algebra matematicas
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7/24/2019 Algebra matematicas
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FASICULO
ALGEBRA I
R =Conjunto de números reales
Q =Conjunto de números racionales (!"#$ #"#$ %"#$ &"&$ '
Q)=Conjunto de números irracionales (*+,!!-'+$.i /+&!&*'
0 =Conjunto de números enteros
0 =Conjunto de números enteros 1ositi2os (&$ #$ /$ !$ ,$ *$ '
0 =Conjunto de números enteros ne3ati2os (&$ #$ /$ !$ ,$ *$ 4$ -$ 5$ &%+ + +
6 = Conjunto de números naturales (&$ #$ /$ !$ ,$ *$ 4$ -$ 5$ &%$ &&$ &#$ &/$ &!$ '
&7 CO68AR 9 :E;IR E<.RESAR CO6 SI:BOLOS
Solo dos culturas anti3uas denotaron al cero con un sm>olo es1ecial? El maya y la hindú$ esta ultima
utili@o un sm>olo llamado SUNYA 1ara e1resar lu3ares 2acos Los ra>es tradujeron la 1ala>ra SunDa
1or SIFER$ la cual al ser latini@ada cam>io a ciro$ de donde se ori3ino la 1ala>ra cero+
El sistema indoara>i3o ue se utili@a usa die@ sm>olos (d3itos (%$&$#$/$!$,$*$4$-$5#7 CALCULAR=HO.ERAR CO6 6U:EROS
Este 1rocedimiento a1areci en un 1a1iro ue com1ro en &-,- en E3i1to$ ALE<A6;ER JE6R9
RJI6;K&-//&-*/$ 1or lo ue se le llama M1a1iro de rNind$ en la cual se e1lica ue la multi1licacin se
eectua 1or du1licaciones sucesi2as+
Ejem1lo (&+&+&
ALGORI8:O? Es el 1rocedimiento em1leado 1ara o>tener el resultado de una o1eracin+ La 1ala>ra
al3oritmo es una deormacin de ALPJOARI0:I$ nom>re de un cele>re matemtico ra>e ue 2i2io en
el si3lo I< a+C D ue ue el 1rimero ue manejo estos 1rocedimientos+
En una 1euea escuela de BrunsicT$ Alemania$ en &4-,$ asistia un nio de ocNo aos de edad Carlos
F+ Gaus$ disi1ulo del maestro >ttner+ Cierto dia en el ue el maestro decidio tomarse un >uen descanso$
1ens en tener a sus alumnos ocu1ados en reali@ar un 1ro>lema >astante la>orioso$ como el de o>tener
la suma de los 1rimeros cien números naturales+ El resultado es ,%,% res1ondio Gauss
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Gauss o>ser2o ue el 1rimer numero mas el ultimo dan &%& ue el se3undo numero mas el 1enúltimo
dan &%& ue el tercer numero mas el ante1enúltimo dan &%&? (&%&<,%=,%,%
.RO.IE;A; ;E CERRA;URA
Si sumamos o multi1licamos dos números naturales el resultado es un numero natural$ entonces se dice
ue el conjunto de los números naturales es cerrado conorme a la o1eracin dada+
.RO.IE;A; CO6:U8A8IVA
Si sumamos o multi1licamos dos números naturales D le cam>iamos el orden $ el resultado 6O se altera+
.RO.IE;A; ASOCIA8IVA
.ueden asociarse los números en una u otra orma D o>tener el mismo resultado+ A estaa 1ro1iedad de la
adicion D multi1licacin se le llama 1ro1iedad asosiati2a+
.RO.IE;A; ;IS8RIBU8IVA
Ima3ina ue se uiere reali@ar el 1roducto de *7(&#W4$ lo cual se e1resa como *(&#W4$donde el 1unto
indica una multi1licacin+
asuma &# D 4$ asi? *(&5=&&!
> multi1lica 1rimero 1or *$ asi *(&#W4 = *(&#W *(4=4#W!#=&&!
Ejem1lo(&+&+#
, es di2isor eacto de *%$ 1ero tam>in 1odemos decir ue *% es múlti1lo de ,+
Si se ecluDe el &$ diremos ue? un numero natural es 1rimo si D solo si tiene dos di2isores$ l mismo D la
unidad+
El matemtico 3rie3o ERAS8OS8E6ES(si3lo III a+C+ ideo un mtodo conocido con el nom>re de Mcri>a
de Erastostenes este mtodo 1ermite encontrar los números 1rimo ue estn entre el # D el ,%+
.RO.IE;A; 6EU8RO O I;E68ICO ;E LA A;ICIO6
Este elemento cero lo conoces como elemento idntico o neutro$ 1ara la suma
Ejem1lo (&+&+/
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FASICULO
ALGEBRA I
Enteros 1ositi2os(0W =&$#$/$!$,$*$4$-$5'
Enteros ne3ati2os(0 = &$#$/$!$,$*$4$'
El numero cero? %
Ejem1lo (&+&+!
