

nnnnn

Donde se pueden despreciar todos los términos a partir de ∆x2. Y sustituyendo en la definición de

derivada:

11

000

...)(lim

)(limlim

n

nnn

x

nn

xx

nxx

xxnxx

x

xxx

x

y

dx

dy

5. TRIGONOMETRÍA

El término trigonometría proviene del griego trigono y metro, que juntos

Significan «medida de tres lados» o «medidas en un triángulo».

Seguramente no exageramos si te decimos que ésta es una de las herra-

mientas matemáticas más utilizadas en Física. Cualquier magnitud

vectorial que se descomponga lo hará siguiendo las normas o definiciones

trigonométricas que vamos a ver.

Centraremos nuestra atención en los triángulos rectángulos. Observa con

atención los triángulos que aparecen en la figura 1. Los dos tienen el

mismo ángulo agudo α y, en consecuencia, todos sus ángulos son iguales.

Sin embargo, sus lados no lo son. Ahora bien, si mides con una regla, te

darás cuenta de que las distintas relaciones que establezcas entre los lados

de los triángulos (por separado) valen lo mismo en ambos casos.

Comprueba que:

Si ambas relaciones son ciertas, también lo será la siguiente relación:

Por tanto, podemos sacar una conclusión

importante:

Si dos triángulos tienen ángulos iguales, las relaciones entre sus lados

tienen valores iguales.

Observa ahora los triángulos de la figura 2. En el triángulo de menor

ángulo, la relación

AB/OB es menor que

la relación A'B'/O'B'

del triángulo de mayor

ángulo. Concretamente, dicha relación aumenta a medida que lo hace el

ángulo. Esto nos sugiere que:

Podemos usar la relación entre los dos lados de un triángulo para medir

sus ángulos.

Hemos visto que pueden definirse tres relaciones entre los tres lados. Sin

embargo, también es posible definir las tres relaciones inversas (AB/OB o

bien OB/AB, por ejemplo). Por tanto, podemos establecer seis relaciones

entre los tres lados del triángulo (tablas 1 y 2).

Las distintas relaciones entre los lados de un triángulo se denominan

“funciones trigonométricas”.

Veamos ahora algunas identidades o igualdades trigonométricas de

interés que aparecen en ciertos desarrollos de la asignatura:

Por otra parte:

OD

OC

OB

OAquey

OD

CD

OB

AB

CD

OC

AB

OA

αsen1cos αyαcos1en αde donde s

1αcosαsen

22

22

αcos

α1-cos

α1-sen

αsen

αcos

αsenαtg

2

2

O B D

C

A

BO

A

O

A’

B’

a

b

c

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

a

b

hipotenusa

opuestocatetosen

a

c

hipotenusa

contiguocatetocos

c

b

contiguocateto

opuestocatetotg

Tabla 1

b

a

sen

1cosec

c

a

cos

1sec

b

c

tg

1ctg

Tabla 2

cosα2senα2αsen :entonces β,α Si

senβcosαcosβsenαβ)(αsen

Funciones circulares:

Relaciones: Ecuación fundamental: sen2 α + cos2 α = 1

Valores trigonométricos más usuales:

Convertir ángulos a radianes: 180º = π rad

Grados 0 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

rad 0 4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4 2

3

3

5

4

7

6

11

2

Seno 0 2

2

2

3 1

2

3

2

2

2

1 0

2

1 2

2

2

3

-1 2

3

2

2

2

1 0

Coseno 1 2

2

2

1 0

2

1 2

2

2

3

-1 2

3

2

2

2

1 0

2

1

2

2

2

3 1

tangente 0 1 3 ± ∞ 3

-1 3

3

0 3

3 1 3 ± ∞ 3

-1 3

3

0

Funciones recíprocas: Funciones inversas:

Definición Recorrido Periodo Discontinuidad

sen α b [-1, +1] 2π -

cos α a [-1, +1] 2π -

tg α c R π π/2 + kπ

Complementarios

cossen

2

sencos

2

Suplementarios sensen coscos

Difieren en π sensen coscos

Difieren en π/2

cossen

2

sencos

2

Opuestos sensen coscos

a

b

sen +cos +

sen +cos –

sen –cos – sen –

cos +

c

Circunferencia goniométrica (r = 1)

αtg

1αctg

αcos

1αsec

αsen

1αcosec

xtgxarctg

xcosxarcos

xsenxarcsen

Las funciones recíprocas,

en la calculadora están

señaladas como sen-1, cos-1

y tg-1, y suelen estar en las

mismas teclas que el sen,

cos y tg pero en otro color.

