AO DE LA CONSOLIDACION DEL

MAR DE GRAU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

TRABAJO ENCARGADO N 2

CURSO:

Modelacin y Planeamiento de Minado.

DOCENTE:

Ing. Martin Zeta Flores.

ALUMNO:

Talledo Ayala Darwin

FECHA:

28 de Enero de 2016

INTRODUCCION

Son muchos los factores que intervienen en el diseo y planificacin de las

explotaciones mineras, lo que hace de sta, una formidable y complicada tarea.

No es de extraar pues, que no exista ningn algoritmo matemtico que

sea capaz de encontrar una solucin ptima, al menos, si hablamos de este

trmino en un sentido totalmente estricto y riguroso. Lo que s que existen, son

algoritmos que una vez fijados implcita o explcitamente un conjunto amplio de

parmetros, y bajo la supervisin del diseador o planificador minero, ofrecen

distintas alternativas, que resultaran ms o menos operativas o factibles; en

funcin a la cantidad y calidad de los parmetros de entrada que el modelo

puedo aceptar.

El empleo de algoritmos necesita de un modelo del yacimiento, en forma

de bloques rectangulares tridimensionales, que a su vez puedan estar formados

por varios bloques menores y que puedan tener en su interior informacin muy

variada concerniente a sus dimensiones y coordenadas, al tipo y densidad del

material al que representa, leyes o cantidades de metal(es), taludes de

excavacin, etc.

Al final, para cada bloque, toda esta informacin se condensa en:

1. El valor neto del mismo o suma de los ingresos menos la suma de los

costos imputables a la extraccin de ese nico bloque, supuesto que este

valor es independiente de la secuencia de extraccin.

2. Un fichero de arcos, que representa el conjunto de bloques que hay que

extraer, de acuerdo con los taludes de la excavacin, para posibilitar la

salida del bloque considerado

TEORIA DE LANE

Uno de los problemas ms difciles en una operacin minera es como

determinar la ley de corte optima de minado, durante la vida til de la mina que

maximice el valor presente neto (VPN) de la operacin

Maximizar el VAN de una operacin minera est sujeto a diferentes

limitaciones, es un problema de programacin lineal. La optimizacin de la ley

de corte es usada para determinar la estrategia de operacin de minado que va a

maximizar la rentabilidad total de la mina.

En 1964 Kenneth F. Lane public uno de los artculos ms importantes en

el mundo de la ingeniera de minas que describa un algoritmo capaz de brindar

un secuenciamiento de leyes de mineral para obtener el mximo VAN tomando

como restricciones a la MINA, la PLANTA y/o la REFINERIA.

Lane abordo la tarea de la definicin econmica de mineral, desde el punto

de maximizacin del sumatorio de los flujos de caja actualizados (V) producidos

por la operacin minera.

A continuacin se definirn cada una de las etapas por las que el mineral

pasa:

1. MINA: comprende el proceso de extraccin mediante palas ya sean

estas hidrulicas o elctricas y volquetes mineros de gran capacidad.

a. Capacidad de Mina (M): Comprende a la capacidad tanto del

mineral como del desmonte y nos dice que tan rpido se puede

explotar el pit.

b. Costo de Mina (m): Sus costos abarcan la perforacin, voladura,

carguo y transporte.

2. PLANTA: Comprende los procesos de concentracin de mineral

obtenido de la mina y busca incrementar el valor del producto final

haciendo uso de procesos metalrgicos.

a. Capacidad de Planta (C): Representa la cantidad de toneladas

que la planta puede procesar en forma ptima para generar

concentrado.

b. Costo de Planta (c): Estos abarcan los costos de chancado,

moliendo y costos respectivos al proceso metalrgico

seleccionado.

3. REFINERIA: Comprende procesos de purificacin del mineral

obtenido de planta para poder obtener el metal puro.

a. Capacidad de Refinera (R): Representa la cantidad de metal

que la refinera puede entregar asumiendo una continua

alimentacin por parte de planta.

b. Costo de Refinera (r): Abarcan los costos de fundicin,

refinera, fletes, seguros, etc.

Costos Fijos (f): Son aquellos costos que no varan al variar la produccin

en mina pero terminan junto con la vida de la mina, por ejemplo los costos

administrativos, de mantenimiento, vas de acceso, etc.

Recuperacin (y): Representa la cantidad de mineral alimentado a planta

que no llego a formar parte del producto final.

Precio de Venta (s): Es el precio de venta establecido por el mercado para cada

metal y vara en funcin de muchas variables tanto econmicas como polticas.

Adems tendremos las siguientes cantidades propias de cada mina

consideradas en un periodo de tiempo (T):

Qm: Cantidad de material a ser minado.

Qc: Cantidad de mineral a ser enviado a planta.

Qr: Cantidad de producto final (metal) producido.

Kenneth. F. Lane parte de las siguientes ecuaciones bsicas de la minera para

lograr su algoritmo:

Costos Totales

= + + +

Ingresos

=

Ganancias

= ( )

Recordemos estas frmulas expresadas para poder agregar la siguiente

que se basa en valor presente neto:

Si fijamos un periodo T entonces tendremos dos valores: el valor obtenido

del proceso de minado durante el periodo T y el valor obtenido del proceso de

minado realizado despus con los remanentes del proceso del periodo T, estos

sern PVp y PWw respectivamente.

