Álgebra parcial 2

7/26/2019 lgebra Parcial 2

1/21

RuffiniTiene que ser de grado uno y si es de grado mayor tiene que ser factorable.

DIVISOR

x 2 x 1(x-1)(x-1)

Sea el polinomio

P (x) 4 7 3 12D (x)

x 2

P (x) 4 3 7 2 0 12D (x) x 2(x+2)(x-1)

X=-2 ; x=1

4 -3 7 20 -12

-2 -8 22 -58 76

4 -11 29 -38 64 residuo 1

4 -7 22

4 -7 22 -16 residuo2

Q (x) 4 7 22 Si tuviera dos factoresR (x) = (1mer factor) R2+R1 R1

R (x) = (x+a) R2+R1 R2

R (x) = (x+2) (-16) + 64 R3

R (x) = -16x-22+64 (x+a)R3+(x+b)R2+R1

R (x) = -16x+32

Residuos

(x+a)R3 +(x+b) R2 +R3


2/21

Dividir

P (x) 4 3 7 2 0 12D (x) 2 x 3(x+3) (x+1)

X=-3 ; X=1

4 -3 7 20 -12

-3 -12 45 -156 408

4 -15 52 -136 396

1 4 -11 41

4 -11 41 -95

Q (x) 4 11 41R (x) = (x+a) R2+R1

R (x) = (x+3) (-95) (+396)

R (x) = -95x-285+396

R (x) = -95x+111

Si tuviera 4 residuos

(x+a)R4+(x+b)R3+(x+c)R2+R1

Teorema del resto y del factor

Aplicamos solo si el divisor es de grado 1

D (x)= 1P (x) 2 2 x 1D (x) 3 1 = x= (reemplaso en el polinomio)Resto=? (Residuo)

P (x)

2 2 x 1


3/21

2 13 x 2 13 x 13 1= + = El residuo o resto = R(x)= - Determine si X+2; es divisor del polinomio 5 x = 6P (x) 5 x 6

X=-2

2 52 64-10+6

R(x)=0

(X+2) si es factor del polinomio

Cocientes notablesCociente Es el resultado de una divicin

a b = a b

+ =? No son cocientes notablesx y = x

y = x y= x x y x y x y x y yx y

= x y

= x y

= x x y x y x y x y yDescomposicin factores =(a+b)(a-b)x y = x y m n = m m n m n m n n

m nm n

m nmnmn


4/21

a b = a b (No es posible factorar)a b = a a b b

x

y

= x

y (No es posible factorar)

m n = m m n m n mn nm n = m n (No es posible factorar)TrinomiosTrinomio cuadrado perfecto=

2 x y = 2 x y = 2 1 = 1

Trinomio de la forma a b x c b x c

(a+2)(a+1) (m-3)(m+2)

x 7 x 1 2(x+4)(x+3)

Trinomio de la forma forma normal

= 4m 12 62

= 2 32 22


5/21

= 2 32 12 = 2 3 1

2 m 3= 2 3 1Aspa

-2m

2m 3 3m

m -1 m

= 2 3 1

FRMULA GENERAL

= 4

2

= 1 1 4232.2 = 1 1 2 44 = 1 254

= 1 54 = 12 = 1 54 = 32

19 19a 15

= 4

2


6/21

= 19 36166020 = 1931

20

1 = 1220 = 352 = 193120 2 = 52

1 =35

2 = 52

a 35 = 0 5a 3

a 52 = 0 2a 5

TRINOMIOS INCOMPLETOS

4 4x 4x y y 4

= x

y

4

= x y 2x y 2[= x 2 x y yx 2 x y y= x y x y x -x

2

x

x

x

= x x


7/21

= abx abx= a b x a b x

Descomposicin de polinomios en la formula general

P (x) = 4 7 2 2 2 4 = x 1x 2x 3 x 4

1 4 -7 -22 24

1 1 5 -2 -24

1 5 -2 -24 0 1 factor

2 2 14 24

1 7 12 0

-3 -3 -12

1 4 0

FACTORES (X-1)(X-2)(X+3)(X+4)

P (x) =105 299 108 164x48

105 -299 -108 164 48

-70 246 -92 -48

105 -396 138 72 0

84 -228 -72

105 -285 -90 0

-30 90

105 -315 0


8/21

P (x) =

105

299

108

164x48

= + + 105x315 = , x

= , x = x = , x

23 9 3= 523 32523 32=10 15 3 610 15 3 6

=13 217 9=100 300 225 9 36 36=91 264 189

Casos especiales4x y 4y x x 12x 2x

4x y 4y x x 1 2x= x 4x y 4y 2x 1= x 2y x 1 se factora la diferencia de cuadrados= x 2y x 1x 2y x 1

= x

2y

x

1x

2y

x

1

= x x 2y 1x x 2y 1


9/21

*

25x

20xy4y

12yz9z

30xz

25x 20xy4y 12yz30xz9z5x 2y -3z

5x 2y -3z

10xy -6yz -15xz

10xy -6yz -15xz

20xy -12yz -30xz

(5x+2y-3z)(5x+2y-3z)

(5x+2y-3z)

+ + = =

52 3 62 3 2

5 6 22 32 3 = 5 6 4 62 3 = 5 42 3 = 5 42 3 = 5 42 3


10/21

=

=

=

Fracciones AlgebraicasSi x-y=2n y

+ = 2Calcular el valor de

=+

+

= 2 = 2

= 2

= 2


11/21

. 2 = 2 = 2 2 2

= 2

= = 3

3

= 3.2.2 3 = 6222 322 = 234 12

= 2343 = 12

:

2 3222132 . 6362=

2 3221332=

3122 1 2 = 312221

3 2


12/21

1 12 13 2 a 1

a 1

= 1 12 13 1 2 1 1= 1 12 13 3 2 1 1

1 12 1 4 1= 1 12 1 4

= 1 12 4 1 4= 1 12 8 1 4

1 1

7 4 = 1 4 7 =

7 4 7 =

3 7

RACIONALIZACINab

.