Las funciones inversas no

se utilizan como tales.

Fórmulas trigonométricas:

Adición y ángulo doble:

Ángulo mitad:

Transformaciones:

αtg1

αtgs: tg 2αβ, entonceSi α

βtgtgα1

βtgαtgβ)(αtg

2

2

αsenαcoss: cos 2αβ, entonceSi α

senβsenαcosβcosαβ)(αcos

22

cosα2senαs: sen 2αβ, entonceSi α

senβcosαcosβsenαβ)(αsen

αcos1

αcos1tg

2

αcos1

2

αcos

2

αcos1

2

αsen

2

cosβcosα

βαsenβtgαtg

2

βαsen

2

βαsen2βcosαcos

2

βαcos

2

βαcos2βcosαcos

2

βαcos

2

βαsen2βsenαsen

6. CALCULO VECTORIAL

A lo largo del curso de Física te encontrarás con dos tipos de magnitudes:

Magnitudes escalares o numéricas. Son aquellas que quedan definidas por

completo con un valor numérico. Son un ejemplo de éstas la masa, la

temeratura, el tiempo, el volumen y la densidad entre otras. (ejemplo la masa de

un cuerpo son 5 kg, sin dar más explicaciones).

Magnitudes vectoriales. Son aquellas que quedan definidas mediante tres

atributos:

- Módulo: que nos indica su valor numérico.

- Dirección: la recta sobre la qua actúa.

- Sentido: toda dirección tiene dos sentidos.

Las magnitudes vectoriales se representan como las escalares pero colocando

una flecha encima del símbolo.

Notación vectorial

Para distinguir las magnitudes vectoriales de las escalares se representan

colocando una flecha encima. Por ejemplo: F

Empleo de vectores unitarios

Cuando indicamos que un cuerpo mide 8 m queremos decir que mide 8 veces 1

m.

Con las magnitudes vectoriales hacemos lo mismo y decimos que un vector v es

v veces el vector unitario u y lo escribimos así: uvv . Donde 1u .

Como los vectores pueden tener cualquier dirección definimos los siguientes

vectores:

- Vector unitario en la dirección OX: i o bien xu

- Vector unitario en la dirección OY: j o bien yu

- Vector unitario en la dirección OZ: k o bien zu

Representación gráfica de vectores

Los vectores se representan por medio de segmentos orientados. Una flecha

cuya longitud es proporcional al módulo, cuya dirección es la recta de aplicación

y el sentido el que indique la dirección de la flecha

Operaciones con vectores

Suma y resta de vectores

Se colocan los vectores uno a continuación del otro, uniendo el extremo del

primero con el origen del siguiente, La resultante o la suma se obtiene uniendo

el origen del primero con el extremo del último.

Cuando se trata de dos vectores, la resultante es la diagonal y se puede calcular por el teorema del coseno.

Cuando queremos determinar el valor de la resultante de la suma de varios vectores es preciso descomponer

todos los vectores en sus componentes cartesianas o rectangulares, posteriormente se suman todas las

componentes en el eje x y todas las componentes en ele eje y obteniendo así la resultante.

Restar vectores es sumar el opuesto. Así )( 2121 VVVV .

Magnitudes escalares:

Masa m

Tiempo t

Temperatura T

Trabajo W

Presión p

Magnitudes vectoriales:

Posición r

Velocidad v

Aceleración a

Fuerza F

El vector jV 8 o bien

yuV 8 representa un

vector cuyo módulo es 8 en

la dirección del eje OY.

V1

V2

R

R = V + V + 2V V cos2 2

1 2 1 2

2

Teorema del coseno

Descomposición de vectores, componentes de un vector

Dado cualquier vector, se puede descomponer según sus coordenadas cartesianas o rectangulares del siguiente

modo:

yyxx uVuVV donde αcosVVx y αsenVVy

Producto de vectores

Se definen dos tipos de productos entre vectores: El producto escalar y el

producto vectorial.

Producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores es un escalar, cuyo valor es el producto de

los módulos por el coseno del ángulo que forman.

