algoritmo de lane

AYUDANTÍA N°7Economía MineraAlgoritmo de LaneAplicación en explotación a cielo abierto de subproductosAYUDANTES:Vanessa Osorio VergaraFelipe Quezada Castañeda

CASO DE ESTUDIO N°1

En el mercado mundial de metales, las tendencias de los precios del cobre y molibdeno abren las expectativas de llevar a producción el prospecto MAMIYA de Cu-Mo. El total de las reservas mineralizadas estimadas están contempladas completamente en los límites del rajo final, y totalizan 150 millones de toneladas. Un exhaustivo análisis del tonelaje y leyes en las categorías de Cu y Mo fue realizado a partir de la información de sondajes, cuyos resultados se muestran en las Tablas 1, 2 Y 3.


La inversión capital total para la planta, accesos, agua, energía, servicios, ingeniería, oficinas y las capacidades establecidas para el proyecto se entregan a continuación. Para estimar el valor, el molibdeno se transforma a cobre equivalente de acuerdo a los factores económicos y tecnología de procesos del proyecto, lo cual permite representar diferenciales de precio y la relativa volatilidad del mercado.


Desarrollar, en forma clara y fundamentada, el modelo matemático que emplee los factores de leyes equivalentes para encontrar la ley de corte óptima mediante la consideración de los costos de oportunidad. A continuación, determinar la ley de corte y el máximo valor presente para el año 1, y comentar sus resultados.


Información base:

• Capacidad Mina 30 Mtpa

• Capacidad Concentradora 12.25 Mtpa

• Capacidad Refinería Cu 0,1 Mtpa

• Capacidad Refinería Mo 0,03 Mtpa

• Costos Mina 3.5 US$/t

• Costos Concentración 8.5 US$/t

• Costos Refinación Cu 600 US$/t

• Costos Refinación Mo 3000 US$/t

• Costos fijos 1.2 MUS$/año


Información base (continuación):

• Precio cobre 4100 US$/t

• Precio molibdeno 12000 US$/t

• Recuperación cobre 90%

• Recuperación molibdeno 60%

• Costo de capital 12%


M O L I B D E N O (%)Ley de cobre

(%)0.0 – 0.04 0.041 – 0.08 0.081 – 0.120

0.0 – 0.1 13000 10000 60000.1 – 0.2 8000 6000 40000.2 – 0.3 10000 6000 40000.3 – 0.4 12000 8000 50000.4 – 0.5 8000 5000 30000.5 – 0.6 6000 3000 20000.6 – 0.7 5000 4000 3000

> 0.7 6000 7000 6000Tabla 1: Distribución de tonelaje v/s ley de Cu y Mo (kt)



(%)0.0 – 0.04 0.041 – 0.08 0.081 – 0.120

0.0 – 0.1 0.02 0.03 0.040.1 – 0.2 0.10 0.20 0.200.2 – 0.3 0.30 0.30 0.300.3 – 0.4 0.30 0.30 0.400.4 – 0.5 0.40 0.50 0.500.5 – 0.6 0.50 0.60 0.600.6 – 0.7 0.70 0.60 0.60

> 0.7 1.00 1.04 1.02Tabla 2: Ley media de Cu a diferentes intervalos de Cu y Mo



(%)0.0 – 0.04 0.041 – 0.08 0.081 – 0.120

0.0 – 0.1 0.002 0.026 0.0520.1 – 0.2 0.017 0.031 0.0600.2 – 0.3 0.011 0.028 0.0660.3 – 0.4 0.031 0.042 0.0580.4 – 0.5 0.006 0.035 0.0540.5 – 0.6 0.012 0.039 0.0700.6 – 0.7 0.014 0.029 0.062

> 0.7 0.009 0.038 0.063Tabla 3: Ley media de Mo a diferentes intervalos de Cu y Mo

CASO DE ESTUDIO N°1 – SOLUCIÓN

Lo primero es generar las ecuaciones que definan las leyes de corte económicas para un modelo de red capacitada de Cu-Mo, con conversión a Cu equivalente, en el cual el complejo minero está conformado tal y como se observa en la Figura.

Mina Planta Refinería𝑄𝑐𝑄𝑚

𝑚𝑄𝑟

𝑐

𝑟

CASO DE ESTUDIO N°1 – SOLUCIÓN

La construcción de las ecuaciones de leyes de corte económicas ya es un tema visto en problemas anteriores, así que se procederá de forma más sistemática. En primera instancia, en el enunciado se establece que el modelo debe construirse considerando los costos de oportunidad. Así, las ecuaciones respectivas deben ser establecidas a partir del algoritmo de Lane.