( = ) =

( + )

( = ) =

( + )

Donde d es una tasa de descuento.

El valor presente neto seria la suma de estos dos valores:

=

( + )+

( + )

( + ) = +

Podemos obtener la diferencia entre el valor presente V y los valores

remanentes W a un periodo T variable, lo denominaremos v:

=

Reduciendo la expresin (1+d)T tendremos que por expansin binomial:

( + ) = + +( )

!+

( )( )

!+

Analizando que para d que generalmente toma valores entre 0.08 y 0.15

los cuales son muy bajos 2

2!. Esta expresin variar entre 0.0032 y 0.01125 que son

valores muy prximos a 0 (cero), estos valores tendern ms a 0 en 3

3! Por lo que

solo asumiremos esta igualdad.

( + ) = +

Si combinamos esta expresin con la de valor presente tendremos:

+ = ( + ) = +

= =

Combinando la ecuacin de ganancia con sta ltima ecuacin, tenemos:

= ( ) ( + )

A continuacin calcularemos las leyes de corte asumiendo primero 3 escenarios

que son:

La mina como restriccin.

La planta como restriccin.

La refinera como restriccin.

1. La mina como restriccin: El periodo T estar definido por la cantidad a

minar Qm entre la capacidad de la mina M.

Tm = Qm/M

Entonces tendremos:

= ( ) ( +( + )

)

Derivando respecto a la ley (g) tenemos:

= ( )

( +( + )

)

Como minaremos material y NO mineral, esta cantidad Qm no depender de la

ley (g), por lo que:

=

Adems la relacin entre las cantidades Qr y Qc es:

=

Donde es la ley media enviada a concentradora y y la recuperacin

metalrgica diferenciando esta ltima ecuacin en funcin de la ley g.

=

Adems esta ley se puede definir como la ley de corte de minado cuando

=

Al reemplazar todas estas expresiones en la ecuacin inicial obtenemos:

=

( )

OJO: esta ecuacin no depende del valor presente.

2. La planta como restriccin: Si la planta es restriccin de forma similar al

caso anterior tendremos:

= ( ) ( +( + )

)

Dado que la ley de corte solo afecta a Qr y Qc y no a Qm, pues el material

debe removerse de todas formas, entonces:

=

Por lo tanto tendremos:

= +

+

( )

3. La refinera como restriccin:

=

( +

)

EJEMPLO DE APLICACIN:

Datos:

Costo mina 1.32 $/t

Costo planta 3.41 $/t

Capacidad de mina 12 000 000 t/ao

Capacidad de tratamiento 3.9 000 000 t/ao

Capacidad de venta 900 t/ao

Costos fijos 11.9 000 000 al ao

Precio 60 $/kg

Recuperacin 87 %

Costo de Oportunidad 15.2 millones.

Ley de Corte para capacidad mxima de mina.

= ( ) ( + [

])

0

=.

() . = . /

=. +

. + . .

() . = . /

=.

( . + .

. ) . = . /

La teora de Lane es un criterio optimizante que pretende incorporar el

costo de oportunidad tanto en la definicin de la envolvente econmica como en

la definicin de mineral en el tiempo.

El ptimo de produccin se produce en el punto donde la estrategia de

produccin paga los costos marginales y los costos de oportunidad.

Modelo descrito por el algoritmo de Lane.

La eleccin de la ley de corte afecta directamente las utilidades.

Se examinan los principios que determinan la mejor eleccin en lo que

respecta a la ley de corte, bajo diferentes circunstancias.

Los 3 criterios econmicos ms importantes que pueden ser aplicados son:

Caso I: Mximo Valor Presente.

Caso II: Mximas Ganancias Totales.

Caso III: Mximas Ganancias Inmediatas.

Ley de Corte Marginal: Si el precio del metal aumenta, la ley de corte disminuye.

Ocurre lo contrario si el precio del metal disminuye.

= +

( )

C1: Costo Mina ($/t) C2: Costo Planta ($/t)

C3: Costo Refinamiento ($/metal) P: Precio del metal ($/metal)

R: Recuperacin Metalrgica.

Parmetros de formulacin del Algoritmo de Lane

Etapas del Proceso

Capacidad Mxima

Costos Unitarios

Mina M m

Proceso H h

Mercado K k

Flujo de Caja

= ( )

x, proporcin de mineral con respecto al material removido.

Sea V el valor mximo de los flujos de caja actualizado. W el valor mximo

de los flujos de caja actualizados despus de extraer Q

= +

(1 + )

Si T es pequeo, entonces (1 + ) 1 +

f Costos Fijos $/ao

p Precios $/metal

gc Ley de Corte %/metal

gm Ley Media %/metal

y Recuperacion

d Costo de Capital

Reemplazando:

= ( ) ( + )

Esta frmula representa el incremento marginal del VAN que conduce a

maximizarlo siguiendo una estrategia determinada.

El parmetro dV representa el costo de oportunidad de postergar los flujos

de caja futuros en el periodo T integrando el valor del dinero en el tiempo.

La frmula considera un escenario econmico constante en el tiempo.

Incorporando las condiciones variables del mercado en la formula anterior.

= ( ) ( + [

])

=

F, corresponde al costo de oportunidad, se compone de dos partes:

- El costo de asignar capital a un bien en vez de invertir en un bien

alternativo (dV)

- La variacin del valor de este bien debido a condiciones variables en el

mercado (-dV/dT)