=

FACTOR RACIONALIZANTE23 . = 233

FR = 233233 =2.33

2.3 = 2.36 = 1consiste en racionalizar el numerador o el denominador

1a . = 1

a . 23

23 =

23

33 =

23


13/21

23 = 2. 345

35 . 34 =2345

3 =233

24 = 2. 435

4425 . 435 = 2435

4.4 = 435

8 35xy27xy = 23

23 =3523. 226

3 =428751036

3 22 5 . 22 55 = 2

2. 236 22. 5362 10 10 25 = 2

56 4.12563 = 326 50063

2a .

= 2

.

=

.

=

.

=

=

x2 2 2 = (2 2) 24 . (2 2) 24 (2 2 2 )(2 2) 2 = (2 2) 2

4 42 2 2 = 2 2 2

6 32 . 6 326 32

(2 2 2

) 6 32363.2 = 2 2

6 3230

Ecuaciones lineales

= 19 [ 3 6 5 72 5 ] 13 5 14 = 0


14/21

19 [ 3 6 5 7 1 02 ] 1 3 6 5 141

9[ 3 6 5 3550

2 ] 1 3 6 5 1

4

19 [6 1 2 3 5 5 02 ] 1 3 6 5 146 1 2 3 5 5 018 1 3 6 5 14293818 1 3 6 5 14 58 76 468 2340 9

36 = 4 1 0 2 2 5 5 = 0

= 2255410 = 4512 =5.5

=

2 =

3 2 = 2 3 2 = 2 2 2 = 2 = 2

=( 1 6 )

= 4

1 6 2 1 6 = 1 62 1 6 = 1 6 1 6 2 16 = 2 : 2 16 =

1 6 =


15/21

= 0Ecuaciones de Segundo grado

Resolucin:

FACTORANDO 5 6 = 0X -3=-3x

X -2=-2x

3 2 = 0Completando trinomio cuadrado perfecto 5 6 = 0 5 254 = 6 254 52

= 14

52 = 12 = 12 52 = 3 = 12 52 = 5Formula General

5 6 = 0

= 42 = 5 25 242.1 = 5 12

= 5 12 = 3


16/21

= 5 12 = 2

= = 273 = 9 = 3 3Resolver Ecuacin

= 2 5 2 1 = 5 1 1 = 4 1 = 2 = 1 2

= 1 2

2 1 5 = 1 0 2 152 = 102 5 152 = 0 5 15

2

5 254 = 152 254 52 = 54

= 52 54 = 52 52 = 5 52


17/21

= 52 54 = 5 52

= = 20 4004911636 = 20 4004911636

= 20 377636 = 20 377636 = 2 0 85936 = 2 0 859

36

= 5 259369 = 5 259369

Ecuacin de la forma cuadrtica

= 10 2 4 = 0 10 2 4 = 0 = =

Naturaleza de los radicales

= 42 2 2 = 0


18/21

Discriminante 4 = 1 1 6 = = 17

Si:

D=0 = dos raicis racionales e iguales

D=0 = dos raicis imaginarias diferentes

D=0 = dos raicis reales diferentes

Calcular la naturaleza de las races

= = = 4 9 2 0 72

= 204 = 2 9 72 = 292

7 5 = 0 = 292 72 = 7 292 = 49 202 = 292 72 = 7 292 = 7 292 = 7 29

2

= 7 292

= = 36 36 = 0 3 3 = 0


19/21

= 3 = 3

x

6 x 1 1 = 3 6 4 4

6 364 = 1 1 364 = 8 62

= 84 = 62 2 = 6 222 = 3 2 62 = 2 = 3 2

= 42 42

= 4 42 = 22 =

= 42 42 =

Para el ejercicio anterior

= 3 2 3 2 = 3 2 3 2 = 6 = 3 2 3 2 = 3 2 32 2


20/21

= = ( 3 2 ) 3 2 = 6 = = ( 3 2 ) 3 2 = 9 32 32 2 = 9 2 = 7Encuentre el valor de K:

De tal modo que las dos races sean iguales 2 2 8 = 0 = 0 4 = 0 discriminante22 4.18 = 02 4 4 4 1 6 1 6 3 2 = 04 1 6 1 6 = 0 4 4 = 0 2 2 = 2Ejercicios

La edad del padre es el triple de la de su hijo y dentro de 8 aos ser el doble Cul serla edad de cada uno?

= 3 = 24 8 = 2 8 = 8 3 8 = 2 1 63 2 = 1 6 8

= 8


21/21

Un estudiante se comparte a presentar a su padre la resolucin de 5 problemas

diariamente. El padre dar al hijo $7.50 por cada problema bien resuelto bien resuelto, y

el hijo abona a su padre $6 por cada problema que deje de presentar o este mal resuelto.

Al cabo de 15 das el hijo gan $225 Cuntos problemas resolvi bien el estudiante?

7 . 5 0 6 = 2 2 5 = 7 5 = 7 5 7.504506=22513.5=675 = 5 0

Álgebra parcial 2

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