CASO DE ESTUDIO N°1 – SOLUCIÓNConstrucción del modelo

De la ecuación de ingresos (incluyendo cargos por maquila de fundición y refinación):

Generaremos un arreglo algebraico en la ecuación anterior multiplicando el segundo término, que corresponde al subproducto, por un “1” conveniente:


Factorizando la expresión anterior, se tiene que:

A partir de la ecuación establecida antes, se definirán los siguientes parámetros.

CASO DE ESTUDIO N°1 – SOLUCIÓN Construcción del modelo

La expresión , es llamada factor de equivalencia. Mientras que la expresión , es llamada ley equivalente con respecto al producto principal. Por lo tanto, el ingreso puede expresarse como:


Además, los costos vienen dados por:

Luego, el beneficio es:

Sin embargo, de las ecuaciones de Lane sabemos que es el valor presente de la explotación, siendo el costo de oportunidad asociado.


Por lo tanto, la función a maximizar es el valor presente, dado por:

De lo anterior, se tienen tres casos importantes a considerar.


1. Mina limita la operación: En este caso, se tiene que . Reemplazando en la ecuación de valor presente, se tiene que:

Derivando la expresión anterior con respecto a la ley, se tiene que:


Dado que es constante, la última derivada de la expresión anterior es nula. Por condición de máximos, anulando la expresión anterior:

Despejando la ley, se tiene que la ley de corte económica - mina se define como:


2. Concentradora limita la operación: En este caso, se tiene que

. Reemplazando en la ecuación de valor presente, se tiene que:




Despejando la ley, se tiene que la ley de corte económica - concentradora se define como:


3. Refinería limita la operación: En este caso, se tiene que . Reemplazando en la ecuación de valor presente, se tiene que:




Despejando la ley, se tiene que la ley de corte económica - refinería se define como:

CASO DE ESTUDIO N°1 – SOLUCIÓNDeterminación de DTL Global

Ya establecidas las ecuaciones de leyes de corte económicas para el proyecto, se deben calcular los flujos de material circulante en la red. Lo primero es generar la fórmula de leyes equivalentes a partir de la ecuación definida en la construcción del modelo:


Calculamos el factor de equivalencia:

Por lo tanto:


Además, deben obtenerse los tonelajes parciales globales de cada intervalo de clase (referido al cobre) y las correspondientes leyes medias por intervalo de clase (también referido al cobre) de cobre y molibdeno, tal y como se muestra en las Tablas 4, 5 y 6.



(%)0.0 – 0.04 0.041 – 0.08 0.081 – 0.120

TON PARCIAL

0.0 – 0.1 13000 10000 6000 29000

0.1 – 0.2 8000 6000 4000 18000

0.2 – 0.3 10000 6000 4000 20000

0.3 – 0.4 12000 8000 5000 25000

0.4 – 0.5 8000 5000 3000 16000

0.5 – 0.6 6000 3000 2000 11000

0.6 – 0.7 5000 4000 3000 12000

> 0.7 6000 7000 6000 19000Tabla 4: Distribución de tonelaje v/s ley global de Cu y Mo (kt)


M O L I B D E N O (%)

Ley de cobre (%) 0.0 – 0.04 0.041 – 0.08 0.081 – 0.120LEY MEDIA COBRE

(%)

0.0 – 0.1 0.02 0.03 0.04 0.0276

0.1 – 0.2 0.10 0.20 0.20 0.1556

0.2 – 0.3 0.30 0.30 0.30 0.3000

0.3 – 0.4 0.30 0.30 0.40 0.3200

0.4 – 0.5 0.40 0.50 0.50 0.4500

0.5 – 0.6 0.50 0.60 0.60 0.5455

0.6 – 0.7 0.70 0.60 0.60 0.6417

> 0.7 1.00 1.04 1.02 1.0211

Tabla 5: Ley media de Cu a diferentes intervalos de Cu y Mo


M O L I B D E N O (%)

Ley de cobre (%)

0.0 – 0.04 0.041 – 0.08 0.081 – 0.120LEY MEDIA MOLY

(%)

0.0 – 0.1 0.002 0.026 0.052 0.0206

0.1 – 0.2 0.017 0.031 0.060 0.0312

0.2 – 0.3 0.011 0.028 0.066 0.0271

0.3 – 0.4 0.031 0.042 0.058 0.0399

0.4 – 0.5 0.006 0.035 0.054 0.0241

0.5 – 0.6 0.012 0.039 0.070 0.0299

0.6 – 0.7 0.014 0.029 0.062 0.0310

> 0.7 0.009 0.038 0.063 0.0367

Tabla 6: Ley media de Mo a diferentes intervalos de Cu y Mo


En las tablas anteriores:


Con los datos calculados con anterioridad, y utilizando la fórmula de ley equivalente determinada previamente, se construye la distribución de tonelaje v/s ley equivalente global del depósito, calculando los flujos de material circulante en nuestra red de unidades productivas, tal y como se muestra en la Tabla 7.