PROPIEDADES DE NUMEROS ENTEROS
ADICION MULTIPLICACIONCERRADURA: La adicion de cualuiera de dos números enteros
a D > siem1re es un entero+
CONMUTATIVIDAD:.ara cualesuiera dos números enteros a D
> a W > = > W a+
ASOCIATIVIDAD: .ara cualesuiera tres enteros a$ > D c a W (>
W c=(aW> W c+
IDENTIDAD DE LA ADICION: El numero cero (% es la identidad
1ara la adicion a W % = % W a = a+
INVERSO ADITIVO: 8odo numero entero tiene un in2erso
aditi2o$ a W (a = %
CERRADURA? El 1roducto de dos enteros a D > siem1re es un
entero+
CONMUTATIVIDAD? .ara cualesuiera de dos enteros
a D > a > = > a+
ASOSIATIVIDAD? .ara cualesuiera de tres enteros a$ > D c a·
(> · c = (a · > · c+
IDENTIDAD DE LA MULTIPLCACION? El numero & es la
identidad 1ara la multi1licacin &· a =a·& = a+
DISTRIBUTIVIDAD? .ara cualesuiera tres enteros a$ > D c a·(>
W c = a·> W a·c D (a W >·c = a·c W >·c+
Ejem1lo (&+&+,
6U:EROS RACIO6ALES Q
Un numero racional es auel ue 1uede escri>irse en la orma a/b, A a se le llama numerador$ D a b se le
llama denominador D b es dierente de cero$ no se 1ermite di2idir entre cero$ un numero raciona!e
"ue#e e!cribir como a/b$
#"/ = %+***$ este tam>in es un numero racional
Ejem1lo (&+&+*
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6U:EROS
REALES X
%&' ($)*)*)*)*)+++-
DIVISION
Para #e.inir a #ii!i0n #ebemo! conocer e reci"roco #e un numero
'A/B reci"roco B/A-
El cociente de dos números racionales a"> D c"d esta deinida como?
#", entre /"- = #",7-"/= )+/)1 D
Y so>re ,"* = Y 7*", = &-"#% = 2/)*
SUMA?Se deine a"> D c"d como? a"> W c"d= (a7d W c7dnumerador denominador >7d
MULTIPLICACION: Se deine a"> 1or c"d como? (numerador a7c=
(denominador >7d=D cuando >=d solo se multi1lica el numerador D el denominador 1asa tal cual >=>
RESTA:se deine a"> Dc"d como? a">c"d=(6umerador a7>c7d= (;enominador >7d=
6U:EROS
IRACIO6ALES (QZ6U:EROS
RACIO6ALES (Q
NUMEROS
ENTEROS
'3-
EL NUMERO
CERO '*-
ENTEROS
NE4ATIVOS 35
ENTEROSPOSITIVOS 36
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FASICULO
ALGEBRA I
:I6I:O CO:U6 :UL8I.LO?
[Cul es la suma de las racciones\
] W &"/ W &"!
.aso &+ Calcula el minimo común múlti1lo (m+c+m+=&#
# calcular racciones eui2alentes&"#7*"*=*"&#&"/7!"!=!"&#$&"!7/"/=/"&#
/ sumamos eui2alentes *"&#W!"&#W(/"&#=7/)8
Ejem1lo (&+&+4
SI4NOS DE A4RUPACION
.arentesis ( $ CorcNetes K $ Lla2es ^ _ A estos se le llaman sm>olos de a3ru1acin
Se usa 1ara sealar de una manera mas sencilla mas de una o1eracin$ al indicar el orden 1reciso en el
ue se de>e eectuar+
Las cantidades o números a3ru1ados se de>en considerar como todo
Sim1liica el 1arntesis 1rimero reali@a 1rimero la multi1licacin antes de la resta
E`E:.LO
,# K/(*#=
&·+ Resol2er (*# = ,#K/(!
# $ Eliminar 1arntesis =,#K/!
/7+ Resol2er = K/!=,#K&
!7+ Eliminar corcNetes =,W#
,7+ Resol2er ,W#=4
Mu9i"ica an9e! #e re!9ar acu;r#a9e #e o! e<em"o an9eriore!
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METODO DE ENSA=O = ERROR
Este consiste en ir 1ro>ando ensaDando 2arios 2alores Nasta lle3ar al resultado correcto+
RA3ONES = PROPORCIONES
Se a1lica como auiliar del mtodo de ensaDo D error$ en 1ro>lemas donde dos datos estn relacionados$
D se 1ueden e1resar como una raccin$ 1ara o>tener un tercer dato ue tam>in esta relacionado D se
conoce como constante o coeiciente de 1ro1orcionalidad+