Se expresa así: αcos·VVVV 2121

Si los vectores están expresados en coordenadas cartesianas o rectangulares:

2y1y2x1x21 ·VV·VVVV

Un ejemplo de producto escalar es el trabajo realizado por una fuerza cuando se produce un desplazamiento:

αcosrFr·FW .

Producto vectorial de vectores

El producto vectorial de dos vectores es otro vector, cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del

ángulo que forman, cuya dirección es perpendicular a ambos vectores y cuyo sentido es el del giro del

sacacorchos (o tornillo) cuando gira del primero al segundo.

Se expresa así: αsen·VVVV 2121

Si los vectores están expresados en coordenadas cartesianas o rectangulares:

z2x1y2y1x21 u·VV·VVVV

Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto: αsenFrFrM .

Vx

VyV

x

y

V2

V1V

7. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

A veces no podemos medir directamente el valor de una magnitud y sólo podemos conocerlo utilizando una

fórmula. El resultado obtenido mediante dicha fórmula también tiene una imprecisión que dependerá de la

imprecisión con que conozcamos las magnitudes que intervienen en la fórmula.

Por ejemplo para determinar un área es preciso realizar dos medidas de longitud.

Por lo tanto debemos conocer previamente los valores de las magnitudes que intervienen en la fórmula y sus

imprecisiones.

Método de logaritmo neperiano.

Primero se toman logaritmos neperianos y se deriva la expresión cambiando los diferenciales por incrementos.

Ejemplo-1: Determinación del error absoluto en la medida del periodo de un péndulo.

Para calcular el periodo de un péndulo medimos con un cronómetro de sensibilidad 0,1s diez oscilaciones

obteniendo 5,2 s. Dividimos por diez y una oscilación tarda 0,52 s. Su imprecisión la calculamos según lo dicho

más arriba.

Periodo: T=t/10 T=5,2/10=0,52 s ;

Error absoluto del periodo: ·tT Er T ΔT=(0,1/5,2)·0,52=0,01

Se disminuye la imprecisión por un factor de 10 T=0,52 ± 0,01

Este método de medir varios procesos y luego dividir para hallar el tiempo de uno, reduce la incertidumbre de la

medida.

Ejemplo-2: Determinación del error absoluto en la medida del área de un rectángulo.

La superficie de un rectángulo de lados 12,3 ± 0,1 cm y 8,2 ± 0,1 cm es: 12,3·8,2=100,86 cm2. Su imprecisión la

determinamos:

Superficie de un rectángulo: S = a·b S= 12,3 · 8,2 = 100,86 cm2.

Error absoluto de la superficie: a b

S Sa b

ΔS=[(0,1/12,3)+(0,1/8,2)]·100,86 = 0,83 cm2.

La imprecisión o incertidumbre de la medida es de 0,9 cm2 (se toma en exceso)

El resultado de la medida será A = 100,8 ± 0,9 cm²

Por lo tanto tenemos certeza sólo de que la superficie estará entre 99,9 y 101,7 cm².

Consideraciones generales para fórmulas más complejas:

Ejemplo-3: Determinación del error absoluto en la medida del volumen de una esfera.

Si la fórmula tiene exponente, constantes numéricas y números irracionales, se procede como en este ejemplo:

VR

RV

R

R

V

V

R

dRd

V

dV

RV

RV

333

ln3ln3ln4lnln

3

4 3

TErTt

t

T

T

t

dt

T

dT

tT

tT

t ·

lnln

10

Sb

b

a

aS

b

b

a

a

S

S

b

db

a

da

S

dS

baS

baS

ln·lnln

·

Reglas Cálculo de errores en medidas indirectas

1. Siempre se suman los errores relativos de cada magnitud aunque aparezcan en el denominador y este quede

negativo al tomar logaritmos (las imprecisiones son siempre aditivas).

2. Las constantes numéricas no introducen error y al derivar desaparecen (en el ejemplo anterior el 4 y el 3).

3. Los números irracionales (que tienen infinitas cifras decimales van acompañados de imprecisión según el

número de cifras significativas que se tomen y no se suprimen) se toman con tantas cifras decimales como sean

necesarias para que introduzcan menos error que el dato de la fórmula conocido con menor error. En general un

decimal más que el dato medido con más precisión.

4. Se efectúa un redondeo en la imprecisión calculada (dejando solo una cifra significativa en el error absoluto) y

ésta condiciona la expresión del resultado.

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