Cobre (%)

Ton (kt)

Ley Cu (%)

Ley Mo (%)

LeyEquiv.

(%)

Qc (kt)

Fino (kt)

Qr (kt)

Ley mediaEquiv.

(%)

0.0 – 0.1 29000 0.0276 0.0206 0.0629 150000 18.241 655.871 0.4372

0.1 – 0.2 18000 0.1556 0.0312 0.2091 121000 37.638 637.630 0.5270

0.2 – 0.3 20000 0.3000 0.0271 0.3465 103000 69.300 599.992 0.5825

0.3 – 0.4 25000 0.3200 0.0399 0.3884 83000 97.100 530.692 0.6394

0.4 – 0.5 16000 0.4500 0.0241 0.4913 58000 78.608 433.592 0.7476

0.5 – 0.6 11000 0.5455 0.0299 0.5968 42000 65.648 354.984 0.8452

0.6 – 0.7 12000 0.6417 0.0310 0.6948 31000 83.376 289.336 0.9333

> 0.7 19000 1.0211 0.0367 1.0840 19000 205.960 205.960 1.0840Tabla 7: Distribución de tonelaje v/s ley equivalente del proyecto


En la tabla anterior:

No se considera la recuperación en su cálculo, puesto que la determinación de la ley equivalente incluye ya ese parámetro (para ambos metales). Además, la ley media equivalente sobre la ley de corte, en la última columna, se calcula como:

CASO DE ESTUDIO N°1 – SOLUCIÓNAlgoritmo de Lane – 1° Iteración

1° Iteración: Como el algoritmo de Lane requiere de una solución básica de inicio, asumiremos que dicho valor inicial corresponde a una ley de corte igual a 0.3% Cu. La ley media equivalente sobre esta ley de corte es igual a 0.6394% Cu-Eq. Por lo tanto, en primera instancia, debemos verificar cuál es la unidad productiva que limita la operación para esta ley.


Mina:

Concentradora:

Refinería:

Luego, la concentradora limita el ritmo de la operación.


Lo siguiente es determinar el material que debe tratarse en el resto de las unidades productivas anualmente de tal forma que la capacidad instalada en la concentradora, que corresponde a no se vea sobrepasada. Para la refinería esto es simple, porque basta multiplicar esta capacidad por la ley media equivalente sobre la ley de corte. No obstante, para la mina no es tan simple. Primero, debe determinarse la razón de balance de este par de etapas:


Luego, mediante una proporción, balancear el flujo de material que sale de la mina de tal forma que la planta trabaje a plena capacidad:

Entonces:

Lo que implica que


Lo siguiente es determinar el beneficio anual de la explotación. Los tonelajes determinados con anterioridad sirven a este propósito, puesto que son anuales. Sin embargo, también se debe considerar que, en la fórmula de beneficios, el valor de es igual a 1 año.


Por lo tanto:

Luego,


Como todos los flujos de caja son equivalentes por año (dado que el algoritmo de Lane asume que los precios y costos son constantes durante toda la vida útil del proyecto), el valor presente se puede calcular en términos de anualidades como:


Calculamos la ley de corte económica correspondiente a esta primera iteración:


2° Iteración: La ley de corte equivalente económica determinada en la iteración anterior se corresponde con un tonelaje acumulado (), un fino acumulado ( y una ley media equivalente sobre esta ley de corte. Los primeros dos valores se requieren para determinar el proceso limitante de la operación en esta nueva iteración, mientras que el último valor nos permitirá calcular el beneficio anual correspondiente para la explotación.


Los valores citados se determinan mediante interpolaciones lineales simples. Así, para el caso de , se tiene que, de la Tabla 7:

Luego,


Para

Luego,


Para la ley media equivalente sobre la ley de corte:

Luego,


Verificamos el proceso limitante:

Mina:

Concentradora:

Refinería:

Luego, la concentradora limita el ritmo de la explotación.


Calculamos el anual que permita que la planta trabaje a plena capacidad utilizando la razón de balance entre la mina y la planta:

Por lo tanto:

Lo que implica que


Calculamos el beneficio anual asociado a estos parámetros:

Luego,


Calculamos el valor presente asociado:

Calculamos la ley de corte económica respectiva:


La diferencia entre este valor y el obtenido en la iteración anterior corresponde a una variación del 6% aproximadamente. En términos de prueba, esto puede ser considerado como despreciable y, por tanto, se considera éste último valor como óptimo.

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